繼電保護(hù)算法分析報(bào)告

. . . .繼電保護(hù)算法分析引言根據(jù)繼電保護(hù)的原理可知 ，微機(jī)保護(hù)系統(tǒng)的核心內(nèi)容即是如何采用適當(dāng)而有效的保護(hù)算法提取出表征電氣設(shè)備故障的信號特征分量 。圖1是目前在微機(jī)保護(hù)中通常采用的提取故障信號特征量的信號處理過程 。故障信號變換低通濾波故障信號器(CT)A/D轉(zhuǎn)換保護(hù)算法特征量器(ALF)圖1 故障信號特征的提取過程Fig.1 Characterextractionprocessoffaultsignal從圖中可以看出，自故障信號輸入至 A/D 輸出的諸環(huán)節(jié)由硬件實(shí)現(xiàn) ，在此過程中故障信號經(jīng)過了預(yù)處理（如由ALF濾除信號中高于5次的諧波分量），然后通過保護(hù)算法從中提取出故障的特征分量 （如基波分量）。很明顯，只有準(zhǔn)確且可靠地提取出故障的特征量，才能通過故障判據(jù)判斷出是否發(fā)生了故障 ，是何種性質(zhì)的故障，進(jìn)而輸出相應(yīng)的保護(hù)動(dòng)作 。因此計(jì)算精度是正確作出保護(hù)反應(yīng)的重要條件 。就硬件部分而言，為了減少量化誤差，通常采用12位甚至16位A/D轉(zhuǎn)換芯片；而就保護(hù)算法而言，提高精度除了與算法本身的性能有關(guān) ，還與采樣頻率、數(shù)據(jù)窗長度和運(yùn)算字長有關(guān) 。目前針對故障特征的提取有許多不同類型的保護(hù)算法 ，本課題研究的是電動(dòng)機(jī)和變壓器的保護(hù)，根據(jù)相應(yīng)的保護(hù)原理 ，主要涉及基于正弦量的算法和基于序分量過濾器的算法。本章將對其中幾種較典型的算法作簡要介紹和分析 ?；谡伊康奶卣魈崛∷惴ǚ治?下載可編輯.2.1 兩點(diǎn)乘積算法設(shè)被采樣信號為純正弦量 ，即假設(shè)信號中的直流分量和高次諧波分量均已被理想帶通濾波器濾除。這時(shí)電流和電壓可分別表示為 ：i2Isin(ti0)和u2sin(tu0)U表示成離散形式為：iki(kTS)2Isin(kTSi0)（1）uk u(kTS) 2Usin(k TS u0)（2）式中， 為角頻率，I、U為電流和電壓的有效值 ，TS為采樣頻率， i0和 u0為電流和電壓的初相角 。設(shè)i1和i2分別為兩個(gè)相隔 的采樣點(diǎn)n1和n2處的采樣值（圖2）,2即：n2 TS n1TS由式（1）：

2i1 i(n1TS) 2Isin(n1TS i0) 2Isin i13）i2i(n2TS)2Isin(n2TSi0)2Isin(n1TSi0)2Icosi124）式中 i1 n1 TS i0為第n1個(gè)采樣時(shí)刻電流的相位角。i(k)i1i20 n1TS n2TS

kTS. . . .圖2 兩點(diǎn)乘積算法的采樣Fig.2 Samplingoftwo-pointproductalgorithm將式（3）和式（4）平方后相加可得：2I2 i12 i22由此可求得電流的有效值為 ：i12i22I2將式（3）和式（4）相除可求得n1TS時(shí)刻的電流相位為：i1arctgi1i2同理，由式（2）可得：u1 2Usin u15）u2 2Ucosu16）類似于電流的情況，由式（5）和式（6）可得：U

u1 u22.下載可編輯.u1 arctgu1u2式（3）～（6）表明，若輸入量為純正弦函數(shù) ，只要得到任意兩個(gè)相隔 的瞬時(shí)2值，就可以計(jì)算出其有效值和相位 。為了避免涉及三角函數(shù) ，在計(jì)算測量阻抗時(shí)可采用復(fù)數(shù)法，即把電流和電壓表示為：IcosUUcos

