連續(xù)時間Fourier變換 課件

第4章連續(xù)時間Fourier變換第4章連續(xù)時間Fourier變換上一章，我們研究了如何把周期信號分解為指數(shù)信號的線形疊加，這樣對于我們的信號處理是非常方便的。同時，也看到這一表示是如何用來描述LTI系統(tǒng)對這些信號的作用效果的。那么，能否對非周期信號進行類似的處理？本章便是研究由周期信號推導到非周期信號的擴展。2而對于非周期信號，它們則是在頻率上無限小地靠近的。將會看到，相當廣泛的一類信號，其中包括全部有限能量的信號，也能夠經(jīng)由復指數(shù)信號的線性組合來表示。1對周期信號而言，這些復指數(shù)基本信號構造單元全是成諧波關系的；4.0引言上一章，我們研究了如何把周期信號分解為指數(shù)信號的線形因此，作為線性組合表示所取的形式是一個積分，而不是求和。

處理原則：一個非周期信號能夠看成是周期無限長的周期信號。在這種表示中所得到的系數(shù)譜稱為Fourier變換；而利用這些系數(shù)將信號表示為復指數(shù)信號線性組合的綜合積分本身則稱之為Fourier反變換。

更加確切些就是，在一個周期信號的Fourier級數(shù)表示中，當周期增加時，基波頻率就減少，成諧波關系的各分量在頻率上愈趨靠近。當周期變成無窮大時，這些頻率分量就形成一個連續(xù)域，從而Fourier級數(shù)的求和也就變成了一個積分。因此，作為線性組合表示所取的形式是一個積分，而不是求傅立葉的兩個最主要的貢獻——“周期信號都可表示為諧波關系的正弦信號的加權和”——傅里葉的第一個主要論點“非周期信號都可用正弦信號的加權積分表示”

——傅里葉的第二個主要論點傅立葉的兩個最主要的貢獻——4.1非周期信號的表示：連續(xù)時間傅立葉變換為了對Fourier變換表示的實質(zhì)求得更深入地了解，我們先由研究過的連續(xù)時間方波的Fourier級數(shù)表示入手。該信號的基波周期是T，基波頻率就為.該方波信號的Fourier級數(shù)為：4.1非周期信號的表示：連續(xù)時間傅立葉變換為了對Fo圖4.2周期方波的Fourier級數(shù)系數(shù)及其包絡，T1固定。T=8T1T=4T1T=16T1圖4.2周期方波的Fourier級數(shù)系數(shù)及其包絡，T1固定-T/2T/2T/2-T/2頻譜演變的定性觀察-T/2T/2T/2-T/2頻譜演變的定性觀察

-T0T….….對非周期信號建立Fourier表示的基本思想當周期信號的周期T趨于∞時,就演變成了非周期信號-T頻率也變成連續(xù)變量。對周期信號當周期信號的周期T趨于∞時,就演變成了非周期信號頻率也變成連續(xù)變量。對周期信號當周期信號的周期T趨于∞時,傅立葉變換傅立葉逆變換（4月14日）傅立葉傅立葉（4月14日）與之間的關系：

周期信號的頻譜是非周期信號頻譜的抽樣；而非周期信號的頻譜是周期信號頻譜的包絡。與之間的關系：周期信號的頻其中綜合公式4-8是由一個連續(xù)信號的頻域表達式X(jω)求得其時域表達式x(t)的公式，稱為傅立葉反變換式。分析公式4－9是由一個信號的時域表達式x(t)求得其頻域表達式X(jω)的公式，稱為傅立葉變換或傅立葉積分。由此得到非周期信號的傅立葉變換公式：當時：Fourier變換對其中綜合公式4-8是由一個連續(xù)信號的頻域表達式X(jω)這種一個信號的時域表達式x(t)和頻域表達式X(jω)之間通過傅立葉變換與反變換建立聯(lián)系x(t)←→X(jω)，稱之為一個傅立葉變換對.注意：1時域表達式x(t)是一個關于時間的函數(shù)，表達的是在不同時間點函數(shù)幅度值的不同，自變量為時間t；

2頻域表達式X(jω)表達的是把信號分解為不同頻率的指數(shù)信號的組合（只不過這些指數(shù)信號的頻率變化是連續(xù)的），這些不同頻率的指數(shù)信號在總信號中所占分量的大小,自變量為頻率ω。

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兩者都是同一信號的不同表達方式，而不是不同的信號。兩者之間的轉(zhuǎn)換（即傅立葉變換與反變換）也是同一信號的由時域表達式推導頻域表達式或由頻域表達式推導時域表達式的過程。這種一個信號的時域表達式x(t)和頻域表達式X(jω)之

