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函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性新課程標(biāo)準(zhǔn)核心素養(yǎng)1.理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念.?dāng)?shù)學(xué)抽象2.掌握判斷某些函數(shù)奇偶性的方法.邏輯推理3.掌握奇偶函數(shù)的圖象特征.直觀想象4.會(huì)根據(jù)概念和圖象判斷簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性.邏輯推理新課程標(biāo)準(zhǔn)核心素養(yǎng)1.理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念.?dāng)?shù)學(xué)抽象2.【學(xué)法解讀】1.學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)要注意結(jié)合前面所學(xué)的知識(shí),如單調(diào)性、函數(shù)圖象、解析式等,加強(qiáng)它們的聯(lián)系.2.學(xué)生應(yīng)理解“奇偶性”的實(shí)質(zhì),也就是圖象的對(duì)稱(chēng)性:是關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱(chēng)還是關(guān)于y軸的軸對(duì)稱(chēng).【學(xué)法解讀】情境引入生活中的對(duì)稱(chēng)
情境引入生活中的對(duì)稱(chēng)
在平面直角坐標(biāo)系中,利用描點(diǎn)法作出函數(shù)y=x2
和y=2-|x|的圖象并觀察這兩個(gè)函數(shù)圖象,總結(jié)出它們的共同特征。x…-3-2-10123…f(x)=x2……9410149xyo123123-1-2-3x…-3-2-10123…f(x)=|x|……-101210-1xyo123123-1-2-3圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)自變量取互為相反數(shù)兩個(gè)數(shù)時(shí),函數(shù)值相等,即f(-x)=f(x)知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的奇偶性在平面直角坐標(biāo)系中,利用描點(diǎn)法作出函數(shù)y=x偶函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)
f(x)的定義域?yàn)锳,如果對(duì)?x∈A,都有-x∈A,且f(-x)=f(x),即f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),那么就稱(chēng)f(x)為偶函數(shù).
偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).思考1:(1)如果定義域內(nèi)存在x0,滿(mǎn)足f(-x0)=f(x0),函數(shù)f(x)是偶函數(shù)嗎?不一定,必須對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x都成立(2).x∈A(A為定義域),-x∈A說(shuō)明什么?偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).偶函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳,如果對(duì)?x∈1.判斷下列函數(shù)是否為偶函數(shù)是不是2.函數(shù)y=f(x),x∈[-1,a](a>-1)是偶函數(shù),則a等于(
)A.-1
B.0C.1 D.無(wú)法確定1.判斷下列函數(shù)是否為偶函數(shù)是不是2.函數(shù)y=f(x),x∈
觀察函數(shù)f(x)=x和f(x)=的圖象,并完成下面的兩個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)表,你能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)函數(shù)有什么共同特征嗎?1xxyo123123-1-2-3xyo123123-1-2-3x…-3-2-10123…f(x)=x……-3
-2-1
0
1
2
3x…-3-2-1123…f(x)=……1x13-12-1312-11觀察函數(shù)f(x)=x和f(x)=奇函數(shù)的定義一般地,設(shè)函數(shù)
f(x)的定義域?yàn)锳,如果對(duì)?x∈A,都有-x∈A,且f(-x)=-f(x),即f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),那么就稱(chēng)f(x)為奇函數(shù).
奇函數(shù)圖象特征:奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),反之,一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),那么它是奇函數(shù).
