任意角和弧度制-課件

精品課件高中數(shù)學必修1第五章三角函數(shù)新人教版

任意角與弧度制特級教師優(yōu)秀課件精選精品高中數(shù)學必修1第五章三角函數(shù)新人教版任意角與弧度制1教學目標推廣角的概念，理解并掌握正角、負角、零角的定義；理解任意角以及象限角的概念；掌握終邊相同的角的表示方法；理解并掌握弧度制的定義，領會弧度制定義的合理性；熟練地進行角度制與弧度制的換算；掌握并運用弧度制表示的弧長公式、扇形面積公式.教學目標推廣角的概念，理解并掌握正角、負角、零角的定義；理解教學重點教學難點理解正角、負角和零角的定義，掌握終邊相同角的表示法；

終邊相同的角的表示；

弧度制的運用．理解并掌握弧度制定義，熟練地進行角度制與弧度制地互化換算；理解弧度制定義，弧度制的運用.．教學重點教學難點理解正角、負角和零角的定義，掌握終邊相同角的體操是力與美的結合，也充滿了角的概念．2002年11月22日，在匈牙利德布勒森舉行的第36屆世界體操錦標賽中，“李小鵬跳”——“踺子后手翻轉體180度接直體前空翻轉體900度”，震驚四座，這里的轉體180度、轉體900度就是一個角的概念.體操是力與美的結合，也充滿了角的概念．2002年11月22日過去我們學習了0°～360°范圍的角，但在實際問題中還會遇到其他角。

如在體操、花樣滑冰、跳臺跳水等比賽中，常常聽到“轉體1080°”、“轉體1260°”這樣的解說。

再如鐘表的指針、擰動螺絲的扳手、機器上的輪盤等，它們按照不同方向旋轉所成的角，不全是0°～360°范圍內(nèi)的角。

因此，僅有0°～360°范圍內(nèi)的角是不夠的，我們必須將角的概念進行推廣。過去我們學習了0°～360°范圍的角，但在實際問題中還會遇到你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準的？假如你的手表快了1.25小時，你應當如何將它校準？當時間校準以后，分針轉了多少度？你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準的？假如你的手表快了1.知識探究：角的概念的推廣思考1：對于角的圖形特點有如下兩種認識：①角是由平面內(nèi)一點引出的兩條射線所組成的圖形（如圖1）；②角是由平面內(nèi)一條射線繞其端點從一個位置旋轉到另一個位置所組成的圖形（如圖2）。你認為哪種認識更科學、合理？知識探究：角的概念的推廣思考1：對于角的圖形特點有如下兩種認知識探究：角的概念的推廣思考2：如圖，一條射線的端點是O，它從起始位置OA旋轉到終止位置OB，形成了一個角α，其中點O，射線OA、OB分別叫什么名稱？頂點始邊終邊知識探究：角的概念的推廣思考2：如圖，一條射線的端點是O，它知識探究：角的概念的推廣思考3：如圖，在齒輪傳動中，被動輪與主動輪是按相反方向旋轉的.一般地，一條射線繞其端點旋轉，既可以按逆時針方向旋轉，也可以按順時針方向旋轉.你認為將一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉60°所形成的角，與按順時針方向旋轉60°所形成的角是否相等？知識探究：角的概念的推廣思考3：如圖，在齒輪傳動中，被動輪與知識探究：角的概念的推廣思考4：為了區(qū)分形成角的兩種不同的旋轉方向，可以作怎樣的規(guī)定？如果一條射線沒有作任何旋轉，它還形成一個角嗎？規(guī)定：按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉形成的角叫做負角．如果一條射線沒有作任何旋轉，則稱它形成了一個零角.

