專題13 創(chuàng)新型問題（解析版）

專題13創(chuàng)新型問題專題點撥1.創(chuàng)新型數(shù)學問題，主要涉及兩大類：一類是創(chuàng)造性地綜合運用已有的數(shù)學知識經(jīng)驗解決新情境問題或陌生的問題；另一類是發(fā)現(xiàn)新問題(或提出新問題)并解決提出的新問題.不論是哪一類創(chuàng)新型數(shù)學問題，都需要強化閱讀理解,充分研究問題的條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，運用數(shù)學知識方法，發(fā)現(xiàn)解題策略，展開充分的數(shù)學推理，完成數(shù)學問題提出的研究目標．2．創(chuàng)新型數(shù)學問題常見的問題類型：(1)構(gòu)造型問題：一般需要構(gòu)造不等式、方程、代數(shù)式、函數(shù)、圖形等加以解決的問題；(2)歸納猜想型問題：通過歸納--猜想---證明實現(xiàn)從特殊到一般的推理論證；(3)新概念型問題：問題情境給出新定義、新法則(公式、原理)，考察學習者的及時學習能力，一般需要先理解新概念，再運用新概念解決問題；存在判斷型：這類問題常見的有：①探究給定的結(jié)論是否成立；②探究符合條件的數(shù)學對象是否存在；③類比已有結(jié)論探索獲得的新命題是否成立；(4)探究性問題：探究一類問題的解題策略，或是探究給定命題是否正確，或可否進一步推廣．總之，解決創(chuàng)新型數(shù)學問題，既需要閱讀理解問題情境,也需要綜合運用邏輯思維與直覺思維、演繹推理與合情推理，需要運用特殊與一般、歸納與類比等數(shù)學思維方式解決問題．例題剖析【例1】稱項數(shù)相同的兩個有窮數(shù)列對應項乘積之和為這兩個數(shù)列的內(nèi)積，設：數(shù)列甲：x1，x2，…，x5為遞增數(shù)列，且xi∈N?（i＝1，2，…，5）；數(shù)列乙：y1，y2，y3，y4，y5滿足yi則在甲、乙的所有內(nèi)積中（）A．當且僅當x1＝1，x2＝3，x3＝5，x4＝7，x5＝9時，存在16個不同的整數(shù)，它們同為奇數(shù) B．當且僅當x1＝2，x2＝4，x3＝6，x4＝8，x5＝10時，存在16個不同的整數(shù)，它們同為偶數(shù) C．不存在16個不同的整數(shù)，要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù) D．存在16個不同的整數(shù)，要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)【答案】D【解析】對于A，取特例x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，x5＝5時，此時內(nèi)積可能為：?15，?13，?11，?9，?7，?5，?3，?1，1，3，5，7，9，11，13，15，16個都是奇數(shù)，所以A不對，對于B，取特例x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，x5＝6時，此時內(nèi)積可能為：?16，?14，?12，?10，?8，?6，?4，?2，2，4，6，8，10，12，14，16，16個都是偶數(shù)，所以B不對，對于C，由A，B可知存在16個整數(shù)，要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)，所以C不對，故選：D．【例2】已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一項是20，接下來的兩項是20、21，再接下來的三項是20、21、22，以此類推，若N＞100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪，則N的最小值為（）A．440 B．330 C．220 D．110【答案】A【解析】由題意可知：第一項，1＝20；第二項，20，21；第三項，20，21，22；…；第n項，20，21，22，…，2n﹣1；根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式，求得每項和分別為：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1；每項含有的項數(shù)為：1，2，3，…，n；總共的項數(shù)為N＝1+2+3+…+n=n(n+1)所有項數(shù)的和為Sn＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）＝（21+22+23+…+2n）﹣n=2(1?2n)1?2?n由題意可知：2n+1為2的整數(shù)冪，只需將﹣2﹣n消去即可，則①1+2+（﹣2﹣n）＝0時，解得n＝1，總共有(1+1)×12+2＝3項，不滿足②1+2+4+（﹣2﹣n）＝0時，解得n＝5，總共有(1+5)×52+3＝18項，不滿足③1+2+4+8+（﹣2﹣n）＝0時，解得n＝13，總共有(1+13)×132+4＝95項，不滿足④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）＝0時，解得n＝29，總共有(1+29)×292+5＝440項，滿足∴N的最小值為440．