如果一個(gè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù),那么我們就說(shuō)函數(shù)f(x)具有奇偶性.奇函數(shù)的定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳,如果對(duì)?x
判定函數(shù)奇偶性基本方法:①定義法:先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),再看f(-x)與f(x)的關(guān)系.②圖象法:看圖象是否關(guān)于原點(diǎn)或y軸對(duì)稱(chēng).例1:判斷下列函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)判定函數(shù)奇偶性基本方法:例1:判斷下列函數(shù)的奇偶性:圖象法奇函數(shù)偶函數(shù)Oxy0xy0xy0xy0xy0xy圖象法奇函數(shù)偶函數(shù)Oxy0xy0xy0xy0xy0xy知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的奇偶性應(yīng)用題型一奇偶函數(shù)圖象的應(yīng)用例1.已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-5,5],且在區(qū)間[0,5]上的圖象如圖所示.(1)畫(huà)出在區(qū)間[-5,0]上的圖象;(2)寫(xiě)出使f(x)<0的x的取值集合.xyo123123-1-2-3-4-545(2)由圖象知,使函數(shù)值y<0的x的取值集合為(-2,0)∪(2,5).知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的奇偶性應(yīng)用題型一奇偶函數(shù)圖象的應(yīng)用例1.已知奇【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=x2+2x.現(xiàn)已畫(huà)出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象,如圖所示.(1)請(qǐng)補(bǔ)全完整函數(shù)y=f(x)的圖象;(2)根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)y=f(x)的增區(qū)間.(2)據(jù)圖可知,單調(diào)增區(qū)間為(-1,0),(1,+∞).【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x題型二利用函數(shù)奇偶性求解析式例2.已知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-2x+3.試求f(x)在R上的表達(dá)式.[解析]
∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).∴f(x)為奇函數(shù),則f(0)=0,設(shè)x<0,則-x>0,∵x>0時(shí),f(x)=x2-2x+3,∴f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+3)=-x2-2x-3題型二利用函數(shù)奇偶性求解析式例2.已知函數(shù)y=f(x)的圖象已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=,試求f(x)的解析式.
2x+1解:設(shè)x<0,則-x>0,f(x)=f(-x)=2-x+12-x+1
x<0
x≥02x+1f(x)=即f(x)=2|x|+1利用奇偶性求函數(shù)解析式的關(guān)注點(diǎn)(1)“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”,即在哪個(gè)區(qū)間求解析式,x就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間內(nèi).
(2)利用已知區(qū)間的解析式代入.(3)利用f(x)的奇偶性寫(xiě)出-f(x)或f(-x),從而解出f(x).已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=【跟蹤訓(xùn)練】1.已知y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x(x-2),則當(dāng)x<0時(shí),f(x)的解析式為 (
)A.f(x)=x(x-2)
B.f(x)=x(x+2)C.f(x)=-x(x-2)D.f(x)=-x(x+2)D2.已知f(x)是R上的偶函數(shù),當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=x2+x-1,求x∈(-∞,0)時(shí),f(x)的解析式.[解析]
設(shè)x<0,則-x>0,∴f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1,∵f(x)為偶函數(shù),∴f(-x)=f(x),∴f(x)=x2-x-1.∴當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f(x)=x2-x-1.【跟蹤訓(xùn)練】D2.已知f(x)是R上的偶函數(shù),當(dāng)x∈(0,+題型三函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系角度1:比較大小例3定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:對(duì)任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,則()A.f(3)<f(-2)<f(1)B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3)D.f(3)<f(1)<f(-2)x1-x2f(x1)-f(x2)偶函數(shù),f(-2)=f(2),在[0,+∞)單調(diào)遞減題型三函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系角度1:比較大小例3定義在R上【跟蹤訓(xùn)練】定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:對(duì)任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,則當(dāng)n∈N*時(shí),有 (
)A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1)B.f(n+1)<f(-n)<f(n-1)C.f(n-1)<f(-n)<f(n+1)D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n)【跟蹤訓(xùn)練】角度2:解不等式例4.定義在(-1,1)上的奇函數(shù)f(x)在整個(gè)定義域上是減函數(shù),若f(1-a)+f(1-3a)<0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.[解析]
原不等式化為f(1-3a)<-f(1-a).因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以-f(1-a)=f(a-1).所以原不等式化為f(1-3a)<f(a-1).轉(zhuǎn)化為f()<f()或f()>f()因?yàn)閒(x)是減函數(shù),且定義域?yàn)?-1,1),利用區(qū)間單調(diào)性列不等式組角度2:解不等式例4.定義在(-1,1)上的奇函數(shù)f(x)在
已知定義在[-2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù),若f(1-m)<f(m),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.[解]
因?yàn)閒(x)在區(qū)間[-2,2]上為奇函數(shù),且在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù),所以f(x)在[-2,2]上為減函數(shù).又f(1-m)<f(m),故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-1,)已知定義在[-2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在實(shí)數(shù)集上是偶函數(shù),且f(3)<f(2a+1),所以f(3)<f(|2a+1|),又函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),所以3<|2a+1|,解得a>1或a<-2.C因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在實(shí)數(shù)集上是偶函數(shù),且f(3)<f(2a+12.已知偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,f(2)=0.若f(x-1)>0,則x的取值范圍是________.(-1,3)3.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù).當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-4x,則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為————————
(-5,0)∪(5,+∞)4.偶函數(shù)y=f(x)在[0,+∞)上是減函數(shù),且滿(mǎn)足f(2x)>f(x+1),則x的取值范圍為_(kāi)_________.
