算術(shù)幾何平均

算術(shù)幾何平均算術(shù)幾何平均兩個數(shù)的和(也經(jīng)常寫或)被定義為從和,然后迭代(1)(2)直到到所需的精度。和互相靠攏(3)(4)但,所以(5)現(xiàn)在,添加對每一方(6)所以(7)塊頂部顯示為和為,而底部的兩個情節(jié)表演對于復(fù)雜的值

.年度股東大會是非常有用的在計算的值完成橢圓積分,也可以用于尋找逆切.它的實現(xiàn)Wolfram語言作為ArithmeticGeometricMean[a,b]。可以表示在封閉形式的第一類完全橢圓積分作為(8)算術(shù)幾何平均的定義還持有復(fù)平面,正如上文所述

.算術(shù)幾何平均的勒讓德形式給出(9)在哪里和(10)特殊的值在下表中進(jìn)行了總結(jié)。一個特殊的值(11)(OEISA014549)高斯是常數(shù)。它具有封閉形式(12)(13)上面的積分是在哪里雙紐線函數(shù)平等的算術(shù)幾何平均高斯積分是已知的(Borwein和貝利2003年,頁13-15)。斯隆價值A(chǔ)0685211.4567910310469068692……A0848951.8636167832448965424……A0848962.2430285802876025701……A0848972.6040081905309402887……年度股東大會是由的導(dǎo)數(shù)(14)(15)在哪里

,是一個第一類完全橢圓積分,是第二類完全橢圓積分.的級數(shù)展開是由(16)年度股東大會的屬性(17)(18)(19)(20)解決微分方程(21)是由和

.算術(shù)幾何平均的泛化(22)與微分方程的解決方案是什么(23)這個案子對應(yīng)于算術(shù)幾何平均通過(24)(25)這個案子給出了立方相對(26)(27)討論Borwein和Borwein(1990、1991)和Borwein(1996)。為,這個函數(shù)滿足函數(shù)方程(28)因此,對于迭代和和(29)(30)所以(31)在哪里(32)參見:

Brent-Salamin公式Brent-Salamin公式,也叫做Gauss-Salamin公式或Salamin公式,使用的是一個公式算術(shù)幾何平均來計算π。二次收斂。讓(1)(2)(3)(4)并定義初始條件

,。然后迭代和給出了算術(shù)幾何平均,是由(5)(6)王(1924)表明,這個公式和勒讓德關(guān)系是等價的,也可能來自其他。高斯是常數(shù)的互惠的算術(shù)幾何平均1,

,(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(OEISA014549),是第一類完全橢圓積分,是一個雅可比θ的函數(shù),是γ函數(shù)。這信件被高斯第一次注意到,他探索的基礎(chǔ)雙紐線函數(shù)(Borwein和貝利2003,頁13-15)。兩個迅速收斂級數(shù)是由(8)(9)(芬奇2003,p.421)。高斯的常數(shù)連分?jǐn)?shù)[0,1,5,21歲,3,4,14日,1,1,1,1,1,3,1日,15日,…](OEISA053002).逆高斯的常數(shù)是由(10)(OEISA053004,芬奇2003,p.420;Borwein和貝利2003年,13頁),(1、5、21歲的3、4、14日,1,1,1,1,1,3,1,15日1,……](OEISA053003).的值(11)(OEISA097057有時被稱為無處不在的常數(shù)(Spanier和奧爾德姆1987;施羅德1987;芬奇2003,p.421),和(12)(OEISA076390有時被稱為第二雙紐線不變(芬奇2003,p.421)。高斯的常量和有關(guān)雙紐線不變通過(13)(14)(芬奇2003,p.420)。

無處不在的常數(shù)讓是高斯是常數(shù)和是它的乘法逆元。然后(OEISA097057)有時被稱為無處不在的常數(shù)(Spanier和奧爾德姆1987;施羅德1987;芬奇1994,p.421)。U(n)基本超幾何級數(shù)多個系列基本超幾何級數(shù)的概括統(tǒng)一的組織?；径ɡ硐盗胁捎昧?/p>

