《高等數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)-多元函數(shù)微分學(xué)課件

《高等數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)——多元函數(shù)微分學(xué)《高等數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)1平面點(diǎn)集和區(qū)域多元函數(shù)的極限多元函數(shù)連續(xù)的概念極限運(yùn)算多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)概念一、主要內(nèi)容平面點(diǎn)集多元函數(shù)多元函數(shù)極限運(yùn)算多元連續(xù)函數(shù)多元函數(shù)概2全微分的應(yīng)用高階偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則全微分形式的不變性微分法在幾何上的應(yīng)用方向?qū)?shù)多元函數(shù)的極值全微分概念偏導(dǎo)數(shù)概念全微分高階偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)復(fù)合函數(shù)全微分形式微分法在方向?qū)?shù)多元3問(wèn)題：求極限，判斷函數(shù)極限存在性問(wèn)題：求極限，判斷函數(shù)極限存在性4多元函數(shù)的極限存在性——定義，夾逼定理不存在——特殊路徑、兩種方式求法——運(yùn)算法則、定義、夾逼定理

消去零因子、化成一元極限等多元函數(shù)的極限存在性——定義，夾逼定理不存在——特殊路徑、兩5解法1解法2令此法第一步排除了沿坐標(biāo)軸趨于原點(diǎn)的情況,此法排除了沿曲線(xiàn)趨于原點(diǎn)的情況.此時(shí)極限為1.第二步未考慮分母變化的所有情況,例1.

討論二重極限時(shí),下列算法是否正確?解法1解法2令此法第一步排除了沿坐標(biāo)軸趨于原點(diǎn)的情況,6解法3

令此法忽略了

的任意性,極限不存在!由以上分析可見(jiàn),三種解法都不對(duì),因?yàn)槎疾荒鼙ＷC自變量在定義域內(nèi)以任意方式趨于原點(diǎn).特別要注意,在某些情況下可以利用極坐標(biāo)求極限,但要注意在定義域內(nèi)r,

的變化應(yīng)該是任意的.本題極限實(shí)際上不存在.解法3令此法忽略了的任意性,極限不存在!由以上分析7問(wèn)題：函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性、可微性的判別問(wèn)題：函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性、可微性的判別8例.討論在點(diǎn)處的連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)的存在性及可微性.解由于當(dāng)時(shí)，故所以例.討論在點(diǎn)處的連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)的存在性及可微性.解由于當(dāng)時(shí)，9偏導(dǎo)數(shù)可微性

偏導(dǎo)數(shù)可微性10因此由于故因此由于故11二、多元函數(shù)微分法顯式結(jié)構(gòu)隱式結(jié)構(gòu)1.分析復(fù)合結(jié)構(gòu)(畫(huà)變量關(guān)系圖)自變量個(gè)數(shù)=變量總個(gè)數(shù)–方程總個(gè)數(shù)自變量與因變量由所求對(duì)象判定2.正確使用求導(dǎo)法則“鏈?zhǔn)椒▌t”注意正確使用求導(dǎo)符號(hào)3.利用一階微分形式不變性問(wèn)題：求偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)(多元復(fù)合函數(shù)、隱含數(shù)求導(dǎo)方法)二、多元函數(shù)微分法顯式結(jié)構(gòu)隱式結(jié)構(gòu)1.分析復(fù)合結(jié)構(gòu)(畫(huà)變量12例2解例2解13《高等數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)——多元函數(shù)微分學(xué)課件14求在點(diǎn)處可微,且設(shè)函數(shù)解:由題設(shè)求在點(diǎn)處可微,且設(shè)函數(shù)解:由題設(shè)15解于是可得,解于是可得,16《高等數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)——多元函數(shù)微分學(xué)課件17三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用1.在幾何中的應(yīng)用求曲線(xiàn)的切線(xiàn)及法平面(關(guān)鍵:尋求切向量)

求曲面的切平面及法線(xiàn)

(關(guān)鍵:尋求法向量)

2.極值與最值問(wèn)題

極值的必要條件與充分條件

求條件極值的方法(消元法,拉格朗日乘數(shù)法)