(a)X(ω)是一個密度函數(shù)的概念(b)X(ω)是一個連續(xù)譜(c)X(ω)包含了從零到無限高 頻的所有頻率分量(d)各頻率分量的頻率不成諧波關系。注意：綜合公式(4.8)對非周期信號所起的作用與(3.38)式對周期信號的作用相同，因為兩者都相當于把一個信號表示為一組復指數(shù)信號的線性組合。(a)X(ω)是一個密度函數(shù)的概念注意：綜合如果某非周期信號的總能量（即時域絕對值平方積分)有限,即則該信號傅立葉變換收斂?；蛘撸瑫r滿足下列三個條件的信號傅立葉變換也收斂：1在整個定義域絕對可積:2任何有限區(qū)間只有有限個起伏;3任何有限區(qū)間只有有限個不連續(xù)點，且每個不連續(xù)點都是有限值。4.12Fourier變換的收斂如果某非周期信號的總能量（即時域絕對值平方積分)有限,即4盡管這兩組條件都給出了一個信號存在Fourier變換的充分條件，但是下一節(jié)將會看到，倘若在變換過程中可以使用沖激函數(shù)，那么，在一個無限區(qū)間內(nèi)，既不絕對可積，又不具備平方可積的周期信號也可以認為具有Fourier變換。這樣，就有可能把Fourier級數(shù)和Fourier變換納入到統(tǒng)一的框架內(nèi)。盡管這兩組條件都給出了一個信號存在Fourier變換的充4.1.3連續(xù)時間Fourier變換舉例4.1.3連續(xù)時間Fourier變換舉例一．矩形脈沖信號幅度頻譜：相位頻譜：一．矩形脈沖信號幅度頻譜：相位頻譜：頻譜圖幅度頻譜相位頻譜頻寬：頻譜圖幅度頻譜相位頻譜頻寬：二．單邊指數(shù)信號二．單邊指數(shù)信號頻譜圖幅度頻譜：相位頻譜：頻譜圖幅度頻譜：相位頻譜：三．直流信號不滿足絕對可積條件，不能直接用定義求三．直流信號不滿足絕對可積條件，不能直接用定義求時域無限寬，頻帶無限窄時域無限寬，頻帶無限窄證明wO證明wO四．符號函數(shù)處理方法：tea-tea-做一個雙邊函數(shù)不滿足絕對可積條件四．符號函數(shù)處理方法：tea-tea-做一個雙邊函數(shù)不滿足絕頻譜圖頻譜圖五．升余弦脈沖信號五．升余弦脈沖信號頻譜圖其頻譜比矩形脈沖更集中。頻譜圖其頻譜比矩形脈沖更集中。六．沖激函數(shù)沖激函數(shù)積分是有限值，可以用公式求。而u(t)不滿足絕對可積條件，不能用定義求。六．沖激函數(shù)沖激函數(shù)積分是有限值，可以用公式求。而u(t)不雖然在上一節(jié)我們的注意力主要是集中在非周期信號上，其實對于周期信號也能夠建立Fourier變換表示。這樣一來，就可以在統(tǒng)一框架內(nèi)考慮周期和非周期信號。事實上將會看到：4.2周期信號的傅立葉變換

1可以直接由周期信號的Fourier級數(shù)表示構造出一個周期信號的Fourier變換；2所得到的變換在頻域是由一串沖激所組成，各沖激的面積正比于Fourier系數(shù)。雖然在上一節(jié)我們的注意力主要是集中在非周期信號上，其實對顯然，周期信號是不滿足上面的收斂判斷式的，而且把周期信號x(t)代入傅立葉變換公式，得到的積分結(jié)果也是無窮大。那么如何求它的傅立葉變換？教材上通過傅立葉反變換來求的。由于周期信號的傅立葉變換應當正比于其傅立葉級數(shù)系數(shù)，且根據(jù)計算又是無窮大，我們猜測是一個沖激。因此通過求頻域沖激信號的傅立葉反變換。

顯然，周期信號是不滿足上面的收斂判斷式的，而且把周期信考慮一個信號x(t)，其Fourier變換X(jw)是一個面積為出現(xiàn)在處的單獨的一個沖激，即由(4.8)式的反變換公式得到：將上面結(jié)果再加以推廣，如果X(jw)是在頻率上等間隔的一組沖激函數(shù)的線性組合，即那么利用(4.8)式，可得：考慮一個信號x(t)，其Fourier變換X(jw)是一因此，一個Fourier級數(shù)系數(shù)為的周期信號的Fourier交換，可以看成是出現(xiàn)在成諧波關系的頻率上的一串沖激函數(shù)，發(fā)生于第k次諧波頻率上的沖激函數(shù)的面積是第k個Fourier級數(shù)系統(tǒng)的倍。因此，一個Fourier級數(shù)系數(shù)為的周期信號例4.6再次考慮圖4.1的方波信號，其Fourier級數(shù)系數(shù)為：因此，該信號的Fourier變換X(jw)是：例4.6再次考慮圖4.1的方波信號，其Fourier級數(shù)系不同的僅僅是比例因子以及用的是沖激函數(shù)而不是條線圖不同的僅僅是比例因子以及用的是沖激函數(shù)而不是條線圖4.3連續(xù)時間Fourier變換性質(zhì)本節(jié)主要介紹了連續(xù)時間傅立葉變換的性質(zhì)。這些性質(zhì)都可以由兩大公式本身的運算推導出來。熟練掌握不但有利于我們進行變換與反變換，更有利于我們運用傅立葉變換，解決以后的一些實際問題。4.3連續(xù)時間Fourier變換性質(zhì)本節(jié)主要介紹了連主要內(nèi)容對稱性質(zhì)

