高一數(shù)學常見知識點梳理

集合一、集合的含義與表示L集合的概念：一般地，我們把特定的研究對象的總體統(tǒng)稱為集合，簡稱“集”，通常用大寫字母4優(yōu)C,…表示集合；集合中的研究對象叫做這個集合的元素，簡稱“元”，通常用小寫字母a,6,c,…表示.2集合的元素特性(1)確定性:給定一個集合，則任何一個對象是不是這個集合的元素，必須是明確的.(2)互異性:一個給定集合的元素之間必須是互異的，即一個集合中的任意兩個元素(對象)應該是不同的，相同對象在構(gòu)成集合時只能作為一個元素出現(xiàn)在集合中.⑶無序性:集合中的元素是沒有順序的，集合與其中元素的排列次序無關..元素與集合的關系(1)如果a是集合4的元素，就說a屬于集合4,記作aeZ.(2)如果a不是集合力的元素，就說a不屬于集合4,記作.集合的表示(1)列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合，一般形式是kw/|p(x)},其中x是集合中元素的代表形式，/是元素的取值(或變化)范圍，p(x)是這個集合中元素所具有的共同特征.(3)圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合..常用數(shù)集及其記法常用數(shù)集一覽表掌握打J常用數(shù)集簡稱記法□全體非負整數(shù)組成的集合非負整數(shù)集(或自然數(shù)集)N□所有正整數(shù)組成的集合正整數(shù)集N'/N+□全體整數(shù)組成的集合整數(shù)集Z□全體有理數(shù)組成的集合有理數(shù)集Q□全體實數(shù)組成的集合實數(shù)集R

二、集合間的基本關系補充說明：若集合4有〃(〃21)個元素，則:⑴力有2"個子集⑵力有2"-1個真子集4有2"-1個非空子集/有2"-2非空真子集

三、集合的基本運算1.交集、并集、補集名稱交集并集補集記號AUBCVA意義[x\xeA，且xw8}{x\xeA9或xw團{x\xeU,且xe4}四、含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法1.一元二次不等式的解法判別式△=〃-4acL>0A=0A<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0）的圖象ak￥一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根-b±yjb2-4ac52a（其中X]=X2）X=b"-五無實根ax2+6x+c>0（q>0）的解集{x|x<?%或X>%2}<x\.bv0 >2aRax2+bx+c<0^a>0）的解集{x|X]<X<x2]00

2.分式不等式不等式解集f(x)g(x)/(x)-g(x)>0/（X）/(x)g(x)NO且g(x)HO44<og(x)/(x)g(x)<0/（X）/(x>g(x)40且g(x)wO3.含單絕對值的不等式的解法不等式解集|x|< >0)[x\-a<x<|x|> >0)(x|x<-a,或x>a}\ax+/>|<c(c>0)把ax+b看成一個整體，化成k|<Q（a>0）型求解|ax+6]>c(c>0)把ax+b看成一個整體，化成國>〃（4〉0）型求解函數(shù)的概念和性質(zhì)一、函數(shù)及其表示.函數(shù)的概念給定兩個非空的數(shù)集48,如果按照某個確定的對應關系/,使對于集合4中的任意一個數(shù)X,在集合8中都有唯一確定的數(shù)/(X)和它對應，那么就稱對應/：/f8為從集合4到集合8的一個函數(shù)，記作y=/(x),xe4.其中x叫做直變量:與x的值相對應的歹值叫做函數(shù)值..函數(shù)的三要素(1)定義域:自變量x的取值范圍Z,叫做函數(shù)的定義域.(2)值域:函數(shù)值的集合｛y=/(x),xeN｝叫做值域.(3)對應法則:從4到8的對應關系叫做對應法則..同一函數(shù)定義域相同、值域相同、對應法則也相同的函數(shù)是同一函數(shù)..區(qū)間的概念設a,b是兩個實數(shù),且a<x<b我們規(guī)定：(1)滿足不等式aWxWb的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)恒L，表示為［。,可.(2)滿足不等式a<x<6的實數(shù)x的集合叫做五區(qū)恒［,表示為(％b).(3)滿足不等式aWx<b或a<x《b的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為［a,b),(a,6］.⑷實數(shù)集H可以用區(qū)間表示為(TO,+00),“00”讀作"無窮大”，"-8”讀作“負無窮大”，“+8”讀作“正無窮大”..函數(shù)定義域的求法(1)若/(x)為分式，則其定義域是使分母不等于0的實數(shù)的集合.(2)若/(x)是偶次根式，則其定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于0的實數(shù)的集合.⑶/(X)=的定義域是{x€RIXH0}.(4)若/(X)是由幾個部分的數(shù)學式子構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各個部分都有意義的實數(shù)的集合的交集..函數(shù)解析式的求法(1)待定系數(shù)法：如果已知函數(shù)類型，可設出函數(shù)解析式，再代入條件解方程(組)，求出參數(shù)確定函數(shù)解析式.(2)換元法：已知/(g(x))的解析式，要求的解析式時，可令f=g(x),再求出/⑺的解析式，再將，用x代替即可.⑶配湊法：已知/(g(x))的解析式，要求/(x)的解析式時，從/(g(x))的解析式中配湊出g(x),即用g(x)來表示，再將g(x)用X代替即可.二、函數(shù)的基本性質(zhì).單調(diào)性的定義一般地，設函數(shù)/(X)的定義域為/：(1)增函數(shù):如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的任意兩個自變量的值再,々，當再<X2時，都有/(為)</(々)，那么就說函數(shù)/(X)在區(qū)間。上是埴函數(shù)，區(qū)間。稱為/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間;⑵減函數(shù):如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的任意兩個自變量的值項廣2，當x,<x2時，都有/&)>/仁)，那么就說函數(shù)“X)在區(qū)間。上是通函數(shù)，區(qū)間。稱為F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.(3)復合函數(shù)的單調(diào)性如果函數(shù)y=/(")的定義域為Z.函數(shù)〃=g(x)的定義域為。，值域為C,且時，稱函數(shù)/(g(x))為了與g在。上的復合函數(shù)，其中"叫中間變量，〃=g(x)叫做內(nèi)層函數(shù)，y=/(“)叫做外層函數(shù)。若內(nèi)外層函數(shù)同為增函數(shù)或者減函數(shù)，則/(g(x))單調(diào)遞增；若這兩個函數(shù)一增一減，則/(g(x))為減函數(shù)，簡稱為“同增異減”..奇偶性的定義⑴偶函數(shù):一般地，如果對于函數(shù)/(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有/(—x)=/(x)成立，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù).(2)奇函數(shù):一般地，如果對于函數(shù)/(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有/(T)=—/(X)成立，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù).(3)判斷函數(shù)的奇偶性幾個常用結(jié)論設〃x),g(x)的定義域分別是A，。2,在他們的公共區(qū)域上，有下列結(jié)論：