,...,和

,...,不確定的和。然后在假定沒有分母消失(博1995,p.22)。這個定理稱為一個系列系列(米爾恩博1985;1985年,p.22)。許多其他的結(jié)果,包括q-binomial定理和q-Saalschutz總和可以推廣到系列。貝特曼函數(shù)為,在那里是一個合流超幾何函數(shù)的第二種.第一類合流超幾何函數(shù)第一種的合流超幾何函數(shù)是一種墮落的超幾何函數(shù)作為解決方案的出現(xiàn)合流超幾何方程。它也被稱為第一類Kummer領(lǐng)軍的功能。有許多其他的符號用于函數(shù)(斯萊特1960年,p.2),包括(Kummer領(lǐng)軍1836),(Airey和韋伯1918),(亨伯特1920年),和(Magnus和Oberhettinger1948)。另一種形式的解決方案合流超幾何方程被稱為惠塔克函數(shù).第一種的合流超幾何函數(shù)的實現(xiàn)Wolfram語言作為Hypergeometric1F1[a,b,z]。合流超幾何函數(shù)的超幾何級數(shù)給出的(1)在哪里和是Pochhammer符號。如果和是整數(shù),,要么或,那么系列收益率多項式有有限數(shù)量的條件。如果是一個整數(shù),然后是未定義的。合流超幾何函數(shù)得到的拉蓋爾多項式通過(2)(Arfken1985,p.755),還有一個積分表示(3)(阿布拉莫維茨和Stegun1972,p.505)。貝塞爾函數(shù),小塊土地,不完整的γ函數(shù),埃爾米特多項式,拉蓋爾多項式,以及其他都是這個函數(shù)的特殊情況(阿布拉莫維茨和Stegun1972,p.1972)。Kummer領(lǐng)軍顯示(4)(Koepf1998,42頁)。Kummer領(lǐng)軍的第二個公式給了(5)(6)在哪里

,

,

,....參見:Pochhammer象征Pochhammer符號(1)(2)(阿布拉莫維茨和Stegun1972,p.256;Spanier1987;Koepf1998,p.5)一個不幸的符號用于理論的特殊功能上升!,也被稱為階乘崛起(Grahametal.1994年,48頁)或提升階乘(米德爾斯堡和摩爾2004,p.16)。Pochhammer符號實現(xiàn)的Wolfram語言作為Pochhammer[x,n]。組合的符號(羅馬1984年,p.5),(Comtet1974年,p.6),或(Grahametal.1994年,p.48)用于上升!,而或表示下降!(Grahametal.1994年,p.48)。因此需要極其謹(jǐn)慎的解釋的符號和

.的頭幾個值為非負(fù)整數(shù)是(3)(4)(5)(6)(7)(OEISA054654).在封閉的形式,可以寫(8)在哪里是一個斯特靈第一種的數(shù)量.Pochhammer象征滿足(9)分為兩半的公式(10)(11)和復(fù)制公式(12)(米德爾斯堡和摩爾2004,p.17)。的比例Pochhammer符號在封閉的形式給出(13)(米德爾斯堡和摩爾2004,p.17)。的導(dǎo)數(shù)是(14)在哪里是雙函數(shù).特殊值包括(15)(16)Pochhammer符號由于歐拉遵循轉(zhuǎn)換(17)在哪里是向前的區(qū)別和(18)(N?rlund1955)。的總和可以做在封閉的形式(19)為

