幾何與代數(shù)相結(jié)合的綜合題型的復習要點和復

幾何與代數(shù)相結(jié)合的綜合題型的復習要點和復習策略初中數(shù)學傳統(tǒng)上分為幾何和代數(shù)（以下簡稱“幾代”）兩部分，于是幾、代的有機結(jié)合也就成為初中數(shù)學的一個落腳點，因此幾代相結(jié)合的綜合題型也就理所當然成為中考的重點、難點與焦點。幾代相結(jié)合的綜合題常以“起點低、入口寬、步步高”的特點呈現(xiàn)，并以“思想方法立意”和“能力立意”為創(chuàng)新點。從某一角度上講可分為“幾何背景代數(shù)解法”和“代數(shù)背景幾何解法”兩大類。下面就談談幾代相結(jié)合的綜合題型的復習要點和復習策略：一、幾代綜合題的復習要點1、基礎知識的復習仍是幾代綜合題復習的前提與基礎，否則幾代綜合題的復習就成為無本之木，無源之水幾代綜合題是基于幾何、代數(shù)基本知識之上，它的解法其實就是對各基礎知識的綜合、靈活的運用，因此全面復習好幾何與代數(shù)基礎知識，對于幾代綜合題的復習至關重要。其包含的基礎知識主要有：代數(shù)基礎知識：數(shù)的運算、式的變形、方程、不等式的解法、函數(shù)的圖象與性質(zhì)。幾何基礎知識：幾何變換、平行四邊形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定（含全等三角形）、勾股定理與三角函數(shù)、圓中的位置關系及其判定?！纠?】已知,在RfOAB中,zOAB=90°,zBOA=30°,AB=2.若以O為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖1所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內(nèi).將RfOAB沿OB折疊后，點A落在點C處.（1）直接寫出A的坐標；（2）若拋物線y二ax2€bx（a,0）經(jīng)過C、A兩點，求此拋物線的解析式；（3）若（2）中拋物線的對稱軸與OB交于點D，點P為線段DB上一點，過P作y軸的平行線，交拋物線于點M?問：是否存在這樣的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請求出此時點簡析：（1）利用特殊三角形的性質(zhì)直接寫出A的坐標是解直角三角形的最基本的知識。（2）通過解直角三角形求點C的坐標，并利用待定系數(shù)法求解析式是確定解析式的基本方法。（3）在作好圖形的基礎上，探索要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CM=DP，從而轉(zhuǎn)化為方程問題并求解，這也是對于等腰梯形判定的最低要求。由此可見，基礎知識的復習是解題的基礎，實不可忽視。2、數(shù)學思想方法及其靈活運用永遠是數(shù)學復習的重點內(nèi)容，也是幾代綜合題解法的關鍵所在對于初中階段常見的數(shù)學思想、方法應熟練地掌握，并靈活地運用。如：數(shù)形結(jié)合、分類討論、運動變化方程、不等式、函數(shù)、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學思想；待定系數(shù)法、面積法、配方法、圖象法、公式法、反證法等數(shù)學方法。28【例2】如圖2—①，已知直線l:y=x+與直線l:y=-2x+16相交于點C，/、/分別交x軸于A、133212B兩點?矩形DEFG的頂點D、E分別在直線l、/上，頂點F、G都在x軸上，且點G與點B重合.12（1）求點B、點D的坐標；（2）求△ABC的面積；（3）若矩形DEFG從原點出發(fā)，沿x軸的反方向以每秒1個單位

長度的速度平移，設移動時間為t（0<t<⑵秒，矩形DEFG與

△ABC重疊部分的面積為S，求S關于t的函數(shù)關系式，并寫出相應的t的取值范圍.簡析：（1）（2）略（3）解題的關鍵是利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合運動變化思想，通過分類討論、把問題轉(zhuǎn)化為①當0Wt?3時，（如圖2—②）②當3…t?8時，（如圖2—③）③當8…t…12時，（如圖2—④）等三種情況并加于解決，其中還用到了方程思想、圖象法等數(shù)學思想方法。

