吉林省公主嶺市范家屯鎮(zhèn)一中2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)考前最后一卷預(yù)測卷（含答案解析）

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想的內(nèi)容是：每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和，例如：，，，那么在不超過18的素數(shù)中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于16的概率為（）A． B． C． D．2．已知數(shù)列對任意的有成立，若，則等于（）A． B． C． D．3．已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若，則的面積為（）A． B． C． D．4．函數(shù)在上的大致圖象是（）A． B．C． D．5．已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a5＝16，a3a4＝﹣32，則S8＝（）A．﹣21 B．﹣24 C．85 D．﹣856．設(shè)平面與平面相交于直線，直線在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，且則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．即不充分不必要條件7．設(shè)為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，則（）A． B． C． D．8．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．9．定義運(yùn)算，則函數(shù)的圖象是（）．A． B．C． D．10．在中，，，，點(diǎn)，分別在線段，上，且，，則（）．A． B． C．4 D．911．若的展開式中的系數(shù)為-45，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B．2 C． D．12．已知集合（），若集合，且對任意的，存在使得，其中，，則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，是平面向量，是單位向量.若，，且，則的取值范圍是________.14．已知，，，且，則的最小值為___________．15．若且時，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．16．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）過點(diǎn)作傾斜角為的直線與曲線（為參數(shù)）相交于M、N兩點(diǎn)．（1）寫出曲線C的一般方程；（2）求的最小值．18．（12分）某貧困地區(qū)幾個丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路，以及鐵路線上的一條應(yīng)開鑿的直線穿山隧道，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，以所在的直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，山區(qū)邊界曲線為，設(shè)公路與曲線相切于點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為.（1）當(dāng)為何值時，公路的長度最短?求出最短長度；（2）當(dāng)公路的長度最短時，設(shè)公路交軸，軸分別為，兩點(diǎn)，并測得四邊形中，，，千米，千米，求應(yīng)開鑿的隧道的長度.19．（12分）已知橢圓：（），與軸負(fù)半軸交于，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，連接，并延長交直線于，兩點(diǎn)，已知，求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).20．（12分）某企業(yè)原有甲、乙兩條生產(chǎn)線，為了分析兩條生產(chǎn)線的效果，先從兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值．該項(xiàng)指標(biāo)值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品．乙生產(chǎn)線樣本的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)合計頻數(shù)2184814162100（1）根據(jù)甲生產(chǎn)線樣本的頻率分布直方圖，以從樣本中任意抽取一件產(chǎn)品且為合格品的頻率近似代替從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任意抽取一件產(chǎn)品且為合格品的概率，估計從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取5件恰有2件為合格品的概率；（2）現(xiàn)在該企業(yè)為提高合格率欲只保留其中一條生產(chǎn)線，根據(jù)上述圖表所提供的數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有90%把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與生產(chǎn)線有關(guān)？若有90%把握，請從合格率的角度分析保留哪條生產(chǎn)線較好？甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計合格品不合格品合計附：，．0.1500.1000.0500.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.87921．（12分）橢圓：（）的離心率為，它的四個頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求證：直線恒過一個定點(diǎn).22．（10分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求函數(shù)的極值；（2）為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)，時，求證：．

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【答案解析】

先求出從不超過18的素數(shù)中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)的所有可能結(jié)果，然后再求出其和等于16的結(jié)果，根據(jù)等可能事件的概率公式可求.【題目詳解】解：不超過18的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17共7個，從中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)共有，其和等于16的結(jié)果，共2種等可能的結(jié)果，故概率.故選：B.【答案點(diǎn)睛】古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，本題不可以列舉出所有事件但可以用分步計數(shù)得到，屬于基礎(chǔ)題.2．B【答案解析】

觀察已知條件，對進(jìn)行化簡，運(yùn)用累加法和裂項(xiàng)法求出結(jié)果.【題目詳解】已知，則，所以有，，，，兩邊同時相加得，又因?yàn)椋?故選：【答案點(diǎn)睛】本題考查了求數(shù)列某一項(xiàng)的值，運(yùn)用了累加法和裂項(xiàng)法，遇到形如時就可以采用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和，需要掌握數(shù)列中的方法，并能熟練運(yùn)用對應(yīng)方法求解.3．D【答案解析】

設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，設(shè)，得，求出的值，即得解.【題目詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，所以，.設(shè)，則，又.故，所以.故選：D【答案點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.4．D【答案解析】

討論的取值范圍，然后對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷.【題目詳解】當(dāng)時，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，則，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時，，故切線的斜率變小，當(dāng)時，，故切線的斜率變大，可排除A、B；當(dāng)時，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，，當(dāng)時，，故切線的斜率變大，當(dāng)時，，故切線的斜率變小，可排除C，故選：D【答案點(diǎn)睛】本題考查了識別函數(shù)的圖像，考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.5．D【答案解析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)求得a1q4＝16，a12q5＝﹣32，通過解該方程求得它們的值，求首項(xiàng)和公比，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解答即可.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a5＝16，a3a4＝﹣32，∴a1q4＝16，a12q5＝﹣32，∴q＝﹣2，則，則，故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)等比數(shù)列建立條件關(guān)系求出公比是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.6．A【答案解析】

試題分析：α⊥β，b⊥m又直線a在平面α內(nèi)，所以a⊥b，但直線不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要條件，故選A.考點(diǎn)：充分條件、必要條件.7．B【答案解析】

可設(shè)，將化簡，得到，由復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，可得，解方程即可求解【題目詳解】設(shè)，則.由題意有，所以.故選：B【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長、除法運(yùn)算，由復(fù)數(shù)的類型求解對應(yīng)參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題8．A【答案解析】