線性性質(zhì)奇偶虛實性

尺度變換性質(zhì)時移特性

頻移特性

微分性質(zhì)

時域積分性質(zhì)主要內(nèi)容對稱性質(zhì)線性性質(zhì)意義傅里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示了信號的時域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系。討論傅里葉變換的性質(zhì)，目的在于：了解特性的內(nèi)在聯(lián)系；利用性質(zhì)求X(ω)；了解在通信系統(tǒng)領域中的應用。意義傅里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示一．對稱性質(zhì)1．性質(zhì)2．意義一．對稱性質(zhì)1．性質(zhì)2．意義例3-7-1例3-7-2相移全通網(wǎng)絡例3-7-1例3-7-2相移全通網(wǎng)絡二．線性性質(zhì)1．性質(zhì)2．例3-7-3二．線性性質(zhì)1．性質(zhì)2．例3-7-3三．奇偶虛實性在“傅里葉變換的表示”中曾介紹過。由定義可以得到證明：三．奇偶虛實性在“傅里葉變換的表示”中曾介紹過。由定義可以得設f(t)是實函數(shù)（為虛函數(shù)或復函數(shù)情況相似，略）顯然設f(t)是實函數(shù)（為虛函數(shù)或復函數(shù)情況相似，略）顯然四．尺度變換性質(zhì)意義(1)

0<a<1時域擴展，頻帶壓縮。(2)a>1時域壓縮，頻域擴展a倍。四．尺度變換性質(zhì)意義(1)

0<a<1時域擴展，頻帶壓縮時移加尺度變換證明時移加尺度變換證明(1)

0<a<1時域擴展，頻帶壓縮。脈沖持續(xù)時間增加a倍，變化慢了，信號在頻域的頻帶壓縮a倍。高頻分量減少，幅度上升a倍。(1)

0<a<1時域擴展，頻帶壓縮。脈沖持續(xù)時間增加a持續(xù)時間短，變化快。信號在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量的幅度下降a倍。此例說明：信號的持續(xù)時間與信號占有頻帶成反比，有時為加速信號的傳遞，要將信號持續(xù)時間壓縮，則要以展開頻帶為代價。（2）a>1時域壓縮，頻域擴展a倍。持續(xù)時間短，變化快。信號在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量連續(xù)時間Fourier變換尺度變換性質(zhì)證明綜合上述兩種情況因為尺度變換性質(zhì)證明綜合上述兩種情況因為五．時移特性幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜，時移加尺度變換五．時移特性幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜，時移加尺度變換時移加尺度變換證明時移加尺度變換證明例3-7-4（時移性質(zhì)）求圖(a)所示三脈沖信號的頻譜。解：

例3-7-4（時移性質(zhì)）求圖(a)所示三脈沖信號的因為脈沖個數(shù)增多，頻譜包絡不變，帶寬不變。因為脈沖個數(shù)增多，頻譜例3-7-5方法一：先標度變換，再時延方法二：先時延再標度變換相同例3-7-5方法一：先標度變換，再時延方法二：先2．證明

1．性質(zhì)

六．頻移特性2．證明1．性質(zhì)六．頻移特性3．說明4．應用通信中調(diào)制與解調(diào)，頻分復用。3．說明4．應用通信中調(diào)制與解調(diào)，頻分復用。例3-7-6已知矩形調(diào)幅信號

解：因為例3-7-6已知矩形調(diào)幅信號解：因為頻譜圖頻譜圖七．微分性質(zhì)時域微分性質(zhì)頻域微分性質(zhì)或七．微分性質(zhì)時域微分性質(zhì)或1．時域微分注意1．時域微分注意注意如果f(t)中有確定的直流分量，應先取出單獨求傅里葉變換，余下部分再用微分性質(zhì)。注意如果f(t)中有確定的直流分量，應先取出單獨求時域微分性質(zhì)證明即時域微分性質(zhì)證明即求三角函數(shù)的頻譜密度函數(shù)．例3-7-7求三角函數(shù)的頻譜密度函數(shù)．例3-7-7分析X分析X第65

