高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高考大題增分專項一高考中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)課件文新人教版

高考大題增分專項一

高考中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

高考大題增分專項一

高考中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)-2-從近五年的高考試題來看,高考對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查,已經(jīng)從直接利用導(dǎo)數(shù)的正負討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,或利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的極值、最值問題,轉(zhuǎn)變成利用求導(dǎo)的方法證明不等式,探求參數(shù)的取值范圍,解決函數(shù)的零點、方程根的問題,以及在某不等式成立的條件下,求某一參數(shù)或某兩個參數(shù)構(gòu)成的代數(shù)式的最值.-2-從近五年的高考試題來看,高考對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查,已經(jīng)從-3-題型一題型二題型三策略一策略二策略三突破策略一

差函數(shù)法證明函數(shù)不等式f(x)>g(x),可證f(x)-g(x)>0,令h(x)=f(x)-g(x),或令h(x)為f(x)-g(x)表達式的某一部分,利用導(dǎo)數(shù)證明h(x)min>0;如果h(x)沒有最小值,那么可利用導(dǎo)數(shù)確定出h(x)的單調(diào)性,即若h'(x)>0,則h(x)在(a,b)上是增函數(shù),同時若h(a)≥0,則當(dāng)x∈(a,b)時,有h(x)>0,即f(x)>g(x).-3-題型一題型二題型三策略一策略二策略三突破策略一差函數(shù)-4-題型一題型二題型三策略一策略二策略三例1設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-x+1.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(3)設(shè)c>1,證明當(dāng)x∈(0,1)時,1+(c-1)x>cx.(1)解:(導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性)令f'(x)=0解得x=1.當(dāng)0<x<1時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.(2)證明:由(1)知f(x)在x=1處取得最大值,最大值為f(1)=0.所以當(dāng)x≠1時,ln

x<x-1.-4-題型一題型二題型三策略一策略二策略三例1設(shè)函數(shù)f(x)-5-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(3)證明:由題設(shè)c>1,(構(gòu)造函數(shù))設(shè)g(x)=1+(c-1)x-cx,則g'(x)=c-1-cxln

c,當(dāng)x<x0時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>x0時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.又g(0)=g(1)=0,故當(dāng)0<x<1時,g(x)>0.所以當(dāng)x∈(0,1)時,1+(c-1)x>cx.-5-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(3)證明:由題設(shè)-6-題型一題型二題型三策略一策略二策略三對點訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)=ax+lnx,函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g'(x)=ex,且g(0)g'(1)=e,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).(1)若?x∈(0,+∞),使得不等式g(x)<成立,試求實數(shù)m的取值范圍;(2)當(dāng)a=0時,對于?x∈(0,+∞),求證:f(x)<g(x)-2.-6-題型一題型二題型三策略一策略二策略三對點訓(xùn)練1已知函數(shù)-7-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(1)解:因為函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g'(x)=ex,所以g(x)=ex+c(c為常數(shù)).因為g(0)g'(1)=e,所以(1+c)e=e,可得c=0,即g(x)=ex.-7-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(1)解:因為函數(shù)-8-題型一題型二題型三策略一策略二策略三所以h(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)為減函數(shù),所以h(x)<h(0)=3,所以m<3.-8-題型一題型二題型三策略一策略二策略三所以h(x)在區(qū)間-9-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(2)證明:當(dāng)a=0時,f(x)=ln

x,令φ(x)=g(x)-f(x)-2,即φ(x)=ex-ln

x-2,因為當(dāng)x∈(0,t)時,φ'(x)<0,φ(x)在區(qū)間(0,t)內(nèi)為減函數(shù);當(dāng)x∈[t,+∞)時,φ'(x)>0,φ(x)在區(qū)間[t,+∞)內(nèi)為增函數(shù),故φ(x)min=φ(t)=et-ln

t-2=et-ln

e-t-2=et+t-2.-9-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(2)證明:當(dāng)a=-10-題型一題型二題型三策略一策略二策略三突破策略二

