02數(shù)值運(yùn)算和符號(hào)運(yùn)算解析

數(shù)學(xué)建模Matlab數(shù)值運(yùn)算和符號(hào)運(yùn)算Matlab數(shù)值運(yùn)算數(shù)與算術(shù)表達(dá)式Matlab數(shù)值運(yùn)算

Matlab

中的數(shù)默認(rèn)是雙精度實(shí)數(shù)，表示方法同

C語(yǔ)言3,-9,0.4,1.603e-12,3.23e+20

復(fù)數(shù)的輸入

z=3+4i

(4與i之間不能有空格)

z=3+4*i復(fù)數(shù)作為矩陣元素輸入時(shí)，加號(hào)兩邊不能有空格!向量與矩陣的生成向量與矩陣運(yùn)算

向量的生成

直接輸入:a=[1,2,3,4]

冒號(hào)運(yùn)算符a=[1:4]

==>a=[1,2,3,4]b=[0:pi/3:pi]

==>

b=[0,1.0472,2.0944,3.1416]c=[6:-2:0]

==>

c=[6,4,2,0]例：

從矩陣中抽取行或列數(shù)學(xué)運(yùn)算符

+

加法Matlab數(shù)值運(yùn)算

-

減法

*

乘法

\和

/

除法（左除和右除）

^

冪運(yùn)算向量與矩陣的生成（續(xù)）向量與矩陣運(yùn)算

矩陣的生成干脆輸入:A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]

由向量生成

由函數(shù)生成

通過(guò)編寫(xiě)m文件生成例：>>

x=[1,2,3];y=[2,3,4];>>

A=[x,y],B=[x;y]常見(jiàn)矩陣生成函數(shù)zeros(m,n)生成一個(gè)m

行n

列的零矩陣，m=n

時(shí)可簡(jiǎn)寫(xiě)為zeros(n)ones(m,n)生成一個(gè)m行n列的元素全為1的矩陣,

m=n

時(shí)可寫(xiě)為ones(n)eye(m,n)生成一個(gè)主對(duì)角線全為1的m

行n

列矩陣,

m=n

時(shí)可簡(jiǎn)寫(xiě)為eye(n)，即為n

維單位矩陣diag(X)若X是矩陣，則diag(X)為X的主對(duì)角線向量若X是向量，diag(X)產(chǎn)生以X為主對(duì)角線的對(duì)角矩陣tril(A)提取一個(gè)矩陣的下三角部分triu(A)提取一個(gè)矩陣的上三角部分rand(m,n)產(chǎn)生0～1間均勻分布的隨機(jī)矩陣m=n

時(shí)簡(jiǎn)寫(xiě)為rand(n)randn(m,n)產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣

m=n

時(shí)簡(jiǎn)寫(xiě)為randn(n)矩陣操作提取矩陣的部分元素：冒號(hào)運(yùn)算符

A(:)A的所有元素

A(:,:)

二維矩陣A的所有元素

A(:,k)A的第k列，A(k,:)A的第k行

A(k:m)A的第k到第m個(gè)元素

A(:,k:m)A的第k到第m列組成的子矩陣A(:)與A(:,:)的區(qū)別?如何獲得由A的第一、三行和第一、二列組成的子矩陣？自己動(dòng)手矩陣操作矩陣的轉(zhuǎn)置與共軛轉(zhuǎn)置

’

共軛轉(zhuǎn)置

.’

轉(zhuǎn)置，矩陣元素不取共軛例：>>

A=[12;2i3i]>>

B=A’>>

C=A.’點(diǎn)與單引號(hào)之間不能有空格！矩陣基本運(yùn)算矩陣的加減：對(duì)應(yīng)重量進(jìn)行運(yùn)算要求參與加減運(yùn)算的矩陣具有相同的維數(shù)例：>>

