中考數(shù)學四邊形與證明課件

中考復習準備好了嗎？時刻準備著！中考復習準備好了嗎？時刻準備著！課程標準及學習目標二、空間與圖形課程標準及學習目標二、空間與圖形(5)四邊形

①探索并了解多邊形的內角和與外角和公式，了解正多邊形的概念。②掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性質，了解它們之間的關系；了解四邊形的不穩(wěn)定性。③探索并掌握平行四邊形的有關性質[1]和四邊形是平行四邊形的條件[2]?！芴剿鞑⒄莆站匦巍⒘庑?、正方形的有關性質[3]和四邊形是矩形、菱形、正方形的條件[4]

(5)四邊形⑤探索并了解等腰梯形的有關性質[5]和四邊形是等腰梯形的條件[6]。⑥探索并了解線段、矩形、平行四邊形、三角形的重心及物理意義(如一根均勻木棒、一塊均勻的矩形木板的重心)。⑦通過探索平面圖形的鑲嵌，知道任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面，并能運用這幾種圖形進行簡單的鑲嵌設計。

⑤探索并了解等腰梯形的有關性質[5]和四邊形是等腰梯【備注2】：

[1]平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分。

[2]一組對邊平行且相等，或兩組對邊分別相等，或對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

[3]矩形的四個角都是直角，對角線相等；菱形的四條邊相等，對角線互相垂直平分?！緜渥?】：[4]三個角是直角的四邊形，或對角線相等的平行四邊形是矩形；四邊相等的四邊形，或對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

[5]等腰梯形同一底上的兩底角相等，兩條對角線相等。

[6]同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形。

[4]三個角是直角的四邊形，或對角線相等的平行四邊形(1)了解證明的含義

①理解證明的必要性。②通過具體的例子，了解定義、命題、定理的含義，會區(qū)分命題的條件(題設)和結論。③結合具體例子，了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，并知道原命題成立其逆命題不一定成立。

④通過具體的例子理解反例的作用，知道利用反例可以證明一個命題是錯誤的。⑤通過實例，體會反證法的含義。⑥掌握用綜合法證明的格式，體會證明的過程要步步有據(jù)。4．圖形與證明

(1)了解證明的含義4．圖形與證明(2)掌握以下基本事實，作為證明的依據(jù)①一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等。②兩條直線被第三條直線所截，若同位角相等，那么這兩條直線平行。③若兩個三角形的兩邊及其夾角(或兩角及其夾邊，或三邊)分別相等，則這兩個三角形全等。④全等三角形的對應邊、對應角分別相等。

(2)掌握以下基本事實，作為證明的依據(jù)(3)利用(2)中的基本事實證明下列命題[1]①平行線的性質定理(內錯角相等、同旁內角互補)和判定定理(內錯角相等或同旁內角互補，則兩直線平行)。②三角形的內角和定理及推論(三角形的外角等于不相鄰的兩內角的和，三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的內角)。③直角三角形全等的判定定理。④角平分線性質定理及逆定理；三角形的三條角平分線交于一點(內心)。(3)利用(2)中的基本事實證明下列命題[1]⑤垂直平分線性質定理及逆定理；三角形的三邊的垂直平分線交于一點(外心)。⑥三角形中位線定理。⑦等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質和判定定理。⑧平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性質和判定定理。

(4)通過對歐幾里得《原本》的介紹，，感受幾何的演繹體系對數(shù)學發(fā)展和人類文明的價值。

⑤垂直平分線性質定理及逆定理；三角形的三邊的垂直平分線交四邊形一、四邊形的分類及轉化二、幾種特殊四邊形的性質三、幾種特殊四邊形的常用判定方法四、中心對稱圖形與中心對稱的區(qū)別和聯(lián)系五、有關定理六、主要畫圖七、典型舉例四邊形一、四邊形的分類及轉化任意四邊形平行四邊形矩形菱形正方形梯形等腰梯形直角梯形兩組對邊平行一個角是直角鄰邊相等鄰邊相等一個角是直角一個角是直角兩腰相等一組對邊平行另一組對邊不平行一、四邊形的分類及轉化任意四邊形平行四邊形矩形菱形正方形梯形