頁解X第65頁解X2．頻域微分性質(zhì)或推廣2．頻域微分性質(zhì)或推廣例3-7-8解：例3-7-8解：例3-7-9解：例3-7-9解：八．時域積分性質(zhì)也可以記作：八．時域積分性質(zhì)也可以記作：時域積分性質(zhì)證明變上限積分用帶時移的單位階躍的無限積分表示，成為交換積分順序，即先求時移的單位階躍信號的傅里葉變換時域積分性質(zhì)證明變上限積分用帶時移的單位階躍的無限連續(xù)時間Fourier變換九、帕斯瓦爾定理改變一下積分次序，有帕斯瓦爾定理表明了時域和頻域總能量的積分在數(shù)值上的關系。有時候可以用來解決一些問題。該式稱為帕斯瓦爾定理?，F(xiàn)證明如下:設x(t)和X(jw)是一對Fourier變換，則得:九、帕斯瓦爾定理改變一下積分次序，有帕斯瓦爾定理表明了4.4卷積性質(zhì)在第3章已經(jīng)知道，如果一個周期信號用一個Fourier級數(shù)來表示，也就是按(3.38)式：作為成諧波關系的復指數(shù)信號的線性組合來表示，那么，一個LTI系統(tǒng)對這個輸入的響應也能夠用一個Fourier級數(shù)來表示。因為復指數(shù)信號是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，所以輸出的Fourier級數(shù)系數(shù)是輸入的那些系數(shù)乘以對應諧波頻率上的系統(tǒng)頻率響應的值?，F(xiàn)將這一結(jié)論推廣到非周期信號去。4.4卷積性質(zhì)在第3章已經(jīng)知道，如果一個周期信號用一個Fo卷積定理時域卷積定理時域卷積對應頻域頻譜密度函數(shù)乘積。卷積定理揭示了時間域與頻率域的運算關系，在通信系統(tǒng)和信號處理研究領域中得到大量應用。例如：在頻繁選擇性濾波中，可以對限制相關頻率的過濾通過。卷積定理時域卷積定理時域卷積對應頻域頻譜密度函數(shù)乘積。卷積定H(jw)=0消除或衰減掉H(jw)=1通過H(jw)=0消除或衰減掉H(jw)=1通過4.4.1舉例例4.184.4.1舉例例4.18連續(xù)時間Fourier變換4.5相乘性質(zhì)頻域卷積定理卷積定理揭示了時間域與頻率域的運算關系，在通信系統(tǒng)和信號處理研究領域中得到大量應用。4.5相乘性質(zhì)頻域卷積定理卷積定理揭示了時間域與頻率域的運時域卷積定理的證明因此所以卷積定義交換積分次序時移性質(zhì)時域卷積定理的證明因此所以卷積交換積分次序時移一個信號去乘另外一個信號可以理解為用一個信號去調(diào)制,另一個信號的振幅，因此兩個信號相乘又稱幅度調(diào)制，故相乘性質(zhì)又稱調(diào)制性質(zhì)S(t)的變換P(t)=cosw0tr(t)=s(t)p(t)一個信號去乘另外一個信號可以理解為用一個信號去調(diào)制,另一個信設信號s(t)的頻譜S(jw)如圖4.23(a)所示，信號p(t)那么設信號s(t)的頻譜S(jw)如圖4.23(a)所示，信號4.5.1具有可變中心頻率的頻率選擇性濾波相乘性質(zhì)應用：（1）在通信系統(tǒng)中的幅度調(diào)制；（2）在中心頻率可調(diào)的頻率選擇性帶通濾波器的實現(xiàn)上，其中心頻率可以很簡單地用一個調(diào)諧旋鈕來調(diào)節(jié)。利用一個固定特性的頻率選擇濾波器，然后恰當?shù)匾苿有盘栴l譜的辦法來改變?yōu)V波器的中心頻率，其中就要用到正弦幅度調(diào)制的原理。4.5.1具有可變中心頻率的頻率選擇性濾波相乘性質(zhì)應用：（連續(xù)時間Fourier變換連續(xù)時間Fourier變換求系統(tǒng)的響應。將時域求響應，轉(zhuǎn)化為頻域求響應。二．應用用時域卷積定理求頻譜密度函數(shù)。求系統(tǒng)的響應。將時域求響應，轉(zhuǎn)化為頻域求響應。二．應用例3-8-1X例3-8-1X4.6傅立葉變換性質(zhì)和基本傅立葉變換對一覽表本節(jié)采用列表方式給出了連續(xù)時間傅立葉變換的一些基本特性，和一些常見的重要的信號的傅立葉變換對，應該牢記掌握4.6傅立葉變換性質(zhì)和基本傅立葉變換對一覽表本節(jié)4.7用線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)如第二章所說，線性常系數(shù)微分方程可以表征系統(tǒng)的特征。但從時域計算的方法要解出這個方程，或者要由輸入求輸出，輸出求輸入都是很麻煩的計算。但引入頻域的傅立葉變換后，大大簡化了我們的工作。4.7用線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)如第二章所說，*頻率響應的求法：1.用微分方程表征的系統(tǒng)*頻率響應的求法：1.用微分方程表征的系統(tǒng)例：由微分方程所描述的系統(tǒng)通過求頻率響應可直接求出其單位沖激響應。例：由微分方程所描述的系統(tǒng)通過求頻率響應可直接例4.24一穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)由下列微分方程所表征：利用公式：得：例4.24一穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)由下列微分方程所表征：利用公式：例4.25一穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)由下列微分方程所表征：利用公式：得：例4.25一穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)由下列微分方程所表征：利用公式：例4.26設例4.25系統(tǒng)的輸入為：于是得：例4.26設例4.25系統(tǒng)的輸入為：于是得：例：2.以方框圖表征的系統(tǒng)例：2.以方框圖表征的系統(tǒng)*級聯(lián)