函數(shù)奇偶性的運算性質(zhì)“X)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)g(x)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)/(x)±g(x)偶函數(shù)非奇非偶非奇非偶奇函數(shù)/(x)g(x)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)基本初等函數(shù)一、指數(shù)與指數(shù)嘉的運算.整數(shù)指數(shù)爆堂(1)正整數(shù)指數(shù)嘉定義：an=aaa……a(aeAT,).(2)正整數(shù)指數(shù)嘉的運算法則：①a-③4加+a"=am~n(m> 0)④(")"=a〃b〃⑶規(guī)定a°=l(a*0),aT=5(a#0,〃GN*)..根式(1)根式的概念根式概念一覽表掌握打J根式符號表示備注□一般地，如果x"=a,那么x叫做a的"次方根，其中n>\,且〃eN*.無無□當〃為奇數(shù)時，正數(shù)的〃次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的〃次方根是一個負數(shù)Va零的〃次方根是零□當〃為偶數(shù)時，正數(shù)的〃次方根是有兩個，它們互為相反數(shù)±\[a(a>0)負數(shù)沒有偶次方根(2)根式的性質(zhì)①(折丫=。(當后有意義時)②當〃是奇數(shù)時，|\[a"=a;當〃是偶數(shù)時，'一Q,Q<0.分數(shù)指數(shù)第(1)分數(shù)指數(shù)嘉的意義m ①規(guī)定正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)嘉的意義是a〃=y[a^[a>0,m,〃gN*且〃>1).②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)累的意義與負整數(shù)指數(shù)號的意義相仿，my規(guī)定a"=—^-(a>Q,m,neN*,S.n>1).an③0的正分數(shù)指數(shù)嘉等于0,0的負分數(shù)指數(shù)氟沒有意義.(2)有理數(shù)指數(shù)嘉的運算性質(zhì)整數(shù)指數(shù)嘉的運算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)氟也同樣適用，即對于任意有理數(shù)r,s,均有下列運算性質(zhì)：①優(yōu)?相=ar+s(a>0,r,sgQ)②(優(yōu)丁=ars(a>0,r,se0)③(a“=arbr(a>0,6〉0,re0)上述有理數(shù)指數(shù)嘉的運算性質(zhì)可推廣到無理數(shù)指數(shù)嘉的情況.

