高中數學蘇教版選修1-1課件：第二章-242-拋物線的幾何性質課件

2.4.2拋物線的幾何性質第2章

§2.4拋物線2.4.2拋物線的幾何性質第2章§2.4拋物線1.掌握拋物線的簡單幾何性質.2.能運用拋物線的簡單幾何性質解決與拋物線有關的問題.學習目標1.掌握拋物線的簡單幾何性質.學習目標欄目索引知識梳理自主學習題型探究重點突破當堂檢測自查自糾欄目索引知識梳理自主學習題型探知識梳理自主學習知識點一拋物線的幾何性質標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形知識梳理答案性質范圍

，y∈R

，y∈Rx∈R，

1x∈R，

1對稱軸x軸x軸y軸y軸頂點

1離心率

1(0,0)x≥0x≤0y≥0y≤0e=1答案性質范圍，y∈R ，y知識點二焦點弦答案x1＋x2＋p知識點二焦點弦答案x1＋x2＋p知識點三直線與拋物線的位置關系直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p>0)的交點個數決定于關于x的方程

的解的個數.當k≠0時，若Δ>0，則直線與拋物線有

個不同的公共點；當Δ＝0時，直線與拋物線有

個公共點；當Δ<0時，直線與拋物線

公共點.當k＝0時，直線與拋物線的對稱軸

，此時直線與拋物線有

個公共點.返回k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0答案兩一沒有平行或重合一知識點三直線與拋物線的位置關系返回k2x2＋2(kb－p)

題型探究重點突破題型一拋物線的幾何性質解析答案反思與感悟題型探究反思與感悟反思與感悟(1)注意拋物線各元素間的關系：拋物線的焦點始終在對稱軸上，拋物線的頂點就是拋物線與對稱軸的交點，拋物線的準線始終與對稱軸垂直，拋物線的準線與對稱軸的交點和焦點關于拋物線的頂點對稱.(2)解決拋物線問題要始終把定義的應用貫徹其中，通過定義的運用，實現兩個距離之間的轉化，簡化解題過程.反思與感悟(1)注意拋物線各元素間的關系：拋物線的焦點始終在對稱軸上，跟蹤訓練1

已知拋物線的對稱軸在坐標軸上，以原點為頂點，且經過點M(1，－2).求拋物線的標準方程和準線方程.解析答案跟蹤訓練1已知拋物線的對稱軸在坐標軸上，以原點為頂點，且經解(1)當拋物線的焦點在x軸上時，設其標準方程為y2＝mx(m≠0).將點M(1，－2)代入，得m＝4.∴拋物線的標準方程為y2＝4x.(2)當拋物線的焦點在y軸上時，設其標準方程為x2＝ny(n≠0).解(1)當拋物線的焦點在x軸上時，

解析答案反思與感悟

解析答案反思與感悟所以直線AB的斜率存在，設為k，解析答案反思與感悟消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.所以直線AB的斜率存在，設為k，解析答案反思與感悟消去x，整反思與感悟解得k＝±2.反思與感悟解得k＝±2.(1)解決拋物線的焦點弦問題時，要注意拋物線定義在其中的應用，通過定義將焦點弦長度轉化為端點的坐標問題，從而可借助根與系數的關系進行求解.(2)設直線方程時要特別注意斜率不存在的直線應單獨討論.反思與感悟(1)解決拋物線的焦點弦問題時，要注意拋物線定義在其中的應用解析答案跟蹤訓練2

已知直線l經過拋物線y2＝6x的焦點F，且與拋物線相交于A、B兩點.(1)若直線l的傾斜角為60°，求AB的值；解析答案跟蹤訓練2已知直線l經過拋物線y2＝6x的焦點F，解因為直線l的傾斜角為60°，若設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝5，＝x1＋x2＋p.所以AB＝5＋3＝8.解因為直線l的傾斜角為60°，若設A(x1，y1)，B(x解析答案(2)若AB＝9，求線段AB的中點M到準線的距離.解設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義知所以x1＋x2＝6，于是線段AB的中點M的橫坐標是3，解析答案(2)若AB＝9，求線段AB的中點M到準線的距離.解題型三直線與拋物線的位置關系例3

