線性代數(shù)部分課件及試題

3.2向量組的線性關(guān)系3.2.1向量的線性關(guān)系3.2.2向量的線性相關(guān)性線性表示.定義3.11的一個線性組合.設(shè)則稱向量3.2.1向量的線性表示這時,也稱向量b可由向量組向量的加法和數(shù)乘運算通常稱之為向量的線性運算，我們研究向量在線性運算下的關(guān)系．均為維向量，若存在一組數(shù)使得是向量組例3.11設(shè)則有例3.12稱為n維單位坐標向量組,n維向量組均有則對任意n維向量即任意一個n維向量均可由單位坐標向量組線性表示.由定義可知,設(shè)線性方程組（3.9）借助向量運算，方程組可以表示為零向量可由任意一個向量組線性表示.若記則線性方程組(3.9)的向量形式為定理3.3證明向量b可由向量組線性表示的充要條件有解.充分性為一組解.設(shè)則有即向量b可由向量組線性表示.必要性向量b可由向量組線性表示,則存在一組數(shù)使得即是方程組的一組解.是方程組若方程組有解,例3.13設(shè)問b能否由向量組若能,寫出表示式.線性表示,解考慮線性方程組即由于系數(shù)矩陣A的行列式方程組有唯一解.故方程組的解于是b可由向量組線性表示,且定義3.12若向量組中的每一個向量均可由向量組

線性表示，則稱向量組可由向量組線性表示．若兩個向量組可以互相線性表示，顯然任意一個向量組可由自身線性表示,在例題3.13中向量組與向量組等價．則稱兩個向量組等價．定理3.4可由向量組線性表示,而向量組可由向量組線性表示,則向量組可由向量組線性表示.證明由假設(shè)存在實數(shù)使得及存在實數(shù)使得從而若向量組向量組的等價性具有如下性質(zhì):(1)反身性:(2)對稱性:(3)傳遞性:每一個向量組與自身等價.若向量組則向量組若向量組向量組則向量組與向量組等價,與向量組等價.與向量組等價,與向量組等價,與向量組等價.根據(jù)向量組等價的定義，方程組(3.9)有解的充分必要條件是向量組與向量組等價．設(shè)矩陣的列向量組分別為與且向量組可由向量組線性表示，即則有這里是由表示系數(shù)構(gòu)成的矩陣．不能寫成注!定理3.5則B的行向量組能由A的行向量組線性表示.則存在可逆矩陣P,使得B=PA,則A的行向量組能由B的行向量組線性表示.A的行向量組與B的行向量組是等價向量組.A與B的行向量組等價A與B的列向量組等價定義3.13則稱向量組給定向量組若存在一組不全為零的數(shù)使得線性相關(guān).例3.14所以向量組線性相關(guān).設(shè)向量組由于3.2.2向量的線性相關(guān)性證明下列命題:例3.15(1)若向量組中含有零向量,則向量組線性相關(guān)．(2)若向量組中有兩個向量相同，則向量組線性相關(guān)．證明(1)設(shè)向量組含有零向量,不妨設(shè)由于存在不全為零的一組數(shù)使得根據(jù)定義3.13,向量組線性相關(guān)．(2)設(shè)向量組中有兩個向量相同,不妨設(shè)由于存在不全為零的一組數(shù)使得根據(jù)定義3.13,向量組線性相關(guān)．線性表示.定理3.6向量組線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個向量可由其余s-1個向量設(shè)向量組則存在不全為0的數(shù)使得不妨設(shè)則有線性表示.證明

