2024-2025學年高二上學期期末數(shù)學試卷（基礎(chǔ)篇）（含答案）

2024-2025高二上學期期末數(shù)學試卷（基礎(chǔ)篇）【人教A版（2019）】（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上；2.回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效；3.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效；4.測試范圍：選擇性必修第一冊全冊、選擇性必修第二冊第四章數(shù)列；5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2023上·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）過點1,2且與直線2x+y-3=0平行的直線的方程為（

）A．2x-y=0 B．2x-y-4=0C．2x+y-4=0 D．2x+y-5=02．（5分）（2023上·新疆伊犁·高二?？计谀├脭?shù)學歸納法證明fn=1+2+3+4+???+4n-1A．f1=1 C．f2=1+2 3．（5分）（2022下·安徽滁州·高二統(tǒng)考期末）三棱柱ABC-DEF中，G為棱AD的中點，若BA=a，BC=b，BD=A．-a+bC．-12a4．（5分）（2022上·寧夏銀川·高二?？计谀┰O(shè)a>b>0，若雙曲線C1：x2a2-y2b2A．22 B．12 C．325．（5分）（2023上·新疆伊犁·高二?？计谀┮阎猠1、e2、e3為空間三個不共面的向量，向量a=e1+μe2+4eA．-3 B．3 C．-15 D．156．（5分）（2023上·安徽滁州·高二?？计谀┲本€l過圓C:x+32+y2=4的圓心，并且與直線A．x+y-2=0 B．x-y+2=0 C．x+y-3=0 D．x-y+3=07．（5分）（2023上·湖南衡陽·高二?？计谀┮阎缺葦?shù)列an的公比為-12，前n項和為Sn.若S2m=31，A．3 B．4 C．5 D．78．（5分）（2023上·安徽滁州·高二?？计谀╇p曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F122,0，點AA．2 B．3 C．2 D．1二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2023上·湖南婁底·高二統(tǒng)考期末）下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（

）A．數(shù)列-2023,0,4與數(shù)列4,0,-2023是同一個數(shù)列B．數(shù)列{an}C．在數(shù)列1,2,D．數(shù)列3,5,9,17,33,…的一個通項公式為a10．（5分）（2023上·甘肅金昌·高二?？计谀┫铝兄本€中，與圓x2+yA．x+y=2 B．3x+y-4=0 C．x+y=22 11．（5分）（2023上·重慶·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量a=2,-1,2，b=A．a(chǎn)=3 B．2a-b=0,-5,212．（5分）（2023下·云南曲靖·高一曲靖一中?？计谀┮阎獧E圓Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的左,右焦點分別為F1,FA．橢圓Γ的離心率的取值范圍是2B．當橢圓Γ的離心率為32時，QFC．存在點Q使∠D．1QF第Ⅱ卷三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023下·重慶沙坪壩·高一?？计谀┤魞蓷l平行直線l1：3x-4y-4=0與l2：3x-4y+C=0間的距離為2，則C=14．（5分）（2023下·江西宜春·高一?？计谀┮阎猘n為等差數(shù)列，前n項和為Sn，若S4=415．（5分）（2023上·新疆伊犁·高二?？计谀┬甭蕿?的直線過拋物線C:y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則16．（5分）（2023上·湖南懷化·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E?F分別為四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2023上·四川成都·高二統(tǒng)考期末）已知點P(-4,2)，直線l:3x-4y-5=0.(1)求經(jīng)過點P且與直線l平行的直線的方程；(2)求經(jīng)過點P且與直線l垂直的直線的方程.18．（12分）（2023上·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知空間三點A(-1,0,2),B(0,1,2),C(-3,0,4)，設(shè)AB=(1)求a與b的夾角θ的余弦值；(2)若向量ka+b與a19．（12分）（2023上·重慶·高二統(tǒng)考期末）已知an是等差數(shù)列，bn是公比大于0的等比數(shù)列，bn的前n項和為Sn，且a3+a(1)求an和b(2)求數(shù)列an-bn的前20．（12分）（2023上·吉林長春·高二?？计谀┮阎獔AC的半徑為2，圓心在射線y=x(x≥0)上，直線3x+4y+3=0與圓C相切．(1)求圓C的標準方程；(2)求直線l：2x-y+1=0與圓C相交的弦長．21．（12分）（2023下·北京海淀·高二清華附中校考期末）四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=CD=1，AB=BC=2，PC=3，AB//

