陜西省銅川市重點中學2023年高考數(shù)學全真模擬密押卷（含答案解析）

2023高考數(shù)學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數(shù)在時取得最小值，則（）A． B． C． D．2．在中，，分別為，的中點，為上的任一點，實數(shù)，滿足，設(shè)、、、的面積分別為、、、，記（），則取到最大值時，的值為（）A．－1 B．1 C． D．3．在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.14．在邊長為1的等邊三角形中，點E是中點，點F是中點，則（）A． B． C． D．5．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，則M∩N＝（）A．[﹣3，2） B．（﹣3，2） C．（﹣1，0] D．（﹣1，0）6．已知數(shù)列滿足：)若正整數(shù)使得成立，則（）A．16 B．17 C．18 D．197．為虛數(shù)單位,則的虛部為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若，，,則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．9．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則（）A． B． C．7 D．210．已知全集，函數(shù)的定義域為，集合，則下列結(jié)論正確的是A． B．C． D．11．若，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C．13 D．12．已知函數(shù)．若存在實數(shù)，且，使得，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點和橢圓的右焦點重合，直線過拋物線的焦點與拋物線交于、兩點和橢圓交于、兩點，為拋物線準線上一動點，滿足，，當面積最大時，直線的方程為______.14．已知平面向量，的夾角為，且，則=____15．的展開式中的常數(shù)項為__________.16．在平面直角坐標系中，雙曲線的焦距為，若過右焦點且與軸垂直的直線與兩條漸近線圍成的三角形面積為，則雙曲線的離心率為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）對于給定的正整數(shù)k，若各項均不為0的數(shù)列滿足：對任意正整數(shù)總成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.（1）證明：等比數(shù)列是“數(shù)列”；（2）若數(shù)列既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”，證明：數(shù)列是等比數(shù)列.18．（12分）已知變換將平面上的點，分別變換為點，．設(shè)變換對應(yīng)的矩陣為．（1）求矩陣；（2）求矩陣的特征值．19．（12分）已知函數(shù)，.（1）當為何值時，軸為曲線的切線；（2）用表示、中的最大值，設(shè)函數(shù)，當時，討論零點的個數(shù).20．（12分）在直角坐標系中，曲線的標準方程為.以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求直線的直角坐標方程；（2）若點在曲線上，點在直線上，求的最小值.21．（12分）某調(diào)查機構(gòu)為了了解某產(chǎn)品年產(chǎn)量x(噸)對價格y(千克/噸)和利潤z的影響，對近五年該產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價格統(tǒng)計如下表：x12345y17.016.515.513.812.2（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若每噸該產(chǎn)品的成本為12千元，假設(shè)該產(chǎn)品可全部賣出，預(yù)測當年產(chǎn)量為多少時，年利潤w取到最大值？參考公式：22．（10分）直線與拋物線相交于，兩點，且，若，到軸距離的乘積為．（1）求的方程；（2）設(shè)點為拋物線的焦點，當面積最小時，求直線的方程．

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【答案解析】

利用輔助角公式化簡的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求得在函數(shù)取得最小值時的值．【題目詳解】解：，其中，，，故當，即時，函數(shù)取最小值，所以，故選：D【答案點睛】本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．D【答案解析】

根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得到的距離等于△的邊上高的一半，從而得到，由此結(jié)合基本不等式求最值，得到當取到最大值時，為的中點，再由平行四邊形法則得出，根據(jù)平面向量基本定理可求得，從而可求得結(jié)果.【題目詳解】如圖所示：因為是△的中位線，所以到的距離等于△的邊上高的一半，所以，由此可得，當且僅當時，即為的中點時，等號成立，所以，由平行四邊形法則可得，，將以上兩式相加可得，所以，又已知，根據(jù)平面向量基本定理可得，從而.故選：D【答案點睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則，考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，考查了基本不等式求最值，屬于中檔題.3．A【答案解析】