求最值法求最值法證明函數(shù)不等式,一般依據(jù)表達式的組成及結(jié)構(gòu)有兩種不同的證明方法:(1)要證f(x)≥h(x),可令φ(x)=f(x)-h(x),只需證明φ(x)min≥0.(2)要證f(x)≥h(x),可證f(x)min≥h(x)max;要證f(x)>m,可先將該不等式轉(zhuǎn)化為g(x)>p(x)的形式,再證明g(x)min>p(x)max.選用哪種方法,要看哪種方法構(gòu)造出的函數(shù)的最值易求.-10-題型一題型二題型三策略一策略二策略三突破策略二求最-11-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e2]上的最值;當(dāng)x∈[1,e)時,f'(x)>0;當(dāng)x∈(e,e2]時,f'(x)<0.故f(x)在區(qū)間[1,e)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(e,e2]上單調(diào)遞減.-11-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(1)求函數(shù)f(-12-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-12-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-13-題型一題型二題型三策略一策略二策略三對點訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=x2+ax-aex,g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)g(x)在R上存在最大值0,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)的最大值;(3)求證:當(dāng)x≥0時,x2+2x+3≤e2x(3-2sinx).(1)解:由題意可知,g(x)=f'(x)=x+a-aex,則g'(x)=1-aex,當(dāng)a≤0時,g‘(x)>0,∴g(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時,若x<-ln

a,則g'(x)>0,若x>-ln

a,則g'(x)<0,∴g(x)在區(qū)間(-∞,-ln

a)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(-ln

a,+∞)上單調(diào)遞減.綜上,當(dāng)a≤0時,g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞),無遞減區(qū)間;當(dāng)a>0時,g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-ln

a),單調(diào)遞減區(qū)間為(-ln

a,+∞).-13-題型一題型二題型三策略一策略二策略三對點訓(xùn)練2已知函-14-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(2)解:由(1)可知,a>0且g(x)在x=-ln

a處取得最大值,當(dāng)a∈(0,1)時,h'(a)<0,當(dāng)a∈(1,+∞)時,h'(a)>0.∴h(a)在(0,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞增,∴h(a)≥h(1)=0,∴當(dāng)且僅當(dāng)a=1時,a-ln

a-1=0,由題意可知f'(x)=g(x)≤0,∴f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減,∴f(x)在x=0處取得最大值f(0)=-1.-14-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(2)解:由(1-15-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(3)證明:由(2)可知,若a=1,當(dāng)x≥0時,f(x)≤-1,可得x2+2x≤2ex-2,x2+2x+3-e2x(3-2sin

x)≤2ex-2+3-e2x(3-2sin

x),令F(x)=e2x(2sin

x-3)+2ex+1=ex[ex(2sin

x-3)+2]+1,即證F(x)≤0,令G(x)=ex(2sin

x-3)+2,∴G'(x)<0,G(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減,G(x)≤G(0)=-1,∴F(x)≤-ex+1≤0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立,∴x2+2x+3≤e2x(3-2sin

x).-15-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(3)證明:由(-16-題型一題型二題型三策略一策略二策略三突破策略三

尋求導(dǎo)函數(shù)零點法若使用策略一或策略二解答時,遇到令f'(x)=0,但無法解出導(dǎo)函數(shù)的零點x0時,可利用函數(shù)零點存在性定理,設(shè)出導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的零點x0,再判斷導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a,x0),(x0,b)的正負情況,從而判斷f(x)在x0處取得最值,求出最值并通過對最值的處理消去x0使問題得到解決.-16-題型一題型二題型三策略一策略二策略三突破策略三尋求-17-題型一題型二題型三策略一策略二策略三例3設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)零點的個數(shù);當(dāng)a≤0時,f'(x)>0,f'(x)沒有零點,當(dāng)a>0時,因為y=e2x在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,y=-在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以f'(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.-17-題型一題型二題型三策略一策略二策略三例3設(shè)函數(shù)f(x-18-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(2)證明:由(1),可設(shè)f'(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的唯一零點為x0,當(dāng)x∈(0,x0)時,f'(x)<0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時,f'(x)>0.故f(x)在區(qū)間(0,x0)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(x0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=x0時,f(x)取得最小值,最小值為f(x0).-18-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(2)證明:由(-19-題型一題型二題型三策略一策略二策略三對點訓(xùn)練3設(shè)函數(shù)f(x)=ax-2-lnx(a∈R).(1)若f(x)的圖象在點(e,f(e))處的切線方程為x-ey+b=0,求a,b的值;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)若g(x)=ax-ex,求證:當(dāng)x>0時,f(x)>g(x).-19-題型一題型二題型三策略一策略二策略三對點訓(xùn)練3設(shè)函數(shù)-20-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-20-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-21-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-21-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-22-題型一題型二題型三策略一策略二策略三∴當(dāng)x>0時,f(x)>g(x).-22-題型一題型二題型三策略一策略二策略三∴當(dāng)x>0時,f-23-題型一題型二題型三策略一策略二策略三突破策略一

