2022年山西省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

第15頁/共15頁2022年山西省普通高中學(xué)業(yè)水平考試試卷數(shù)學(xué)說明：1.答卷前考生務(wù)必將自己的座位號?姓名?準(zhǔn)考證號?考點名稱?考場號等信息填寫在相應(yīng)位置.2.答卷時考生務(wù)必用藍?黑墨水筆或圓珠筆作答（作圖可用黑色鉛筆）.答案寫在答題卡上，密封線內(nèi)不要答題.3.本試卷共5頁，答題時間90分鐘，滿分150分.一?選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）在每小題列出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母填寫在下列表格中.1.已知集合，2，3，，，，，，則（）A.， B. C. D.，2，3，【答案】B【解析】【分析】先計算得到，再計算得到答案.【詳解】集合，2，3，，，，，，則，故選：【點睛】本題考查了交集和補集的運算，屬于簡單題.2.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合臨界值即可判斷出大小關(guān)系.【詳解】，.故選：B.3.從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，互斥而不對立的兩個事件是（）A.至少有1個白球；都是白球 B.至少有1個白球；至少有1個紅球C.恰有1個白球；恰有2個白球 D.至少有1個白球；都是紅球【答案】C【解析】【分析】根據(jù)互斥事件以及對立事件的概念以及二者之間關(guān)系，一一判斷各選項，可得答案.【詳解】A：“至少有1個白球”和“都是白球”，可同時發(fā)生，故它們不是互斥事件,A錯誤；B：“至少有1個白球”和“至少有1個紅球”，因為1個白球1個紅球時兩種情況同時發(fā)生，故它們不是互斥事件，B錯誤；C：“恰有1個白球”和“恰有2個白球”，不可能同時發(fā)生，所以它們是互斥事件；當(dāng)2個球都是紅球時它們都不發(fā)生，所以它們不是對立事件，C正確；D：“至少有1個白球”和“都是紅球”，不可能同時發(fā)生，所以它們是互斥事件；由于它們必有一個發(fā)生，所以它們是對立事件，D錯誤，故選：C4.已知，表示兩條不同的直線，表示平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)、線面平行的判定與性質(zhì)依次判斷各個選項可得結(jié)果.【詳解】選項：由線面垂直的性質(zhì)定理可知正確；選項：由線面垂直判定定理知，需垂直于內(nèi)兩條相交直線才能說明，錯誤；選項：若，則平行關(guān)系不成立，錯誤；選項：的位置關(guān)系可能是平行或異面，錯誤.故選：【點睛】本題考查空間中線面平行與垂直相關(guān)命題的辨析，關(guān)鍵是能夠熟練掌握空間中直線與平面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理.5.函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一：不妨設(shè)，解即可得出答案.方法二：取，則有，又因為，所以與矛盾，即可得出答案.方法三：根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性可得，利用函數(shù)的單調(diào)性可得，解不等式即可求出答案.【詳解】［方法一］：特殊函數(shù)法由題意，不妨設(shè)，因為，所以，化簡得．故選：D.［方法二］：【最優(yōu)解】特殊值法假設(shè)可取，則有，又因為，所以與矛盾，故不是不等式的解，于是排除A、B、C．故選：D.［方法三］：直接法根據(jù)題意，為奇函數(shù)，若，則，因為在單調(diào)遞減，且，所以，即有：，解可得：.故選：D.【整體點評】方法一：取滿足題意的特殊函數(shù)，是做選擇題的好方法；方法二：取特殊值，利用單調(diào)性排除，是該題的最優(yōu)解；方法三：根據(jù)題意依照單調(diào)性解不等式，是該題的通性通法．6.如果不等式成立的充分不必要條件是；則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解絕對值不等式，得到，結(jié)合題干條件得到是的真子集，從而得到不等式組，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】，解得：，所以成立的充分不必要條件是，故是的真子集，所以或，解得：，故實數(shù)的取值范圍是.故選：B7.函數(shù)的圖像是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的圖象與軸的交點是結(jié)合函數(shù)的平移變換得函數(shù)的圖象與軸的公共點是，即可求解.【詳解】由于函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象左移一個單位而得到，函數(shù)的圖象與軸的交點是，故函數(shù)的圖象與軸的交點是，即函數(shù)的圖象與軸的公共點是，顯然四個選項只有A選項滿足.故選：A.8.