知識探究：角的概念的推廣思考4：為了區(qū)分形成角的兩種不同的旋知識探究：角的概念的推廣畫圖表示一個大小一定的角，先畫一條射線作為角的始邊，再由角的正負確定角的旋轉方向，再由角的絕對值大小確定角的旋轉量，畫出角的終邊，并用帶箭頭的螺旋線加以標注.思考5：知識探究：角的概念的推廣畫圖表示一個大小一定的角，先畫一條射知識探究：角的概念的推廣思考6：任意兩個角的數(shù)量大小可以相加、相減，如50°＋80°=130°，50°－80°=－30°，你能解釋一下這兩個式子的幾何意義嗎？以50°角的終邊為始邊，逆時針（或順時針）旋轉80°所成的角.知識探究：角的概念的推廣思考6：任意兩個角的數(shù)量大小可以相加知識梳理1.角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條_____繞著它的端點_____所成的______.2.角的表示：如圖，OA是角α的_____，OB是角α的______，O是角α的_____.角α可記為“角α”或“∠α”或簡記為“α”.射線旋轉圖形始邊終邊頂點知識梳理1.角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條_____繞著它知識梳理3.角的分類：逆時針順時針沒有名稱正角負角零角定義圖示按_______方向旋轉形成的角按_______方向旋轉形成的角一條射線______作任何旋轉形成的角知識梳理3.角的分類：逆時針順時針沒有名稱正角負角零角定義圖牛刀小試1.鐘表經(jīng)過4小時，時針與分針各旋轉_______和_______(填度數(shù)).牛刀小試1.鐘表經(jīng)過4小時，時針與分針各旋轉_______知識探究：象限角思考：為了進一步研究角的需要，我們常在直角坐標系內(nèi)討論角，并使角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么對一個任意角，角的終邊可能落在哪些位置？知識探究：象限角思考：為了進一步研究角的需要，我們常在直角坐知識梳理象限角與周線角如果角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限，或稱這個角為軸線角.在直角坐標系表示下列各角：-50°，405°，210°,-200°，－450°，并判斷是第幾象限的角？知識梳理象限角與周線角如果角的終邊在第幾象限，我們就說這個知識探究問題1：銳角與第一象限的角是什么邏輯關系？鈍角與第二象限的角是什么邏輯關系？直角與軸線角是什么邏輯關系？問題2：第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小.知識探究問題1：銳角與第一象限的角是什么邏輯關系？鈍角與第二牛刀小試1.下列說法正確的是A.銳角是第一象限角

B.第二象限角是鈍角C.第一象限角是銳角

D.第四象限角是負角解析由于銳角范圍是0°<α<90°，顯然是第一象限角；－200°是第二象限角，但不是鈍角；380°是第一象限角，但不是銳角；330°是第四象限角，但不是負角.牛刀小試1.下列說法正確的是A.銳角是第一象限角

牛刀小試2.－240°是A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角解析因為－240°角的終邊落在第二象限，故為第二象限角.牛刀小試2.－240°是A.第一象限角

B.知識探究：終邊相同的角思考：－32°，328°，－392°是第幾象限的角？這些角有什么內(nèi)在聯(lián)系？－32°328°－392°知識探究：終邊相同的角思考：－32°，328°，－392°是知識梳理終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可以表示為一個集合：S＝______________________，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和.知識梳理終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，牛刀小試3.判斷正誤（1）第二象限角是鈍角.()

（2）終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同.()（2）終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差360°的整數(shù)倍.()牛刀小試3.判斷正誤（1）第二象限角是鈍角.()

（2例題精講1.在0°～360°范圍內(nèi)，找出與－950°12′角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角.129°48′，第二象限角.例題精講1.在0°～360°范圍內(nèi)，找出與－950°12′牛刀小試4將下列各角表示為k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第幾象限角.(1)420°；解420°＝360°＋60°，

(2)－510°；解－510°＝－2×360°＋210°，

而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角.而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角.牛刀小試4將下列各角表示為k·360°＋α(k∈Z,0°≤牛刀小試5.與－460°角終邊相同的角可以表示成A.460°＋k·360°，k∈Z

B.100°＋k·360°，k∈ZC.260°＋k·360°，k∈Z

D.－260°＋k·360°，k∈Z解析：因為－460°＝260°＋(－2)×360°，故－460°可以表示成260°＋k·360°，k∈Z，故選C.牛刀小試5.與－460°角終邊相同的角可以表示成A.460例題精講2.寫出終邊在y軸上的角的集合.例題精講2.寫出終邊在y軸上的角的集合.例題精講S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.－315°，-135°，45°，225°，405°，585°.例題精講S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.－31例題精講4.已知角α的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，試指出角α的取值范圍.例題精講4.已知角α的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，試指出角α的取值牛刀小試牛刀小試拓展延伸拓展延伸拓展延伸拓展延伸拓展延伸方法二