已知直線l：y＝kx＋1，拋物線C：y2＝4x，當k為何值時，直線l與拋物線C有：(1)一個公共點；(2)兩個公共點；(3)沒有公共點.解析答案反思與感悟題型三直線與拋物線的位置關系解析答案反思與感悟消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)當k＝0時，方程(*)只有一個解，當k≠0時，方程(*)為一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2，解析答案消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)當k≠0時①當Δ>0，即k<1且k≠0時，直線l與拋物線C有兩個公共點，此時直線l與拋物線C相交；②當Δ＝0，即k＝1時，直線l與拋物線C有一個公共點，此時直線l與拋物線C相切；③當Δ<0，即k>1時，直線l與拋物線C沒有公共點，此時直線l與拋物線C相離.綜上所述，(1)當k＝1或k＝0時，直線l與拋物線C有一個公共點；(2)當k<1且k≠0時，直線l與拋物線C有兩個公共點；(3)

當k>1時，直線l與拋物線C沒有公共點.反思與感悟①當Δ>0，即k<1且k≠0時，直線l與拋物線C有兩個公共點直線與拋物線交點的個數，等價于直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到的方程組解的個數.注意直線斜率不存在和得到的方程二次項系數為0的情況.反思與感悟直線與拋物線交點的個數，等價于直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到的解析答案跟蹤訓練3

如圖，過拋物線y2＝x上一點A(4,2)作傾斜角互補的兩條直線AB，AC交拋物線于B，C兩點，求證：直線BC的斜率是定值.解析答案跟蹤訓練3如圖，過拋物線y2＝x上一點A(4,2)證明設kAB＝k(k≠0)，∵直線AB，AC的傾斜角互補，∴kAC＝－k(k≠0)，∴直線AB的方程是y＝k(x－4)＋2.消去y后，整理得k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程組的解.解析答案證明設kAB＝k(k≠0)，消去y后，整理得解析答案∴直線BC的斜率為定值.∴直線BC的斜率為定值.解析答案返回解后反思思想方法分類討論思想的應用解析答案返回解后反思思想方法分類討論思想的應用解析答案分析由于拋物線的開口有兩種可能性：向左或向右，其標準方程可以設為y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0).解設直線和拋物線相交于點A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)當拋物線開口向右時，消去y，得4x2－(2p－4)x＋1＝0.解后反思解析答案分析由于拋物線的開口有兩種可能性：向左或向右，其標解得p＝－2(負值舍去)或p＝6，故拋物線的標準方程為y2＝12x.(2)當拋物線開口向左時，設拋物線的標準方程為y2＝－2p1x(p1＞0)，同理可得p1＝2，此時所求拋物線的標準方程為y2＝－4x.綜上所述，拋物線的標準方程為y2＝－4x或y2＝12x.解后反思解得p＝－2(負值舍去)或p＝6，解后反思分類討論思想在解決拋物線問題時經常用到，如對拋物線的開口方向進行討論，對直線的斜率是否存在進行討論，對判別式Δ的取值范圍進行討論等.返回解后反思分類討論思想在解決拋物線問題時經常用到，如對拋物線的開口方向當堂檢測123451.以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與對稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點在坐標原點，則其方程為__________________.解析設拋物線y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，解析答案得|y|＝p，∴2|y|＝2p＝8，p＝4.∴拋物線方程為y2＝8x或y2＝－8x.y2＝8x或y2＝－8x當堂檢測123451.以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦123452.若拋物線y2＝x上一點P到準線的距離等于它到頂點的距離，則點P的坐標為____________.解析答案123452.若拋物線y2＝x上一點P到準線的距離等于它到頂123453.拋物線y＝4x2上一點到直線y＝4x－5的距離最短，則該點坐標為__________.解析答案123453.拋物線y＝4x2上一點到直線y＝4x－5的距離12345解析因為y＝4x2與y＝4x－5不相交，設與y＝4x－5平行的直線方程為y＝4x＋m.設此直線與拋物線相切，此時有Δ＝0，即Δ＝16＋16m＝0，∴m＝－1.12345解析因為y＝4x2與y＝4x－5不相交，設與y＝12345解析答案4.經過拋物線y2＝2x的焦點且平行于直線3x－2y＋5＝0的直線l的方程是____________.6x－4y－3＝012345解析答案4.經過拋物線y2＝2x的焦點且平行于直線12345解析答案5.已知直線x－y＋1＝0與拋物線y＝ax2相切，則a＝________.∵直線與拋物線相切，∴a≠0且Δ＝1＋4a＝0.12345解析答案5.已知直線x－y＋1＝0與拋物線y＝ax課堂小結1.討論拋物線的幾何性質，一定要利用拋物線的標準方程；利用幾何性質，也可以根據待定系數法求拋物線的方程.2.直線與拋物線的相交弦問題共有兩類，一類是過焦點的弦，一類是不過焦點的弦.解決弦的問題，大多涉及到拋物線的弦長、弦的中點、弦的斜率.常用的辦法是將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，轉化為關于x或y的一元二次方程，然后利用根與系數的關系，這樣避免求交點.尤其是弦的中點問題，還應注意“點差法”的運用.課堂小結1.討論拋物線的幾何性質，一定要利用拋物線的標準方程3.判斷直線與拋物線位置關系的兩種方法(1)幾何法：利用圖象，數形結合，判斷直線與拋物線的位置關系，但有誤差影響判斷的結果.(2)代數法：設直線l的方程為y＝kx＋m，拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2＋Bx＋C＝0(或Ay2＋By＋C＝0).3.判斷直線與拋物線位置關系的兩種方法返回直線與拋物線有一個交點，是直線與拋物線相切的必要不充分條件.返回直線與拋物線有一個交點，是直線與拋物線相切的必要不充分條本課結束本課結束2.4.2拋物線的幾何性質第2章

