金融工程第章遠(yuǎn)期與期貨定價(jià)

第三章遠(yuǎn)期與期貨定價(jià)遠(yuǎn)期價(jià)值、遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格2交割價(jià)格遠(yuǎn)期價(jià)值：遠(yuǎn)期合約本身的價(jià)值遠(yuǎn)期價(jià)格：理論上的交割價(jià)格期貨價(jià)格第一節(jié)遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格的關(guān)系當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)利率恒定且對所有到期日都相同時(shí)，交割日相同的遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格應(yīng)相等。當(dāng)利率變化無法預(yù)測時(shí)當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率呈正相關(guān)時(shí)，期貨價(jià)格高于遠(yuǎn)期價(jià)格當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率呈負(fù)相關(guān)時(shí)，遠(yuǎn)期價(jià)格就會高于期貨價(jià)格基本假設(shè)31.沒有交易費(fèi)用和稅收。2．市場參與者能以相同的無風(fēng)險(xiǎn)利率借入和貸出資金。3．遠(yuǎn)期合約沒有違約風(fēng)險(xiǎn)。4．允許現(xiàn)貨賣空。5．當(dāng)套利機(jī)會出現(xiàn)時(shí)，市場參與者將參與套利活動，從而使套利機(jī)會消失，我們得到的理論價(jià)格就是在沒有套利機(jī)會下的均衡價(jià)格。6．期貨合約的保證金賬戶支付同樣的無風(fēng)險(xiǎn)利率。這意味著任何人均可不花成本地取得遠(yuǎn)期和期貨的多頭和空頭地位。主要符號4T：遠(yuǎn)期和期貨合約的到期時(shí)間，單位為年。t：現(xiàn)在的時(shí)間，單位為年。變量T和t是從合約生效之前的某個(gè)日期開始計(jì)算的，T-t代表遠(yuǎn)期和期貨合約中以年為單位的距離到期時(shí)間的剩余時(shí)間。S：遠(yuǎn)期（期貨）標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)間t時(shí)的價(jià)格。ST：遠(yuǎn)期（期貨）標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)間T時(shí)的價(jià)格（在t時(shí)刻這個(gè)值是個(gè)未知變量）。K：遠(yuǎn)期合約中的交割價(jià)格。f：遠(yuǎn)期合約多頭在t時(shí)刻的價(jià)值，即t時(shí)刻的遠(yuǎn)期價(jià)值。F：t時(shí)刻的遠(yuǎn)期合約和期貨合約中的理論遠(yuǎn)期價(jià)格和理論期貨價(jià)格，在本書中如無特別注明，我們分別簡稱為遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格。r：T時(shí)刻到期的以連續(xù)復(fù)利計(jì)算的t時(shí)刻的無風(fēng)險(xiǎn)利率（年利率），在本書中，如無特別說明，利率均為連續(xù)復(fù)利的年利率。

構(gòu)建兩種投資組合，令其終值相等，則其現(xiàn)值一定相等；否則就可進(jìn)行套利，即賣出現(xiàn)值較高的投資組合，買入現(xiàn)值較低的投資組合，并持有到期末，套利者就可賺取無風(fēng)險(xiǎn)收益。5第二節(jié)無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)無套利定價(jià)法無收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)值6無收益資產(chǎn)是指在到期日前不產(chǎn)生現(xiàn)金流的資產(chǎn)，如貼現(xiàn)債券。構(gòu)建組合：組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為 的現(xiàn)金（無風(fēng)險(xiǎn)投資）組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)。遠(yuǎn)期合約到期時(shí)，兩種組合都等于一單位標(biāo)的資產(chǎn)，因此現(xiàn)值必須相等。 f+=Sf=S－兩種理解：無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值等于標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格與交割價(jià)格現(xiàn)值的差額。一單位無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭可由一單位標(biāo)的資產(chǎn)多頭和無風(fēng)險(xiǎn)負(fù)債組成。現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)定理7