分離參數(shù)法已知不等式在某一區(qū)間上恒成立,求參數(shù)的取值范圍,一般先分離參數(shù),再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題求解.即f(x)≥g(k)?[f(x)]min≥g(k),f(x)≤g(k)?[f(x)]max≤g(k).-23-題型一題型二題型三策略一策略二策略三突破策略一分離-24-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若?x∈[1,+∞),不等式f(x)>-1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.-24-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(1)求函數(shù)f(-25-題型一題型二題型三策略一策略二策略三∴由條件知,2a>x2-ex對?x∈[1,+∞)都成立.令g(x)=x2-ex,h(x)=g'(x)=2x-ex,∴h'(x)=2-ex.當(dāng)x∈[1,+∞)時,h'(x)=2-ex≤2-e<0,∴h(x)=g'(x)=2x-ex在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,∴h(x)=2x-ex≤2-e<0,即g'(x)<0,∴g(x)=x2-ex在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,∴g(x)=x2-ex≤g(1)=1-e,故f(x)>-1在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)恒成立,只需2a>g(x)max=1-e,-25-題型一題型二題型三策略一策略二策略三∴由條件知,2a-26-題型一題型二題型三策略一策略二策略三對點訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)=alnx+bx(a,b∈R)在點(1,f(1))處的切線方程為x-2y-2=0.(1)求a,b的值;-26-題型一題型二題型三策略一策略二策略三對點訓(xùn)練4已知函-27-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-27-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-28-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-28-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-29-題型一題型二題型三策略一策略二策略三突破策略二

分類討論法當(dāng)不等式中的參數(shù)無法分離,或含參不等式中左、右兩邊的函數(shù)具有某些不確定因素時,應(yīng)用分類討論的方法來處理,分類討論可使原問題中的不確定因素變成確定因素,為問題的解決提供新的條件.因此,求參數(shù)的范圍轉(zhuǎn)換成了討論參數(shù)在哪些范圍能使不等式成立.例5已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).(1)當(dāng)a=4時,求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;(2)當(dāng)x∈(1,+∞)時,f(x)>0,求a的取值范圍.解:(1)f(x)的定義域為(0,+∞).當(dāng)a=4時,f(x)=(x+1)ln

x-4(x-1),f'(x)=ln

x+-3,f'(1)=-2,f(1)=0.曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為2x+y-2=0.-29-題型一題型二題型三策略一策略二策略三突破策略二分類-30-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(2)當(dāng)x∈(1,+∞)時,①當(dāng)a≤2,x∈(1,+∞)時,x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0,故g'(x)>0,g(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,因此g(x)>0;②當(dāng)a>2時,令g'(x)=0得由x2>1和x1x2=1得x1<1,故當(dāng)x∈(1,x2)時,g'(x)<0,g(x)在區(qū)間(1,x2)內(nèi)單調(diào)遞減,因此g(x)<0.綜上,a的取值范圍是(-∞,2].-30-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(2)當(dāng)x∈(1-31-題型一題型二題型三策略一策略二策略三對點訓(xùn)練5已知函數(shù)f(x)=m(x-1)ex+x2(m∈R).(1)若m=-1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若對任意的x<0,不等式x2+(m+2)x>f'(x)恒成立,求m的取值范圍.解:(1)當(dāng)m=-1時,f(x)=(1-x)ex+x2,則f'(x)=x(2-ex).由f'(x)>0得0<x<ln