f(2x)>f(x+1)?f(|2x|)>f(|x+1|)?|2x|<|x+1|,變形可得:3x2-2x-1<0,(-,1)132.已知偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,f(2)=05.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,則f(2)等于(
)A.-26 B.-18C.-10 D.10令g(x)=x5+ax3+bx,易知g(x)是R上的奇函數(shù),從而g(-2)=-g(2),又f(x)=g(x)-8,∴f(-2)=g(-2)-8=10,∴g(-2)=18,∴g(2)=-g(-2)=-18.∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.6.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2.若對(duì)任意的x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥2f(x)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________.5.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10已知f(x),g(x)均為R上的奇函數(shù),且F(x)=af(x)+bg(x)+2在區(qū)間(0,+∞)上的最大值為8,則在區(qū)間(-∞,0)上的最小值為_(kāi)_____.因?yàn)閒(x)和g(x)的具體表達(dá)式并沒(méi)有給出,因此應(yīng)充分利用“f(x),g(x)均為R上的奇函數(shù)”這一條件,構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)來(lái)間接求解.由f(x),g(x)均為R上的奇函數(shù),知af(x)+bg(x)為R上的奇函數(shù).由F(x)=af(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上的最大值為8,得F(x)-2=af(x)+bg(x)在(0,+∞)上的最大值為6.根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知F(x)-2=af(x)+bg(x)在(-∞,0)上的最小值為-6,故F(x)=af(x)+bg(x)+2在(-∞,0)上的最小值為-6+2=-4.已知f(x),g(x)均為R上的奇函數(shù),且F(x)=af(x題型四函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性題型四函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性2.函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)若函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)任一x,都有(1)f(a-x)=-f(a+x)?y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱(chēng);(2)f(x)=-f(a-x)?y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱(chēng);(3)f(a+x)=-f(b-x)?y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱(chēng)a2a+b22.函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)a2a+b21.已知函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù),則函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)軸是
.
直線(xiàn)x=12.已知函數(shù)f(x+1)是奇函數(shù),則函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)中心是
.
(1,0)∵f(x+1)是奇函數(shù),∴f(-x+1)=-f(x+1),即f(-x+1)+f(x+1)=0f(x+1)表示是f(x)向左平移一個(gè)單位3.若函數(shù)f(x)=x2-ax-b滿(mǎn)足對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x都有f(1+x)=f(1-x),且f(x)的最小值為-2,求實(shí)數(shù)a,b的值.f(x+1)=f(1-x),關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng),且最小值為-2,則f(x)=(x-1)2-2=x2-2x-1,a=2,b=11.已知函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù),則函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)軸是已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x、y,都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)求f(0)的值;(2)試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;(3)若x>0都有f(x)>0,試判斷函數(shù)的單調(diào)性.
(1).f(0)=0(2)令y=-x,則f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,奇函數(shù)設(shè)0<x1<x2,則x2-
x1>0
,
f(x2)-f(x1)>0
,
f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)>f(x1),函數(shù)
是增函數(shù)已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x、y,都有f(x+y)=f(函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性新課程標(biāo)準(zhǔn)核心素養(yǎng)1.理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念.?dāng)?shù)學(xué)抽象2.掌握判斷某些函數(shù)奇偶性的方法.邏輯推理3.掌握奇偶函數(shù)的圖象特征.直觀想象4.會(huì)根據(jù)概念和圖象判斷簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性.邏輯推理新課程標(biāo)準(zhǔn)核心素養(yǎng)1.理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念.?dāng)?shù)學(xué)抽象2.【學(xué)法解讀】1.學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)要注意結(jié)合前面所學(xué)的知識(shí),如單調(diào)性、函數(shù)圖象、解析式等,加強(qiáng)它們的聯(lián)系.2.學(xué)生應(yīng)理解“奇偶性”的實(shí)質(zhì),也就是圖象的對(duì)稱(chēng)性:是關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱(chēng)還是關(guān)于y軸的軸對(duì)稱(chēng).【學(xué)法解讀】情境引入生活中的對(duì)稱(chēng)
情境引入生活中的對(duì)稱(chēng)
在平面直角坐標(biāo)系中,利用描點(diǎn)法作出函數(shù)y=x2
和y=2-|x|的圖象并觀察這兩個(gè)函數(shù)圖象,總結(jié)出它們的共同特征。x…-3-2-10123…f(x)=x2……9410149xyo123123-1-2-3x…-3-2-10123…f(x)=|x|……-101210-1xyo123123-1-2-3圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)自變量取互為相反數(shù)兩個(gè)數(shù)時(shí),函數(shù)值相等,即f(-x)=f(x)知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的奇偶性在平面直角坐標(biāo)系中,利用描點(diǎn)法作出函數(shù)y=x偶函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)
f(x)的定義域?yàn)锳,如果對(duì)?x∈A,都有-x∈A,且f(-x)=f(x),即f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),那么就稱(chēng)f(x)為偶函數(shù).
偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).思考1:(1)如果定義域內(nèi)存在x0,滿(mǎn)足f(-x0)=f(x0),函數(shù)f(x)是偶函數(shù)嗎?不一定,必須對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x都成立(2).x∈A(A為定義域),-x∈A說(shuō)明什么?偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).偶函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳,如果對(duì)?x∈1.判斷下列函數(shù)是否為偶函數(shù)是不是2.函數(shù)y=f(x),x∈[-1,a](a>-1)是偶函數(shù),則a等于(
)A.-1
B.0C.1 D.無(wú)法確定1.判斷下列函數(shù)是否為偶函數(shù)是不是2.函數(shù)y=f(x),x∈
觀察函數(shù)f(x)=x和f(x)=的圖象,并完成下面的兩個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)表,你能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)函數(shù)有什么共同特征嗎?1xxyo123123-1-2-3xyo123123-1-2-3x…-3-2-10123…f(x)=x……-3
-2-1
0
1
2
3x…-3-2-1123…f(x)=……1x13-12-1312-11觀察函數(shù)f(x)=x和f(x)=奇函數(shù)的定義一般地,設(shè)函數(shù)
f(x)的定義域?yàn)锳,如果對(duì)?x∈A,都有-x∈A,且f(-x)=-f(x),即f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),那么就稱(chēng)f(x)為奇函數(shù).
奇函數(shù)圖象特征:奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),反之,一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),那么它是奇函數(shù).
如果一個(gè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù),那么我們就說(shuō)函數(shù)f(x)具有奇偶性.奇函數(shù)的定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳,如果對(duì)?x
判定函數(shù)奇偶性基本方法:①定義法:先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),再看f(-x)與f(x)的關(guān)系.②圖象法:看圖象是否關(guān)于原點(diǎn)或y軸對(duì)稱(chēng).例1:判斷下列函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)判定函數(shù)奇偶性基本方法:例1:判斷下列函數(shù)的奇偶性:圖象法奇函數(shù)偶函數(shù)Oxy0xy0xy0xy0xy0xy圖象法奇函數(shù)偶函數(shù)Oxy0xy0xy0xy0xy0xy知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的奇偶性應(yīng)用題型一奇偶函數(shù)圖象的應(yīng)用例1.已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-5,5],且在區(qū)間[0,5]上的圖象如圖所示.(1)畫(huà)出在區(qū)間[-5,0]上的圖象;(2)寫(xiě)出使f(x)<0的x的取值集合.xyo123123-1-2-3-4-545(2)由圖象知,使函數(shù)值y<0的x的取值集合為(-2,0)∪(2,5).知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的奇偶性應(yīng)用題型一奇偶函數(shù)圖象的應(yīng)用例1.已知奇【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=x2+2x.現(xiàn)已畫(huà)出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象,如圖所示.(1)請(qǐng)補(bǔ)全完整函數(shù)y=f(x)的圖象;(2)根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)y=f(x)的增區(qū)間.(2)據(jù)圖可知,單調(diào)增區(qū)間為(-1,0),(1,+∞).【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x題型二利用函數(shù)奇偶性求解析式例2.已知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-2x+3.試求f(x)在R上的表達(dá)式.[解析]
∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).∴f(x)為奇函數(shù),則f(0)=0,設(shè)x<0,則-x>0,∵x>0時(shí),f(x)=x2-2x+3,∴f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+3)=-x2-2x-3題型二利用函數(shù)奇偶性求解析式例2.已知函數(shù)y=f(x)的圖象已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=,試求f(x)的解析式.