(1)求證：BC⊥平面PAB；(2)求二面角A-PD-C的余弦值．22．（12分）（2023下·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓M：x2a2+y2b2=1a>b>0，點F1-1,0、C-2,0分別是橢圓M

(1)求橢圓M的標準方程；(2)若A0,3，求(3)是否存在直線l，使得點B在以線段AC為直徑的圓上，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

高二上學期期末數(shù)學試卷（基礎(chǔ)篇）參考答案與試題解析第Ⅰ卷一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2023上·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）過點1,2且與直線2x+y-3=0平行的直線的方程為（

）A．2x-y=0 B．2x-y-4=0C．2x+y-4=0 D．2x+y-5=0【解題思路】設(shè)出所求的直線方程，再利用待定系數(shù)法求解即得.【解答過程】依題意，設(shè)所求直線方程為2x+y-m=0(m≠3)，因此2×1+2-m=0，解得m=4，所以過點1,2且與直線2x+y-3=0平行的直線的方程為2x+y-4=0.故選：C.2．（5分）（2023上·新疆伊犁·高二?？计谀├脭?shù)學歸納法證明fn=1+2+3+4+???+4n-1A．f1=1 C．f2=1+2 【解題思路】觀察f(n)為4n-1項連續(xù)正整數(shù)之和的規(guī)律，可得f(1).【解答過程】由題意f(n)=1+2+3+?+4n-1，n∈N即從1起連續(xù)4n-1項正整數(shù)之和.則f(1)為從1起連續(xù)3個正整數(shù)之和，故第一步應證明f(1)=1+2+3.故選：B.3．（5分）（2022下·安徽滁州·高二統(tǒng)考期末）三棱柱ABC-DEF中，G為棱AD的中點，若BA=a，BC=b，BD=A．-a+bC．-12a【解題思路】利用空間向量的線性運算法則與空間向量基本定理，求解即可.【解答過程】CG故選：D.4．（5分）（2022上·寧夏銀川·高二?？计谀┰O(shè)a>b>0，若雙曲線C1：x2a2-y2b2A．22 B．12 C．32【解題思路】由雙曲線的離心率得a,b關(guān)系，再根據(jù)橢圓中a,b,c關(guān)系變形得出橢圓離心率．【解答過程】由題意a2+b2故選：B．5．（5分）（2023上·新疆伊犁·高二校考期末）已知e1、e2、e3為空間三個不共面的向量，向量a=e1+μe2+4eA．-3 B．3 C．-15 D．15【解題思路】設(shè)a=kbk∈R，根據(jù)空間向量共線的基本定理可得出關(guān)于k、λ【解答過程】因為e1、e2、e3為空間三個不共面的向量，向量a若a與b共線，設(shè)a=kbk∈R可得1=3kμ=9k4=λk，解得k=1故選：D.6．（5分）（2023上·安徽滁州·高二?？计谀┲本€l過圓C:x+32+y2=4的圓心，并且與直線A．x+y-2=0 B．x-y+2=0 C．x+y-3=0 D．x-y+3=0【解題思路】求圓心坐標，由垂直可得斜率，然后根據(jù)點斜式可得.【解答過程】由(x+3)2+y又因為直線l與直線x+y+2=0垂直，所以直線l的斜率為k=1，由點斜式得直線l:y-0=x+3，化簡得直線l的方程是x-y+3=0．故選：D．7．（5分）（2023上·湖南衡陽·高二?？计谀┮阎缺葦?shù)列an的公比為-12，前n項和為Sn.若S2m=31，A．3 B．4 C．5 D．7【解題思路】由等比數(shù)列前n項和列出S2m與Sm，兩式相比即可解出答案；或根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)得Sm，S2m-Sm【解答過程】法一：因為等比數(shù)列an的公比為-則S2m=a所以S2mSm法二：根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)得Sm，S2m-Sm所以S2m-SmS故選：C.8．（5分）（2023上·安徽滁州·高二?？计谀╇p曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F122,0，點AA．2 B．3 C．2 D．1【解題思路】根據(jù)題意，利用雙曲線的定義把△APF1的周長用△APF的周長來表示，可求△APF【解答過程】如下圖所示：