i1jIsini1i1jUsini1利用式（3）～（6）得：Uu2ju1Zi2ji1I7）由式（7）可求得測量阻抗的電阻分量和電抗分量為 ：Ri1u1i2u2i12i228）i2u1i1u2Xi22i129）式（8）和式（9）中用到了兩個(gè)采樣點(diǎn)的乘積 ，故稱為兩點(diǎn)乘積算法。該算法使用了兩個(gè)相隔 的采樣值，即算法本身所需的數(shù)據(jù)窗長度為 1周期，在2 4工頻場合該長度為 5mS，這即是算法的響應(yīng)時(shí)間 。文獻(xiàn)表明，用正弦量任何兩點(diǎn)相鄰的采樣值都可以計(jì)算出有效值和相位角 ，亦即理論上兩點(diǎn)乘積算法本身所需的數(shù)據(jù)窗可以是很短的一個(gè)采樣間隔 ，但事實(shí)上由于此時(shí)的算法公式將比前者復(fù)雜得多 ，實(shí)際應(yīng)用中由于實(shí)現(xiàn)算法所需的運(yùn)算時(shí)間加長反而抵消了采樣間隔的縮短 。此外，由于算法所針對的是純正弦量 ，實(shí)際的故障信號很難滿足這一要求 ，可見算法的精度嚴(yán)重依. . . .賴于信號波形的正弦度 。因此，盡管算法本身沒有理論誤差 ，但為了使信號盡可能接近于正弦，必須通過數(shù)字濾波的方法先濾除信號中的高頻分量 ，這將額外地增加很大的運(yùn)算工作量，使實(shí)際的算法響應(yīng)時(shí)間大大超過理論值 。2.2 導(dǎo)數(shù)算法設(shè)電流和電壓分別為：i2Isin(ti0)u2Usin(tu0)則t1時(shí)刻的電流和電壓分別為 ：i1 2Isin(t1 i0) 2Isin i110）u1 2Usin( t1 u0) 2Usin u111）式中 i1 t1 i0， u1 t1 u0。而t1時(shí)刻電流和電壓的導(dǎo)數(shù)分別為 ：i12Icosi1或i12Icosi112）u12Ucosu1或u12Ucu1os13）由式（10）～（13）可得：2基波有效值I1i12i1214）2U 1 u12 u12.下載可編輯.15）i1 u1u1i1阻抗 分量 R 2i12 i116）u1i1 i1u1X 2i12 i117）可見，只要獲得了電流電壓在某一時(shí)刻的采樣值和在該時(shí)刻的導(dǎo)數(shù) ，就可以計(jì)算出相應(yīng)的電流電壓基波有效值 、相位和阻抗。在微機(jī)的離散系統(tǒng)中 ，無法通過采樣直接得到該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，為此，可取t1為兩個(gè)相鄰采樣時(shí)刻 k和k+1的中間時(shí)刻，用差分近似表示該時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)（圖3）。即：i11(ikik1)TS（18）u11(ukuk1)TS（19）這實(shí)際上是用直線 ab的斜率近似表示直線 mn的斜率，當(dāng)TS足夠小時(shí)，這種近似將會有足夠的精度。從圖3可以看到，t1并不在采樣點(diǎn)上，為了使采樣值與導(dǎo)數(shù)盡可能在同一點(diǎn)上 ，對相鄰兩點(diǎn)采樣值求平均值 ：1i1 (ik ik1)2. . . .20）1u1 (uk uk1)221）顯然，當(dāng)TS足夠小時(shí)，t1與導(dǎo)數(shù)點(diǎn)將足夠接近。i(k) nbm a0kTSkt1k+1圖3 差分近似求導(dǎo)原理Fig,3 Approximatederivativecalculationbydifferencemethod雖然與兩點(diǎn)乘積算法相似 ，導(dǎo)數(shù)算法也使用了兩個(gè)相鄰的采樣值 ，但其采樣間隔很小，因此算法的響應(yīng)速度很快 。由于算法在求導(dǎo)數(shù)時(shí)是用差分近似微分 ，即算法的精度與采樣頻率有關(guān) ，所以采樣頻率越高則精度越高 。此外，由于算法中采用了差分方法，對信號中的直流分量具有一定的濾除能力 ，但對高次諧波則具有放大作用 ，因此類似于兩點(diǎn)乘積算法 ，該算法也需要通過數(shù)字濾波器濾除高次諧波 ，因而算法的實(shí)際響應(yīng)速度主要取決于算法本身和數(shù)字濾波器的運(yùn)算時(shí)間 。