項目四邊形對邊角對角線對稱性平行四邊形矩形菱形正方形等腰梯形平行且相等平行且相等平行且四邊相等平行且四邊相等兩底平行兩腰相等對角相等鄰角互補四個角都是直角同一底上的角相等對角相等鄰角互補四個角都是直角互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每一條對角線平分一組對角相等互相垂直平分且相等，每一條對角線平分一組對角中心對稱圖形中心對稱圖形軸對稱圖形中心對稱圖形軸對稱圖形中心對稱圖形軸對稱圖形軸對稱圖形二、幾種特殊四邊形的性質：項目對邊角對角線對稱性平行四邊形矩形菱形正方形

四邊形條件平行四邊形矩形菱形正方形等腰梯形三、幾種特殊四邊形的常用判定方法：1、定義：兩組對邊分別平行2、兩組對邊分別相等3、一組對邊平行且相等4、對角線互相平分1、定義：有一外角是直角的平行四邊形2、三個角是直角的四邊形3、對角線相等的平行四邊形1、定義：一組鄰邊相等的平行四邊形2、四條邊都相等的四邊形3、對角線互相垂直的平行四邊形1、定義：一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形2、有一組鄰邊相等的矩形3、有一個角是直角的菱形1、兩腰相等的梯形2、在同一底上的兩角相等的梯形3、對角線相等的梯形條件平行矩形菱形正方形等腰梯形三、幾種特殊四邊四、中心對稱圖形與中心對稱的區(qū)別和聯(lián)系中心對稱圖形：中心對稱：如果把一個圖形繞著某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心。如果把一個圖形繞著某一點旋轉180°后與另一個圖形重合，那么這兩個圖形關于這個點中心對稱，這個點叫做對稱中心。ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDC′A′B′ABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABC1、中心對稱的兩個圖形是全等圖形2、中心對稱的兩個圖形的對稱點連線通過對稱中心，且被對稱中心平分中心對稱圖形的對稱點連線通過對稱中心，且被對稱中心平分oo四、中心對稱圖形與中心對稱的區(qū)別和聯(lián)系中心對稱圖形：中心對稱五、有關定理：1、四邊形的內角和等于，外角和等于。n邊形的內角和等于，外角和等于。2、梯形的中位線于兩底，且等于。平行360°（n-2）180°360°兩底和的一半360°條件：在梯形ABCD中，EF是中位線3、兩條平行線之間的距離以及性質：平行線段兩條平行線夾在兩條平行線間的相等夾在間的垂線段相等AB兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫這兩條平行線的距離。ABFEDC如：ABCDL1L2如：ABCDL1L2如：結論：EF∥AB∥CD，EF=（AB+CD）12五、有關定理：1、四邊形的內角和等于4、一組平行線在一條直線上截得的線段相等，則在其它直線上截得的線段也。5、過三角形一邊的中點，且平行于另一邊的直線，必過。6、過梯形一腰的中點，且平行于底邊的直線，必過。ABCDEF條件：AD∥BE∥CF，AB=BC結論：DE=EFABCDE條件：在△ABC中，AD=BD，DE∥BC結論：AE=ECABFEDC條件：在梯形ABCD中，AE=DE，AB∥EF∥DC結論：BF=FC相等第三邊的中點另一腰的中點4、一組平行線在一條直線上截得的線段相等，5、過三角形一邊的六、主要畫圖：1、畫平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形如：畫一個平行四邊形ABCD，使邊BC=5cm,對角線AC=5cm，BD=8cm.ABCDO452.5452.5OBCAD六、主要畫圖：1、畫平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形2、用平行線等分線段CNC如圖：點C就是線段AB的中點AB把線段AB二等分AB把線段AB五等分2、用平行線等分線段CNC如圖：點C就是線段AB的中點AB把EDFH如圖：點C就是線段AB的中點2、用平行線等分線段CNCAB把線段AB二等分AB把線段AB五等分如圖：點D、E、F、H就是線段AB的五等分點EDFH如圖：點C就是線段AB的中點2、用平行線等分線段CN七、典型舉例：例1：如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長BA至E，延長DC至F，使BE=DF，AF交BC于H，CE交AD于G.求證：∠E=∠FABHFCDEG證明：四邊形ABCD是平行四邊形AB∥CD=BE=DFAE∥CF=四邊形AFCE是平行四邊形注：利用平行四邊形的性質來證明線段或角相等是一種常用方法?！