A=[123;456];B=[321;654]>>

C=A+B;D=A-B;矩陣的一般乘法要求參與運(yùn)算的矩陣滿足線性代數(shù)中矩陣相乘的原則例：>>

A=[123;456];B=[21;34];>>

C=A*B矩陣基本運(yùn)算

矩陣的除法：/、\右除和左除

若A可逆方陣，則A\B

<==>A的逆左乘B<==>inv(A)*BB/A

<==>A的逆右乘B<==>B*inv(A)X=A\B

<==>A*X=BX=B/A

<==>X*A=B

通常，矩陣除法可以理解為當(dāng)A和B行數(shù)相等時(shí)即可進(jìn)行左除當(dāng)A和B列數(shù)相等時(shí)即可進(jìn)行右除矩陣的數(shù)組運(yùn)算

數(shù)組運(yùn)算：對(duì)應(yīng)元素進(jìn)行運(yùn)算點(diǎn)與算術(shù)運(yùn)算符之間不能有空格！

數(shù)組運(yùn)算包括：點(diǎn)乘、點(diǎn)除、點(diǎn)冪

相應(yīng)的數(shù)組運(yùn)算符為：“.*”，“./”，“.\”和“

.^”參與運(yùn)算的對(duì)象必需具有相同的形態(tài)！例：>>

A=[123;456];B=[321;654];>>

C=A.*B;D=A./B;E=A.\B;F=A.^B;函數(shù)取值設(shè)x是變量，f

是一個(gè)函數(shù)

當(dāng)x=a是標(biāo)量時(shí)，f(x)=f(a)也是一個(gè)標(biāo)量當(dāng)x=[a,b,…,c]是向量時(shí)，f(x)=[f(a),f(b),…,f(c)]函數(shù)作用在矩陣上的取值若A是矩陣，則f(A)是一個(gè)與A同形態(tài)的矩陣f作用在x的每個(gè)重量上數(shù)與數(shù)組的點(diǎn)冪x.^y

=[1^4,2^5,3^6]=[1,32,729]

x.^2

=[1^2,2^2,3^2]=[1,4,9]

例：x=[123];y=[456];Matlab中的全部標(biāo)點(diǎn)符號(hào)必需在英文狀態(tài)下輸入Matlab符號(hào)運(yùn)算Matlab符號(hào)運(yùn)算介紹Matlab符號(hào)運(yùn)算是通過(guò)符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱（SymbolicMathToolbox）來(lái)實(shí)現(xiàn)的。Matlab符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱是建立在功能強(qiáng)大的Maple軟件的基礎(chǔ)上的，當(dāng)Matlab進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算時(shí)，它就懇求Maple軟件去計(jì)算并將結(jié)果返回給Matlab。Matlab的符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱可以完成幾乎全部的符號(hào)運(yùn)算功能。主要包括：符號(hào)表達(dá)式的運(yùn)算，符號(hào)表達(dá)式的復(fù)合、化簡(jiǎn)，符號(hào)矩陣的運(yùn)算，符號(hào)微積分、符號(hào)作圖，符號(hào)代數(shù)方程求解，符號(hào)微分方程求解等。此外，該工具箱還支持可變精度運(yùn)算，即支持以指定的精度返回結(jié)果。Matlab符號(hào)運(yùn)算特點(diǎn)

計(jì)算以推理方式進(jìn)行，因此不受計(jì)算誤差累積所帶來(lái)的困擾。符號(hào)計(jì)算指令的調(diào)用比較簡(jiǎn)潔，與數(shù)學(xué)教科書(shū)上的公式相近。符號(hào)計(jì)算可以給出完全正確的封閉解，或隨意精度的數(shù)值解（封閉解不存在時(shí)）。

符號(hào)計(jì)算所需的運(yùn)行時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)。Matlab符號(hào)運(yùn)算舉例

求一元二次方程ax2+bx

+c=0

的根>>

solve('a*x^2+b*x+c')

求的根f(x)=(cos

x)2

的一次導(dǎo)數(shù)>>

x=sym('x');>>

diff(cos(x)^2)

計(jì)算f(x)=x2

在區(qū)間[a,b]