§2.4拋物線2.4.2拋物線的幾何性質第2章§2.4拋物線1.掌握拋物線的簡單幾何性質.2.能運用拋物線的簡單幾何性質解決與拋物線有關的問題.學習目標1.掌握拋物線的簡單幾何性質.學習目標欄目索引知識梳理自主學習題型探究重點突破當堂檢測自查自糾欄目索引知識梳理自主學習題型探知識梳理自主學習知識點一拋物線的幾何性質標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形知識梳理答案性質范圍

，y∈R

，y∈Rx∈R，

1x∈R，

1對稱軸x軸x軸y軸y軸頂點

1離心率

1(0,0)x≥0x≤0y≥0y≤0e=1答案性質范圍，y∈R ，y知識點二焦點弦答案x1＋x2＋p知識點二焦點弦答案x1＋x2＋p知識點三直線與拋物線的位置關系直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p>0)的交點個數決定于關于x的方程

的解的個數.當k≠0時，若Δ>0，則直線與拋物線有

個不同的公共點；當Δ＝0時，直線與拋物線有

個公共點；當Δ<0時，直線與拋物線

公共點.當k＝0時，直線與拋物線的對稱軸

，此時直線與拋物線有

個公共點.返回k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0答案兩一沒有平行或重合一知識點三直線與拋物線的位置關系返回k2x2＋2(kb－p)

題型探究重點突破題型一拋物線的幾何性質解析答案反思與感悟題型探究反思與感悟反思與感悟(1)注意拋物線各元素間的關系：拋物線的焦點始終在對稱軸上，拋物線的頂點就是拋物線與對稱軸的交點，拋物線的準線始終與對稱軸垂直，拋物線的準線與對稱軸的交點和焦點關于拋物線的頂點對稱.(2)解決拋物線問題要始終把定義的應用貫徹其中，通過定義的運用，實現兩個距離之間的轉化，簡化解題過程.反思與感悟(1)注意拋物線各元素間的關系：拋物線的焦點始終在對稱軸上，跟蹤訓練1

已知拋物線的對稱軸在坐標軸上，以原點為頂點，且經過點M(1，－2).求拋物線的標準方程和準線方程.解析答案跟蹤訓練1已知拋物線的對稱軸在坐標軸上，以原點為頂點，且經解(1)當拋物線的焦點在x軸上時，設其標準方程為y2＝mx(m≠0).將點M(1，－2)代入，得m＝4.∴拋物線的標準方程為y2＝4x.(2)當拋物線的焦點在y軸上時，設其標準方程為x2＝ny(n≠0).解(1)當拋物線的焦點在x軸上時，

解析答案反思與感悟

解析答案反思與感悟所以直線AB的斜率存在，設為k，解析答案反思與感悟消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.所以直線AB的斜率存在，設為k，解析答案反思與感悟消去x，整反思與感悟解得k＝±2.反思與感悟解得k＝±2.(1)解決拋物線的焦點弦問題時，要注意拋物線定義在其中的應用，通過定義將焦點弦長度轉化為端點的坐標問題，從而可借助根與系數的關系進行求解.(2)設直線方程時要特別注意斜率不存在的直線應單獨討論.反思與感悟(1)解決拋物線的焦點弦問題時，要注意拋物線定義在其中的應用解析答案跟蹤訓練2