.考慮到產(chǎn)品(20)(21)這個函數(shù)收斂于0,一個有限值,或發(fā)散,這取決于的價值。給出的臨界曲線隱式方程(22)在這條曲線上,函數(shù)收斂于0,而外面,它發(fā)散。最大的融合發(fā)生是由真正的價值(OEISA090462),最小值。的極值值是由(OEISA090463)。在關(guān)鍵的輪廓,需要的值(23)策劃的適當(dāng)擴(kuò)展版本與有限顯示美麗的和微妙的結(jié)構(gòu)如上文所述(m.Trottper。通訊,12月1日,2003)。另一個美麗的可視化情節(jié),正如上文所述(m.Trottper。通訊,2003年12月2日)。參見:合流超幾何函數(shù)的第二種第二類的合流超幾何函數(shù)使第二個線性無關(guān)的解合流超幾何方程。它也被稱為Kummer領(lǐng)軍的第二種功能,Tricomi函數(shù),或戈登功能。它是表示,可以定義為(1)(2)在哪里是一個正規(guī)化第一類合流超幾何函數(shù),是一個γ函數(shù),是一個廣義超幾何函數(shù)(這是收斂的地方但存在作為一個正式的冪級數(shù),阿布拉莫維茨Stegun1972,p.504)。它有一個積分表示(3)為(阿布拉莫維茨和Stegun1972,p.505)。第二類的合流超幾何函數(shù)的實現(xiàn)Wolfram語言作為HypergeometricU[a,b,z]。的惠塔克函數(shù)提供解決方案的另一種形式。該函數(shù)有一個麥克勞林級數(shù)(4)和漸近級數(shù)(5)有導(dǎo)數(shù)(6)和不定積分(7)在哪里是一個梅耶爾準(zhǔn)備功能和是一個積分常數(shù).梅耶爾準(zhǔn)備功能梅耶爾的函數(shù)是一個非常通用功能,減少在許多常見情況下簡單的特殊功能。梅耶爾的函數(shù)被定義為(1)在哪里是γ函數(shù)(Erdelyietal.1981年,p.1068;Gradshteyn和Ryzhik2000)。形式不同但功能等價的形式被Prudnikovetal.(1990,第793頁),(2)這種形式提供了更多的一致性的定義這個函數(shù)通過一個逆梅林變換.梅耶爾的函數(shù)的實現(xiàn)Wolfram語言作為MeijerG[a1,…一個,(n+1),…美聯(lián)社,b1、…bm,b(m+1),…bq,z]。一個廣義的定義的函數(shù)形式(3)實現(xiàn)的Wolfram語言作為MeijerG[a1,…一個,(n+1),…美聯(lián)社,b1、…bm,b(m+1),…bq,z,r)。在這兩種(2)和(3),輪廓之間的謊言波蘭人的和波蘭人的。例如,輪廓為如上圖,在嗎復(fù)平面和疊加函數(shù)本身(m.Trott)。Prudnikovetal。(1990)包含了一個廣泛的近200頁的清單梅耶爾的公式函數(shù)。特殊情況包括(4)(5)(6)(7)的一個特例2-argument形式(8)參見:L-函數(shù)

編輯本詞條缺少名片圖，補(bǔ)充相關(guān)內(nèi)容使詞條更完整，還能快速升級，趕緊來編輯吧！是有算術(shù)有意義和算術(shù)背景的L-函數(shù)·例如黎曼在研究高斯和勒讓德提出的素數(shù)定理時，引出了和素數(shù)分布有關(guān)的復(fù)變量的黎曼zeta-函數(shù)。中文名L-函數(shù)用

途Dirichlet級數(shù)發(fā)布者羅伯特·朗蘭茲編

輯黎曼猜想目錄1

1.簡介2

2.來源?

2.1算術(shù)L-函數(shù)?

2.2自守L-函數(shù)3

3.研究內(nèi)容?

3.1解析延拓,函數(shù)方程?

3.2零點的分布?

3.3特殊點的值4

4.研究意義5

5.三個公開問題?

5.1廣義Riemann猜想?

5.2廣義Lindelof猜想?

5.3廣義Ramanujan猜想1.簡介編輯一般地,對于數(shù)學(xué)對象

,我們可定義復(fù)數(shù)列

,形如且具有Euler乘積的Dirichlet級數(shù),我們稱其為關(guān)于

的

-函數(shù)。2.來源編輯一般地說,

-函數(shù)來源由兩類組成:算術(shù)L-函數(shù)和自守L-函數(shù).這兩者又是密切聯(lián)系在一起的,根據(jù)羅伯特·朗蘭茲的猜想,籠統(tǒng)地說,一切有意義的L-函數(shù)都來自自守L-函數(shù).2.1算術(shù)L-函數(shù)簡單地說,同樣地，狄利克雷在研究算術(shù)級數(shù)中的素數(shù)分布時，引入了DirichletL-函數(shù)：Dedekindzeta-函數(shù):設(shè)

為一代數(shù)數(shù)域，橢圓曲線的Haass-WeilL-函數(shù):設(shè)

為一非奇異的橢圓曲線

定義

為曲線在有限域

上的解,設(shè)

,則下面的級數(shù)稱為關(guān)于曲線的Haass-WeilL-函數(shù)阿廷L-函數(shù):設(shè)

是一個有限維的伽羅瓦表示,其中

為一代數(shù)數(shù)域,2.2自守L-函數(shù)全純模形式的L-函數(shù),MaassL-函數(shù),標(biāo)準(zhǔn)L-函數(shù)等等[1]

