導(dǎo)數(shù)與微分在物理中的應(yīng)用

PAGEPAGE6導(dǎo)數(shù)與微分在高三物理復(fù)習(xí)中的應(yīng)用湖北宜昌市田家炳中學(xué) 443001 齊克軍一、理解物理概念．AAA速度．高三復(fù)習(xí)時(shí)，可以將這種表述簡(jiǎn)化為數(shù)學(xué)式：v

lim

ds，t t0t dt即質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)某點(diǎn)的瞬時(shí)速度等于位移對(duì)時(shí)間在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)．類似地，勻變速直線運(yùn)動(dòng)的公式sv0

t1at2、v2

v at來(lái)驗(yàn)證．0IBIBAUI-U圖1IBAU線切線斜率的倒數(shù)就等于電阻．結(jié)合小燈泡伏安特性曲線（圖1）來(lái)看，從AIBAU減小，電阻增大，這種理解似乎沒錯(cuò)，但換一從A到B，切線斜率減小，即B點(diǎn)切線斜率斜 圖2B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的電阻較?。畯膶?dǎo)數(shù)的知識(shí)可知，I-UkIU的導(dǎo)數(shù)，即kdI，dU1dU，上述錯(cuò)誤在于把電阻的定義式RU換成了RdU，而一般k dI I dIUdU，只有對(duì)金屬導(dǎo)體這類線性元件（伏安特性曲線是I dI過(guò)原點(diǎn)的直線，才有RUdU．I dIEt

，高中物理中一般只涉及兩SE

BBEBt t

．但高三復(fù)習(xí)中，有學(xué)生問(wèn)“當(dāng)B和S都變時(shí)，怎樣求E“這種情況高考不考”，學(xué)生是不會(huì)滿意的，如果將此公式寫成Ed

，同時(shí)將BS代入得E

dB dSB

，然后分三種情況討論，dt dt dt既開闊了學(xué)生的眼界，又培養(yǎng)了學(xué)生的興趣．二、認(rèn)識(shí)物理規(guī)律．LC回路電磁振蕩規(guī)律中，電容器放電時(shí)，極板間電壓減小，放電電流增大，到放電完畢瞬間，極板間電壓為零，放電電流達(dá)到最iuRLC說(shuō)明．高三復(fù)習(xí)時(shí)，我們可以借助導(dǎo)數(shù)和微分的知識(shí)，輕松地突破這一難點(diǎn)：放電時(shí)，電容器極板上電荷q的減少量等于導(dǎo)線中流過(guò)的電量，由電流的定義式可得idqdt再結(jié)合電容的定義式C

q得iCu dtLC 回路中電容器周期性充放電，極板間電壓可表示為uU costm則iCU

sintm由此可知，u0時(shí)，i取最大值．v 繩拉物體運(yùn)動(dòng)的分解也是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)．如圖3，小車?yán)K的度 和木塊前進(jìn)的速度v 1 2系如何，學(xué)生不易弄清，借用導(dǎo)數(shù)知識(shí)很容易解決：v1lhxv2x2v1lhxv2xdx

ldl由于vdl、

dt dtdx、cosx1故vv1 2

dt 2cos．

dt l圖3三、求解物理問(wèn)題．這類問(wèn)題通?？梢杂脭?shù)學(xué)變換（如化為繁分?jǐn)?shù)、配成完全平方式）決這類問(wèn)題的一般方法．A北岸420mA70mA北岸10m的B處發(fā)生險(xiǎn)情此人馬上快速跑到河 河南岸邊，再以跑步3的速度過(guò)河跑到出事點(diǎn)進(jìn)行南岸4 B搶險(xiǎn)．已知河寬為40m，且河水不流動(dòng)，此 圖4人跑步的速度為8m/s，問(wèn)此人到達(dá)出事點(diǎn)的最短時(shí)間是多少？AD北岸FE河AD北岸FE河為了求出最短時(shí)間，我們先把人沿任意（圖5中的A-E-EF=x，則ED70x

B 南岸AF2EF2AF2EF2BD2ED28 6302x2即302x2

圖5402(70x)2(402(70x)28 6ttx的導(dǎo)數(shù)等于零，即t

70x 08 302x26 402(70x)2解得8 302x26 402(70x)2就是最短時(shí)間（理也可以很簡(jiǎn)潔求解） q1 q2圖6例二：如圖61和qq為負(fù)電荷，電量均為q，現(xiàn)將q和qq由靜2 3 1 2 3止釋放，試定性討論q（不考慮重力）33q受電場(chǎng)力的合力沿q和q由靜止釋放后沿中31 2 3q和qO處和無(wú)限遠(yuǎn)處場(chǎng)強(qiáng)均為零可1 2推知，中垂線上電場(chǎng)強(qiáng)度不是單調(diào)遞增或遞減，一定存在極值點(diǎn)，我們需要把極值點(diǎn)求出來(lái)．EPq1qO7，設(shè)qEPq1qO1 2任意一點(diǎn)P處場(chǎng)強(qiáng)為：2kq 2kq2E2acos2

sin sincos2a2求E對(duì)的導(dǎo)數(shù)得： 圖72kq Ea2

cos32sin2cos3令E0sin33

（負(fù)值對(duì)應(yīng)P在