將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，那么下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為 B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)為奇函數(shù) D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換和誘導(dǎo)公式可化簡得到；由正弦型函數(shù)最小正周期、對稱軸和對稱中心、奇偶性的判斷方法依次判斷各個選項即可.【詳解】由題意得：；對于A，的最小正周期，A錯誤；對于B，當(dāng)時，，不是的對稱中心，B錯誤；對于C，，為奇函數(shù)，C正確；對于D，當(dāng)時，，不是的對稱軸，D錯誤.故選：C.9.已知平面內(nèi)一點P及△ABC，若，則P與△ABC的位置關(guān)系是（）A.P在△ABC外部 B.P在線段AB上C.P在線段AC上 D.P在線段BC上【答案】B【解析】【分析】運用向量的加減法運算進行化簡，再結(jié)合共線定理判定出點位置.【詳解】因為，所以所以點P在線段AB上故選：B10.已知正方體的棱長為分別是棱的中點，動點在正方形（包括邊界）內(nèi)運動，若面，則線段的長度范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，找去過與平面平行的平面，則可得到所在的平面，進而得到答案.【詳解】由題意，取的中點，的中點，連接，，，，，作圖如下：在正方體中，易知，，，則共面，平面，平面，平面，同理可得：平面，，平面平面，當(dāng)平面時，平面，正方體的棱長為，在中，，解得，同理，在中，，解得，則中邊上的高，即，故選：D.二?填空題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）請將答案填在題中橫線上.11.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算法則，直接計算即可.【詳解】故答案為：12.已知，且，則______.【答案】##【解析】【分析】利用二倍角余弦公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系可將所求式子化為，由正余弦齊次式的求法可求得結(jié)果.詳解】.故答案為：.13.甲?乙?丙三位同學(xué)站成一排照相，則甲丙相鄰的概率為______.【答案】【解析】【分析】分別計算出甲?乙?丙三位同學(xué)站成一排照相的基本事件和甲丙相鄰包含的基本事件，即可求出所求概率【詳解】甲?乙?丙三位同學(xué)站成一排照相，基本事件總數(shù)為：，甲丙相鄰包含的基本事件總數(shù)為：則所求概率為：故答案為：14.已知，則的最小值為___________【答案】【解析】【分析】根據(jù)基本不等式，結(jié)合代數(shù)式的恒等變形進行求解即可.【詳解】解：因為a>0，b>0，且4a+b=2，所以有：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即時取等號，故答案為：.15已知函數(shù)，若，則________．【答案】-7【解析】【詳解】分析：首先利用題的條件，將其代入解析式，得到，從而得到，從而求得，得到答案.詳解：根據(jù)題意有，可得，所以，故答案是.點睛：該題考查的是有關(guān)已知某個自變量對應(yīng)函數(shù)值的大小，來確定有關(guān)參數(shù)值的問題，在求解的過程中，需要將自變量代入函數(shù)解析式，求解即可得結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題目.16.若不等式對一切恒成立，則的最小值是__________．【答案】.【解析】【分析】分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最大值的問題，則問題得解.【詳解】不等式對一切成立，等價于對于一切成立．設(shè)，則．因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，所以，所以的最小值為．故答案為：.【點睛】本題考查由一元二次不等式恒成立求參數(shù)范圍的問題，屬基礎(chǔ)題.17.半徑為R的半圓卷成一個圓錐，則它的體積為_________【答案】【解析】【詳解】由題可得，因為半徑為半圓卷成一個圓錐，所以該圓錐的底面半徑滿足，解得.所以圓錐的高為.所以該圓錐的體積為=.故答案為：18.如圖是甲?乙兩人在射擊測試中6次命中環(huán)數(shù)的折線圖，下列說法正確的是______.①若甲?乙射擊成績的平均數(shù)分別為，則②若甲?乙射擊成績的方差分別為，則③乙射擊成績的中位數(shù)小于甲射擊成績的中位數(shù)④乙比甲的射擊成績穩(wěn)定【答案】③④【解析】【分析】從圖中得到甲、乙的射擊成績進而求出其平均數(shù)、中位數(shù)，可以判斷①錯誤，③正確；甲的成績比較分散，而乙的成績比較集中，所以甲的方差較大，可以判斷②錯誤、④正確.【詳解】由圖可知甲的射擊成績?yōu)?、10、6、7、9、8，乙的射擊成績?yōu)?、7、5、5、7、7.甲?