由題意得到關(guān)于的等式，結(jié)合對數(shù)的運算法則可得亮度的比值.【題目詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【答案點睛】本題以天文學問題為背景,考查考生的數(shù)學應(yīng)用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運算.4．C【答案解析】

根據(jù)平面向量基本定理，用來表示，然后利用數(shù)量積公式，簡單計算，可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知：點E是中點，點F是中點，所以又所以則故選：C【答案點睛】本題考查平面向量基本定理以及數(shù)量積公式，掌握公式，細心觀察，屬基礎(chǔ)題.5．C【答案解析】

先化簡N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根據(jù)M＝{x|﹣1＜x＜2}，求兩集合的交集.【題目詳解】因為N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，又因為M＝{x|﹣1＜x＜2}，所以M∩N＝{x|﹣1＜x≤0}.故選：C【答案點睛】本題主要考查集合的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.6．B【答案解析】

計算，故，解得答案.【題目詳解】當時，，即，且.故，，故.故選：.【答案點睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)計算，意在考查學生的計算能力和對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.7．C【答案解析】

利用復(fù)數(shù)的運算法則計算即可.【題目詳解】，故虛部為.故選：C.【答案點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算以及復(fù)數(shù)的概念，注意復(fù)數(shù)的虛部為，不是，本題為基礎(chǔ)題，也是易錯題.8．D【答案解析】

根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得在上為增函數(shù)，又由，分析可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)函數(shù)，則有在上恒成立，則在上為增函數(shù)；又由，則；故選：．【答案點睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，涉及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．9．B【答案解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)并結(jié)合已知可求出，再利用等差數(shù)列性質(zhì)可得，即可求出結(jié)果．【題目詳解】因為，所以，所以，所以，故選：B【答案點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前項和公式，屬于基礎(chǔ)題．10．A【答案解析】

求函數(shù)定義域得集合M，N后，再判斷．【題目詳解】由題意，，∴．故選A．【答案點睛】本題考查集合的運算，解題關(guān)鍵是確定集合中的元素．確定集合的元素時要注意代表元形式，集合是函數(shù)的定義域，還是函數(shù)的值域，是不等式的解集還是曲線上的點集，都由代表元決定．11．C【答案解析】

由已知畫出可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義求最大值．【題目詳解】解：表示可行域內(nèi)的點到坐標原點的距離的平方，畫出不等式組表示的可行域，如圖，由解得即點到坐標原點的距離最大，即．故選：．【答案點睛】本題考查線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想以及運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．12．D【答案解析】

首先對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的符號分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值，根據(jù)題意，列出參數(shù)所滿足的不等關(guān)系，求得結(jié)果.【題目詳解】，令，得，．其單調(diào)性及極值情況如下：x0+0_0+極大值極小值若存在，使得，則（如圖1）或（如圖2）．（圖1）（圖2）于是可得，故選：D.【答案點睛】該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問題，涉及到的知識點有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，畫出圖象數(shù)形結(jié)合，屬于較難題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】

根據(jù)均值不等式得到，，根據(jù)等號成立條件得到直線的傾斜角為，計算得到直線方程.【題目詳解】由橢圓，可知，，，，，，，（當且僅當，等號成立），，，，，直線的傾斜角為，直線的方程為.故答案為：.【答案點睛】本題考查了拋物線，橢圓，直線的綜合應(yīng)用，意在考查學生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.14．1【答案解析】

根據(jù)平面向量模的定義先由坐標求得，再根據(jù)平面向量數(shù)量積定義求得；將化簡并代入即可求得.【題目詳解】，則，平面向量，的夾角為，則由平面向量數(shù)量積定義可得，根據(jù)平面向量模的求法可知，代入可得，解得，故答案為：1.【答案點睛】本題考查了平面向量模的求法及簡單應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的定義及運算，屬于基礎(chǔ)題.15．31【答案解析】

由二項式定理及其展開式得通項公式得：因為的展開式得通項為，則的展開式中的常數(shù)項為：，得解.【題目詳解】解：，則的展開式中的常數(shù)項為：.故答案為：31.【答案點睛】本題考查二項式定理及其展開式的通項公式，求某項的導(dǎo)數(shù)，考查計算能力.16．【答案解析】