*并聯(lián)H1(j)H2(j)H3(j)H1(j)H2(j)H3(j)3.互聯(lián)系統(tǒng)的H(jw)*級聯(lián)*并聯(lián)H1(j)H2(j)H3(4反饋聯(lián)結(jié)4反饋聯(lián)結(jié)本章小結(jié)本章完成的主要任務是，首先，在上一章周期信號“分解”成用指數(shù)信號線形疊加表示的基礎上，通過周期趨向無窮大的極端推導，得出非周期信號的分解——傅立葉變換。從而引入了信號的頻域表達式的概念。時域表達與頻域表達是同一信號的不同表達方式，因此可以通過傅立葉變換和傅立葉反變換來相互轉(zhuǎn)換。由于傅立葉變換具有的各個性質(zhì)，尤其是線性、微分性質(zhì)和卷積與相乘性質(zhì)，可以非常方便地處理一些在時域比較麻煩的問題，如線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)的問題。本章小結(jié)本章完成的主要任務是，首先，在上一章周期信號本章要求掌握以下知識點1傅立葉變換和頻域表達式的概念；2傅立葉變換和傅立葉反變換的公式；3傅立葉變換的收斂判定；4周期信號的傅立葉變換方法；5傅立葉變換九大性質(zhì)；6常用傅立葉變換對；運用常用傅立葉變換對和變換性質(zhì)解決變換與反變換的題目8用傅立葉變換解線性常系數(shù)微分方程；

本章要求掌握以下知識點1傅立葉變換和頻域表達式的概念；第4章連續(xù)時間Fourier變換第4章連續(xù)時間Fourier變換上一章，我們研究了如何把周期信號分解為指數(shù)信號的線形疊加，這樣對于我們的信號處理是非常方便的。同時，也看到這一表示是如何用來描述LTI系統(tǒng)對這些信號的作用效果的。那么，能否對非周期信號進行類似的處理？本章便是研究由周期信號推導到非周期信號的擴展。2而對于非周期信號，它們則是在頻率上無限小地靠近的。將會看到，相當廣泛的一類信號，其中包括全部有限能量的信號，也能夠經(jīng)由復指數(shù)信號的線性組合來表示。1對周期信號而言，這些復指數(shù)基本信號構造單元全是成諧波關系的；4.0引言上一章，我們研究了如何把周期信號分解為指數(shù)信號的線形因此，作為線性組合表示所取的形式是一個積分，而不是求和。

處理原則：一個非周期信號能夠看成是周期無限長的周期信號。在這種表示中所得到的系數(shù)譜稱為Fourier變換；而利用這些系數(shù)將信號表示為復指數(shù)信號線性組合的綜合積分本身則稱之為Fourier反變換。

更加確切些就是，在一個周期信號的Fourier級數(shù)表示中，當周期增加時，基波頻率就減少，成諧波關系的各分量在頻率上愈趨靠近。當周期變成無窮大時，這些頻率分量就形成一個連續(xù)域，從而Fourier級數(shù)的求和也就變成了一個積分。因此，作為線性組合表示所取的形式是一個積分，而不是求傅立葉的兩個最主要的貢獻——“周期信號都可表示為諧波關系的正弦信號的加權和”——傅里葉的第一個主要論點“非周期信號都可用正弦信號的加權積分表示”

——傅里葉的第二個主要論點傅立葉的兩個最主要的貢獻——4.1非周期信號的表示：連續(xù)時間傅立葉變換為了對Fourier變換表示的實質(zhì)求得更深入地了解，我們先由研究過的連續(xù)時間方波的Fourier級數(shù)表示入手。該信號的基波周期是T，基波頻率就為.該方波信號的Fourier級數(shù)為：4.1非周期信號的表示：連續(xù)時間傅立葉變換為了對Fo圖4.2周期方波的Fourier級數(shù)系數(shù)及其包絡，T1固定。T=8T1T=4T1T=16T1圖4.2周期方波的Fourier級數(shù)系數(shù)及其包絡，T1固定-T/2T/2T/2-T/2頻譜演變的定性觀察-T/2T/2T/2-T/2頻譜演變的定性觀察