設(shè)該雙曲線的左焦點為點F，由雙曲線的定義可得PFAF=AF1=(22)2所以，△APFAP當且僅當A，P，F(xiàn)三點共線時，△APF1的周長取得最小值，即6+2a=8，解得故選：D．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2023上·湖南婁底·高二統(tǒng)考期末）下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（

）A．數(shù)列-2023,0,4與數(shù)列4,0,-2023是同一個數(shù)列B．數(shù)列{an}C．在數(shù)列1,2,D．數(shù)列3,5,9,17,33,…的一個通項公式為a【解題思路】根據(jù)數(shù)列概念即可得選項A正誤;利用數(shù)列的通項公式等于110,計算出結(jié)果,即可得選項B的正誤;根據(jù)數(shù)列的規(guī)律,即可得選項C、D的正誤.【解答過程】解:因為數(shù)列-2023,0,4的首項是-2023,而數(shù)列4,0,-2023的首項是4,所以兩個數(shù)列不是同一個,故選項A錯誤;當an=nn+1=110時,解得:即110是該數(shù)列的第10項,故選項B正確;因為數(shù)列1,2,3所以第8個數(shù)是8=2因為aa4=2故選：BCD.10．（5分）（2023上·甘肅金昌·高二?？计谀┫铝兄本€中，與圓x2+yA．x+y=2 B．3x+y-4=0 C．x+y=22 【解題思路】根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系對選項一一驗證即可.【解答過程】圓x2+y2=4對于選項A，圓心到直線的距離d=-2對于選項B，圓心到直線的距離d=-4對于選項C，圓心到直線的距離d=-2對于選項D，圓心到直線的距離d=8故選：BC.11．（5分）（2023上·重慶·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量a=2,-1,2，b=A．a(chǎn)=3 B．2a-b=0,-5,2【解題思路】根據(jù)空間向量坐標運算法則計算可得.【解答過程】因為a=2,-1,2，所以a=2aa?b=2×4+-1×3+2×0=5又b=42故選：AD.12．（5分）（2023下·云南曲靖·高一曲靖一中?？计谀┮阎獧E圓Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的左,右焦點分別為F1,FA．橢圓Γ的離心率的取值范圍是2B．當橢圓Γ的離心率為32時，QFC．存在點Q使∠D．1QF【解題思路】根據(jù)點P1,1在橢圓Γ外,求出b的取值范圍,即可求出離心率的取值范圍,從而判斷A;根據(jù)離心率求出c,則QF1∈a-c,a+c,即可判斷B;設(shè)上頂點A【解答過程】由題意得a=3,又點P1,1在橢圓Γ外,則13所以橢圓Γ的離心率e=ca=3-b當e=32時,c=32,所以QF設(shè)橢圓的上頂點為A0,b,F1-c,0,F2c,0,由于A因為點Q在橢圓Γ上,所以QF則1=3當且僅當QF所以1QF1故選:ABC.第Ⅱ卷三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023下·重慶沙坪壩·高一?？计谀┤魞蓷l平行直線l1：3x-4y-4=0與l2：3x-4y+C=0間的距離為2，則C=6或-14【解題思路】根據(jù)兩平行線見距離公式運算求解.【解答過程】由題意可得：C--432+-4故答案為：6或-14.14．（5分）（2023下·江西宜春·高一校考期末）已知an為等差數(shù)列，前n項和為Sn，若S4=4S2【解題思路】利用等差數(shù)列基本量，列方程組，即可求解.【解答過程】設(shè)等差數(shù)列的首項為a1，公差為d4a1+4×32所以an故答案為：2n-1.15．（5分）（2023上·新疆伊犁·高二?？计谀┬甭蕿?的直線過拋物線C:y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則AB=【解題思路】聯(lián)立直線與拋物線的方程，再根據(jù)拋物線的焦點弦公式求解即可.