機械振動基礎(chǔ)經(jīng)典例題

例1：如圖所示是一個倒置的擺，擺球質(zhì)量m，剛桿質(zhì)量忽略不計，每個彈簧的剛度是k/2，求：倒擺作微幅振動時的固有頻率可以有幾種解法？lmak/2k/2解法1：廣義坐標θ，零平衡位置1動能勢能lmak/2k/2零平衡位置1解法2：廣義坐標θ，零平衡位置2動能勢能lmak/2k/2零平衡位置2例題：如圖，兩彈簧的剛度分別是k1和k2，擺球的質(zhì)量為m。若桿的質(zhì)量忽略不計，用能量法求系統(tǒng)的固有頻率。解：取擺球偏離平衡位置的角位移θ為廣義坐標，作簡諧振動，有系統(tǒng)最大動能bθθk1k2cam最大彈性勢能最大重力勢能由得整理得bθθk1k2cam例：在圖示系統(tǒng)中，彈簧長l，其質(zhì)量ms

，質(zhì)量塊m，求彈簧的等效質(zhì)量及系統(tǒng)的固有頻率。解：令x表示彈簧右端的位移，

也是質(zhì)量m

的位移。假設(shè)

彈簧各點在振動中任一瞬時

的位移和一根直桿在一端固

定另一端受軸向載荷作用時各截面的靜變形一樣，左端距離為的截面的位移為

，

則d

彈簧的動能為

l

d

例：阻尼緩沖器靜載荷P去除后質(zhì)量塊越過平衡位置得最大位移為初始位移的10％求：緩沖器的相對阻尼系數(shù)ζkcx0x0Pm平衡位置解：由題知，設(shè)求導設(shè)在時刻t1質(zhì)量越過平衡位置到達最大位移，這時速度為：即經(jīng)過半個周期后出現(xiàn)第一個振幅x1kcx0x0Pm平衡位置由題設(shè)質(zhì)量塊最大位移為初始位移的10％，可知解得：例：小球質(zhì)量m

，剛桿質(zhì)量不計求：（1）寫出運動微分方程（2）阻尼固有頻率，臨界阻尼系數(shù)lakcmb解：廣義坐標θ，受力分析力矩平衡：無阻尼固有頻率：lakcmbm阻尼固有頻率：臨界阻尼系數(shù)：例題：一個質(zhì)量為1.95kg的物體在粘性阻尼介質(zhì)中作強迫振動，激勵力為N，(1)測得系統(tǒng)共振時的振幅為1.27cm，周期為0.20s，求系統(tǒng)的阻尼比及阻尼系數(shù)；(2)如果f=4Hz，無阻尼時振幅是有阻尼時振幅的多少倍解：(1)系統(tǒng)的固有頻率共振時有(2)振動頻率為f=4Hz，頻率比無阻尼時系統(tǒng)振幅有阻尼時系統(tǒng)振幅無阻尼與有阻尼系統(tǒng)振幅比為

例題：偏心質(zhì)量系統(tǒng)，共振時

測得最大振幅為0.1m，由自由

衰減振動測得阻尼系數(shù)為

，假定求：（1）偏心距e，（2）若要使系統(tǒng)共振時振幅為

0.01m，系統(tǒng)的總質(zhì)量需要增加多少？mxceMcx解：（1）共振時最大振幅（2）若要使系統(tǒng)共振時振幅為0.01

m例題1：汽車的拖車在波形道路上行駛，已知拖車的質(zhì)量滿載時為m1=1000kg，空載時為m2=250kg，懸掛彈簧的剛度為k=350kN/m，阻尼比在滿載時為，車速為v=100km/h，路面呈正弦波形，可表示為求：拖車在滿載和空載時的振幅比l=5ml=5mmk/2cx0k/2xfalxfz解：汽車行駛的路程可表示為：因此：路面的激勵頻率：有c、k為常數(shù)，因此與成反比因此得到空載時的阻尼比為：滿載和空載時的頻率比：l=5ml=5mmk/2cx0k/2xfalxfz滿載時阻尼比空載時阻尼比滿載時頻率比空載時頻率比記：滿載時振幅X1，空載時振幅X2有：因此滿載和空載時的振幅比：l=5ml=5mmk/2cx0k/2xfalxfz例題2：已知梁截面慣性矩I，彈性模量E，梁質(zhì)量不計，支座A產(chǎn)生微小豎直振動