故選：A．【例3】（2021秋?寶山區(qū)期末）設，，定義運算“△”和“”如下：，．若正數(shù)，，，滿足，，則A．△，△ B．， C．△， D．，△【解答】解：由運算“△”和“”定義知，表示數(shù)、比較小的數(shù)，表示數(shù)、比較大的數(shù)，當，時，△，故選項、錯誤；當時，，故選項錯誤；，且，，，△，△，故選項正確；故選：．【例4】和平面解析幾何的觀點相同，在空間中，空間平面和曲面可以看作是適合某種條件的動點的軌跡，在空間直角坐標系O﹣xyz中，空間平面和曲面的方程是一個三元方程F（x，y，z）＝0．（1）類比平面解析幾何中直線的方程，寫出①過點P（x0，y0，z0），法向量為n→=(A，B，C)的平面的點法式方程；②平面的一般方程；③在x，y，z軸上的截距分別為a，b，（2）設F1，F(xiàn)2為空間中的兩個定點，|F1F2|＝2C，我們將曲面Γ定義為滿足|PF1|+|PF2|＝2a（a＞c）的動點P的軌跡，試建立一個適當?shù)目臻g直角坐標系O﹣xyz，求曲面Γ的方程；（3）對（2）中的曲面Γ，指出和證明曲面C的對稱性，并畫出曲面Γ的直觀圖．【解析】（1）①A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，②Ax+By+Cz+D＝0；③xa（2）以兩個定點F1，F(xiàn)2的中點為坐標原點O，以F1，F(xiàn)2所在的直線為y軸，以線段F1F2的垂直平分線為x軸，以與xoy平面垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系O﹣xyz，如圖所示，設F1（0，c，0），F(xiàn)2（0，﹣c，0），設P的坐標為（x，y，z），可得|F1F2|＝2c＞0，|PF1→|+|PF2→|＝2∴x2+(y+c)移項得x2+(y+c)2兩邊平方，得ax2+(y?c)2+兩邊平方，整理得x2令a2?c2=因此，可得曲面Γ的方程為x2（3）由于點（x，y，z）關(guān)于坐標原點O的對稱點（﹣x，﹣y，﹣z）也滿足方程①，說明曲面Γ關(guān)于坐標原點O對稱；由于點（x，y，z）關(guān)于x軸的對稱點（x，﹣y，﹣z）也滿足方程①，說明曲面Γ關(guān)于x軸對稱；同理，曲面Γ關(guān)于y軸對稱；關(guān)于z軸對稱．由于點（x，y，z）關(guān)于xOy平面的對稱點（x，y，﹣z）也滿足方程①，說明曲面Γ關(guān)于xOy平面對稱；同理，曲面Γ關(guān)于xOz平面對稱；關(guān)于yOz平面對稱．由以上的討論，可得曲面Γ的直觀圖如右上圖所示．【例5】設f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對任何實數(shù)α∈（0，1）以及D中的任意兩數(shù)x1、x2，恒有f（αx1+（1﹣α）x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2），則稱f（x）為定義在D上的C函數(shù)．（1）證明函數(shù)f1(x)=x（2）判斷函數(shù)f2(x)=1（3）若f（x）是定義域為R的函數(shù)，且最小正周期為T，試證明f（x）不是R上的C函數(shù)．【解析】證明：（1）對任意實數(shù)x1，x2及α∈（0，1），有f（αx1+（1﹣α）x2）﹣αf（x1）﹣（1﹣α）f（x2）=(α=?α(1?α)x即f（αx1+（1﹣α）x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2），∴f1(x)=x（2）f2(x)=1說明如下（舉反例）：取x1＝﹣3，x2＝﹣1，α=1則f（αx1+（1﹣α）x2）﹣αf（x1）﹣（1﹣α）f（x2）=f(?2)?1即f（αx1+（1﹣α）x2）＞αf（x1）+（1﹣α）f（x2），∴f2(x)=1（3）假設f（x）是R上的C函數(shù)，若存在m＜n且m，n∈[0，T），使得f（m）≠f（n）．（i）若f（m）＜f（n），記x1＝m，x2＝m+T，α=1?n?mT，則0＜α＜1，且n＝αx1+（1﹣α）x那么f（n）＝f（αx1+（1﹣α）x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2）＝αf（m）+（1﹣α）f（m+T）＝f（m），這與f（m）＜f（n）矛盾；（ii）若f（m）＞f（n），記x1＝n，x2＝n﹣T，α=1?n?m∴f（x）在[0，T）上是常數(shù)函數(shù)，又因為f（x）是周期為T的函數(shù)，所以f（x）在R上是常數(shù)函數(shù)，這與f（x）的最小正周期為T矛盾．所以f（x）不是R上的C函數(shù)．【例6】（2021秋?徐匯區(qū)期末）已知數(shù)列和，其中是的小數(shù)點后的第位數(shù)字，（例如，．