【解答過程】由題意拋物線C:y2=4x的焦點1,0，故斜率為2的直線過拋物線C:聯(lián)立y2=4x有2x-12=4x則x1+x2=4，又拋物線C:故答案為：6.16．（5分）（2023上·湖南懷化·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E?F分別為BC,CD中點，【解題思路】利用坐標法，根據(jù)點到平面的距離向量求法即得.【解答過程】如圖建立空間直角坐標系，則B1所以C1設(shè)平面C1EF的法向量為則m?C1E=x-2z=0所以B1到平面C1EF故答案為：43四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2023上·四川成都·高二統(tǒng)考期末）已知點P(-4,2)，直線l:3x-4y-5=0.(1)求經(jīng)過點P且與直線l平行的直線的方程；(2)求經(jīng)過點P且與直線l垂直的直線的方程.【解題思路】（1）設(shè)出所求平行直線的方程，利用P點坐標求得正確答案.（2）利用點斜式求得所求直線的方程.【解答過程】（1）設(shè)經(jīng)過點P且與直線l平行的直線的方程為3x-4y+C=0，將P-4,2代入得-12-8+C=0,C=20所以所求直線方程為3x-4y+20=0（2）直線l:3x-4y-5=0的斜率為34與直線l垂直的直線的斜率為-4所以經(jīng)過點P且與直線l垂直的直線的方程為y-2=-4即4x+3y+10=0.18．（12分）（2023上·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知空間三點A(-1,0,2),B(0,1,2),C(-3,0,4)，設(shè)AB=(1)求a與b的夾角θ的余弦值；(2)若向量ka+b與a【解題思路】(1)先求出向量a,(2)利用向量垂直的充要條件列出方程，解方程求出k的值.【解答過程】（1）因為a=AB=所以空間向量的夾角公式，可得cosθ=所以a與b的夾角θ的余弦值為-1（2）由（1）可知a=(1,1,0)，b因為向量ka+b與a所以ka2-k所以k2-3k-1=0，解得19．（12分）（2023上·重慶·高二統(tǒng)考期末）已知an是等差數(shù)列，bn是公比大于0的等比數(shù)列，bn的前n項和為Sn，且a3+a(1)求an和b(2)求數(shù)列an-bn的前【解題思路】（1）由bn是公比大于0的等比數(shù)列及b1=1，b3=b2+2求出公比，由等差數(shù)列下標和定理結(jié)合（2）利用分組求和，結(jié)合等差等比前n項和公式計算即可．【解答過程】（1）設(shè)an的公差為d，bn的公比為∵b3=b2+2，b1=1∵q>0，∴q=2，∴bn∵a3+a∵a∴d=1，∴an故an=n，（2）由（1）得，T=1+2+3+???+n-=∴Tn20．（12分）（2023上·吉林長春·高二?？计谀┮阎獔AC的半徑為2，圓心在射線y=x(x≥0)上，直線3x+4y+3=0與圓C相切．(1)求圓C的標準方程；(2)求直線l：2x-y+1=0與圓C相交的弦長．【解題思路】（1）根據(jù)直線與圓相切，應用點線距離公式求圓心坐標，寫出圓C的標準方程.（2）根據(jù)相交弦、弦心距、半徑之間的幾何關(guān)系求弦長即可.【解答過程】（1）由題意可設(shè)：圓心為Ca,a由圓C與3x+4y+3=0相切，有|7a+3|5=2，即可得a=1或所以圓C的標準方程為(x-1)2（2）由（1）可知：C(1,1)，r=2，則C到直線l:2x-y+1=0的距離為d=2所以直線l與圓C相交的弦長為2r21．（12分）（2023下·北京海淀·高二清華附中?？计谀┧睦忮FP-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=CD=1，AB=BC=2，PC=3，AB//

(1)求證：BC⊥平面PAB；(2)求二面角A-PD-C的余弦值．【解題思路】（1）由線面垂直的性質(zhì)得到PA⊥BC、PA⊥AC，從而得到AB⊥BC，即可得證；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.【解答過程】（1）連接AC，因為PA⊥平面