yt所以數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂，也是幾代綜合題解題的靈魂。rJZZA~、-一*I?v― 一》“弋數(shù)'yt所以數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂，也是幾代綜合題解題的靈魂。rJZZA~、-一*I?v― 一》“弋數(shù)'常見的方程和函數(shù)應該做到圖象及其性質(zhì)解決有關問題3、應體現(xiàn)列對于初中階段握、靈活運用函數(shù)【例3】如圖EAB的長為x米."⑴請求出底邊BC的長(用含x的代數(shù)式表示)；(2)若zBAD=60°,該花圃的面積為S米2.求S與x之間的函數(shù)關系式(要指出自變量x的取值范圍),S=93Q時x的值；如果墻長為24米，試問S有最大值還是最小值？這個值是(1)布列代數(shù)式：BC=40-AB-CD=(40-2x)是基礎，方程是yi數(shù)是紐帶，:隹確、迅速利用通法和卩底邊AD靠(圖2—③)1必必要的技巧(特法)解各類方程，熟練掌Rr40米的鐵欄桿圍成，設該花圃的腰多少？簡析：S=1(40-2x+40-x)?3x=l!x(80-3x)二—'山+20、3(0vxv20),同時轉(zhuǎn)化為方程2 2 4 4-3x2+2^/3，9^3并求解。4②在利用不等式求取值范圍的前提下，利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求最值。所以，復習時要特別注意弋數(shù)的各部分知識間的相互聯(lián)系，互相補充，形成系統(tǒng)，才能更好的解決幾代綜合題。4、應熟練掌握幾何計算的方法與途徑幾何的計算從廣義上講大都可以轉(zhuǎn)化為線段的計算，因此幾何計算是順利解決幾弋綜合題的關鍵環(huán)節(jié)，應充分關注：利用勾股定理布列方程計算、利用三角函數(shù)布列方程計算、利用相似三角形的方程計算、利用坐標的幾何意義進行計算、利用面積法進行計算等重要而常見的幾何計算方法與途徑，從而為幾弋綜合題的解題提供保障。【例4】如圖4—①，在平面直角坐標系中，直線1:y，2x+b與x軸交于點A(-4,0),與y軸交于點B.(1)填空：b= ；(2)已知點P是y軸上的一個動點,以P為圓心,3為半徑作OP.若PA=PB，試判斷OP與直線1的位置關系，并說明理由.當OP與直線1相切時，求點P與原點O間的距離.簡析：b，8；在RfAOP中，利用勾股定理布列方程并求出圓心到直線的距離與r的關系判定OP與x軸相切.分“當點P在點B下方時”和"和當點P在點B上方時”,兩種②):既可由△BMP-△BOA得，Bp-,也可在RtNOAB和RtAMPB1 OAAB 1tan?ABO=帶=S列方程，并解得bpi=遙，并求得0p，同理1由此可見，幾何計算在幾弋綜合題中占著重要的地位和作用。5、應關注幾何變換在解題中的應用