2,由f'(x)<0得x<0或x>ln

2,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,ln

2),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0),(ln

2,+∞).-31-題型一題型二題型三策略一策略二策略三對點訓(xùn)練5已知函-32-題型一題型二題型三策略一策略二策略三因為x<0,所以mex-x-m>0.令h(x)=mex-x-m,則h'(x)=mex-1,當(dāng)m≤1時,h'(x)≤ex-1<0,則h(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,所以h(x)>h(0)=0,符合題意;當(dāng)m>1時,h(x)在區(qū)間(-∞,-ln

m)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(-ln

m,0)內(nèi)單調(diào)遞增,所以h(x)min=h(-ln

m)<h(0)=0,不符合題意.綜上所述,m的取值范圍為(-∞,1].-32-題型一題型二題型三策略一策略二策略三因為x<0,所以-33-題型一題型二題型三策略一策略二策略三突破策略三

分別求函數(shù)最值法若兩邊變量不同的函數(shù)不等式恒成立,求不等式中的參數(shù)范圍,常用分別求函數(shù)最值求解.即若對?x1∈I1,?x2∈I2,f(x1)>g(x2)恒成立,則f(x)min>g(x)max.若對?x1∈I1,?x2∈I2,使得f(x1)>g(x2),則f(x)min>g(x)min.若對?x1∈I1,?x2∈I2,使得f(x1)<g(x2),則f(x)max<g(x)max.-33-題型一題型二題型三策略一策略二策略三突破策略三分別-34-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;-34-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(1)討論函數(shù)f-35-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-35-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-36-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-36-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-37-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-37-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-38-題型一題型二題型三策略一策略二策略三當(dāng)x∈(1,2]時,1-x<0,xln

x>0,h'(x)<0,即函數(shù)h(x)=x-x2ln

x在區(qū)間(1,2]上單調(diào)遞減.故當(dāng)x=1時,h(x)取到極大值,也是最大值h(1)=1.所以a≥1.-38-題型一題型二題型三策略一策略二策略三當(dāng)x∈(1,2]-39-題型一題型二題型三策略一策略二策略三當(dāng)m≤0時,f'(x)<0,此時函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.當(dāng)m>0時,由f'(x)=0,解得x=2m.令f'(x)>0,解得0<x<2m,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;令f'(x)<0,解得2m<x,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.此時函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2m),單調(diào)遞減區(qū)間為(2m,+∞).-39-題型一題型二題型三策略一策略二策略三當(dāng)m≤0時,f'-40-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-40-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-41-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-41-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-42-題型一題型二題型三策略一策略二突破策略一

求導(dǎo)與數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)零點或方程根的情況,可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等,并借助函數(shù)的大致圖象判斷函數(shù)零點或方程根的情況.其基本的思路為:(1)構(gòu)造函數(shù),并求其定義域;(2)求導(dǎo)數(shù),得單調(diào)區(qū)間和極值點;(3)通過數(shù)形結(jié)合,挖掘隱含條件,確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況進而求解.-42-題型一題型二題型三策略一策略二突破策略一求導(dǎo)與數(shù)形-43-題型一題型二題型三策略一策略二例7函數(shù)f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),a∈R.(1)當(dāng)a>0時,解不等式f(x)≤0;(2)當(dāng)a=0時,求整數(shù)t的所有值,使方程f(x)=x+2在區(qū)間[t,t+1]上有解.解:(1)因為ex>0,所以不等式f(x)≤0等價于ax2+x≤0.-43-題型一題型二題型三策略一策略二例7函數(shù)f(x)=(a-44-題型一題型二題型三策略一策略二(2)當(dāng)a=0時,方程f(x)=x+2即為xex=x+2.因為ex>0,所以x=0不是方程的解,所以方程f(x)=x+2有且只有兩個實數(shù)根,且分別在區(qū)間[1,2]和

[-3,-2]上,所以整數(shù)t的所有值為-3,1.-44-題型一題型二題型三策略一策略二(2)當(dāng)a=0時,方程-45-題型一題型二題型三策略一策略二對點訓(xùn)練7已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2,曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線與x軸交點的橫坐標為-2.(1)求a;(2)證明:當(dāng)k<1時,曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.(2)證明

由(1)知f(x)=x3-3x2+x+2,設(shè)g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4,由題設(shè)知1-k>0.當(dāng)x≤0時,g'(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)單調(diào)遞增,g(-1)=k-1<0,g(0)=4>0,所以g(x)=0在區(qū)間(-∞,0]上有唯一實根.當(dāng)x>0時,令h(x)=x3-3x2+4,則g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).(1)解

f'(x)=3x2-6x+a,f'(0)=a,曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線方程為y=ax+2,-45-題型一題型二題型三策略一策略二對點訓(xùn)練7已知函數(shù)f(-46-題型一題型二題型三策略一策略二h'(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以g(x)>h(x)≥h(2)=0,所以g(x)=0在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)沒有實根.綜上,g(x)=0在R上有唯一實根,即曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.-46-題型一題型二題型三策略一策略二h'(x)=3x2-6-47-題型一題型二題型三策略一策略二突破策略二