利用已知條件畫出幾何體的直觀圖，然后求解幾何體的體積．【題目詳解】幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示，則該幾何體的體積為：．故選：．【答案點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．9．A【答案解析】

由已知新運(yùn)算的意義就是取得中的最小值，因此函數(shù)，只有選項(xiàng)中的圖象符合要求，故選A.10．B【答案解析】

根據(jù)題意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)題意，，則在中，又,則則則則故選：B【答案點(diǎn)睛】此題考查余弦定理和向量的數(shù)量積運(yùn)算，掌握基本概念和公式即可解決，屬于簡單題目.11．D【答案解析】

將多項(xiàng)式的乘法式展開，結(jié)合二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng)，即可求得的值.【題目詳解】∵所以展開式中的系數(shù)為，∴解得.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng)的簡單應(yīng)用，指定項(xiàng)系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.12．C【答案解析】

根據(jù)題目中的基底定義求解.【題目詳解】因?yàn)?，，，，，，所以能作為集合的基底，故選：C【答案點(diǎn)睛】本題主要考查集合的新定義，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】

先由題意設(shè)向量的坐標(biāo)，再結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及不等式可得解．【題目詳解】由是單位向量．若，，設(shè)，則，，又，則，則，則，又，所以，（當(dāng)或時取等）即的取值范圍是，，故答案為：，．【答案點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．14．【答案解析】

由，先將變形為，運(yùn)用基本不等式可得最小值，再求的最小值，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性即可得到所求值.【題目詳解】解：因?yàn)?，，，且，所以因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以所以則所求最小值為故答案為：【答案點(diǎn)睛】此題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意變形和滿足的條件：一正二定三相等，考查利用單調(diào)性求最值，考查化簡和運(yùn)算能力，屬于中檔題.15．【答案解析】

將不等式兩邊同時平方進(jìn)行變形，然后得到對應(yīng)不等式組，對的取值進(jìn)行分類，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上恒正、恒負(fù)時求參數(shù)范圍，列出對應(yīng)不等式組，即可求解出的取值范圍.【題目詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以或，?dāng)時，對且不成立，當(dāng)時，取，顯然不滿足，所以，所以，解得；當(dāng)時，取，顯然不滿足，所以，所以，解得，綜上可得的取值范圍是：.故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍，難度較難.根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍的兩種常用方法：（1）分類討論法：分析參數(shù)的臨界值，對參數(shù)分類討論；（2）參變分離法：將參數(shù)單獨(dú)分離出來，再以函數(shù)的最值與參數(shù)的大小關(guān)系求解出參數(shù)范圍.16．【答案解析】

利用正弦定理將邊化角，即可容易求得結(jié)果.【題目詳解】由正弦定理可知，，即.故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）．【答案解析】

（1）將曲線的參數(shù)方程消參得到普通方程；（2）寫出直線MN的參數(shù)方程，將參數(shù)方程代入曲線方程，并將其化為一個關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出的最小值.【題目詳解】（1）由曲線C的參數(shù)方程（是參數(shù)），可得，即曲線C的一般方程為．（2）直線MN的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），將直線MN的參數(shù)方程代入曲線，得，整理得，設(shè)M，N對應(yīng)的對數(shù)分別為，，則，當(dāng)時，取得最小值為．【答案點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)參數(shù)方程的問題，涉及到的知識點(diǎn)有參數(shù)方程向普通方程的轉(zhuǎn)化，直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于簡單題目.18．（1）當(dāng)時，公路的長度最短為千米；（2）（千米）.【答案解析】

（1）設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程為，根據(jù)兩點(diǎn)間距離得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，從而得出極值和最值，即可得出結(jié)果；（2）在中，由余弦定理得出，利用正弦定理，求出，最后根據(jù)勾股定理即可求出的長度.【題目詳解】（1）由題可知，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，則直線的方程為，由此得直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為：，則，故，設(shè)，則.令，解得=10.當(dāng)時，是減函數(shù)；當(dāng)時，是增函數(shù).所以當(dāng)時，函數(shù)有極小值，也是最小值，所以，此時.故當(dāng)時，公路的長度最短，最短長度為千米.（2）在中，，,所以，所以，根據(jù)正弦定理,，，，又，所以.在中，，，由勾股定理可得，即，解得，（千米）.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際的最值問題，涉及構(gòu)造函數(shù)法以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值，還考查正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用，還考查解題分析能力和計算能力.19．（1）（2）證明見解析；定點(diǎn)坐標(biāo)為【答案解析】

（1）由條件直接算出即可（2）由得，，，由可得，同理，然后由推出即可【題目詳解】（1）由題有，.∴，∴.∴橢圓方程為.（2）由得，.又∴，同理又∴∴∴∴∴∴，此時滿足∴∴直線恒過定點(diǎn)【答案點(diǎn)睛】涉及橢圓的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.20．（1）0.0081（2）見解析，保留乙生產(chǎn)線較好．【答案解析】

(1)先求出任取一件產(chǎn)品為合格品的頻率，“從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取5件，恰有2件為合格品”就相當(dāng)于進(jìn)行5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，恰好發(fā)生2次的概率用二項(xiàng)分布概率即可解決.(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)算出的觀測值即可判斷.【題目詳解】（1）根據(jù)甲生產(chǎn)線樣本的頻率分布直方圖，樣本中任取一件產(chǎn)品為合格品的頻率為：．設(shè)“從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件且為合格品”為事件，事件發(fā)生的概率為，則由樣本可估計．那么“從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取5件，恰有2件為合格品”就相當(dāng)于進(jìn)行5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，事件恰好發(fā)生2次，其概率為：．（2）列聯(lián)表：甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計合格品9096186不合格品10414合計100100200的觀測值，∵