高等數(shù)學(xué)A課件：30－第30講 定積分的應(yīng)用三

高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第三十講定積分的應(yīng)用(三)——

微積分在物理中的應(yīng)用及其他應(yīng)用第七章定積分的應(yīng)用本章學(xué)習(xí)要求：掌握建立與定積分有關(guān)的數(shù)學(xué)模型的方法。熟練掌握“微分元素法”，能熟練運(yùn)用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量：平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積、平行截面面積為已知的幾何體的體積、平面曲線的弧長(zhǎng)、變力作功、液體的壓力等。能利用定積分定義式計(jì)算一些極限。第七章定積分的應(yīng)用第五節(jié)定積分在物理及其他方面的應(yīng)用一、變力做功二、液體的靜壓力四、求極限三、質(zhì)量分布不均勻物體的質(zhì)量五、連續(xù)函數(shù)的平均值一、變力沿直線做功例1解例2解二、液體的靜壓力例3解2m2x2－x三、質(zhì)量分布不勻的線狀物體的質(zhì)量四、求極限五、連續(xù)函數(shù)的平均值例解例在r

軸的坐標(biāo)原點(diǎn)處置一電量為q

的正電荷,在由它產(chǎn)生的電場(chǎng)的作用下,一單位正電荷從r=a處沿r

軸移動(dòng)到r=b點(diǎn)(0<a<b),求電場(chǎng)力所作的功w

解由庫(kù)倫定律知,單位正電荷在距離正點(diǎn)電荷q為r處,所受的電場(chǎng)力的大小為考慮在部分區(qū)間[r,r+r]上電力場(chǎng)所作的功w.由于F(r)連續(xù),故當(dāng)r

很小時(shí)

,F(r)在[r,r+r]上近似不變的所以可用可證從a

到b積分得例設(shè)40牛的力使彈簧從自然長(zhǎng)度10cm

拉長(zhǎng)成15cm,問(wèn)需要作多大的功才能克服彈性恢復(fù)力,將伸長(zhǎng)的彈簧從15cm

處再拉長(zhǎng)3cm?解據(jù)胡克定律

,

有因?yàn)镕(0.05)=40(伸長(zhǎng)5cm)所以,彈簧從15cm拉長(zhǎng)到18cm所作的功(焦耳)例比重為0.5的球拋入水中,待球靜止后將球壓入水中,使其頂端與水面相齊,問(wèn)壓球應(yīng)作多少功

.解設(shè)球半徑為R,則比重為0.5的球在靜止時(shí),其最低處離水面的距離為R(F浮=ρ水V排g=ρ球V球g=F重V排=V球)而將球完全壓進(jìn)水內(nèi)時(shí),最低處離水面的距離為2R當(dāng)球的最低處離水面為

h(h

R)時(shí),浸入水中的球體體積為當(dāng)球的最低處由h(>R)推到h+dh

時(shí),作功于是將球完全壓進(jìn)水內(nèi)需作功例從深井中吊水,一吊桶自重4公斤,纜繩2公斤/m,用纜繩從30m深的水井吊水,初始時(shí)桶內(nèi)裝有40公斤的水,并以2m/秒的速度勻速上升,且桶內(nèi)水以0.2公斤/秒速率從桶壁小孔

流出,問(wèn)將水吊至井口需作多少功?解取坐標(biāo)如圖所示將水吊至井口所作的功w

=拉起纜繩所作的功w1+拉起吊桶所作的功w2+提水所作的功w3(1)拉起纜繩所作的功w1在纜繩上取一微元段[x,x+x],將其提至井口所作的功為:(2)拉起吊桶所作的功w2(3)提水所作的功w3吊一桶水需要時(shí)間:(秒)在時(shí)刻t,桶中的水的質(zhì)量:(公斤)在[t,t+t]時(shí)間段,水被提升的距離:所作的功為所以將水吊至井口所作的功:3o其它的應(yīng)用例人體心臟輸出的血液量的測(cè)量數(shù)學(xué)模型的建立:人的心血管系統(tǒng)運(yùn)行圖:血液靜脈右心房肺動(dòng)脈肺部(氧合作用)肺靜脈左心房主動(dòng)脈身體的其余部位心臟的輸出:單位時(shí)間心臟送出的血液量,即流向動(dòng)脈的流速染料稀釋法是用來(lái)測(cè)量心臟輸出的方法:染料注入右心房,并從心臟流入動(dòng)脈,在動(dòng)脈內(nèi)插入一探針,在[0,T]內(nèi),以相同的間隔測(cè)量染料的濃度直至染料全部流逝設(shè)c(t)

是時(shí)刻t時(shí)的染料濃度;F

是血流速度(單位時(shí)間流過(guò)的血液量(為常數(shù))),則在[t,t+t]時(shí)間段內(nèi),流過(guò)的染料量:染料總量:所以已知注入右心房的染料總量為5(毫克),染料濃度c(t)(mg/L)測(cè)得如下表:

t012345678910c(t)0.00.42.86.59.88.96.14.02.31.10.0根據(jù)上表,利用Si