遠(yuǎn)期價(jià)格：（F）就是使合約價(jià)值（f）為零的交割價(jià)格（K）F=無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)定理：對于無收益資產(chǎn)而言，遠(yuǎn)期價(jià)格等于其標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格的終值。反證法7運(yùn)用無套利原理對無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)定理的反證F>？F<？例3.1設(shè)一份標(biāo)的證券為一年期貼現(xiàn)債券、剩余期限為6個(gè)月的遠(yuǎn)期合約多頭，其交割價(jià)格為$950，6個(gè)月期的無風(fēng)險(xiǎn)年利率（連續(xù)復(fù)利）為6%，該債券的現(xiàn)價(jià)為$930。則我們可以算出該遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值為多少例3.2假設(shè)一年期的貼現(xiàn)債券價(jià)格為$960，3個(gè)月期無風(fēng)險(xiǎn)年利率為5%，則3個(gè)月期的該債券遠(yuǎn)期合約的交割價(jià)格應(yīng)為多少?遠(yuǎn)期價(jià)格的期限結(jié)構(gòu)10遠(yuǎn)期價(jià)格的期限結(jié)構(gòu)描述的是不同期限遠(yuǎn)期價(jià)格之間的關(guān)系。 F=當(dāng)即即期期利利率率和和遠(yuǎn)遠(yuǎn)期期利利率率所所用用的的利利率率均均為為連連續(xù)續(xù)復(fù)復(fù)利利時(shí)時(shí)，，即即期期利利率率和和遠(yuǎn)遠(yuǎn)期期利利率率的的關(guān)關(guān)系系可可表表示示為為：：例3.3假設(shè)設(shè)某某種種不不付付紅紅利利股股票票6個(gè)個(gè)月月遠(yuǎn)遠(yuǎn)期期的的價(jià)價(jià)格格為為20元元，，目目前前市市場場上上6個(gè)個(gè)月月至至1年年的的遠(yuǎn)遠(yuǎn)期期利利率率為為8％％，，求求該該股股票票1年年期期的的遠(yuǎn)遠(yuǎn)期期價(jià)價(jià)格格。。已知知現(xiàn)現(xiàn)金金收收益益的的資資產(chǎn)產(chǎn)13支付付已已知知現(xiàn)現(xiàn)金金收收益益的的資資產(chǎn)產(chǎn)在到到期期前前會會產(chǎn)產(chǎn)生生完完全全可可預(yù)預(yù)測測的的現(xiàn)現(xiàn)金金流流的的資資產(chǎn)產(chǎn)例子子：：附附息息債債券券和和支支付付已已知知現(xiàn)現(xiàn)金金紅紅利利的的股股票票。。負(fù)現(xiàn)現(xiàn)金金收收益益的的資資產(chǎn)產(chǎn)：：黃金金、、白白銀銀等等貴貴金金屬屬本本身身不不產(chǎn)產(chǎn)生生收收益益，，但但需需要要花花費(fèi)費(fèi)一一定定的的存存儲儲成成本本，，存存儲儲成成本本可可看看成成是是負(fù)負(fù)收收益益。。我我們們令令已已知知現(xiàn)現(xiàn)金金收收益益的的現(xiàn)現(xiàn)值值為為I，，對對黃黃、、白白銀銀來來說說，，I為為負(fù)負(fù)值值。。第三三節(jié)節(jié)已已知知現(xiàn)現(xiàn)金金收收益益資資產(chǎn)產(chǎn)的的遠(yuǎn)遠(yuǎn)期期合合約約定定價(jià)價(jià)支付付已已知知現(xiàn)現(xiàn)金金收收益益資資產(chǎn)產(chǎn)的的遠(yuǎn)遠(yuǎn)期期價(jià)價(jià)值值14構(gòu)建建組組合合：：組合合A：：一一份份遠(yuǎn)遠(yuǎn)期期合合約約多多頭頭加加上上一一筆筆數(shù)數(shù)額額為為Ke-r（（T－－t））的的現(xiàn)現(xiàn)金金;組合合B：：一一單單位位標(biāo)標(biāo)的的證證券券加加上上利利率率為為無無風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利利率率、、期期限限為為從從現(xiàn)現(xiàn)在在到到現(xiàn)現(xiàn)金金收收益益派派發(fā)發(fā)日日、、本本金金為為I的的負(fù)負(fù)債債。。