2.3 半周絕對值積分算法半周絕對值積分算法的原理是依據(jù)一個(gè)正弦量在任意半個(gè)周期內(nèi)絕對值積分為一常數(shù)S，且積分值S與積分起始點(diǎn)的初相位 無關(guān)，如圖4中兩個(gè)從不同起始點(diǎn)算起的.下載可編輯.半周內(nèi)的兩部分面積是相等的 。即：T22IsintdtS2Isin(t)dtt2Isin tdt 2 2I022）由式（22）可求得基波分量的有效值為 ：I S2 223）式（23）的離散形式可以用梯形法或矩形法推出 。如采用梯形法，可以設(shè)若干個(gè)小梯形面積之和為S（圖5），則有：i0i1i1i2iN1iN22S22TS21N12i0iNkikTS22124）式中：i0，i1， ，iN為半周內(nèi)的采樣值 ，N為一周內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù) ，TS為采樣間隔2（周期）。式（24）是式（22）的近似，其精度與采樣頻率有關(guān) 。當(dāng)采樣頻率足夠高（TS足夠?。r(shí)，誤差也可以足夠小，即S與S足夠接近。i(t) i(t)02t+t02. . . .圖4 半周積分算法原理Fig.4 Principleofhalf-cycleintegralalgorithmi(t)i1i2iNi02t0 0 1 2 N2圖5 梯形法面積計(jì)算原理Fig.5 Principleofacreagecalculationwithtrapeziamethod半周積分算法需要的數(shù)據(jù)窗長度為 10mS，較兩點(diǎn)乘積算法和導(dǎo)數(shù)算法長 。但由于這種算法只有加法運(yùn)算，算法的工作量很小，可以用低端MCU實(shí)現(xiàn)。此外，算法本身具有一定的濾除高頻分量的能力 ，因?yàn)榀B加在基波分量上的高頻分量 （通常幅度不大）在半周積分中其對稱的正負(fù)半周互相抵消 ，剩余的未被抵消部分所占的比重減小，極端情況（正負(fù)半周剛好相等 ）時(shí)，可以完全抵消。但該算法不能濾除直流分量，因此對于一些要求不高的保護(hù)場合可以采用該算法 ，必要時(shí)可以在前級配以簡單的差分濾波器來濾除直流分量 。2.4 付立葉算法（付氏算法） 付氏算法的基本原理.下載可編輯.付氏算法的基本思想來自付立葉級數(shù) ，它假定被采樣信號是一個(gè)周期時(shí)間函數(shù) ，除了基波分量，還含有不衰減直流分量和高次諧波分量 ，可以表示為：x(t) X0 Xksin( t k) X0 (aksink t bkcoskt)k1 k125）式中：X0為直流分量，Xk為k次諧波分量的幅值 ， k為k次諧波分量的初相位 ，為基波角頻率，akXkcosk為k次諧波的正弦分量系數(shù)，bkXksink為k次諧波的余弦分量系數(shù)。由付氏級數(shù)原理可求得系數(shù)ak和bk分別為：ak2Tx(t)sinktdtT0bk2Tx(t)cosktdtT0式中T為xt的周期。由此可計(jì)算出各次諧波分量的幅值和初相位。繼電保護(hù)中通常對()基波分量感興趣，此時(shí)基波（k=1）的正弦和余弦分量系數(shù)為 ：a12Tx(t)sintdtT0（26）b12Tx(t)costdtT0（27）基波分量的幅值和初相位分別為：22b1X1a1b11arctga1根據(jù)數(shù)據(jù)窗的長度，在微機(jī)上實(shí)現(xiàn)式（26）和式（27）時(shí)可分為全波付氏算法和半波付氏算法。 全波付氏算法. . . .微機(jī)實(shí)現(xiàn)時(shí)需對式 （26）和式（27）離散化，分為矩形法和梯形法 。設(shè)每周期采樣點(diǎn)數(shù)為N，則矩形法：2TSx(1)sinTSx(2)sin2TSx(N)sinNTSa1T2Nx(k)sink2Tk1N（28）b12TSx(1)cosTSx(2)cos2TSx(N)cosNTST2Nx(k)cosk2Tk1N（29）式中TS為采樣周期。當(dāng)采樣頻率為fS，基頻為f時(shí)，NfS。f梯形法：a12x(0)sin0x(1)sinTSx(1)sinTSx(2)sin2TSTS22Tx(N1)sin(N1)TSx(N)sinNTS22N12Tkx(k)sink1N（30）b12TSx(0)cos0x(1)cosTSx(1)cosTSx(2)cos2TST22x(N1)cos(N1)TSx(N)cosNTS2x(0)T2