新課程把“幾何變換”的問題作為初中數(shù)學的教學內(nèi)容來研究，凸顯了它的意義和作用。平移、對稱、旋轉(zhuǎn)是生活中常見的活動，而平移、對稱、旋轉(zhuǎn)又是幾何的重要組成部分，因為平移、對稱、旋轉(zhuǎn)等幾何變換既能充分體現(xiàn)合情推理和演繹推理的有機結(jié)合，又能與代數(shù)充分結(jié)合在一起，因而以幾何變換為背景的幾代綜合題也成了綜合題的一個亮點。【例5】如圖5—①，在6x12的方格紙MNEF中，每個小正方形的邊長都是1。RfABC的頂點C與N重合，兩直角邊AC、BC分別在MN、NE上,且AC=3，BC=2?，F(xiàn)RfABC以每秒1個單位長的速度向右平移，當點B移動至點E時，RfABC停止移動。請在圖5—②中，畫出RfABC向右平移4秒時所在的圖形；如圖5—②，在RfABC向右平移的過程中，△ABF能否成為直角三角形？如果能，請求出相應的時間t；如果不能，請簡要說明理由；(3)如圖5—②，在RfABC向右平移的過程中(不包括平移的開始與結(jié)束時刻)，其外接圓與直線(3)如圖5—②，在RfABC向右平移的過程中(不包括平移的開始與結(jié)束時刻)，其外接圓與直線AF、直線BF分別有哪幾種位置關系？請直接寫出這幾種位置關系及所對應的時間t的范圍(不必說理)。簡析：略打能。如圖p所示：移t秒下，得到:二二bFs三(i)當AB2+由勾股定F可,畫好圖形,在設RMABC向右平XBF為Rf。E幅①①)2€32眉12—用并解得t=(ii)當AB2+AF2=BF2時，由勾股定理的逆定理得，zBAF=90°,即MBF為Rfo即:(\/13)2+32+(12—t)2=(10—t)2+62,解彳得t=7.5(3)關注幾何變換，動靜結(jié)合，把握臨界位置，顯然有：當t=7.5時道線AF與RfABC的外接圓相切；框上下滑動且框上下滑動且表示成關于x個最大值；若當0<t<7.5或7.5<t<10時，直線AF與RfABC的外接圓相交。當t=1時，直線BF與RfABC的外接圓相切；當0<t<1或1<t<10時道線BF與RfABC的外接圓相交。所以，在解以幾何變換為背景的幾代綜合題時要本著“動中有靜”，“靜中有動”的思想，特別關注幾何變換前后的位置變化和“變與不變量”，在畫好圖形的基礎上解決問題。6、關注幾代綜合題與生活實際的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學來源于生活而又應用于生活的新課程理念幾何與代數(shù)都是來源于生活，幾代結(jié)合也必更有利于生活中實際問題的解決。在幾代綜合題的復習時，要更加關注生活背景，通過數(shù)學建模，從生活到數(shù)學，再通過問題解決使數(shù)學回歸生活?！纠?】某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖6—①所示的自動通風設施?該設施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米,BC=1米；上部CDG是等邊三角形，固定點E為AB的中點.N是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗(陰影部分均不通風),MN是可以沿設施邊始終保持和AB平行的伸縮橫桿.當MN和AB之間的距離為0.5米時，求此時aEMN的面積;設MN與AB之間的距離為x米,試將aEMN的面積S(平方米)的函數(shù)；(3)請你探究△EMN的面積S(平方米)有無最大值,若有,請求出這沒有，請說明理由．簡析：1)從生活中抽象出幾何圖形，并計算出面積。.求得：(3)把問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)和二次函數(shù)的最值問題并求解。(2)在分類討論的基礎上,抽象出圖6—②(0<x<1)和圖6—③(1<X<1+爲)兩個圖形并利用幾何知識求得：(3)把問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)和二次函數(shù)的最值問題并求解。數(shù)學建模是生活走向數(shù)學的必由之路，數(shù)學問題的解決也必將促使生活問題的解決。從而體現(xiàn)數(shù)學的實用價值。幾代結(jié)合是解決生活問題的重要方法之一，在總復習時應充分關注。7、應關注問題解決的全過程與綜合解題能力的提升新課程要求重視學生數(shù)學的學習與研究過程，并在過程中獲取知識，提升能力。幾代綜合題的復習更應關注學生的解題全過程和學生綜合能力的提升。包括：獲取信息、分析信息的能力、實踐操作能力、數(shù)學建模能力、數(shù)學思考和問題解決能力等等?！纠度鐖D(7),四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為(6，0),(0，2),點D是線段BC上的動點(與端點B、C不重合)，過點D作直線y=-1x+m交折線OAB于點E.?yCBOE、、A^2(1)若直線y=-1x+m經(jīng)過點A，請直接寫出m的值；2(2)記'ODE的面積為S，求S與m的函數(shù)關系式；(3)當點E在線段OA上時，若矩形OABC關于直線DE的對稱圖分的面積是否會隨著E點位置的變化而變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由.形為四邊形OABC，試探究四邊形OABC與矩形分的面積是否會隨著E點位置的變化而變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由.簡析：m，3;學生必需充分獲取信息、在系統(tǒng)整理、有效分析信息的基礎上，進行把問題分為：“點E在OA上時，2?m<3(如圖7—①)”和"點E在BA上時，3<m<5(如圖7—②)”兩種情況加于解決。學生應具有所必需的作圖、識圖能力，其中作好圖形是關鍵，然后將探索問題轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的計算問題。所以要培養(yǎng)學生最基本的獲取信息的方法、識圖、作圖能力、分析問題、解決問題的能力，這是幾代綜合題復習的一個重點，也是一個難點，同時也達到學生綜合解題能力的提升的目的。8、應熟練掌握常見題型的基本解法，達到知己知彼對于常見題型要做到心中有底，腦中有方向、胸中有思路、手上有方法。如最值的求法、面積與周長的處理方法、圓的各種關系的判定方法，存在性問題，操作探索型問題等等。【例8】如圖8,已知拋物線y，ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,D為OC的中點，直線AD交拋物線于點E(2,6),且MBE與MBC的面積之比為3:2.(1)求這條拋物線的函數(shù)關系式；連結(jié)BD,試判斷BD與AD的位置關系，并說明理由；連結(jié)BC交直線AD于點M，在直線AD上，是否存在這樣的點N(不與點M重合)，使得以A、B、N為頂點的三角形與△ABM相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.簡析：對于本題的解決必需對于常見題型：存在性問題、位置關系判定等了然于胸,才能水到渠成二、幾代綜合題的復習策略1、 樹立信心、迎難而上，不要望而生畏，自我放棄。2、 要注重規(guī)范解題，步步為營，穩(wěn)扎穩(wěn)打。如先看清題意，再畫好圖形，進而尋求突破途徑。3、 注重閱讀理解等獲取信息的方法，在信息的獲取中尋求解題的突破口。要十分關注“加括號的說明”和“加著重號的標注”，它們往往就是解題的突破口。4、 幾何綜合題的復習要讓學生經(jīng)歷“做一聽一改一反思一頓悟”幾個環(huán)節(jié)。做題要求精、求透、不求多、求全，要求以點帶面，不求面面俱到，要嚴禁“題題都做(全而不對)、題題都未做完(對而不全)”、“只聽不做”、“只做不聽”、“只做不改”等不良現(xiàn)象的出現(xiàn)，以提升復習實效。5、應力求在運算的熟練程度、思想方法的應用和綜合能力的提升上有所突破，這三者都是解幾代綜合題的關鍵。6、注重在系統(tǒng)的高度上復習