人教數(shù)學九年級上冊弧長和扇形面積課時1課件

第1課時24.4弧長和扇形面積九年級上冊RJ初中數(shù)學第1課時24.4弧長和扇形面積九年級上冊RJ初中數(shù)學已知半徑為r

的圓，周長是多少？面積是多少？

知識回顧已知半徑為r的圓，周長是多少？面積是多少？

知識回顧2.會利用弧長和扇形面積的計算公式進行計算.1.理解弧長和扇形面積公式的探求過程.學習目標2.會利用弧長和扇形面積的計算公式進行計算.1.理解弧長和扇如圖，在運動會的4×100米比賽中，甲和乙分別在第1跑道和第2跑道，為什么他們的起跑線不在同一處？怎樣來計算彎道的“展直長度”？因為要保證這些彎道的“展直長度”是一樣的.課堂導入計算彎道對應的弧長.如圖，在運動會的4×100米比賽中，甲和乙分別在第1跑道和第分別計算下圖中各圓心角所對的弧長.OR180°OR90°OR45°ORn°知識點1新知探究C

=2πR分別計算下圖中各圓心角所對的弧長.OR180°OR90°OR

n°的圓心角所對的弧長為弧長公式l是弧長，R是半徑，n表示1°圓心角的倍數(shù)，沒有單位，弧長

l的單位和半徑R的單位一致.

n°的圓心角所對的弧長為弧長公式l是弧長，R是半徑，n表1.題目中若沒有寫明精確度，可用含π的代數(shù)式表示弧長，如弧長為3π，11π等.2.不要混淆弧長相等和弧相等，弧相等指兩條弧全等，弧長相等指弧的長度相等.弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才是等弧.注意：1.題目中若沒有寫明精確度，可用含π的代數(shù)式表示弧長，如跟蹤訓練新知探究1.半徑為2的圓中，120°的圓心角所對的弧長是多少？2.半徑為2的圓中，一段弧長為2π的弧，求它所對的

圓心角的度數(shù).跟蹤訓練新知探究1.半徑為2的圓中，120°的圓心角所對的弧例1

制造彎形管道時，要先按中心線計算“展直長度”，再下料，試計算如圖所示管道的展直長度L.(結果取整數(shù))因此所要求的展直長度L=2×700+1570=2970（mm）.

解：由弧長公式，可得的長例1制造彎形管道時，要先按中心線計算“展直長度”，再下已知扇形的圓心角為120°，弧長為10πcm，則該扇形的半徑為

cm.15跟蹤訓練新知探究解：設扇形的半徑是Rcm，則由弧長公式可得，解得，R=15.已知扇形的圓心角為120°，弧長為10πcm，則該扇形的半扇形扇形知識點2新知探究由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形．記作:扇形OAB扇形的定義記作:扇形OCED知識點2新知探究由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的分別計算下圖中各扇形的面積OR180°OR90°OR45°ORn°知識點1新知探究S

=πR2分別計算下圖中各扇形的面積OR180°OR90°OR45°O扇形面積公式：半徑為R的圓中，圓心角為n°的扇形的面積是

注意：扇形面積公式中的“n”和弧長公式中的“n”一樣，表示“1°”的圓心角的倍數(shù)，參與計算時不帶單位.扇形面積公式：半徑為R的圓中，圓心角為n°的扇形的面積是

1.圓心角大小不變時，對應的扇形面積與半徑有關，半徑越長，面積越大.2.圓的半徑不變時，扇形面積與圓心角有關，圓心角越大，面積越大.扇形的面積與哪些因素有關？扇形的面積與圓心角、半徑有關.O

ABDCEFOABCD1.圓心角大小不變時，對應的扇形面積與半徑有關，半徑越長，面扇形的弧長公式與面積公式有聯(lián)系嗎？可類比三角形的面積公式：ABOO扇形的弧長公式與面積公式有聯(lián)系嗎？可類比三角ABOO跟蹤訓練新知探究2.已知扇形面積為

，圓心角為60o，則這個扇形的半徑R=____．1.已知扇形的圓心角為120o，半徑為2，則這個扇形的面積S扇形=_____.3.已知半徑為2的扇形，其弧長為

，則這個扇形的面積為_____．跟蹤訓練新知探究2.已知扇形面積為，圓心角為例2

如圖,水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面積（精確到0.01m2）.0.6m0.3m弧AB的中點到弦AB的距離半徑OA例2如圖,水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6分析：有水部分的面積=S扇形OAB－

S△OAB0.6m0.3m半徑OA扇形OAB圓心角∠AOB特殊△AOC△OAB高OD=OC－DC底AB半弦ADRt△OAD分析：0.6m0.3m半徑OA扇形OAB圓心角∠AOB特殊△∵OC=0.6m,DC=0.3m,∴OD=OC－DC=0.3(m).∴OD=DC.又∵AD⊥OC,∴AD是線段OC的垂直平分線.