若，且對任意的，均有，則滿足的所有的值為．【解答】解：，，，，，，，且對任意的，均有，，，，，數(shù)列是周期數(shù)列，且．，，，①時，，解得，；②時，，解得，；③時，，解得，不是整數(shù)，舍去．綜上可得：滿足的所有的值為2023，2021．故答案為：2023，2021．鞏固訓練填空題1.天干地支紀年法，源于中國．中國自古便有十天干與十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推．已知2017年為丁酉年，那么到改革開放100年時，即2078年為年．【答案】戊戌【解析】天干是以10為構(gòu)成的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，從2017年到2078年經(jīng)過61年，且2017年為丁酉年，以2017年的天干和地支分別為首項，則61÷10＝6余1，則2078的天干為戊，61÷12＝5余1，則戊的地支為戌，故答案為：戊戌2.（2021秋?普陀區(qū)期末）設非空集合，當中所有元素和為偶數(shù)時（集合為單元素時和為元素本身），稱是的偶子集．若集合，2，3，4，5，6，，則其偶子集的個數(shù)為．【解答】解：偶子集可以分為只有奇數(shù)、偶數(shù)及偶數(shù)個奇數(shù)和偶數(shù)的集合，奇數(shù)有4個，偶數(shù)有3個只有奇數(shù)的有個，只有偶數(shù)的有個，偶數(shù)個奇數(shù)和偶數(shù)的：兩奇一偶個，兩奇二偶個，兩奇三偶個，四奇一偶個，四奇二偶個，四奇三偶個，所以共有個，故答案為：60．二、選擇題3.朱載堉（1536～1611），是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學家和天文歷算家，他的著作《律學新說》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一組音（八度）分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”．即一個八度13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最后一個音是最初那個音的頻率的2倍．設第三個音的頻率為f1，第七個音的頻率為f2，則f2A．4122 B．1116 C．82【答案】D【解析】依題意13個音的頻率成等比數(shù)列，記為{an}，設公比為q，則a13=a1q12，且a13＝2a1∴f2f1=a7a3故選：D．4.已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一項是20，接下來的兩項是20、21，再接下來的三項是20、21、22，以此類推，若N＞100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪，則N的最小值為（）A．440 B．330 C．220 D．110【答案】A【解析】由題意可知：第一項，1＝20；第二項，20，21；第三項，20，21，22；…；第n項，20，21，22，…，2n﹣1；根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式，求得每項和分別為：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1；每項含有的項數(shù)為：1，2，3，…，n；總共的項數(shù)為N＝1+2+3+…+n=n(n+1)所有項數(shù)的和為Sn＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）＝（21+22+23+…+2n）﹣n=2(1?2n)1?2?n由題意可知：2n+1為2的整數(shù)冪，只需將﹣2﹣n消去即可，則①1+2+（﹣2﹣n）＝0時，解得n＝1，總共有(1+1)×12+2＝3項，不滿足②1+2+4+（﹣2﹣n）＝0時，解得n＝5，總共有(1+5)×52+3＝18項，不滿足③1+2+4+8+（﹣2﹣n）＝0時，解得n＝13，總共有(1+13)×132+4＝95項，不滿足④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）＝0時，解得n＝29，總共有(1+29)×292+5＝440項，滿足∴N的最小值為440．故選：A．三、解答題5.已知集合Pn（1）用列舉法寫出集合P4；（2）是否存在自然數(shù)n，使得2019∈Pn，若存在，求出n的值，并寫出此時集合P的元素個數(shù)；若不存在，請說明理由．【解析】（1）當n＝4時，P4（2）∵210＜2019＜211，且2019＝288×7+3，故2019∈P10，此時P10中最小的元素為：1029，最大的元素為：2044，2044?10297故此時P中共有元素146個．6.