已知直線l經過拋物線y2＝6x的焦點F，且與拋物線相交于A、B兩點.(1)若直線l的傾斜角為60°，求AB的值；解析答案跟蹤訓練2已知直線l經過拋物線y2＝6x的焦點F，解因為直線l的傾斜角為60°，若設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝5，＝x1＋x2＋p.所以AB＝5＋3＝8.解因為直線l的傾斜角為60°，若設A(x1，y1)，B(x解析答案(2)若AB＝9，求線段AB的中點M到準線的距離.解設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義知所以x1＋x2＝6，于是線段AB的中點M的橫坐標是3，解析答案(2)若AB＝9，求線段AB的中點M到準線的距離.解題型三直線與拋物線的位置關系例3

已知直線l：y＝kx＋1，拋物線C：y2＝4x，當k為何值時，直線l與拋物線C有：(1)一個公共點；(2)兩個公共點；(3)沒有公共點.解析答案反思與感悟題型三直線與拋物線的位置關系解析答案反思與感悟消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)當k＝0時，方程(*)只有一個解，當k≠0時，方程(*)為一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2，解析答案消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)當k≠0時①當Δ>0，即k<1且k≠0時，直線l與拋物線C有兩個公共點，此時直線l與拋物線C相交；②當Δ＝0，即k＝1時，直線l與拋物線C有一個公共點，此時直線l與拋物線C相切；③當Δ<0，即k>1時，直線l與拋物線C沒有公共點，此時直線l與拋物線C相離.綜上所述，(1)當k＝1或k＝0時，直線l與拋物線C有一個公共點；(2)當k<1且k≠0時，直線l與拋物線C有兩個公共點；(3)

當k>1時，直線l與拋物線C沒有公共點.反思與感悟①當Δ>0，即k<1且k≠0時，直線l與拋物線C有兩個公共點直線與拋物線交點的個數，等價于直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到的方程組解的個數.注意直線斜率不存在和得到的方程二次項系數為0的情況.反思與感悟直線與拋物線交點的個數，等價于直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到的解析答案跟蹤訓練3

如圖，過拋物線y2＝x上一點A(4,2)作傾斜角互補的兩條直線AB，AC交拋物線于B，C兩點，求證：直線BC的斜率是定值.解析答案跟蹤訓練3如圖，過拋物線y2＝x上一點A(4,2)證明設kAB＝k(k≠0)，∵直線AB，AC的傾斜角互補，∴kAC＝－k(k≠0)，∴直線AB的方程是y＝k(x－4)＋2.消去y后，整理得k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程組的解.解析答案證明設kAB＝k(k≠0)，消去y后，整理得解析答案∴直線BC的斜率為定值.∴直線BC的斜率為定值.解析答案返回解后反思思想方法分類討論思想的應用解析答案返回解后反思思想方法分類討論思想的應用解析答案分析由于拋物線的開口有兩種可能性：向左或向右，其標準方程可以設為y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0).解設直線和拋物線相交于點A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)當拋物線開口向右時，消去y，得4x2－(2p－4)x＋1＝0.解后反思解析答案分析由于拋物線的開口有兩種可能性：向左或向右，其標解得p＝－2(負值舍去)或p＝6，故拋物線的標準方程為y2＝12x.(2)當拋物線開口向左時，設拋物線的標準方程為y2＝－2p1x(p1＞0)，同理可得p1＝2，此時所求拋物線的標準方程為y2＝－4x.綜上所述，拋物線的標準方程為y2＝－4x或y2＝12x.解后反思解得p＝－2(負值舍去)或p＝6，解后反思分類討論思想在解決拋物線問題時經常用到，如對拋物線的開口方向進行討論，對直線的斜率是否存在進行討論，對判別式Δ的取值范圍進行討論等.返回解后反思分類討論思想在解決拋物線問題時經常用到，如對拋物線的開口方向當堂檢測123451.以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與對稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點在坐標原點，則其方程為__________________.解析設拋物線y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，解析答案得|y|＝p，∴2|y|＝2p＝8，p＝4.∴拋物線方程為y2＝8x或y2＝－8x.y2＝8x或y2＝－8x當堂檢測123451.以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦123452.若拋物線y2＝x上一點P到準線的距離等于它到頂點的距離，則點P的坐標為____________.解析答案12