0.3m0.3m∴AC=AO=OC.從而∠AOD=60°,∠AOB=120°.S

=S扇形OAB－

S△OAB0.6m60°有水部分的面積解：連接OA,OB,作弦AB的垂直平分線，

垂足為D，交于點C,連接AC.∵OC=0.6m,DC=0.3m,0.3m0.3弓形的面積可以看成是扇形面積和三角形面積的和或差，實際應用時，可根據(jù)具體圖形選用對應的公式：1.如圖(1)，弓形ADB的面積小于圓面積的一半，此時S弓形=S扇形OAB-S△OAB.由弦及弦所對的弧組成的圖形叫做弓形.課堂拓展弓形弓形的面積可以看成是扇形面積和三角形面積的和或差，實際應用時

(1)已知扇形的半徑為6cm,面積為6πcm2，則該扇形的圓心角的度數(shù)為

.(2)一個扇形的圓心角為135°，弧長為3πcm，則此扇形的面積是

cm2.60°6π

跟蹤訓練新知探究(1)已知扇形的半徑為6cm,面積為6πcm2，則該扇1.如圖，實線部分是由兩條等弧組成的游泳池，且這兩條弧所在的圓的半徑均為15m.若每條弧所在的圓都經(jīng)過另一個圓的圓心，則游泳池的周長是

m.40π

隨堂練習1.如圖，實線部分是由兩條等弧組成的游泳池，且這兩條弧所在的2.如圖，AC是汽車擋風玻璃前的雨刷器，如果AO=45cm，

CO=5cm，當AC繞點O順時針旋轉90°時，則雨刷器AC掃過的區(qū)域(陰影部分)的面積為

cm2(結果保留π).500π

2.如圖，AC是汽車擋風玻璃前的雨刷器，如果AO=45cm歸納總結：不規(guī)則圖形面積的求解方法在求解陰影部分面積的問題中，如果所求的陰影部分是不規(guī)則圖形，那么可以采取各種方法，將陰影部分面積轉化為幾個規(guī)則圖形面積的和或差的形式.與圓有關的陰影部分面積的問題，往往需要利用扇形面積公式或弓形面積的計算公式.歸納總結：不規(guī)則圖形面積的求解方法3.如圖，以BC為直徑的⊙O與△ABC的另兩邊分別相交于點D,E.若∠A=60°,BC=4,則圖中陰影部分的面積為______(結果保留π).

3.如圖，以BC為直徑的⊙O與△ABC的另兩邊分別相交于點D弧課堂小結定義面積公式

扇形陰影部分面積求法：整體思想S弓形=S扇形-S三角形S弓形=S扇形+S三角形弓形弧課堂小結定義面積公式

扇形陰影部分面積求法：整體思想S對接中考1.（2020?金昌中考）若一個扇形的圓心角為60°，面積為cm2，則這個扇形的弧長為

cm（結果保留π）．．解：設扇形的半徑為Rcm，弧長為lcm，根據(jù)扇形面積公式得,解得R＝1或R＝-1（舍去），又∵扇形的面積∴l(xiāng)=對接中考1.（2020?金昌中考）若一個扇形的圓心角為60°解：如圖，作點D關于OB的對稱點D′,連接CD′交OB于點E′，連接DE′,OD′,此時CE′+DE′最小，即CE′+DE′=CD′.由題意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，∴

∠COD′=90°，∴

CD′=的長

∴陰影部分周長的最小值為2.(2020?河南中考)如圖，在扇形OBC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交

于點D，點E為半徑OB上一動點．若OB＝2，則陰影部分周長的最小值為

．E′D′′解：如圖，作點D關于OB的對稱點D′,2.(2020?河南中2.如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，邊CD在直線l上，將矩形ABCD沿直線l

作無滑動翻滾，當點A第一次翻滾到點A1的位置時，則點A經(jīng)過的路線長為

.解：點A的運動路徑如圖所示.∵四邊形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，∴BC=AD=3，∠ADC=90°，對角線長為5．∵根據(jù)題意知，∠ADA′=90°，AD=A′D=BC=3，ABCDC′B′B′′B′′B1C1D1A1A′……2.如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，邊CD在直線

D1ABCDC′B′B′′B′′B1C1A1A′

D1ABCDC′B′B′′B′′B1C1A1A′

ABCDC′B′B′′B′′B1C1A1A′2.如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，邊CD在直線l上，將矩形ABCD沿直線l