分類討論法1.如果函數(shù)中沒有參數(shù),那么可以直接求導(dǎo)得出函數(shù)的極值點,判斷極值點大于0和小于0的情況,進而判斷函數(shù)零點的個數(shù);2.如果函數(shù)中含有參數(shù),那么導(dǎo)數(shù)的正負往往不好判斷,這時要對參數(shù)進行分類,在參數(shù)小的范圍內(nèi)判斷導(dǎo)數(shù)的符號.如果分類也不好判斷,那么需要對導(dǎo)函數(shù)進行再次求導(dǎo).3.分類討論可使原問題中的不確定因素變成確定因素,為問題的解決提供新的條件.-47-題型一題型二題型三策略一策略二突破策略二分類討論法-48-題型一題型二題型三策略一策略二(1)當(dāng)a=-1時,求函數(shù)f(x)的最小值;(2)當(dāng)a≤1時,討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù).解:(1)函數(shù)f(x)的定義域為{x|x>0}.-48-題型一題型二題型三策略一策略二(1)當(dāng)a=-1時,求-49-題型一題型二題型三策略一策略二①當(dāng)a≤0時,當(dāng)x∈(0,1)時,f'(x)<0,f(x)為減函數(shù);當(dāng)x∈(1,+∞)時,f'(x)>0,f(x)為增函數(shù).因為x→0(從右側(cè)趨近0)時,f(x)→+∞;x→+∞時,f(x)→+∞,所以f(x)有兩個零點.-49-題型一題型二題型三策略一策略二①當(dāng)a≤0時,當(dāng)x∈(-50-題型一題型二題型三策略一策略二②當(dāng)0<a<1時,x∈(0,a)時,f'(x)>0,f(x)為增函數(shù);當(dāng)x∈(a,1)時,f'(x)<0,f(x)為減函數(shù);當(dāng)x∈(1,+∞)時,f'(x)>0,f(x)為增函數(shù).所以f(x)在x=a處取到極大值,f(x)在x=1處取到極小值.當(dāng)0<a<1時,f(a)<0,即當(dāng)x∈(0,1)時,f(x)<0.而當(dāng)x∈(1,+∞)時,f(x)為增函數(shù),且當(dāng)x→+∞時,f(x)→+∞.所以此時f(x)有一個零點.-50-題型一題型二題型三策略一策略二②當(dāng)0<a<1時,x∈-51-題型一題型二題型三策略一策略二所以f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù).且當(dāng)x→0(從右側(cè)趨近于0)時,f(x)→-∞;當(dāng)x→+∞時,f(x)→+∞.所以f(x)有一個零點.-51-題型一題型二題型三策略一策略二所以f(x)在區(qū)間(0-52-題型一題型二題型三策略一策略二對點訓(xùn)練8已知函數(shù)f(x)=x3+ax+,g(x)=-lnx.(1)當(dāng)a為何值時,x軸為曲線y=f(x)的切線;(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),討論h(x)零點的個數(shù).解:(1)由題意可知f'(x)=3x2+a.設(shè)曲線y=f(x)與x軸相切于點(x0,0),則f(x0)=0,f'(x0)=0,-52-題型一題型二題型三策略一策略二對點訓(xùn)練8已知函數(shù)f(-53-題型一題型二題型三策略一策略二(2)當(dāng)x∈(1,+∞)時,g(x)=-ln

x<0,從而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0,故h(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)無零點.故x=1不是h(x)的零點.當(dāng)x∈(0,1)時,g(x)=-ln