如圖，先將各象限分成2等份，再從x軸正半軸的上方起，按逆時針方向，依次將各區(qū)域標上一、二、三、四，拓展延伸方法二

如圖，先將各象限分成2等份，再從x軸正半拓展延伸若本例條件中角α變?yōu)榈谌笙藿?，求?/p>

是第幾象限角.解：如圖所示，拓展延伸若本例條件中角α變?yōu)榈谌笙藿?，求?/p>

是第幾小結1.知識清單(1)任意角的概念.(2)終邊相同的角與象限角.(3)區(qū)域角的表示.2.常見誤區(qū)銳角與小于90°角的區(qū)別，終邊相同角的表示中漏掉k∈Z.小結1.知識清單(1)任意角的概念.(2)終邊相同的角與練習1.（口答）銳角是第幾象限角？第一象限角一定是銳角嗎？再分別就直角、鈍角來回答這兩個問題.練習1.（口答）銳角是第幾象限角？第一象限角一定是銳角嗎？再練習根據(jù)題意，則：練習根據(jù)題意，則：知識探究：弧度的概念思考1：在平面幾何中，1°的角是怎樣定義的？將圓周分成360等份，每一段圓弧所對的圓心角就是1°的角.思考2：在半徑為r的圓中，圓心角n°所對的圓弧長如何計算？結論：比值為α，圓心角α所對應的弧長與半徑的比值是唯一確定的，與半徑大小無關.思考3：知識探究：弧度的概念思考1：在平面幾何中，1°的角是怎樣定義知識梳理弧度制(1)定義：以______作為單位來度量角的單位制.(2)1弧度的角：長度等于_______的圓弧所對的圓心角.弧度半徑長知識梳理弧度制(1)定義：以______作為單位來度量角的牛刀小試下列各說法中，錯誤的是（

）

A.“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B.1弧度的角是長度等于半徑長的弧所對的圓心角C.根據(jù)弧度的定義，180°一定等于π弧度D.不論用角度制還是用弧度制度量角，它們均與圓的半徑長短有關解析：根據(jù)角度和弧度的定義，可知無論是角度制還是弧度制，角的大小與圓的半徑長短無關，而是與弧長與半徑的比值有關，所以D是錯誤的，其他A，B，C正確.牛刀小試下列各說法中，錯誤的是（

）

A.“度”與“弧知識梳理角度與弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝_____rad2πrad＝_____180°＝_____radπrad＝_____知識梳理角度與弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝___例題精講例題精講牛刀小試根據(jù)角度度與弧度的換算關系，填寫下表中各特殊角對應的弧度數(shù).今后用弧度制表示角時，“弧度”二字或“rad”通常略去不寫，而只寫該角所對應的弧度數(shù).如α=2表示α是2rad的角.度弧度0牛刀小試根據(jù)角度度與弧度的換算關系，填寫下表中各特殊角對應的弧度與角度的相互換算弧度與角度的相互換算小結角度與弧度互化技巧在進行角度與弧度的換算時，抓住關系式πrad＝180°是關鍵，由它可以得到：小結角度與弧度互化技巧在進行角度與弧度的換算時，抓住關系式知識梳理弧長與扇形面積公式設扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則

（1）弧長公式：l＝______.aR知識梳理弧長與扇形面積公式設扇形的半徑為R，弧長為l，α(0例題精講例題精講牛刀小試已知扇形的周長為10cm，面積為4cm2，求扇形圓心角的弧度數(shù).牛刀小試已知扇形的周長為10cm，面積為4cm2，求扇形牛刀小試已知一扇形的圓心角是72°，半徑為20，求扇形的面積.牛刀小試已知一扇形的圓心角是72°，半徑為20，求扇形的面積拓展練習已知一扇形的周長為4，當它的半徑與圓心角取何值時，扇形的面積最大？最大值是多少？拓展練習已知一扇形的周長為4，當它的半徑與圓心角取何值時，扇小結小結隨堂練習隨堂練習隨堂練習隨堂練習隨堂練習隨堂練習隨堂練習隨堂練習隨堂練習隨堂練習精品課件高中數(shù)學必修1第五章三角函數(shù)新人教版

任意角與弧度制特級教師優(yōu)秀課件精選精品高中數(shù)學必修1第五章三角函數(shù)新人教版任意角與弧度制57教學目標推廣角的概念，理解并掌握正角、負角、零角的定義；理解任意角以及象限角的概念；掌握終邊相同的角的表示方法；理解并掌握弧度制的定義，領會弧度制定義的合理性；熟練地進行角度制與弧度制的換算；掌握并運用弧度制表示的弧長公式、扇形面積公式.教學目標推廣角的概念，理解并掌握正角、負角、零角的定義；理解教學重點教學難點理解正角、負角和零角的定義，掌握終邊相同角的表示法；