，支座B不動求：質(zhì)量m的穩(wěn)態(tài)振動振幅解：在質(zhì)量m作用下，由材料力學可求出靜撓度δ固有頻率：xf是因yA

的運動而產(chǎn)生的質(zhì)量m處的運動動力學方程振幅：ambAB例題：機器安裝在彈性支承上，已測得固有頻率fn=12.5Hz，阻尼比=0.15

，參與振動的質(zhì)量是880kg，機器轉(zhuǎn)速

n=2400r/min

，不平衡力的幅值1470N；求：1）機器振幅2）主動隔振系數(shù)3）傳到地基上的力幅解：1）頻率比：彈性支承的剛度：機器振動的振幅：2）主動隔振系數(shù)：3）傳到地基上的力幅：例：彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)受到周期為T的方波激勵，系統(tǒng)固有頻率為ωn

求系統(tǒng)響應解：

a0在一個周期內(nèi)總面積為0

；

區(qū)間[0,T]內(nèi)，F(xiàn)(t)關(guān)于T/2為反對稱，而cosnωt關(guān)于T/2對稱。=0=0區(qū)間內(nèi)，F(xiàn)(t)關(guān)于對稱，而

n取偶數(shù)時，關(guān)于反對稱；區(qū)間內(nèi)，F(xiàn)(t)關(guān)于對稱，而

n

取偶數(shù)時，關(guān)于反對稱；因此bn=0,n=2,4,6…當n

取奇數(shù)時于是，周期性激勵F(t)可寫為：

系統(tǒng)運動方程則有其中：當不計阻尼時：例：無阻尼彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)在（0，t0）時間間隔內(nèi)受到突加的矩形脈沖力作用求：系統(tǒng)響應解法一：（1）當時（2）當時，（1）當時，（2）當時，因此，系統(tǒng)響應：解法二：當t>t0

時激振力已經(jīng)去除，此時系統(tǒng)將以時刻t=t0

時的位移和速度為初始條件做自由振動，稱為殘余振動。t>t0

時的響應可以求解如下先求得t=t0

時刻的位移和速度：t>t0

時的響應：于是系統(tǒng)響應為例題：圖示系統(tǒng)，有

試確定系統(tǒng)的固有頻率和主振型m1m2k3k1k2x1x2F1(t)F2(t)由已知條件得特征方程為特征值為固有頻率為把ωn1、ωn2分別代入得系統(tǒng)的振型向量為101節(jié)點0.501mk3k1k2F1(t)F2(t)y(t)x(t)α1α2α3在某時刻，質(zhì)量m移動到一新位置，用矢量表示為：第n個彈簧的方向矢量為：第n個彈簧的變形量為：第n個彈簧所受的力為：微分方程為：現(xiàn)分析求出圖所示的三自由度系統(tǒng)的剛度矩陣。

畫出各物塊的受力圖根據(jù)平衡條件，有首先令在此條件下系統(tǒng)保持平衡，按定義需加于三物塊的力畫出受力圖，則有同理，令畫出受力圖，有最后令因此剛度矩陣為剛度矩陣一般是對稱的。實際上任何多自由度線性系統(tǒng)都具有這個性質(zhì)。即現(xiàn)分析求出圖所示的三自由度系統(tǒng)的柔度影響系數(shù)。

當受到F1作用后，第一個彈簧的變形為，第二和第三個彈簧的變形為零。首先施加單位力這時三物塊所產(chǎn)生的靜位移分別是d11,d21,d31所以三物塊的位移相同，有F1第三個彈簧不受力，故其變形為零。因此有令F2第一和第二彈簧均受單位拉力，其變形分別為F3再令可得到系統(tǒng)的柔度矩陣為柔度矩陣一般也是對稱的。實際上任何多自由度線性系統(tǒng)都具有這個性質(zhì)。即系統(tǒng)的柔度矩陣為例

試求圖示懸臂梁的柔度影響系數(shù)，并建立其位移方程。(梁的彎曲剛度為EI，其質(zhì)量不計)解：取y1、y2為廣義坐標，根據(jù)柔度影響系數(shù)的定義，d11表示在m1處施加單位力(沿y1方向)并在m1處產(chǎn)生的位移。d22表示在m2處施加單位力(沿y2方向)并在m2處產(chǎn)生的位移。有按材料力學的撓度公式，則有d12=d21表示在m2處施加單位力在m1處產(chǎn)生的位移，等于在m1處施加單位力在m2處產(chǎn)生的位移。有柔度矩陣為得系統(tǒng)的位移方程即例：求固有頻率和主振型解：動力學方程：令主振動：或直接用得：

m2m2kkkx1x2令

特征方程：為求主振型，先將代入：一個獨立