-T0T….….對非周期信號建立Fourier表示的基本思想當周期信號的周期T趨于∞時,就演變成了非周期信號-T頻率也變成連續(xù)變量。對周期信號當周期信號的周期T趨于∞時,就演變成了非周期信號頻率也變成連續(xù)變量。對周期信號當周期信號的周期T趨于∞時,傅立葉變換傅立葉逆變換（4月14日）傅立葉傅立葉（4月14日）與之間的關系：

周期信號的頻譜是非周期信號頻譜的抽樣；而非周期信號的頻譜是周期信號頻譜的包絡。與之間的關系：周期信號的頻其中綜合公式4-8是由一個連續(xù)信號的頻域表達式X(jω)求得其時域表達式x(t)的公式，稱為傅立葉反變換式。分析公式4－9是由一個信號的時域表達式x(t)求得其頻域表達式X(jω)的公式，稱為傅立葉變換或傅立葉積分。由此得到非周期信號的傅立葉變換公式：當時：Fourier變換對其中綜合公式4-8是由一個連續(xù)信號的頻域表達式X(jω)這種一個信號的時域表達式x(t)和頻域表達式X(jω)之間通過傅立葉變換與反變換建立聯(lián)系x(t)←→X(jω)，稱之為一個傅立葉變換對.注意：1時域表達式x(t)是一個關于時間的函數(shù)，表達的是在不同時間點函數(shù)幅度值的不同，自變量為時間t；

2頻域表達式X(jω)表達的是把信號分解為不同頻率的指數(shù)信號的組合（只不過這些指數(shù)信號的頻率變化是連續(xù)的），這些不同頻率的指數(shù)信號在總信號中所占分量的大小,自變量為頻率ω。

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兩者都是同一信號的不同表達方式，而不是不同的信號。兩者之間的轉(zhuǎn)換（即傅立葉變換與反變換）也是同一信號的由時域表達式推導頻域表達式或由頻域表達式推導時域表達式的過程。這種一個信號的時域表達式x(t)和頻域表達式X(jω)之

(a)X(ω)是一個密度函數(shù)的概念(b)X(ω)是一個連續(xù)譜(c)X(ω)包含了從零到無限高 頻的所有頻率分量(d)各頻率分量的頻率不成諧波關系。注意：綜合公式(4.8)對非周期信號所起的作用與(3.38)式對周期信號的作用相同，因為兩者都相當于把一個信號表示為一組復指數(shù)信號的線性組合。(a)X(ω)是一個密度函數(shù)的概念注意：綜合如果某非周期信號的總能量（即時域絕對值平方積分)有限,即則該信號傅立葉變換收斂?；蛘?，同時滿足下列三個條件的信號傅立葉變換也收斂：1在整個定義域絕對可積:2任何有限區(qū)間只有有限個起伏;3任何有限區(qū)間只有有限個不連續(xù)點，且每個不連續(xù)點都是有限值。4.12Fourier變換的收斂如果某非周期信號的總能量（即時域絕對值平方積分)有限,即4盡管這兩組條件都給出了一個信號存在Fourier變換的充分條件，但是下一節(jié)將會看到，倘若在變換過程中可以使用沖激函數(shù)，那么，在一個無限區(qū)間內(nèi)，既不絕對可積，又不具備平方可積的周期信號也可以認為具有Fourier變換。這樣，就有可能把Fourier級數(shù)和Fourier變換納入到統(tǒng)一的框架內(nèi)。盡管這兩組條件都給出了一個信號存在Fourier變換的充4.1.3連續(xù)時間Fourier變換舉例4.1.3連續(xù)時間Fourier變換舉例一．矩形脈沖信號幅度頻譜：相位頻譜：一．矩形脈沖信號幅度頻譜：相位頻譜：頻譜圖幅度頻譜相位頻譜頻寬：頻譜圖幅度頻譜相位頻譜頻寬：二．單邊指數(shù)信號二．單邊指數(shù)信號頻譜圖幅度頻譜：相位頻譜：頻譜圖幅度頻譜：相位頻譜：三．直流信號不滿足絕對可積條件，不能直接用定義求三．直流信號不滿足絕對可積條件，不能直接用定義求時域無限寬，頻帶無限窄時域無限寬，頻帶無限窄證明wO證明wO四．符號函數(shù)處理方法：tea-tea-做一個雙邊函數(shù)不滿足絕對可積條件四．符號函數(shù)處理方法：tea-tea-做一個雙邊函數(shù)不滿足絕頻譜圖頻譜圖五．升余弦脈沖信號五．升余弦脈沖信號頻譜圖其頻譜比矩形脈沖更集中。頻譜圖其頻譜比矩形脈沖更集中。六．沖激函數(shù)沖激函數(shù)積分是有限值，可以用公式求。而u(t)不滿足絕對可積條件，不能用定義求。六．沖激函數(shù)沖激函數(shù)積分是有限值，可以用公式求。而u(t)不雖然在上一節(jié)我們的注意力主要是集中在非周期信號上，其實對于周期信號也能夠建立Fourier變換表示。這樣一來，就可以在統(tǒng)一框架內(nèi)考慮周期和非周期信號。事實上將會看到：4.2周期信號的傅立葉變換