終邊相同的角的表示；

弧度制的運用．理解并掌握弧度制定義，熟練地進行角度制與弧度制地互化換算；理解弧度制定義，弧度制的運用.．教學重點教學難點理解正角、負角和零角的定義，掌握終邊相同角的體操是力與美的結合，也充滿了角的概念．2002年11月22日，在匈牙利德布勒森舉行的第36屆世界體操錦標賽中，“李小鵬跳”——“踺子后手翻轉體180度接直體前空翻轉體900度”，震驚四座，這里的轉體180度、轉體900度就是一個角的概念.體操是力與美的結合，也充滿了角的概念．2002年11月22日過去我們學習了0°～360°范圍的角，但在實際問題中還會遇到其他角。

如在體操、花樣滑冰、跳臺跳水等比賽中，常常聽到“轉體1080°”、“轉體1260°”這樣的解說。

再如鐘表的指針、擰動螺絲的扳手、機器上的輪盤等，它們按照不同方向旋轉所成的角，不全是0°～360°范圍內(nèi)的角。

因此，僅有0°～360°范圍內(nèi)的角是不夠的，我們必須將角的概念進行推廣。過去我們學習了0°～360°范圍的角，但在實際問題中還會遇到你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準的？假如你的手表快了1.25小時，你應當如何將它校準？當時間校準以后，分針轉了多少度？你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準的？假如你的手表快了1.知識探究：角的概念的推廣思考1：對于角的圖形特點有如下兩種認識：①角是由平面內(nèi)一點引出的兩條射線所組成的圖形（如圖1）；②角是由平面內(nèi)一條射線繞其端點從一個位置旋轉到另一個位置所組成的圖形（如圖2）。你認為哪種認識更科學、合理？知識探究：角的概念的推廣思考1：對于角的圖形特點有如下兩種認知識探究：角的概念的推廣思考2：如圖，一條射線的端點是O，它從起始位置OA旋轉到終止位置OB，形成了一個角α，其中點O，射線OA、OB分別叫什么名稱？頂點始邊終邊知識探究：角的概念的推廣思考2：如圖，一條射線的端點是O，它知識探究：角的概念的推廣思考3：如圖，在齒輪傳動中，被動輪與主動輪是按相反方向旋轉的.一般地，一條射線繞其端點旋轉，既可以按逆時針方向旋轉，也可以按順時針方向旋轉.你認為將一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉60°所形成的角，與按順時針方向旋轉60°所形成的角是否相等？知識探究：角的概念的推廣思考3：如圖，在齒輪傳動中，被動輪與知識探究：角的概念的推廣思考4：為了區(qū)分形成角的兩種不同的旋轉方向，可以作怎樣的規(guī)定？如果一條射線沒有作任何旋轉，它還形成一個角嗎？規(guī)定：按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉形成的角叫做負角．如果一條射線沒有作任何旋轉，則稱它形成了一個零角.

知識探究：角的概念的推廣思考4：為了區(qū)分形成角的兩種不同的旋知識探究：角的概念的推廣畫圖表示一個大小一定的角，先畫一條射線作為角的始邊，再由角的正負確定角的旋轉方向，再由角的絕對值大小確定角的旋轉量，畫出角的終邊，并用帶箭頭的螺旋線加以標注.思考5：知識探究：角的概念的推廣畫圖表示一個大小一定的角，先畫一條射知識探究：角的概念的推廣思考6：任意兩個角的數(shù)量大小可以相加、相減，如50°＋80°=130°，50°－80°=－30°，你能解釋一下這兩個式子的幾何意義嗎？以50°角的終邊為始邊，逆時針（或順時針）旋轉80°所成的角.知識探究：角的概念的推廣思考6：任意兩個角的數(shù)量大小可以相加知識梳理1.角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條_____繞著它的端點_____所成的______.2.角的表示：如圖，OA是角α的_____，OB是角α的______，O是角α的_____.角α可記為“角α”或“∠α”或簡記為“α”.射線旋轉圖形始邊終邊頂點知識梳理1.角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條_____繞著它知識梳理3.角的分類：逆時針順時針沒有名稱正角負角零角定義圖示按_______方向旋轉形成的角按_______方向旋轉形成的角一條射線______作任何旋轉形成的角知識梳理3.角的分類：逆時針順時針沒有名稱正角負角零角定義圖牛刀小試1.鐘表經(jīng)過4小時，時針與分針各旋轉_______和_______(填度數(shù)).牛刀小試1.鐘表經(jīng)過4小時，時針與分針各旋轉_______知識探究：象限角思考：為了進一步研究角的需要，我們常在直角坐標系內(nèi)討論角，并使角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么對一個任意角，角的終邊可能落在哪些位置？知識探究：象限角思考：為了進一步研究角的需要，我們常在直角坐知識梳理象限角與周線角如果角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限，或稱這個角為軸線角.在直角坐標系表示下列各角：-50°，405°，210°,-200°，－450°，并判斷是第幾象限的角？知識梳理象限角與周線角如果角的終邊在第幾象限，我們就說這個知識探究問題1：銳角與第一象限的角是什么邏輯關系？鈍角與第二象限的角是什么邏輯關系？直角與軸線角是什么邏輯關系？問題2：第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小.知識探究問題1：銳角與第一象限的角是什么邏輯關系？鈍角與第二牛刀小試1.下列說法正確的是A.銳角是第一象限角