閱讀下面材料：根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣①sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②由①+②得sin（α+β）+sin（α﹣β）＝2sinαcosβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣③令α+β＝A，α﹣β＝B有α=A+B2，代入③得sinA+sinB＝2sinA+B2cosA?B類比上述推證方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cosA﹣cosB＝﹣2sinA+B2sinA?B【解析】證明：因為cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣①cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ②①﹣②得cos（α+β）﹣cos（α﹣β）＝﹣2sinαsinβ③…令α+β＝A，α﹣β＝B有α=A+B2，β代入③得cosA﹣cosB＝﹣2sinA+B2sinA?B7.絕對值|x﹣1|的幾何意義是數(shù)軸上的點x與點1之間的距離，那么對于實數(shù)a，b，|x﹣a|+|x﹣b|的幾何意義即為點x與點a、點b的距離之和．（1）直接寫出|x﹣1|+|x﹣2|與|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值，并寫出取到最小值時x滿足的條件；（2）設a1≤a2≤…≤an是給定的n個實數(shù)，記S＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+…+|x﹣an|．試猜想：若n為奇數(shù)，則當x∈時S取到最小值；若n為偶數(shù)，則當x∈時，S取到最小值；（直接寫出結(jié)果即可）（3）求|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|10x﹣1|的最小值．【解析】（1）|x﹣1|+|x﹣2|的最小值為1，當且僅當x∈[1，2]時，取最小值；|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值2，當且僅當x＝2時，取最小值；（2）設a1≤a2≤…≤an是給定的n個實數(shù)，記S＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+…+|x﹣an|．歸納可得：若n為奇數(shù)，則當x∈{an+12}時若n為偶數(shù)，則當x∈[an2，an（3）|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|10x﹣1|＝|x﹣1|+2|x?12|+3|x?13共55項，其中第28項為|x?1故x=17時，|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|10x﹣1|取最小值：67故答案為：{an+12}，[an8.（2021秋?嘉定區(qū)期末）已知函數(shù)的定義域為區(qū)間，若對于給定的非零實數(shù)，存在，使得，則稱函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)．（1）判斷函數(shù)在區(qū)間，上是否具有性質(zhì)，并說明理由；（2）若函數(shù)在區(qū)間，上具有性質(zhì)，求的取值范圍；（3）已知函數(shù)的圖像是連續(xù)不斷的曲線，且（2），求證：函數(shù)在區(qū)間，上具有性質(zhì)．【解答】解：（1）函數(shù)在區(qū)間，上具有性質(zhì)，若，則，因為，，且，，所以函數(shù)在區(qū)間，上具有性質(zhì)．（2）由題意，存在，使得，由正弦線的定義得（舍或，則得，因為，所以，又因為且，，所以，即所求的取值范圍是，．證明：（3）設，，，則有，，（1），，，，（2），，2，3，，，以上各式相加得（2），即，當、、、、、中有一個為0時，不妨設，，2，3，，，即，即，，2，3，，，所以函數(shù)在區(qū)間，上具有性質(zhì)．當、、、、、中均不為0時，由于其和為0，則其中必存在整數(shù)和負數(shù)，不妨設，，其中，，，2，3，，，由于函數(shù)的圖像是連續(xù)不斷的曲線，所以當時，至少存在一個實數(shù)（當時，至少存在一個實數(shù)，其中，，2，3，，，使得，即，即存在，使得，所以函數(shù)在區(qū)間，上也具有性質(zhì)，綜上所述，函數(shù)在區(qū)間，上具有性質(zhì)．9.由下面四個圖形中的點數(shù)分別給出了四個數(shù)列的前四項，將每個圖形的層數(shù)增加可得到這四個數(shù)列的后繼項．按圖中多邊形的邊數(shù)依次稱這些數(shù)列為“三角形數(shù)列”、“四邊形數(shù)列”…，將構(gòu)圖邊數(shù)增加到n可得到“n邊形數(shù)列”，記它的第r項為P（n，r），（1）求使得P（3，r）＞36的最小r的取值；（2）問3725是否為“五邊形數(shù)列”中的項，若是，為第幾項；若不是，說明理由；（3）試推導P（n，r）關(guān)于n、r的解析式．