x>0.所以只需考慮f(x)在區(qū)間(0,1)的零點個數(shù).-53-題型一題型二題型三策略一策略二(2)當(dāng)x∈(1,+∞-54-題型一題型二題型三策略一策略二(ⅰ)若a≤-3或a≥0,則f'(x)=3x2+a在區(qū)間(0,1)內(nèi)無零點,故f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào).-54-題型一題型二題型三策略一策略二(ⅰ)若a≤-3或a≥-55-題型一題型二題型三策略一策略二-55-題型一題型二題型三策略一策略二-56-1.常常將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題;將證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與最值問題;將方程的求解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題、兩個函數(shù)圖象的交點問題等.2.關(guān)于二次求導(dǎo)問題:(1)在討論函數(shù)單調(diào)性時,如果導(dǎo)函數(shù)值的符號不容易確定,那么一般是對導(dǎo)函數(shù)再次求導(dǎo)判斷出導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,通過導(dǎo)函數(shù)的零點來確定導(dǎo)函數(shù)值的符號,從而判斷出原函數(shù)的單調(diào)性;(2)利用求導(dǎo)的方法可求出某一函數(shù)的最值,如果求出的最值仍然是含有變量的表達式,那么再確定這一表達式的最值時仍然需要求導(dǎo).-56-1.常常將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題;將-57-3.“恒成立”與“存在性”問題的求解是“互補”關(guān)系,即f(x)≥g(a)對于x∈D恒成立,應(yīng)求f(x)的最小值;若存在x∈D,使得f(x)≥g(a)成立,應(yīng)求f(x)的最大值.4.所求問題如何轉(zhuǎn)化成能利用導(dǎo)數(shù)解決的問題是關(guān)鍵.直接利用導(dǎo)數(shù)解決的問題一個是函數(shù)的單調(diào)性,一個是函數(shù)的極值或最值,所以應(yīng)將具體問題通過等價轉(zhuǎn)換(或構(gòu)造函數(shù)),使所求問題轉(zhuǎn)化成與單調(diào)性或函數(shù)的極值、最值有關(guān)的問題.-57-3.“恒成立”與“存在性”問題的求解是“互補”關(guān)系,高考大題增分專項一

高考中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

高考大題增分專項一

高考中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)-59-從近五年的高考試題來看,高考對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查,已經(jīng)從直接利用導(dǎo)數(shù)的正負討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,或利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的極值、最值問題,轉(zhuǎn)變成利用求導(dǎo)的方法證明不等式,探求參數(shù)的取值范圍,解決函數(shù)的零點、方程根的問題,以及在某不等式成立的條件下,求某一參數(shù)或某兩個參數(shù)構(gòu)成的代數(shù)式的最值.-2-從近五年的高考試題來看,高考對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查,已經(jīng)從-60-題型一題型二題型三策略一策略二策略三突破策略一

差函數(shù)法證明函數(shù)不等式f(x)>g(x),可證f(x)-g(x)>0,令h(x)=f(x)-g(x),或令h(x)為f(x)-g(x)表達式的某一部分,利用導(dǎo)數(shù)證明h(x)min>0;如果h(x)沒有最小值,那么可利用導(dǎo)數(shù)確定出h(x)的單調(diào)性,即若h'(x)>0,則h(x)在(a,b)上是增函數(shù),同時若h(a)≥0,則當(dāng)x∈(a,b)時,有h(x)>0,即f(x)>g(x).-3-題型一題型二題型三策略一策略二策略三突破策略一差函數(shù)-61-題型一題型二題型三策略一策略二策略三例1設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-x+1.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(3)設(shè)c>1,證明當(dāng)x∈(0,1)時,1+(c-1)x>cx.(1)解:(導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性)令f'(x)=0解得x=1.當(dāng)0<x<1時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.(2)證明:由(1)知f(x)在x=1處取得最大值,最大值為f(1)=0.所以當(dāng)x≠1時,ln

x<x-1.-4-題型一題型二題型三策略一策略二策略三例1設(shè)函數(shù)f(x)-62-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(3)證明:由題設(shè)c>1,(構(gòu)造函數(shù))設(shè)g(x)=1+(c-1)x-cx,則g'(x)=c-1-cxln