B.第二象限角是鈍角C.第一象限角是銳角

D.第四象限角是負角解析由于銳角范圍是0°<α<90°，顯然是第一象限角；－200°是第二象限角，但不是鈍角；380°是第一象限角，但不是銳角；330°是第四象限角，但不是負角.牛刀小試1.下列說法正確的是A.銳角是第一象限角

牛刀小試2.－240°是A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角解析因為－240°角的終邊落在第二象限，故為第二象限角.牛刀小試2.－240°是A.第一象限角

B.知識探究：終邊相同的角思考：－32°，328°，－392°是第幾象限的角？這些角有什么內(nèi)在聯(lián)系？－32°328°－392°知識探究：終邊相同的角思考：－32°，328°，－392°是知識梳理終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可以表示為一個集合：S＝______________________，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和.知識梳理終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，牛刀小試3.判斷正誤（1）第二象限角是鈍角.()

（2）終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同.()（2）終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差360°的整數(shù)倍.()牛刀小試3.判斷正誤（1）第二象限角是鈍角.()

（2例題精講1.在0°～360°范圍內(nèi)，找出與－950°12′角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角.129°48′，第二象限角.例題精講1.在0°～360°范圍內(nèi)，找出與－950°12′牛刀小試4將下列各角表示為k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第幾象限角.(1)420°；解420°＝360°＋60°，

(2)－510°；解－510°＝－2×360°＋210°，

而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角.而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角.牛刀小試4將下列各角表示為k·360°＋α(k∈Z,0°≤牛刀小試5.與－460°角終邊相同的角可以表示成A.460°＋k·360°，k∈Z

B.100°＋k·360°，k∈ZC.260°＋k·360°，k∈Z

D.－260°＋k·360°，k∈Z解析：因為－460°＝260°＋(－2)×360°，故－460°可以表示成260°＋k·360°，k∈Z，故選C.牛刀小試5.與－460°角終邊相同的角可以表示成A.460例題精講2.寫出終邊在y軸上的角的集合.例題精講2.寫出終邊在y軸上的角的集合.例題精講S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.－315°，-135°，45°，225°，405°，585°.例題精講S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.－31例題精講4.已知角α的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，試指出角α的取值范圍.例題精講4.已知角α的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，試指出角α的取值牛刀小試牛刀小試拓展延伸拓展延伸拓展延伸拓展延伸拓展延伸方法二

如圖，先將各象限分成2等份，再從x軸正半軸的上方起，按逆時針方向，依次將各區(qū)域標上一、二、三、四，拓展延伸方法二

如圖，先將各象限分成2等份，再從x軸正半拓展延伸若本例條件中角α變?yōu)榈谌笙藿?，求?/p>

是第幾象限角.解：如圖所示，拓展延伸若本例條件中角α變?yōu)榈谌笙藿?，求?/p>

是第幾小結1.知識清單(1)任意角的概念.(2)終邊相同的角與象限角.(3)區(qū)域角的表示.2.常見誤區(qū)銳角與小于90°角的區(qū)別，終邊相同角的表示中漏掉k∈Z.小結1.知識清單(1)任意角的概念.(2)終邊相同的角與練習1.（口答）銳角是第幾象限角？第一象限角一定是銳角嗎？再分別就直角、鈍角來回答這兩個問題.練習1.（口答）銳角是第幾象限角？第一象限角一定是銳角嗎？再練習根據(jù)題意，則：練習根據(jù)題意，則：知識探究：弧度的概念思考1：在平面幾何中，1°的角是怎樣定義的？將圓周分成360等份，每一段圓弧所對的圓心角就是1°的角.思考2：在半徑為r的圓中，圓心角n°所對的圓弧長如何計算？結論：比值為α，圓心角α所對應的弧長與半徑的比值是唯一確定的，與半徑大小無關.思考