上的定積分>>

symsabx;>>

int(x^2,a,b)在進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算時(shí)，必需先定義基本的符號(hào)對(duì)象，可以是符號(hào)常量、符號(hào)變量、符號(hào)表達(dá)式等。符號(hào)對(duì)象是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。符號(hào)對(duì)象與符號(hào)表達(dá)式含有符號(hào)對(duì)象的表達(dá)式稱為符號(hào)表達(dá)式，Matlab在內(nèi)部把符號(hào)表達(dá)式表示成字符串，以與數(shù)字變量或運(yùn)算相區(qū)分。符號(hào)矩陣/數(shù)組：元素為符號(hào)表達(dá)式的矩陣/數(shù)組。

sym

函數(shù)用來(lái)建立單個(gè)符號(hào)量，一般調(diào)用格式為：符號(hào)對(duì)象的建立：sym

和syms符號(hào)對(duì)象的建立例：>>

a=sym('a')符號(hào)變量

=

sym(A)參數(shù)A

可以是一個(gè)數(shù)或數(shù)值矩陣，也可以是字符串a(chǎn)

是符號(hào)變量b

是符號(hào)常量>>

b=sym(1/3)c

是符號(hào)矩陣>>

c=sym('[1ab;cd]')符號(hào)對(duì)象的建立：sym

和syms符號(hào)對(duì)象的建立syms叮囑用來(lái)建立多個(gè)符號(hào)量，一般調(diào)用格式為：syms符號(hào)變量1符號(hào)變量2...符號(hào)變量n例：>>

symsabc>>

a=sym('a');>>

b=sym('b');>>

c=sym('c');符號(hào)表達(dá)式的建立：例：建立符號(hào)表達(dá)式通常有以下2種方法：(1)用sym函數(shù)干脆建立符號(hào)表達(dá)式。

(2)運(yùn)用已經(jīng)定義的符號(hào)變量組成符號(hào)表達(dá)式。>>

y=sym('sin(x)+cos(x)')>>x=sym('x');>>

y=sin(x)+cos(x)符號(hào)表達(dá)式的建立Matlab符號(hào)運(yùn)算接受的運(yùn)算符和基本函數(shù)，在形態(tài)、名稱和運(yùn)用上，都與數(shù)值計(jì)算中的運(yùn)算符和基本函數(shù)完全相同符號(hào)對(duì)象的基本運(yùn)算基本運(yùn)算符普通運(yùn)算：+

、-

、*

、\

、/

、^數(shù)組運(yùn)算：.*

、.\

、./

、.^矩陣轉(zhuǎn)置：'

、.'例：>>X=sym('[x11,x12;x21,x22;x31,x32]');>>

Y=sym('[y11,y12,y13;y21,y22,y23]');>>

Z1=X*Y;Z2=X'.*Y;符號(hào)對(duì)象的基本運(yùn)算sin、cos、tan、cot、sec、csc、…asin、acos、atan、acot、asec、acsc、…exp、log、log2、log10、sqrtabs、conj、real、imagrank、det、inv、eig、lu、qr、svddiag、triu、tril、expm三角函數(shù)與反三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等基本函數(shù)

用Matlab

函數(shù)解初值問(wèn)題

用Maltab函數(shù)解初值問(wèn)題

求解析解：dsolve

求數(shù)值解：ode45、ode23、ode113、ode23t

ode15s、ode23s、ode23tbdsolve運(yùn)用格式y(tǒng)=dsolve('eq1','eq2',...,'cond1','cond2',...,'v')求微分方程的解析解，其中y為輸出，

eq1、eq2、...為微分方程，cond1、cond2、...為初值條件，v為自變量。例1：求微分方程的通解，并加以驗(yàn)證。y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x')dsolve的運(yùn)用

幾點(diǎn)說(shuō)明y=dsolve('eq1','eq2',...,'cond1','cond2',...,'v')例1：y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x')1、微分方程中用D

表示對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，如：Dyy’；

D2yy’’；

D3yy’’’2、假如省略初值條件，則表示求通解；3、假如省略自變量，則默認(rèn)自變量為t；dsolve('Dy=2*x','x');％

dy/dx=2xdsolve('Dy=2*x');％dy/dt=2x4、若找不到解析解，則返回其積分形式。

dsolve

舉例例：求微分方程在初值條件下的特解，并畫(huà)出解函數(shù)的圖形。y=dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','y(1)=2*exp(1)','x')ezplot(y);

dsolve

舉