利用即可建立關(guān)于的方程.【題目詳解】設(shè)雙曲線右焦點為，過右焦點且與軸垂直的直線與兩條漸近線分別交于兩點，則，，由已知，，即，所以，離心率.故答案為：【答案點睛】本題考查求雙曲線的離心率，做此類題的關(guān)鍵是建立的方程或不等式，是一道容易題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見詳解；（2）證明見詳解【答案解析】

（1）由是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：即可證明.（2）既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”，可得，，則對于任意都成立，則成等比數(shù)列，設(shè)公比為，驗證得答案.【題目詳解】（1）證明：由是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：等比數(shù)列是“數(shù)列”.（2）證明：既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”，可得，（）（），（）可得：對于任意都成立，即成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，成等比數(shù)列，成等比數(shù)列，設(shè)，（）數(shù)列是“數(shù)列”時，由（）可得：時，由（）可得：，可得，同理可證成等比數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列【答案點睛】本題是一道數(shù)列的新定義題目，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式等基本知識，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸以及綜合運用數(shù)學知識探究與解決問題的能力，屬于難題.18．（1）（2）1或6【答案解析】

（1）設(shè)，根據(jù)變換可得關(guān)于的方程，解方程即可得到答案；（2）求出特征多項式，再解方程，即可得答案；【題目詳解】（1）設(shè)，則，，即，解得，則．（2）設(shè)矩陣的特征多項式為，可得，令，可得或．【答案點睛】本題考查矩陣的求解、矩陣的特征值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運算求解能力.19．（1）；（2）見解析.【答案解析】

（1）設(shè)切點坐標為，然后根據(jù)可解得實數(shù)的值；（2）令，，然后對實數(shù)進行分類討論，結(jié)合和的符號來確定函數(shù)的零點個數(shù).【題目詳解】（1），，設(shè)曲線與軸相切于點，則，即，解得.所以，當時，軸為曲線的切線；（2）令，，則，，由，得.當時，，此時，函數(shù)為增函數(shù)；當時，，此時，函數(shù)為減函數(shù).，.①當，即當時，函數(shù)有一個零點；②當，即當時，函數(shù)有兩個零點；③當，即當時，函數(shù)有三個零點；④當，即當時，函數(shù)有兩個零點；⑤當，即當時，函數(shù)只有一個零點.綜上所述，當或時，函數(shù)只有一個零點；當或時，函數(shù)有兩個零點；當時，函數(shù)有三個零點.【答案點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究切線方程和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用，屬難題．20．（1）（2）【答案解析】

（1）直接利用極坐標公式計算得到答案（2）設(shè)，，根據(jù)三角函數(shù)的有界性得到答案.【題目詳解】（1）因為，所以，因為所以直線的直角坐標方程為.（2）由題意可設(shè)，則點到直線的距離.因為，所以，因為，故的最小值為.【答案點睛】本題考查了極坐標方程，參數(shù)方程，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.21．（1）（2）當時，年利潤最大．【答案解析】

（1）方法一：令，先求得關(guān)于的回歸直線方程，由此求得關(guān)于的回歸直線方程.方法二：根據(jù)回歸直線方程計算公式，計算出回歸直線方程.方法一的好處在計算的數(shù)值較小.（2）求得w的表達式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)作出預(yù)測.【題目詳解】（1）方法一：取，則得與的數(shù)據(jù)關(guān)系如下123457.06.55.53.82.2，，，.，，關(guān)于的線性回歸方程是即，故關(guān)于的線性回歸方程是.方法二：因為，，，，，所以，故關(guān)于的線性回歸方程是，（2）年利潤，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知:當時，年利潤最大．【答案點睛】本小題主要考查回歸直線方程的求法，考查利用回歸直線方程進行預(yù)測，考查運算求解能力，屬于中檔題.22．（1）；（2）【答案解析】

（1）設(shè)出兩點的坐標，由距離之積為16，可得.利