作無滑動翻滾，當點A第一次翻滾到點A1的位置時，則點A經(jīng)過的路線長為

.6π

ABCDC′B′B′′B′′B1C1A1A′2.如圖，矩形3.如圖，AB為⊙O的直徑，AC,DC為弦，∠ACD=60°，P為AB延長線上的點，∠APD=30°.(1)求證：DP是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為3，求圖中陰影部分的面積.解：(1)如圖，連接OD.因為∠ACD=60°，所以∠AOD=2∠ACD=120°,所以∠DOP=180°-120°=60°.因為∠APD=30°，所以∠ODP=180°-30°-60°=90°,所以OD⊥DP.又OD為⊙O的半徑，所以DP是⊙O的切線.3.如圖，AB為⊙O的直徑，AC,DC為弦，∠ACD=60°

3.如圖，AB為⊙O的直徑，AC,DC為弦，∠ACD=60°，P為AB延長線上的點，∠APD=30°.(1)求證：DP是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為3，求圖中陰影部分的面積.

3.如圖，AB為⊙O的直徑，AC,DC為弦，∠ACD=60第1課時24.4弧長和扇形面積九年級上冊RJ初中數(shù)學第1課時24.4弧長和扇形面積九年級上冊RJ初中數(shù)學已知半徑為r

的圓，周長是多少？面積是多少？

知識回顧已知半徑為r的圓，周長是多少？面積是多少？

知識回顧2.會利用弧長和扇形面積的計算公式進行計算.1.理解弧長和扇形面積公式的探求過程.學習目標2.會利用弧長和扇形面積的計算公式進行計算.1.理解弧長和扇如圖，在運動會的4×100米比賽中，甲和乙分別在第1跑道和第2跑道，為什么他們的起跑線不在同一處？怎樣來計算彎道的“展直長度”？因為要保證這些彎道的“展直長度”是一樣的.課堂導入計算彎道對應的弧長.如圖，在運動會的4×100米比賽中，甲和乙分別在第1跑道和第分別計算下圖中各圓心角所對的弧長.OR180°OR90°OR45°ORn°知識點1新知探究C

=2πR分別計算下圖中各圓心角所對的弧長.OR180°OR90°OR

n°的圓心角所對的弧長為弧長公式l是弧長，R是半徑，n表示1°圓心角的倍數(shù)，沒有單位，弧長

l的單位和半徑R的單位一致.

n°的圓心角所對的弧長為弧長公式l是弧長，R是半徑，n表1.題目中若沒有寫明精確度，可用含π的代數(shù)式表示弧長，如弧長為3π，11π等.2.不要混淆弧長相等和弧相等，弧相等指兩條弧全等，弧長相等指弧的長度相等.弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才是等弧.注意：1.題目中若沒有寫明精確度，可用含π的代數(shù)式表示弧長，如跟蹤訓練新知探究1.半徑為2的圓中，120°的圓心角所對的弧長是多少？2.半徑為2的圓中，一段弧長為2π的弧，求它所對的

圓心角的度數(shù).跟蹤訓練新知探究1.半徑為2的圓中，120°的圓心角所對的弧例1

制造彎形管道時，要先按中心線計算“展直長度”，再下料，試計算如圖所示管道的展直長度L.(結果取整數(shù))因此所要求的展直長度L=2×700+1570=2970（mm）.

解：由弧長公式，可得的長例1制造彎形管道時，要先按中心線計算“展直長度”，再下已知扇形的圓心角為120°，弧長為10πcm，則該扇形的半徑為

cm.15跟蹤訓練新知探究解：設扇形的半徑是Rcm，則由弧長公式可得，解得，R=15.已知扇形的圓心角為120°，弧長為10πcm，則該扇形的半扇形扇形知識點2新知探究由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形．記作:扇形OAB扇形的定義記作:扇形OCED知識點2新知探究由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的分別計算下圖中各扇形的面積OR180°OR90°OR45°ORn°知識點1新知探究S

=πR2分別計算下圖中各扇形的面積OR180°OR90°OR45°O扇形面積公式：半徑為R的圓中，圓心角為n°的扇形的面積是

注意：扇形面積公式中的“n”和弧長公式中的“n”一樣，表示“1°”的圓心角的倍數(shù)，參與計算時不帶單位.扇形面積公式：半徑為R的圓中，圓心角為n°的扇形的面積是

1.圓心角大小不變時，對應的扇形面積與半徑有關，半徑越長，面積越大.2.圓的半徑不變時，扇形面積與圓心角有關，圓心角越大，面積越大.扇形的面積與哪些因素有關？扇形的面積與圓心角、半徑有關.O

ABDCEFOABCD1.圓心角大小不變時，對應的扇形面積與半徑有關，半徑越長，面扇形的弧長公式與面積公式有聯(lián)系嗎？可類比三角形的面積公式：ABOO扇形的弧長公式與面積公式有聯(lián)系嗎？可類比三角ABOO跟蹤訓練新知探究2.已知扇形面積為