乙射擊成績的平均數(shù)分別，則，，所以，所以①錯誤；從甲、乙射擊成績看，甲的成績比較分散，而乙的成績比較集中，所以甲的方差較大，即，所以②錯誤；甲的射擊成績從小到大排序為6、7、8、9、9、10，則中位數(shù)為8.5，乙的射擊成績從小到大排序為5、5、6、7、7、7，則中位數(shù)為6.5，所以乙射擊成績的中位數(shù)小于甲射擊成績的中位數(shù)，所以③正確；因為乙的成績比較集中，所以乙比甲的射擊成績穩(wěn)定，所以④正確.故答案為：③④三?解答題（本大題共5小題，共60分）解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.19.某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用比例分配的分層隨機抽樣的方法從中隨機抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計分?jǐn)?shù)的樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)；（2）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計總體中女生的人數(shù).【答案】（1）77.5；（2）(人).【解析】【分析】（1）根據(jù)分位數(shù)的概念，結(jié)合題給頻率分布直方圖計算得出結(jié)果即可；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖計算出樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的人數(shù)，進而計算出樣本中男生及女生的人數(shù)，最后求出總體中女生的人數(shù).【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為，從而有：樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為，又由頻率分布直方圖可得：樣本中分?jǐn)?shù)小于80的頻率為0.8，所以樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)必定位于之間.計算為：所以其分?jǐn)?shù)的樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)估計值為77.5.（2）由題知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為，從而有，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為，進而得，樣本中的男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，所以總體中女生人數(shù)為(人).20.在中，內(nèi)角的對面分別為，且滿足.（1）求；（2）若，求及的面積.【答案】（1）；（2）8，.【解析】【分析】（1）首先利用正弦定理得到，從而得到，即可得到答案.（2）首先利用余弦定理得到，再利用正弦定理求解面積即可.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，因為，所以，且易知所以，又，所以.（2）由（1）知，所以在中，由余弦定理得，，即，因為，解得，所以.21.已知函數(shù).（Ⅰ）求的最小正周期：（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2，．【解析】【詳解】（Ⅰ）因為，故最小正周期為（Ⅱ）因為，所以．于是，當(dāng)，即時，取得最大值；當(dāng)，即時，取得最小值．點睛：本題主要考查了兩角和的正弦公式，輔助角公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握公式是解答本題的關(guān)鍵.22.如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，為中點.（1）求證：平面；（2）求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；【解析】【分析】（1）設(shè)與交于點，接，可得，即可證明平面；（2）由底面是菱形，得，又底面，可得，證明平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證．【詳解】證明：（1）設(shè)與交于點，接，底面是菱形，為中點，又因為是的中點，，面，平面平面．（2）底面是菱形，，底面，底面，，且，平面．平面．平面，．23.為了響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召，2022年某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備．通過市場分析：全年需投入固定成本2500萬元，每生產(chǎn)x（百輛）新能源汽車，需另投入成本萬元，且.由市場調(diào)研知，每輛車售價9萬元，且生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完．（1）請寫出2022年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)