1可以直接由周期信號的Fourier級數(shù)表示構造出一個周期信號的Fourier變換；2所得到的變換在頻域是由一串沖激所組成，各沖激的面積正比于Fourier系數(shù)。雖然在上一節(jié)我們的注意力主要是集中在非周期信號上，其實對顯然，周期信號是不滿足上面的收斂判斷式的，而且把周期信號x(t)代入傅立葉變換公式，得到的積分結(jié)果也是無窮大。那么如何求它的傅立葉變換？教材上通過傅立葉反變換來求的。由于周期信號的傅立葉變換應當正比于其傅立葉級數(shù)系數(shù)，且根據(jù)計算又是無窮大，我們猜測是一個沖激。因此通過求頻域沖激信號的傅立葉反變換。

顯然，周期信號是不滿足上面的收斂判斷式的，而且把周期信考慮一個信號x(t)，其Fourier變換X(jw)是一個面積為出現(xiàn)在處的單獨的一個沖激，即由(4.8)式的反變換公式得到：將上面結(jié)果再加以推廣，如果X(jw)是在頻率上等間隔的一組沖激函數(shù)的線性組合，即那么利用(4.8)式，可得：考慮一個信號x(t)，其Fourier變換X(jw)是一因此，一個Fourier級數(shù)系數(shù)為的周期信號的Fourier交換，可以看成是出現(xiàn)在成諧波關系的頻率上的一串沖激函數(shù)，發(fā)生于第k次諧波頻率上的沖激函數(shù)的面積是第k個Fourier級數(shù)系統(tǒng)的倍。因此，一個Fourier級數(shù)系數(shù)為的周期信號例4.6再次考慮圖4.1的方波信號，其Fourier級數(shù)系數(shù)為：因此，該信號的Fourier變換X(jw)是：例4.6再次考慮圖4.1的方波信號，其Fourier級數(shù)系不同的僅僅是比例因子以及用的是沖激函數(shù)而不是條線圖不同的僅僅是比例因子以及用的是沖激函數(shù)而不是條線圖4.3連續(xù)時間Fourier變換性質(zhì)本節(jié)主要介紹了連續(xù)時間傅立葉變換的性質(zhì)。這些性質(zhì)都可以由兩大公式本身的運算推導出來。熟練掌握不但有利于我們進行變換與反變換，更有利于我們運用傅立葉變換，解決以后的一些實際問題。4.3連續(xù)時間Fourier變換性質(zhì)本節(jié)主要介紹了連主要內(nèi)容對稱性質(zhì)

線性性質(zhì)奇偶虛實性

尺度變換性質(zhì)時移特性

頻移特性

微分性質(zhì)

時域積分性質(zhì)主要內(nèi)容對稱性質(zhì)線性性質(zhì)意義傅里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示了信號的時域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系。討論傅里葉變換的性質(zhì)，目的在于：了解特性的內(nèi)在聯(lián)系；利用性質(zhì)求X(ω)；了解在通信系統(tǒng)領域中的應用。意義傅里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示一．對稱性質(zhì)1．性質(zhì)2．意義一．對稱性質(zhì)1．性質(zhì)2．意義例3-7-1例3-7-2相移全通網(wǎng)絡例3-7-1例3-7-2相移全通網(wǎng)絡二．線性性質(zhì)1．性質(zhì)2．例3-7-3二．線性性質(zhì)1．性質(zhì)2．例3-7-3三．奇偶虛實性在“傅里葉變換的表示”中曾介紹過。由定義可以得到證明：三．奇偶虛實性在“傅里葉變換的表示”中曾介紹過。由定義可以得設f(t)是實函數(shù)（為虛函數(shù)或復函數(shù)情況相似，略）顯然設f(t)是實函數(shù)（為虛函數(shù)或復函數(shù)情況相似，略）顯然四．尺度變換性質(zhì)意義(1)

0<a<1時域擴展，頻帶壓縮。(2)a>1時域壓縮，頻域擴展a倍。四．尺度變換性質(zhì)意義(1)

0<a<1時域擴展，頻帶壓縮時移加尺度變換證明時移加尺度變換證明(1)

0<a<1時域擴展，頻帶壓縮。脈沖持續(xù)時間增加a倍，變化慢了，信號在頻域的頻帶壓縮a倍。高頻分量減少，幅度上升a倍。(1)