，圓心角為60o，則這個扇形的半徑R=____．1.已知扇形的圓心角為120o，半徑為2，則這個扇形的面積S扇形=_____.3.已知半徑為2的扇形，其弧長為

，則這個扇形的面積為_____．跟蹤訓練新知探究2.已知扇形面積為，圓心角為例2

如圖,水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面積（精確到0.01m2）.0.6m0.3m弧AB的中點到弦AB的距離半徑OA例2如圖,水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6分析：有水部分的面積=S扇形OAB－

S△OAB0.6m0.3m半徑OA扇形OAB圓心角∠AOB特殊△AOC△OAB高OD=OC－DC底AB半弦ADRt△OAD分析：0.6m0.3m半徑OA扇形OAB圓心角∠AOB特殊△∵OC=0.6m,DC=0.3m,∴OD=OC－DC=0.3(m).∴OD=DC.又∵AD⊥OC,∴AD是線段OC的垂直平分線.

0.3m0.3m∴AC=AO=OC.從而∠AOD=60°,∠AOB=120°.S

=S扇形OAB－

S△OAB0.6m60°有水部分的面積解：連接OA,OB,作弦AB的垂直平分線，

垂足為D，交于點C,連接AC.∵OC=0.6m,DC=0.3m,0.3m0.3弓形的面積可以看成是扇形面積和三角形面積的和或差，實際應用時，可根據(jù)具體圖形選用對應的公式：1.如圖(1)，弓形ADB的面積小于圓面積的一半，此時S弓形=S扇形OAB-S△OAB.由弦及弦所對的弧組成的圖形叫做弓形.課堂拓展弓形弓形的面積可以看成是扇形面積和三角形面積的和或差，實際應用時

(1)已知扇形的半徑為6cm,面積為6πcm2，則該扇形的圓心角的度數(shù)為

.(2)一個扇形的圓心角為135°，弧長為3πcm，則此扇形的面積是

cm2.60°6π

跟蹤訓練新知探究(1)已知扇形的半徑為6cm,面積為6πcm2，則該扇1.如圖，實線部分是由兩條等弧組成的游泳池，且這兩條弧所在的圓的半徑均為15m.若每條弧所在的圓都經(jīng)過另一個圓的圓心，則游泳池的周長是

m.40π

隨堂練習1.如圖，實線部分是由兩條等弧組成的游泳池，且這兩條弧所在的2.如圖，AC是汽車擋風玻璃前的雨刷器，如果AO=45cm，

CO=5cm，當AC繞點O順時針旋轉90°時，則雨刷器AC掃過的區(qū)域(陰影部分)的面積為

cm2(結果保留π).500π

2.如圖，AC是汽車擋風玻璃前的雨刷器，如果AO=45cm歸納總結：不規(guī)則圖形面積的求解方法在求解陰影部分面積的問題中，如果所求的陰影部分是不規(guī)則圖形，那么可以采取各種方法，將陰影部分面積轉化為幾個規(guī)則圖形面積的和或差的形式.與圓有關的陰影部分面積的問題，往往需要利用扇形面積公式或弓形面積的計算公式.歸納總結：不規(guī)則圖形面積的求解方法3.如圖，以BC為直徑的⊙O與△ABC的另兩邊分別相交于點D,E.若∠A=60°,BC=4,則圖中陰影部分的面積為______(結果保留π).

3.如圖，以BC為直徑的⊙O與△ABC的另兩邊分別相交于點D弧課堂小結定義面積公式

扇形陰影部分面積求法：整體思想S弓形=S扇形-S三角形S弓形=S扇形+S三角形弓形弧課堂小結定義面積公式

扇形陰影部分面積求法：整體思想S對接中考1.（2020?金昌中考）若一個扇形的圓心角為60°，面積為cm2，則這個扇形的弧長為

cm（結果保留π）．．解：設扇形的半徑為Rcm，弧長為lcm，根據(jù)扇形面積公式得,解得R＝1或R＝-1（舍去），又∵扇形的面積∴l(xiāng)=對接中考1.（2020?金昌中考）若一個扇形的圓心角為60°解：如圖，作點D關于OB的對稱點D′,連接CD′交OB于點E′，連接DE′,OD′,此時CE′+DE′最小，即CE′+DE′=CD′.由題意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，∴

∠COD′=90°，∴

CD′=的長

∴陰影部分周長的最小值為2.(2020?河南中考)如圖，在扇形OBC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交

于點D，點E為半徑OB上一動點．若OB＝2，則陰影部分周長的最小值為

．E′D′′解：如圖，作點D關于OB的對稱點D′,2.(2020?河南中2.如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=3