求解最值問(wèn)題3.在微分方程變形等中的應(yīng)用三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用1.在幾何中的應(yīng)用求曲線(xiàn)的切線(xiàn)及法平181.1.19《高等數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)——多元函數(shù)微分學(xué)課件203.解由于橢球面是一封閉曲面，因此橢球面上此最值即為橢球面方程所確定的隱函數(shù)的最大值與最小值.方程兩邊分別關(guān)于3.解由于橢球面是一封閉曲面，因此橢球面上此最值即為橢球面方21令解得代入橢球面方程得故得兩點(diǎn)由于橢球面確實(shí)存在z坐標(biāo)的最大與最小的點(diǎn)，因此令解得代入橢球面方程得故得兩點(diǎn)由于橢球面確實(shí)存在z坐標(biāo)的最大22設(shè)S是橢球面對(duì)于面的投影柱面，相同，為即設(shè)S是橢球面對(duì)于面的投影柱面，相同，為即23例14.設(shè)有一小山，取它的底面所在的平面為xoy坐標(biāo)面其底部所在的區(qū)域?yàn)樾∩降母叨群瘮?shù)為解沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大，且最大值等于梯度的模，由于故例14.設(shè)有一小山，取它的底面所在的平面為xoy坐標(biāo)面其底部24(2)現(xiàn)在此山開(kāi)展攀巖活動(dòng)，需在山腳尋找上山坡度最大點(diǎn)作為起點(diǎn)，試確定攀登起點(diǎn)的位置.解由題意知，要在底部區(qū)域D的邊界線(xiàn)上尋找使達(dá)到最大的點(diǎn).令，由題意，只需在約束條件設(shè)

(2)現(xiàn)在此山開(kāi)展攀巖活動(dòng)，需在山腳尋找上山坡度最大點(diǎn)作為25解得由于故皆可作為攀登起點(diǎn).解得由于故皆可作為攀登起點(diǎn).26解例5解例527《高等數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)——多元函數(shù)微分學(xué)課件28《高等數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)——多元函數(shù)微分學(xué)課件29例6解分析:例6解分析:30得得31《高等數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)——多元函數(shù)微分學(xué)課件32例7設(shè)y=f(x,t)而

t

是由F(x,y,t)確定的

x,y

的函數(shù)，試證明證一方程組確定了兩個(gè)一元隱函數(shù)y=y(x),t=t(x)兩邊分別對(duì)

x

求導(dǎo)得例7設(shè)y=f(x,t)而t33解得證二兩邊取全微分并移項(xiàng)得消去dt

得解得解得證二兩邊取全微分并移項(xiàng)得消去dt得解得34《高等數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)——多元函數(shù)微分學(xué)《高等數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)35平面點(diǎn)集和區(qū)域多元函數(shù)的極限多元函數(shù)連續(xù)的概念極限運(yùn)算多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)概念一、主要內(nèi)容平面點(diǎn)集多元函數(shù)多元函數(shù)極限運(yùn)算多元連續(xù)函數(shù)多元函數(shù)概36全微分的應(yīng)用高階偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則全微分形式的不變性微分法在幾何上的應(yīng)用方向?qū)?shù)多元函數(shù)的極值全微分概念偏導(dǎo)數(shù)概念全微分高階偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)復(fù)合函數(shù)全微分形式微分法在方向?qū)?shù)多元37問(wèn)題：求極限，判斷函數(shù)極限存在性問(wèn)題：求極限，判斷函數(shù)極限存在性38多元函數(shù)的極限存在性——定義，夾逼定理不存在——特殊路徑、兩種方式求法——運(yùn)算法則、定義、夾逼定理

消去零因子、化成一元極限等多元函數(shù)的極限存在性——定義，夾逼定理不存在——特殊路徑、兩39解法1解法2令此法第一步排除了沿坐標(biāo)軸趨于原點(diǎn)的情況,此法排除了沿曲線(xiàn)趨于原點(diǎn)的情況.此時(shí)極限為1.第二步未考慮分母變化的所有情況,例1.