0<a<1時域擴展，頻帶壓縮。脈沖持續(xù)時間增加a持續(xù)時間短，變化快。信號在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量的幅度下降a倍。此例說明：信號的持續(xù)時間與信號占有頻帶成反比，有時為加速信號的傳遞，要將信號持續(xù)時間壓縮，則要以展開頻帶為代價。（2）a>1時域壓縮，頻域擴展a倍。持續(xù)時間短，變化快。信號在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量連續(xù)時間Fourier變換尺度變換性質(zhì)證明綜合上述兩種情況因為尺度變換性質(zhì)證明綜合上述兩種情況因為五．時移特性幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜，時移加尺度變換五．時移特性幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜，時移加尺度變換時移加尺度變換證明時移加尺度變換證明例3-7-4（時移性質(zhì)）求圖(a)所示三脈沖信號的頻譜。解：

例3-7-4（時移性質(zhì)）求圖(a)所示三脈沖信號的因為脈沖個數(shù)增多，頻譜包絡不變，帶寬不變。因為脈沖個數(shù)增多，頻譜例3-7-5方法一：先標度變換，再時延方法二：先時延再標度變換相同例3-7-5方法一：先標度變換，再時延方法二：先2．證明

1．性質(zhì)

六．頻移特性2．證明1．性質(zhì)六．頻移特性3．說明4．應用通信中調(diào)制與解調(diào)，頻分復用。3．說明4．應用通信中調(diào)制與解調(diào)，頻分復用。例3-7-6已知矩形調(diào)幅信號

解：因為例3-7-6已知矩形調(diào)幅信號解：因為頻譜圖頻譜圖七．微分性質(zhì)時域微分性質(zhì)頻域微分性質(zhì)或七．微分性質(zhì)時域微分性質(zhì)或1．時域微分注意1．時域微分注意注意如果f(t)中有確定的直流分量，應先取出單獨求傅里葉變換，余下部分再用微分性質(zhì)。注意如果f(t)中有確定的直流分量，應先取出單獨求時域微分性質(zhì)證明即時域微分性質(zhì)證明即求三角函數(shù)的頻譜密度函數(shù)．例3-7-7求三角函數(shù)的頻譜密度函數(shù)．例3-7-7分析X分析X第163

頁解X第65頁解X2．頻域微分性質(zhì)或推廣2．頻域微分性質(zhì)或推廣例3-7-8解：例3-7-8解：例3-7-9解：例3-7-9解：八．時域積分性質(zhì)也可以記作：八．時域積分性質(zhì)也可以記作：時域積分性質(zhì)證明變上限積分用帶時移的單位階躍的無限積分表示，成為交換積分順序，即先求時移的單位階躍信號的傅里葉變換時域積分性質(zhì)證明變上限積分用帶時移的單位階躍的無限連續(xù)時間Fourier變換九、帕斯瓦爾定理改變一下積分次序，有帕斯瓦爾定理表明了時域和頻域總能量的積分在數(shù)值上的關系。有時候可以用來解決一些問題。該式稱為帕斯瓦爾定理?，F(xiàn)證明如下:設x(t)和X(jw)是一對Fourier變換，則得:九、帕斯瓦爾定理改變一下積分次序，有帕斯瓦爾定理表明了4.4卷積性質(zhì)在第3章已經(jīng)知道，如果一個周期信號用一個Fourier級數(shù)來表示，也就是按(3.38)式：作為成諧波關系的復指數(shù)信號的線性組合來表示，那么，一個LTI系統(tǒng)對這個輸入的響應也能夠用一個Fourier級數(shù)來表示。因為復指數(shù)信號是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，所以輸出的Fourier級數(shù)系數(shù)是輸入的那些系數(shù)乘以對應諧波頻率上的系統(tǒng)頻率響應的值?，F(xiàn)將這一結(jié)論推廣到非周期信號去。4.4卷積性質(zhì)在第3章已經(jīng)知道，如果一個周期信號用一個Fo卷積定理時域卷積定理時域卷積對應頻域頻譜密度函數(shù)乘積。卷積定理揭示了時間域與頻率域的運算關系，在通信系統(tǒng)和信號處理研究領域中得到大量應用。例如：在頻繁選擇性濾波中，可以對限制相關頻率的過濾通過。卷積定理時域卷積定理時域卷積對應頻域頻譜密度函數(shù)乘積。卷積定H(jw)=0消除或衰減掉H(jw)=1通過H(jw)=0消除或衰減掉H(jw)=1通過4.4.1舉例例4.184.4.1舉例例4.18連續(xù)時間Fourier變換4.5相乘性質(zhì)頻域卷積定理卷積定理揭示了時間域與頻率域的運算關系，在通信系統(tǒng)和信號處理研究領域中得到大量應用。4.5相乘性質(zhì)頻域卷積定理卷積定理揭示了時間域與頻率域的運時域卷積定理的證明因此所以卷積定義交換積分次序時移性質(zhì)時域卷積定理的證明因此所以卷積交換積分次序時移一個信號去乘另外一個信號可以理解為用一個信號去調(diào)制,另一個信號的振幅，因此兩個信號相乘又稱幅度調(diào)制，