螮=∠F七、典型舉例：例1：如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長B例2：如圖，在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四邊形ABCD的面積。BADCE注：四邊形的問題經(jīng)常轉化為三角形的問題來解，轉化的方法是添加適當?shù)妮o助線，如連結對角線、延長兩邊等。解：延長AD，BC交于點E，∵在Rt△ABE中，∠A=60°，∴∠E=30°又∵AB=2∴BE=√3AB=2√3∵在Rt△CDE中，同理可得DE=√3CD=√3∴S四邊形ABCD=SRt△ABE-SRt△CDE=AB·BE-CD·DE1212=×2×2√3-×1×√31212=√33221例2：如圖，在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=6例3：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位線EF=7cm，對角線AC⊥BD，∠BDC=30°，求梯形的高線AHABCHDFE析：求解有關梯形類的題目，常需添加輔助線，把問題轉化為三角形或四邊形來求解，添加輔助線一般有下列所示的幾種情況：平移一腰作兩高平移一對角線過梯形一腰中點和上底一端作直線延長兩腰例3：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位線EF=7cm例3：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位線EF=7cm，對角線AC⊥BD，∠BDC=30°，求梯形的高線AHABCHDFEM解：過A作AM∥BD，交CD的延長線于M又∵AB∥CD∴四邊形ABDM是平行四邊形，∴DM=AB，∠AMC=∠BDC=30°又∵中位線EF=7cm，∴CM=CD+DM=CD+AB=2EF=14cm又∵AC⊥BD，∴AC⊥AM，∵AH⊥CD，∠ACD=60°∴AC=CM=7cm12∴AH=AC·sin60°=√3(cm)72例3：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位線EF=7cm注：①解“翻折圖形”問題的關鍵是要認識到對折時折痕為重合兩點的對稱軸，會形成軸對稱圖形。②本題通過設未知數(shù)，然后根據(jù)圖形的幾何元素間的關系列方程求解的方法，是數(shù)學中常用的“方程思想”。例4：已知，如圖，矩形紙片長為8cm，寬為6cm,把紙對折使相對兩頂點A，C重合，求折痕的長。ABCDFEOD解：設折痕為EF，連結AC，AE，CF，若A，C兩點重合，它們必關于EF對稱，則EF是AC的中垂線，故AF=FC，設AC與EF交于點O，AF=FC=xcm254解得x=∴AF=FC=,FD=8–x=25474答：折痕的長為7.5cm則FD=AD–AF=8-x∵在Rt△CDF中，F(xiàn)C=FD+CD222∴x=（8-x）+6222H在Rt△FEH中，EF=FH+EH222∴EF=6+（-）22225474∴EF=±7.5(負根舍去）作FH⊥BC于H注：①解“翻折圖形”問題的關鍵是要認識到對折時折痕為重合兩點例4：已知，如圖，矩形紙片長為8cm，寬為6cm,把紙對折使相對兩頂點A，C重合，求折痕的長。ABCDFEOFOCDAOAD=FO658=FO=154FE=152解法2例4：已知，如圖，矩形紙片長為8cm，寬為6cm,把紙對折祝同學們：金榜題名！愿我們：心想事成！祝同學們：金榜題名！愿我們：心想事成！中考復習準備好了嗎？時刻準備著！中考復習準備好了嗎？時刻準備著！課程標準及學習目標二、空間與圖形課程標準及學習目標二、空間與圖形(5)四邊形

①探索并了解多邊形的內角和與外角和公式，了解正多邊形的概念。②掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性質，了解它們之間的關系；了解四邊形的不穩(wěn)定性。③探索并掌握平行四邊形的有關性質[1]和四邊形是平行四邊形的條件[2]。’④探索并掌握矩形、菱形、正方形的有關性質[3]和四邊形是矩形、菱形、正方形的條件[4]

(5)四邊形⑤探索并了解等腰梯形的有關性質[5]和四邊形是等腰梯形的條件[6]。⑥探索并了解線段、矩形、平行四邊形、三角形的重心及物理意義(如一根均勻木棒、一塊均勻的矩形木板的重心)。⑦通過探索平面圖形的鑲嵌，知道任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面，并能運用這幾種圖形進行簡單的鑲嵌設計。