二、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì).指數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)、=優(yōu)（4>0且。旬/€/?）叫做指數(shù)函數(shù).三、對數(shù)與對數(shù)運算.對數(shù)的概念與基本性質(zhì)（1）對數(shù)的概念①對數(shù)：一般地，如果優(yōu)=N（a>0且。￥1）,那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=log.N,其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).②常用對數(shù)：通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，loggN簡記為IgN.③自然對數(shù)：在科學技術(shù)中常使用以無理數(shù)e=2.71828??為底的對數(shù)，以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，為了簡便，log'N簡記為InN.（2）對數(shù)的基本性質(zhì)對數(shù)loguN（a>0,且aH1）有如下性質(zhì):①負數(shù)和零沒有對數(shù)，即N>0.②1的對數(shù)是0,Wlogal=0.③底數(shù)的對數(shù)是1,即log/=l.④對數(shù)恒等式：由/=N可得b=log“N,將，=N中的6寫成log“N,那么*=從.對數(shù)的運算性質(zhì)如果a>0,且那么：log“(MV)=log“M+log“N,即積的對數(shù)等于對數(shù)的和.1。&—=log(,M—1。&N,即商的對數(shù)等于對數(shù)的差.N(3)10瓦""=〃108”“(“€尺)，即指數(shù)嘉的對數(shù)等于底數(shù)的對數(shù)的指數(shù)倍.底公式及其變形公式對數(shù)換底公式為：log"N=g&C(a力均大于0且不等于它的推論有:log/⑴log?6-logAa=l⑵logb"=—\ogabam⑶產(chǎn);代四、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1.對數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)yulogoxl〉。,且awl）叫做對數(shù)函數(shù)，其中X是自變量，對數(shù)函數(shù)y=log。x的定義域是（0,+oo）.特別地，以10為底的對數(shù)函數(shù)y=lgx叫做常用對數(shù)函數(shù)，以e為底的對數(shù)函數(shù)y=lnx叫做自然對數(shù)函數(shù).2.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)三角函數(shù)一、任意角和弧度制‘正角一逆時針旋轉(zhuǎn)而成的角L任意角（負角一順時針旋轉(zhuǎn)而成的角零角一射線沒旋轉(zhuǎn)而成的角.角a的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，a就叫做第幾象限角,終邊在坐標軸上的角不是象限角，稱之坐標角（或象限界角、軸線角等）..弧度制：半徑為r的圓心角a所對弧長為/,則a=，（弧度或/W）.r.與角a（弧度）終邊相同的角的集合為{夕|尸=0+2%],〃€2},其意義在于a的終邊逆時針旋轉(zhuǎn)整數(shù)圈，終邊位置不變.注：弧度或%/可省略.兩制互化：周角=360°=亞=27（弧度），即〃=180°.r（弧度）=（國）小7.3°=57°18'故在進行兩制互化時，只需記憶力=180°,1。=工兩個換算單位即可.180.弧長公式：/=a/（a￡（0,21]）扇形面積公式：S=—lr=—ar22 2注：關于扇形面積公式的記憶，可以采用類似三角形面積公式的方法，把扇形的弧長類比成三角形的底，半徑類比成三角形的高，則有s=1?底.高=!?"2 2二、任意角的三角函數(shù)1.定義已知角a終邊上的任一點尸（x,y）（非原點O）,則尸到原點O的距離r=\OP\—^x24-j2>0.sina=上,cosa=',tana二）.r r x此定義是解直三角形內(nèi)銳角三角函數(shù)的推廣.類比，對ry,鄰nx,斜如下圖所示.三、同角三角函數(shù)的基本關系、誘導公式.同角三角函數(shù)的基本關系平方關系：sin2a+cos2a=1 商數(shù)關系：tana=S^ncosa.誘導公式xsina（〃為偶數(shù)） cosa（〃為偶數(shù)）⑴sMa+*=「ina（〃為奇數(shù)） 3（a+叫=「°sa（〃為奇數(shù)）tan（a+〃乃）=tana（〃為整數(shù)）（2）奇偶性：sin（-?）=-sina,cos（-（z）=cosa,tan（-a）=-tana.，c、.（乃、 （萬）? （萬）1<2 ） {2J{2 Jtana奇變偶不變，符號看象限①先將誘導三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作〃?王土a2②無論有多大，一律視為銳角，判斷〃?王土a所處的象限，并判斷題設三角函數(shù)

2在該象限的正負③當〃為奇數(shù)時，“奇變”，正變余，余變正；當〃為偶數(shù)時，"偶不變''函數(shù)名保持不變即可.

四、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=sinxy=cosx在［0,2句上的圖象1o...Xi/2萬X定義域(-00,4-00)(-00,+00)值域（有界性）[-M][-M]最小正周期（周期性）2乃2/r奇偶性（對稱性）奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)增區(qū)間-.7T5. TC2k九——,2攵)十—(I)[2%)一]，2左乃](%gZ)單調(diào)減區(qū)間2k7T+-,2k7T+—_ 2 2_(左eZ)［2%］，2左加十乃］（女gZ）對稱軸方程x—k九+5(左￡Z)x=k;r(ksZ)對稱中心坐標（左肛0）（左GZ）0)(keZ)最大值及對應自變量值冗x=2k"—時[sinx] =12L 」maxx-2knfttFcosx]=1L Jmax最小值及對應自變量值X[s…3兀、=2k7VH 時2>inx]=-1JminX[*=2k兀+兀時:osx]mi?=T

函數(shù)正切函數(shù)^=tanx,(xHk"+')?vA i,圖象J-K0\n_x定義域<JIx\x^kjr-\--,kgZ>值域(—oo,+oo)周期性T=兀奇偶性奇函數(shù)，圖象關于原點對稱單調(diào)性在‘"小畀左不卜eZ）上是單調(diào)增函數(shù)對稱軸無對稱中心傳，。）S三角恒等變換一、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式.兩角和與差的余弦公式cos(?-/?)=cosacos夕+sinasin(3cos(?