遠(yuǎn)期期合合約約到到期期時(shí)時(shí)，，兩兩種種組組合合都都等等于于一一單單位位標(biāo)標(biāo)的的資資產(chǎn)產(chǎn)：：f+=S-If=S-I-兩種種理理解解：：支付付已已知知現(xiàn)現(xiàn)金金收收益益資資產(chǎn)產(chǎn)的的遠(yuǎn)遠(yuǎn)期期合合約約多多頭頭價(jià)價(jià)值值等等于于標(biāo)標(biāo)的的證證券券現(xiàn)現(xiàn)貨貨價(jià)價(jià)格格扣扣除除現(xiàn)現(xiàn)金金收收益益現(xiàn)現(xiàn)值值后后的的余余額額與與交交割割價(jià)價(jià)格格現(xiàn)現(xiàn)值值之之差差。。一單位支付付已知現(xiàn)金金收益資產(chǎn)產(chǎn)的遠(yuǎn)期合合約多頭可可由一單位位標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)和I+單單位位無風(fēng)險(xiǎn)負(fù)負(fù)債構(gòu)成。。由于使用的的是I的現(xiàn)現(xiàn)值，所以以支付一次次和多次現(xiàn)現(xiàn)金收益的的處理方法法相同。支付已知現(xiàn)現(xiàn)金收益資資產(chǎn)的現(xiàn)貨貨－遠(yuǎn)期平平價(jià)公式15支付已知現(xiàn)現(xiàn)金收益資資產(chǎn)的現(xiàn)貨貨-遠(yuǎn)期平平價(jià)公式。。根據(jù)F的定定義，我們們可從上式式求得：F=(S-I)公式的理解解：支付已已知現(xiàn)金收收益資產(chǎn)的的遠(yuǎn)期價(jià)格格等于標(biāo)的的證券現(xiàn)貨貨價(jià)格與已已知現(xiàn)金收收益現(xiàn)值差差額的終值值。反證法F>(S-I)F<(S-I)例3.4假設(shè)6個(gè)個(gè)月期和12個(gè)月月期的無風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)年利率率分別為9%和10%，而一一種十年期期債券現(xiàn)貨貨價(jià)格為990元元，該證券券一年期遠(yuǎn)遠(yuǎn)期合約的的交割價(jià)格格為1001元，，該債券在在6個(gè)月月和12個(gè)個(gè)月后都都將收到$60的的利息，且且第二次付付息日在遠(yuǎn)遠(yuǎn)期合約交交割日之前前，求該合合約的價(jià)值值。例3.51718支付已知收收益率的資資產(chǎn)在到期前將將產(chǎn)生與該該資產(chǎn)現(xiàn)貨貨價(jià)格成一一定比率的的收益的資資產(chǎn)支付已知收收益率資產(chǎn)產(chǎn)的遠(yuǎn)期合合約外匯遠(yuǎn)期和和期貨：外外匯發(fā)行國國的無風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利率股指期貨：：市場整體體水平的紅紅利率基本本可預(yù)測遠(yuǎn)期利率協(xié)協(xié)議：本國國的無風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利率遠(yuǎn)期外匯綜綜合協(xié)議：：外匯發(fā)行行國的無風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)利率第四節(jié)支付已知現(xiàn)現(xiàn)金收益率率資產(chǎn)的遠(yuǎn)遠(yuǎn)期合約定定價(jià)支付已知收收益率資產(chǎn)產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)價(jià)值19建立組合：：組合A：一一份遠(yuǎn)期合合約多頭加加上一筆數(shù)數(shù)額為Ke-r（T－t）的的現(xiàn)金；組合B：單單位位證券并且且所有收入入都再投資資于該證券券，其中q為該資產(chǎn)產(chǎn)按連續(xù)復(fù)復(fù)利計(jì)算的的已知收益益率。兩種理解：：支付已知紅紅利率資產(chǎn)產(chǎn)的遠(yuǎn)期合合約多頭價(jià)價(jià)值等于單單位證券的的現(xiàn)值與交交割價(jià)現(xiàn)值值之差。一單位支付付已知紅利利率資產(chǎn)的的遠(yuǎn)期合約約多頭可由由單單位標(biāo)標(biāo)的資產(chǎn)和和單單位無風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)負(fù)債構(gòu)構(gòu)成。例3.620例3.7A股票現(xiàn)現(xiàn)在的市場場價(jià)格是25美元元，年平均均紅利率為為4％，無無風(fēng)險(xiǎn)利率率為10％％，若該股股票6個(gè)個(gè)月的遠(yuǎn)期期合約的交交割價(jià)格為為27美美元，求該該遠(yuǎn)期合約約的價(jià)值及及遠(yuǎn)期價(jià)格格。