.3.研究內(nèi)容編輯根據(jù)羅伯特·朗蘭茲在國際數(shù)學(xué)家大會上的報告所指,研究一個L-函數(shù)主要有三部分內(nèi)容[2]

:3.1解析延拓,函數(shù)方程L-函數(shù)的解析延拓和函數(shù)方程這是最基本的一部分.對于一般的自守L-函數(shù)這是較容易得到的,但是對算術(shù)的L-函數(shù)這一部分并不是容易得到的.例如,對于Haass-WeilL-函數(shù),這部分就是谷山-志村猜想,該猜想一部分就能推出費(fèi)爾馬大定理.關(guān)于阿廷L-函數(shù)的全純解析沿拓的阿廷猜想也是數(shù)論中重要的未知問題.對于數(shù)學(xué)對象

的L-函數(shù),我們定義其的gamma因子為[3]其中

為復(fù)參數(shù).定義下面關(guān)于

的完全

-函數(shù)那么,一般地我們有函數(shù)方程其中

為模為1的復(fù)數(shù),

為關(guān)于

的對偶對象.3.2零點的分布非零區(qū)域:如黎曼zeta函數(shù)的目前最好的非零區(qū)域為[4]黎曼猜想和廣義黎曼猜想問題[5]

:在假設(shè)黎曼猜想下,零點虛部的分布問題與隨機(jī)矩陣的聯(lián)系等等.3.3特殊點的值中心值,臨界點,整點的值,極點的留數(shù)等.這里面也有很多猜想,像BSD猜想,類數(shù)問題,Deligne猜想，Beilinson猜想，Goldfeld猜想.其實往往我們重要的不僅是關(guān)心它具體有多大，而是關(guān)心的這個量里面隱含著什么樣的算術(shù)意義。像Dedekindzeta函數(shù)在s=1處的留數(shù)，里面包含了一個數(shù)域的很多不變量：類數(shù)，判別式，regular等；BSD猜想就是Haass-WeilL-函數(shù)在中心點的的階就是該橢圓曲線的秩！4.研究意義編輯對于一個研究對象

如素數(shù),伽羅瓦擴(kuò)張,橢圓曲線,代數(shù)簇等等,我們可根據(jù)其性質(zhì)構(gòu)造出一個復(fù)變量的L-函數(shù)

.-函數(shù)的解析性質(zhì):零點和極點,函數(shù)方程,展開系數(shù),特殊點的值等等,往往能夠充分反映

的算術(shù),幾何,或代數(shù)性質(zhì).5.三個公開問題編輯關(guān)于L-函數(shù)的研究,有許多未解決的公開問題,在這些問題中,尤以下面三個著名[6]

.5.1廣義Riemann猜想L-函數(shù)所有非平凡的零點均位于

線上.5.2廣義Lindelof猜想在(3.1)的函數(shù)方程中,有猜想:其中

為任意小的正實數(shù).5.3廣義Ramanujan猜想在(3.1)的函數(shù)方程中,猜想對非分歧的有

和

.庫侖波函數(shù)的一個特例第一類合流超幾何函數(shù)。它使徑向薛定諤方程的解在庫侖勢()的原子核(1)(阿布拉莫維茨和Stegun1972;Zwillinger1997,p.122)。完整的解決方案(2)第一種的庫侖作用(3)在哪里(4)是第一類合流超幾何函數(shù),是γ函數(shù)第二類,庫侖函數(shù)(5)在哪里

,,阿布拉莫維茨和定義Stegun(1972,第538頁)?？矊幇埠瘮?shù)坎寧安函數(shù),有時也稱為Pearson-Cunningham函數(shù),可以表達(dá)惠塔克函數(shù)(惠塔克和沃森1990,p.353)。在哪里是一個合流超幾何函數(shù)的第二種(阿布拉莫維茨和Stegun1972,p.510)?；菟撕瘮?shù)惠塔克函數(shù)產(chǎn)生的解決方案惠塔克微分方程。這個方程的線性獨(dú)立的解決方案(1)(2)和,是一個合流超幾何函數(shù)的第二種和是一個Pochhammer象征。而言,合流超幾何函數(shù)的第一和第二種,這些解決方案是(3)(4)(阿布拉莫維茨和Stegun1972,p.505;維特克和沃森1990年,頁339-351)。這些功能的實現(xiàn)HYPERLINK"javascript:changelink('/