⑤探索并了解等腰梯形的有關性質[5]和四邊形是等腰梯【備注2】：

[1]平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分。

[2]一組對邊平行且相等，或兩組對邊分別相等，或對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

[3]矩形的四個角都是直角，對角線相等；菱形的四條邊相等，對角線互相垂直平分。【備注2】：[4]三個角是直角的四邊形，或對角線相等的平行四邊形是矩形；四邊相等的四邊形，或對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

[5]等腰梯形同一底上的兩底角相等，兩條對角線相等。

[6]同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形。

[4]三個角是直角的四邊形，或對角線相等的平行四邊形(1)了解證明的含義

①理解證明的必要性。②通過具體的例子，了解定義、命題、定理的含義，會區(qū)分命題的條件(題設)和結論。③結合具體例子，了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，并知道原命題成立其逆命題不一定成立。

④通過具體的例子理解反例的作用，知道利用反例可以證明一個命題是錯誤的。⑤通過實例，體會反證法的含義。⑥掌握用綜合法證明的格式，體會證明的過程要步步有據(jù)。4．圖形與證明

(1)了解證明的含義4．圖形與證明(2)掌握以下基本事實，作為證明的依據(jù)①一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等。②兩條直線被第三條直線所截，若同位角相等，那么這兩條直線平行。③若兩個三角形的兩邊及其夾角(或兩角及其夾邊，或三邊)分別相等，則這兩個三角形全等。④全等三角形的對應邊、對應角分別相等。

(2)掌握以下基本事實，作為證明的依據(jù)(3)利用(2)中的基本事實證明下列命題[1]①平行線的性質定理(內錯角相等、同旁內角互補)和判定定理(內錯角相等或同旁內角互補，則兩直線平行)。②三角形的內角和定理及推論(三角形的外角等于不相鄰的兩內角的和，三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的內角)。③直角三角形全等的判定定理。④角平分線性質定理及逆定理；三角形的三條角平分線交于一點(內心)。(3)利用(2)中的基本事實證明下列命題[1]⑤垂直平分線性質定理及逆定理；三角形的三邊的垂直平分線交于一點(外心)。⑥三角形中位線定理。⑦等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質和判定定理。⑧平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性質和判定定理。

(4)通過對歐幾里得《原本》的介紹，，感受幾何的演繹體系對數(shù)學發(fā)展和人類文明的價值。

⑤垂直平分線性質定理及逆定理；三角形的三邊的垂直平分線交四邊形一、四邊形的分類及轉化二、幾種特殊四邊形的性質三、幾種特殊四邊形的常用判定方法四、中心對稱圖形與中心對稱的區(qū)別和聯(lián)系五、有關定理六、主要畫圖七、典型舉例四邊形一、四邊形的分類及轉化任意四邊形平行四邊形矩形菱形正方形梯形等腰梯形直角梯形兩組對邊平行一個角是直角鄰邊相等鄰邊相等一個角是直角一個角是直角兩腰相等一組對邊平行另一組對邊不平行一、四邊形的分類及轉化任意四邊形平行四邊形矩形菱形正方形梯形

項目四邊形對邊角對角線對稱性平行四邊形矩形菱形正方形等腰梯形平行且相等平行且相等平行且四邊相等平行且四邊相等兩底平行兩腰相等對角相等鄰角互補四個角都是直角同一底上的角相等對角相等鄰角互補四個角都是直角互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每一條對角線平分一組對角相等互相垂直平分且相等，每一條對角線平分一組對角中心對稱圖形中心對稱圖形軸對稱圖形中心對稱圖形軸對稱圖形中心對稱圖形軸對稱圖形軸對稱圖形二、幾種特殊四邊形的性質：項目對邊角對角線對稱性平行四邊形矩形菱形正方形