1k1

x(k)cosk

2 x(N)N 231）.下載可編輯.式中x(0)和x(N)分別是k=0和k=N時(shí)的采樣值。觀察式（28）～（31）可知它們是非遞歸離散系統(tǒng)的一般表達(dá)式 。矩形法算式比梯形法算式更為簡潔 ，便于編程實(shí)現(xiàn)，但在相同的采樣頻率時(shí)，精度不如梯形法。 半波付氏算法全波付氏算法的數(shù)據(jù)窗為一個(gè)工頻周期 （20mS），響應(yīng)時(shí)間較長。為了縮短響應(yīng)時(shí)間，可將數(shù)據(jù)窗縮短至半個(gè)周期 ，從而得到半波付氏算法 。設(shè)每周期的采樣點(diǎn)數(shù)仍為N，則根據(jù)式（26）和式（27）可得半波付氏算法的計(jì)算公式為：矩形法：4a1N（32）

N2k1

x(k)sink2Nb1

4

N2

x(k)cosk

2N

k1

N33）4梯形法： a1N

N21k1

x(k)sink2N34）b1

4 x(0) 4

N2

2x(N2)x(k)coskN 2 T

k1

N235）從濾波效果來看 ，全波付氏算法不僅能完全濾除各次諧波分量和穩(wěn)定的直流分量，而且能較好地濾除線路分布電容引起的高頻分量 ，因而可以對畸變波形中的基波分量平穩(wěn)和精確地作出響應(yīng) 。從圖6可以看出，半波付氏算法的濾波效果不如全波付氏算法，它不能濾除直流分量和偶次諧波分量 ，即它需要假設(shè)信號中的直流分量已由前置ALF濾除。此外，兩者都對按指數(shù)衰減的非周期分量呈現(xiàn)了很寬的連續(xù)頻譜 ，因. . . .此付氏算法的精度受衰減的非周期分量的影響較大。A(f)A(f)1.01.00.50.5ff0123456f10123456f1(a)全波付氏算法 (b)全波付氏算法圖6 付氏算法的頻譜Fig.6 FrequencyspectrumofFourieralgorithm從精度來看，由于半波付氏算法的數(shù)據(jù)窗為半周 ，在故障發(fā)生半周后即可計(jì)算出結(jié)果，但精度不如全波付氏算法 。全波付氏算法則需要在故障發(fā)生一個(gè)周期后才能計(jì)算出結(jié)果，響應(yīng)速度較慢 ，但其計(jì)算精度較高 。文獻(xiàn)表明，全波付氏算法不僅對基波，而且對所有通過防混迭濾波器的諧波都具有最小的協(xié)方差估計(jì) ，因此是目前微機(jī)繼電保護(hù)中最普遍采用的算法 。2.5 最小二乘算法最小二乘算法的原理是為被采樣信號預(yù)設(shè)一個(gè)盡可能逼近的信號模型函數(shù) ，并按最小二乘擬合原理對其進(jìn)行擬合 。設(shè)被采樣信號為：L Lx(t) X0 Xksin(k t k) X0 (Xsksink t Xckcosk t)k1 k1（36）式中：Xsk Xkcos k，Xck Xksin k。.下載可編輯.可以看出，式（36）是式（25）的前L11項(xiàng)有限和表達(dá)式。當(dāng)采樣間隔為TSfS時(shí)，則將N個(gè)采樣值y1，y2，，yN代入式（36）可以得到N個(gè)方程，表示為矩陣形式：AXY（37）其中：X(X0,Xs1,Xc1,Xs2,Xc2,,XsL,XcL)TY(y1,y2,,yN)1sinTScosTSsinLTScosLTS1sin2TScos2TSsin2LTScos2LTSA1sinNTScosNTSsinNLTScosNLTS根據(jù)最小二乘擬合原理，當(dāng)誤差N22AX)T(YAX)ykx(kTS)(Yk1最小時(shí)，稱AX為yk的最佳擬合函數(shù)。令J2(YAX)T(YAX)求J關(guān)于X的導(dǎo)數(shù)并令其等于零：J2ATAX2ATY0X即：ATAXATY由于ATA是非奇異方陣，故可得：X (ATA)1ATY38）式（37）中的矩陣 A的各元素均不含未知量，當(dāng)采樣頻率 fS和采樣點(diǎn)數(shù) N確定時(shí)，求解式（38）可以預(yù)先將