2x+1解:設(shè)x<0,則-x>0,f(x)=f(-x)=2-x+12-x+1
x<0
x≥02x+1f(x)=即f(x)=2|x|+1利用奇偶性求函數(shù)解析式的關(guān)注點(diǎn)(1)“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”,即在哪個(gè)區(qū)間求解析式,x就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間內(nèi).
(2)利用已知區(qū)間的解析式代入.(3)利用f(x)的奇偶性寫(xiě)出-f(x)或f(-x),從而解出f(x).已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=【跟蹤訓(xùn)練】1.已知y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x(x-2),則當(dāng)x<0時(shí),f(x)的解析式為 (
)A.f(x)=x(x-2)
B.f(x)=x(x+2)C.f(x)=-x(x-2)D.f(x)=-x(x+2)D2.已知f(x)是R上的偶函數(shù),當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=x2+x-1,求x∈(-∞,0)時(shí),f(x)的解析式.[解析]
設(shè)x<0,則-x>0,∴f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1,∵f(x)為偶函數(shù),∴f(-x)=f(x),∴f(x)=x2-x-1.∴當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f(x)=x2-x-1.【跟蹤訓(xùn)練】D2.已知f(x)是R上的偶函數(shù),當(dāng)x∈(0,+題型三函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系角度1:比較大小例3定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:對(duì)任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,則()A.f(3)<f(-2)<f(1)B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3)D.f(3)<f(1)<f(-2)x1-x2f(x1)-f(x2)偶函數(shù),f(-2)=f(2),在[0,+∞)單調(diào)遞減題型三函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系角度1:比較大小例3定義在R上【跟蹤訓(xùn)練】定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:對(duì)任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,則當(dāng)n∈N*時(shí),有 (
)A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1)B.f(n+1)<f(-n)<f(n-1)C.f(n-1)<f(-n)<f(n+1)D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n)【跟蹤訓(xùn)練】角度2:解不等式例4.定義在(-1,1)上的奇函數(shù)f(x)在整個(gè)定義域上是減函數(shù),若f(1-a)+f(1-3a)<0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.[解析]
原不等式化為f(1-3a)<-f(1-a).因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以-f(1-a)=f(a-1).所以原不等式化為f(1-3a)<f(a-1).轉(zhuǎn)化為f()<f()或f()>f()因?yàn)閒(x)是減函數(shù),且定義域?yàn)?-1,1),利用區(qū)間單調(diào)性列不等式組角度2:解不等式例4.定義在(-1,1)上的奇函數(shù)f(x)在
已知定義在[-2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù),若f(1-m)<f(m),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.[解]
因?yàn)閒(x)在區(qū)間[-2,2]上為奇函數(shù),且在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù),所以f(x)在[-2,2]上為減函數(shù).又f(1-m)<f(m),故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-1,)已知定義在[-2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在實(shí)數(shù)集上是偶函數(shù),且f(3)<f(2a+1),所以f(3)<f(|2a+1|),又函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),所以3<|2a+1|,解得a>1或a<-2.C因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在實(shí)數(shù)集上是偶函數(shù),且f(3)<f(2a+12.已知偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,f(2)=0.若f(x-1)>0,則x的取值范圍是________.(-1,3)3.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù).當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-4x,則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為————————
(-5,0)∪(5,+∞)4.偶函數(shù)y=f(x)在[0,+∞)上是減函數(shù),且滿(mǎn)足f(2x)>f(x+1),則x的取值范圍為_(kāi)_________.
f(2x)>f(x+1)?f(|2x|)>f(|x+1|)?|2x|<|x+1|,變形可得:3x2-2x-1<0,(-,1)132.已知偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,f(2)=05.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,則f(2)等于(
)A.-26 B.-18C.-10 D.10令g(x)=x5+ax3+bx,易知g(x)是R上的奇函數(shù),從而g(-2)=-g(2),又f(x)=g(x)-8,∴f(-2)=g(-2)-8=10,∴g(-2)=18,∴g(2)=-g(-2)=-18.∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.6.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2.若對(duì)任意的x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥2f(x)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________.5.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10已知f(x),g(x)均為R上的奇函數(shù),且F(x)=af(x)+bg(x)+2在區(qū)間(0,+∞)上的最大值為8,則在區(qū)間(-∞,0)上的最小值為_(kāi)_____.因?yàn)閒(x)和g(x)的具體
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