四邊形條件平行四邊形矩形菱形正方形等腰梯形三、幾種特殊四邊形的常用判定方法：1、定義：兩組對邊分別平行2、兩組對邊分別相等3、一組對邊平行且相等4、對角線互相平分1、定義：有一外角是直角的平行四邊形2、三個角是直角的四邊形3、對角線相等的平行四邊形1、定義：一組鄰邊相等的平行四邊形2、四條邊都相等的四邊形3、對角線互相垂直的平行四邊形1、定義：一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形2、有一組鄰邊相等的矩形3、有一個角是直角的菱形1、兩腰相等的梯形2、在同一底上的兩角相等的梯形3、對角線相等的梯形條件平行矩形菱形正方形等腰梯形三、幾種特殊四邊四、中心對稱圖形與中心對稱的區(qū)別和聯(lián)系中心對稱圖形：中心對稱：如果把一個圖形繞著某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心。如果把一個圖形繞著某一點旋轉180°后與另一個圖形重合，那么這兩個圖形關于這個點中心對稱，這個點叫做對稱中心。ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDC′A′B′ABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABC1、中心對稱的兩個圖形是全等圖形2、中心對稱的兩個圖形的對稱點連線通過對稱中心，且被對稱中心平分中心對稱圖形的對稱點連線通過對稱中心，且被對稱中心平分oo四、中心對稱圖形與中心對稱的區(qū)別和聯(lián)系中心對稱圖形：中心對稱五、有關定理：1、四邊形的內角和等于，外角和等于。n邊形的內角和等于，外角和等于。2、梯形的中位線于兩底，且等于。平行360°（n-2）180°360°兩底和的一半360°條件：在梯形ABCD中，EF是中位線3、兩條平行線之間的距離以及性質：平行線段兩條平行線夾在兩條平行線間的相等夾在間的垂線段相等AB兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫這兩條平行線的距離。ABFEDC如：ABCDL1L2如：ABCDL1L2如：結論：EF∥AB∥CD，EF=（AB+CD）12五、有關定理：1、四邊形的內角和等于4、一組平行線在一條直線上截得的線段相等，則在其它直線上截得的線段也。5、過三角形一邊的中點，且平行于另一邊的直線，必過。6、過梯形一腰的中點，且平行于底邊的直線，必過。ABCDEF條件：AD∥BE∥CF，AB=BC結論：DE=EFABCDE條件：在△ABC中，AD=BD，DE∥BC結論：AE=ECABFEDC條件：在梯形ABCD中，AE=DE，AB∥EF∥DC結論：BF=FC相等第三邊的中點另一腰的中點4、一組平行線在一條直線上截得的線段相等，5、過三角形一邊的六、主要畫圖：1、畫平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形如：畫一個平行四邊形ABCD，使邊BC=5cm,對角線AC=5cm，BD=8cm.ABCDO452.5452.5OBCAD六、主要畫圖：1、畫平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形2、用平行線等分線段CNC如圖：點C就是線段AB的中點AB把線段AB二等分AB把線段AB五等分2、用平行線等分線段CNC如圖：點C就是線段AB的中點AB把EDFH如圖：點C就是線段AB的中點2、用平行線等分線段CNCAB把線段AB二等分AB把線段AB五等分如圖：點D、E、F、H就是線段AB的五等分點EDFH如圖：點C就是線段AB的中點2、用平行線等分線段CN七、典型舉例：例1：如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長BA至E，延長DC至F，使BE=DF，AF交BC于H，CE交AD于G.求證：∠E=∠FABHFCDEG證明：四邊形ABCD是平行四邊形AB∥CD=BE=DFAE∥CF=四邊形AFCE是平行四邊形注：利用平行四邊形的性質來證明線段或角相等是一種常用方法。∠E=∠F七、典型舉例：例1：如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長B例2：如圖，在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四邊形ABCD的面積。BADCE注：四邊形的問題經(jīng)常轉化為三角形的問題來解，轉化的方法是添加適當?shù)妮o助線，如連結對角線、延長兩邊等。解：延長AD，BC交于點E，∵在Rt△ABE中，∠A=60°，∴∠E=30°又∵AB=2∴BE=√3AB=2√3∵在Rt△CDE中，同理可得DE=√3CD=√3∴S四邊形ABCD=SRt△ABE-SRt△CDE=AB·BE-CD·DE1212=×2×2√3-×1×√31212=√33221例2：如圖，在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=6例3：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位線EF=7cm，對角線AC⊥