討論二重極限時(shí),下列算法是否正確?解法1解法2令此法第一步排除了沿坐標(biāo)軸趨于原點(diǎn)的情況,40解法3

令此法忽略了

的任意性,極限不存在!由以上分析可見(jiàn),三種解法都不對(duì),因?yàn)槎疾荒鼙ＷC自變量在定義域內(nèi)以任意方式趨于原點(diǎn).特別要注意,在某些情況下可以利用極坐標(biāo)求極限,但要注意在定義域內(nèi)r,

的變化應(yīng)該是任意的.本題極限實(shí)際上不存在.解法3令此法忽略了的任意性,極限不存在!由以上分析41問(wèn)題：函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性、可微性的判別問(wèn)題：函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性、可微性的判別42例.討論在點(diǎn)處的連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)的存在性及可微性.解由于當(dāng)時(shí)，故所以例.討論在點(diǎn)處的連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)的存在性及可微性.解由于當(dāng)時(shí)，43偏導(dǎo)數(shù)可微性

偏導(dǎo)數(shù)可微性44因此由于故因此由于故45二、多元函數(shù)微分法顯式結(jié)構(gòu)隱式結(jié)構(gòu)1.分析復(fù)合結(jié)構(gòu)(畫(huà)變量關(guān)系圖)自變量個(gè)數(shù)=變量總個(gè)數(shù)–方程總個(gè)數(shù)自變量與因變量由所求對(duì)象判定2.正確使用求導(dǎo)法則“鏈?zhǔn)椒▌t”注意正確使用求導(dǎo)符號(hào)3.利用一階微分形式不變性問(wèn)題：求偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)(多元復(fù)合函數(shù)、隱含數(shù)求導(dǎo)方法)二、多元函數(shù)微分法顯式結(jié)構(gòu)隱式結(jié)構(gòu)1.分析復(fù)合結(jié)構(gòu)(畫(huà)變量46例2解例2解47《高等數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)——多元函數(shù)微分學(xué)課件48求在點(diǎn)處可微,且設(shè)函數(shù)解:由題設(shè)求在點(diǎn)處可微,且設(shè)函數(shù)解:由題設(shè)49解于是可得,解于是可得,50《高等數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)——多元函數(shù)微分學(xué)課件51三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用1.在幾何中的應(yīng)用求曲線(xiàn)的切線(xiàn)及法平面(關(guān)鍵:尋求切向量)

求曲面的切平面及法線(xiàn)

(關(guān)鍵:尋求法向量)

2.極值與最值問(wèn)題

極值的必要條件與充分條件

求條件極值的方法(消元法,拉格朗日乘數(shù)法)

求解最值問(wèn)題3.在微分方程變形等中的應(yīng)用三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用1.在幾何中的應(yīng)用求曲線(xiàn)的切線(xiàn)及法平521.1.53《高等數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)——多元函數(shù)微分學(xué)課件543.解由于橢球面是一封閉曲面，因此橢球面上此最值即為橢球面方程所確定的隱函數(shù)的最大值與最小值.方程兩邊分別關(guān)于3.解由于橢球面是一封閉曲面，因此橢球面上此最值即為橢球面方55令解得代入橢球面方程得故得兩點(diǎn)由于橢球面確實(shí)存在z坐標(biāo)的最大與最小的點(diǎn)，因此令解得代入橢球面方程得故得兩點(diǎn)由于橢球面確實(shí)存在z坐標(biāo)的最大56設(shè)S是橢球面對(duì)于面的投影柱面，相同，為即設(shè)S是橢球面對(duì)于面的投影柱面，相同，為即57例14.設(shè)有一小山，取它的底面所在的平面為xoy坐標(biāo)面其底部所在的區(qū)域?yàn)樾∩降母叨群瘮?shù)為解沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大，且最大值等于梯度的模，由于故例14.設(shè)有一小山，取它的底面所在的平面為xoy坐標(biāo)面其底部58(2)現(xiàn)在此山開(kāi)展攀巖活動(dòng)，需在山腳尋找上山坡度最大點(diǎn)作為起點(diǎn)，試確定攀登起點(diǎn)的位置.解由題意知，要在底部區(qū)域D的邊界線(xiàn)上尋找使達(dá)到最大的點(diǎn).令，由題意，只需在約束條件設(shè)

(2)現(xiàn)在此山開(kāi)展攀巖活動(dòng)，需在山腳尋找上山坡度最大點(diǎn)作為59解得由于故皆可作為攀登起點(diǎn).解得由于故皆可作為攀登起點(diǎn).60解例5解例561《高等數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)——多元函數(shù)微分學(xué)課件62《高等數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)——多元函數(shù)微分學(xué)課件63例6解分析:例6解分析:64得得65《高等數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)——多元函數(shù)微分學(xué)課件66例7設(shè)y=f(x,