第五節(jié)外外匯匯遠(yuǎn)期期貨貨定價(jià)為一單位外外幣的美元元價(jià)格為一單位外外幣的遠(yuǎn)期期或期貨價(jià)價(jià)格為期限為T的外幣的的無風(fēng)險(xiǎn)利利率為對應(yīng)于同同樣期限的的美元無風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)利率則：例3.8假定澳元與與美元的2年期的無風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利率分別別為5%及及7%，且且澳元及美美元的匯率率為0.62（即1澳元所對對應(yīng)的美元元數(shù)量）請計(jì)算一下下2年期的的期貨合約約匯率假定2年期期的期貨合合約匯率為為0.63，請問一一個(gè)套利者者將如何交交易假定2年期期的期貨合合約匯率為為0.6600，請請問一個(gè)套套利者將如如何交易24持有成本持有成本＝＝保存成本本＋利息成成本－標(biāo)的的資產(chǎn)在合合約期限內(nèi)內(nèi)提供的收收益具體例子：：不支付紅利利的股票，，沒有保存存成本和收收益，所以以持有成本本就是利息息成本r股票指數(shù)的的持有成本本是r－－q外幣的持有有成本是r－。。遠(yuǎn)期和期貨貨定價(jià)中的的持有成本本（c）概概念：第六節(jié)遠(yuǎn)期期與期貨價(jià)價(jià)格的一般般結(jié)論非完全市場場上的定價(jià)價(jià)公式25存在交易成成本：假定每一筆筆交易的費(fèi)費(fèi)率為Y，，那么不存存在套利機(jī)機(jī)會的遠(yuǎn)期期價(jià)格就不不再是確定定的值，而而是一個(gè)區(qū)區(qū)間：借貸存在利利差如果用表表示借借入利率，，用表表示借出出利率，對對非銀行的的機(jī)構(gòu)和個(gè)個(gè)人，一般般是。。這這時(shí)遠(yuǎn)期和和期貨的價(jià)價(jià)格區(qū)間為為：存在賣空限限制因?yàn)橘u空會會給經(jīng)紀(jì)人人帶來很大大風(fēng)險(xiǎn)，所所以幾乎所所有的經(jīng)紀(jì)紀(jì)人都扣留留賣空客戶戶的部分所所得作為保保證金。假假設(shè)這一比比例為X，，那么均衡衡的遠(yuǎn)期和和期貨價(jià)格格區(qū)間應(yīng)該該是：26如果上述三三種情況同同時(shí)存在，，遠(yuǎn)期和期期貨價(jià)格區(qū)區(qū)間應(yīng)該是是：完全市場可可以看成是是的特殊情況況。消費(fèi)性資產(chǎn)產(chǎn)的遠(yuǎn)期合合約定價(jià)消費(fèi)性資產(chǎn)產(chǎn)則是指那那些投資者者主要出于于消費(fèi)目的的而持有的的資產(chǎn)，如如石油、銅銅、農(nóng)產(chǎn)品品等。對于于消費(fèi)性資資產(chǎn)來說，，遠(yuǎn)期定價(jià)價(jià)公式不再適用，，而是轉(zhuǎn)化化為27同一時(shí)刻的的兩者價(jià)格格高低取決決于持有成成本在遠(yuǎn)期（期期貨）到期期日，遠(yuǎn)期期（期貨））價(jià)格將收收斂于標(biāo)的的資產(chǎn)的現(xiàn)現(xiàn)貨價(jià)格標(biāo)的資產(chǎn)的的現(xiàn)貨價(jià)格格對同一時(shí)時(shí)刻的遠(yuǎn)期期（期貨））價(jià)格起著著重要的制制約關(guān)系價(jià)格的領(lǐng)先先滯后關(guān)系系第七節(jié)遠(yuǎn)遠(yuǎn)期（期貨貨）價(jià)格與與標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格格的關(guān)系當(dāng)前遠(yuǎn)期（（期貨）價(jià)價(jià)格與標(biāo)的的資產(chǎn)預(yù)期期的未來現(xiàn)現(xiàn)貨價(jià)格的的關(guān)系**在一個(gè)無套套利的有效效市場中，，標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)和其冗余余證券期貨貨之間具有有一體化性性質(zhì)，現(xiàn)貨貨相對于期期貨的預(yù)期期收益率總總是正好等等于標(biāo)的資資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)溢酬。**轉(zhuǎn)移風(fēng)險(xiǎn)和和管理風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)的確是期期貨市場的的最本質(zhì)功功能。28練習(xí)1.每季度計(jì)一一次復(fù)利的的年利率為為14%，請計(jì)算算與之等價(jià)價(jià)的每年計(jì)計(jì)一次復(fù)利利的年利率率和連續(xù)復(fù)復(fù)利年利率率。2.假設(shè)連續(xù)復(fù)復(fù)利的零息息票利率分分別為：期限（月））年利率率38.068.298.4128.5158.6188.7請計(jì)算第2、3、4、5、6季度的連續(xù)續(xù)復(fù)利遠(yuǎn)期期利率。3.假設(shè)一種無無紅利支付付的股票目目前的市價(jià)價(jià)為20元，無無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)續(xù)復(fù)利年利利率為10%，求該股票票3個(gè)月期遠(yuǎn)期