【解析】（1）由題意得：P（3，r）=r(r+1)令r(r+1)2即r2+r﹣72＞0，解得r＞8，∴最小的r＝9．（2）“五邊形數(shù)列”中的項，P（5，r）＝r+3r(r?1)令r+3r(r?1)2=解得：r＝50，故3725是“五邊形數(shù)列”中的第50項，（3）設n邊形數(shù)列所對應的圖形中第r層的點數(shù)為a1，則P（n，r）＝a1+a2+…+ar，從圖中可以得出：后一層的點在n﹣2條邊上增加了一點，兩條邊上的點數(shù)不變，所以ar+1﹣ar＝n﹣2，a1＝1所以{ar}是首項為1公差為n﹣2的等差數(shù)列，所以P（n，r）＝r+(n?2)?r?(r?1)10.如果數(shù)列{an}同時滿足：（1）各項均為正數(shù)，（2）存在常數(shù)k，對任意n∈N*，an+12＝anan+2+k都成立，那么，這樣的數(shù)列{an}我們稱之為“類等比數(shù)列”．由此各項均為正數(shù)的等比數(shù)列必定是“類等比數(shù)列”．問：（1）若數(shù)列{an}為“類等比數(shù)列”，且k＝（a2﹣a1）2，求證：a1、a2、a3成等差數(shù)列；（2）若數(shù)列{an}為“類等比數(shù)列”，且k＝0，a2、a4、a5成等差數(shù)列，求a2（3）若數(shù)列{an}為“類等比數(shù)列”，且a1＝a，a2＝b（a、b為常數(shù)），是否存在常數(shù)λ，使得an+an+2＝λan+1對任意n∈N*都成立？若存在，求出λ；若不存在，說明理由．【解析】（1）證明：當k=(a2?a1)2即a1∵a1＞0，∴a3﹣2a2+a1＝0，即a2﹣a1＝a3﹣a2?故a1，a2，a3成等差數(shù)列；（2）解：當k＝0時，an+1∵數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，設公比為q（q＞0），∵a2，a4，a5成等差數(shù)列，∴a2+a5＝2a4，即a1q+a1q4∴q3﹣2q2+1＝0，（q﹣1）（q2﹣q﹣1）＝0，解得q＝1或q=1±∴a2a1（3）存在常數(shù)λ=a2+b2?kab，使an+an（或從必要條件入手a1證明如下：∵an+12=∴an+12?由于an＞0，此等式兩邊同除以anan+1，得an∴an即當n∈N*都有an∴a1=a，∴a∴對任意n∈N*都有an+an+2＝λan+1，此時λ=a11.（2021秋?普陀區(qū)期末）設，為常數(shù)，若存在大于1的整數(shù)，使得無窮數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．（1）設，，若首項為1的數(shù)列為“（3）數(shù)列”，求；（2）若首項為1的等比數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的通項公式，并指出相應的，，的值；（3）設，，若首項為1的數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的前項和．【解答】解：，當時，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，否則是以為公差的等差數(shù)列；（1）因為，，，，，，，，，，，，，，數(shù)列從第3項起，每隔3項重復出現(xiàn)，；；；；（2）因為是首項為1的等比數(shù)列，則有：，又因為為數(shù)列，所以，，，又因為，，，的公比為1，，所以，，為大于1的任意整數(shù)；（3），，，，，，，，，，，，，，；，，，，，，，，，，，設每隔10項的和為，則有：；；；；由此可得：；．12.給定整數(shù)n（n≥4），設集合A＝{a1，a2，…，an}．記集合B＝{ai+aj|ai，aj∈A，1≤i≤j≤n}．（1）若A＝{﹣3，0，1，2}，求集合B；（2）若a1，a2，…an構(gòu)成以a1為首項，d（d＞0）為公差的等差數(shù)列，求證：集合B中的元素個數(shù)為2n﹣1；（3）若a1，a2，…，an構(gòu)成以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，求集合B中元素的個數(shù)及所有元素之和．【解析】（1）A＝{﹣3，0，1，2}，由題意可得集合B＝{﹣6，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}；（2）證明：若a1，a2，…an構(gòu)成以a1為首項，d（d＞0）為公差的等差數(shù)列，可得等差數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)am+an＝ap+aq，可得B中的元素個數(shù)為n+n(n?1)2?（3）a1，a2，…，an構(gòu)成以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，可得an＝3n，由3n為奇數(shù)，即有3m+3n＝2?