必要性線性相關(guān),即可由充分性設(shè)即有能由其余向量線性表示.中有一個向量（比如故由定義3.13可知：線性相關(guān).向量組線性相關(guān)的概念是幾何空間中兩個向量共線(平行)，則稱為線性無關(guān)的.定義3.14若向量組不是線性相關(guān)的,三個向量共面概念的推廣.定義3.15對于向量組若則有稱向量組線性無關(guān)．一個向量a構(gòu)成的向量組，當時,是線性相關(guān)的；當時，是線性無關(guān)的．線性無關(guān)任何一組不全為零的數(shù)使例3.16線性無關(guān).證明n維單位坐標向量組證明若有常數(shù)k1,k2,…,kn使得于是故向量組線性無關(guān).例3.17判斷向量組的線性相關(guān)性.解設(shè)即也即該方程組的系數(shù)行列式有唯一解,于是故線性無關(guān).判斷向量組例3.18的線性相關(guān)性．解設(shè)即于是由于是方程組的解，于是所以向量組線性相關(guān)．一般地，對于向量組作齊次線性方程組即我們有:定理3.7線性相關(guān)的充要條件是齊次線性方程組有非零解.證明充分性若方程組(1)有非零解,(1)設(shè)為其一組非零解,則有從而向量組線性相關(guān).必要性設(shè)向量組線性相關(guān),則存在不全為零的一組數(shù)使得此式表明:是方程組(1)的一組非零解.向量組推論線性無關(guān)的充要條件是齊次線性方程組只有零解.(1)向量組例3.19若是互不相等的一組數(shù),設(shè)證明:向量組線性無關(guān).證明考慮線性方程組即由于系數(shù)行列式D為n階范德蒙行列式,且互不相等,所以方程組只有零解,從而向量組線性無關(guān).分析(抽象的向量組)整理例3.20求已知向量組線性無關(guān),證明:也線性無關(guān).證明整理得：因線性無關(guān),所以故方程組只有零解,線性無關(guān).設(shè)有使定理3.8證明若向量組線性相關(guān),量組也線性相關(guān).則向線性相關(guān),存在一組不全為零的數(shù)線性相關(guān).因為所以所以故推論若向量組組線性無關(guān),則向量也線性無關(guān).向量組若有線性相關(guān)的部分組,則該向量組線性相關(guān).簡言之,部分相關(guān),整體相關(guān).特別地,含有零向量的向量組必線性相關(guān).若一個向量組線性無關(guān),則它的任何部分組必線性無關(guān).簡言之,整體無關(guān),部分無關(guān).定理3.9設(shè)即對添上若干分量后得向量若向量組線性無關(guān),則向量組B:也線性無關(guān).推論若向量組B線性相關(guān),則向量組A也線性相關(guān).證明n個方程n+(m-n)個方程(II)的解都是(I)的解，線性無關(guān),方程組(I)只有零解，從而方程組(II)只有零解,故向量組線性無關(guān).定理3.9表明:向量組線性無關(guān),添加分量所得向量組仍線性無關(guān),向量組線性相關(guān),減少分量所得向量組仍線性相關(guān).證明與已知A組線性無關(guān)矛盾.即b

能由向量組定理3.10線性表示.設(shè)向量組線性無關(guān),而向量組線性相關(guān),則向量b必可由向量組A線性表示,且表示法是唯一的.線性相關(guān),則存在一組不全為零的數(shù)線性相關(guān),下證唯一性設(shè)b

的表示法為故表示法是唯一的.①②由于n維單位坐標向量組

線性無關(guān),故任意n維向量a可由唯一線性表示.線性無關(guān),推論若向量可由線性無關(guān)向量組線性表示，則表示法唯一．于是所以定理3.11設(shè)向量組可由向量組線性表示,且r>s,則向量組線性相關(guān).證明由假設(shè),設(shè)令存在矩陣使得即則由于這個方程組有r個未知量s個方程,由于r>s.方程組有自由未知量,于是方程組(＊)有非零解,設(shè)其非零解為所以從而向量組線性相關(guān).推論3任意n+1個n維向量均線性相關(guān).證明設(shè)是任意n+1個n維向量,由于該向量組可由n維單位坐標向量組線性表示,又由定理3.11可