c,當(dāng)x<x0時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>x0時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.又g(0)=g(1)=0,故當(dāng)0<x<1時,g(x)>0.所以當(dāng)x∈(0,1)時,1+(c-1)x>cx.-5-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(3)證明:由題設(shè)-63-題型一題型二題型三策略一策略二策略三對點訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)=ax+lnx,函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g'(x)=ex,且g(0)g'(1)=e,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).(1)若?x∈(0,+∞),使得不等式g(x)<成立,試求實數(shù)m的取值范圍;(2)當(dāng)a=0時,對于?x∈(0,+∞),求證:f(x)<g(x)-2.-6-題型一題型二題型三策略一策略二策略三對點訓(xùn)練1已知函數(shù)-64-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(1)解:因為函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g'(x)=ex,所以g(x)=ex+c(c為常數(shù)).因為g(0)g'(1)=e,所以(1+c)e=e,可得c=0,即g(x)=ex.-7-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(1)解:因為函數(shù)-65-題型一題型二題型三策略一策略二策略三所以h(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)為減函數(shù),所以h(x)<h(0)=3,所以m<3.-8-題型一題型二題型三策略一策略二策略三所以h(x)在區(qū)間-66-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(2)證明:當(dāng)a=0時,f(x)=ln

x,令φ(x)=g(x)-f(x)-2,即φ(x)=ex-ln

x-2,因為當(dāng)x∈(0,t)時,φ'(x)<0,φ(x)在區(qū)間(0,t)內(nèi)為減函數(shù);當(dāng)x∈[t,+∞)時,φ'(x)>0,φ(x)在區(qū)間[t,+∞)內(nèi)為增函數(shù),故φ(x)min=φ(t)=et-ln

t-2=et-ln

e-t-2=et+t-2.-9-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(2)證明:當(dāng)a=-67-題型一題型二題型三策略一策略二策略三突破策略二

求最值法求最值法證明函數(shù)不等式,一般依據(jù)表達式的組成及結(jié)構(gòu)有兩種不同的證明方法:(1)要證f(x)≥h(x),可令φ(x)=f(x)-h(x),只需證明φ(x)min≥0.(2)要證f(x)≥h(x),可證f(x)min≥h(x)max;要證f(x)>m,可先將該不等式轉(zhuǎn)化為g(x)>p(x)的形式,再證明g(x)min>p(x)max.選用哪種方法,要看哪種方法構(gòu)造出的函數(shù)的最值易求.-10-題型一題型二題型三策略一策略二策略三突破策略二求最-68-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e2]上的最值;當(dāng)x∈[1,e)時,f'(x)>0;當(dāng)x∈(e,e2]時,f'(x)<0.故f(x)在區(qū)間[1,e)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(e,e2]上單調(diào)遞減.-11-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(1)求函數(shù)f(-69-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-12-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-70-題型一題型二題型三策略一策略二策略三對點訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=x2+ax-aex,g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)g(x)在R上存在最大值0,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)的最大值;(3)求證:當(dāng)x≥0時,x2+2x+3≤e2x(3-2sinx).(1)解:由題意可知,g(x)=f'(x)=x+a-aex,則g'(x)=1-aex,當(dāng)a≤0時,g‘(x)>0,∴g(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時,若x<-ln

a,則g'(x)>0,若x>-ln

a,則g'(x)<0,∴g(x)在區(qū)間(-∞,-ln

a)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(-ln

a,+∞)上單調(diào)遞減.綜上,當(dāng)a≤0時,g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞),無遞減區(qū)間;當(dāng)a>0時,g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-ln

a),單調(diào)遞減區(qū)間為(-ln

a,+∞).-13-題型一題型二題型三策略一策略二策略三對點訓(xùn)練2已知函-71-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(2)解:由(1)可知,a>0且g(x)在x=-ln

a處取得最大值,當(dāng)a∈(0,1)時,h'(a)<0,當(dāng)a∈(1,+∞)時,h'(a)>0.∴h(a)在(0,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞增,∴h(a)≥h(1)=0,∴當(dāng)且僅當(dāng)a=1時,a-ln

a-1=0,由題意可知f'(x)=g(x)≤0,∴f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減,∴f(x)在x=0處取得最大值f(0)=-1.-14-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(2)解:由(1-72-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(3)證明:由(2)可知,若a=1,當(dāng)x≥0時,f(x)≤-1,可得x2+2x≤2ex-2,x2+2x+3-e2x(3-2sin

x)≤2ex-2+3-e2x(3-2sin

x),令F(x)=e2x(2sin

x-3)+2ex+1=ex[ex(2sin

x-3)+2]+1,即證F(x)≤0,令G(x)=ex(2sin

x-3)+2,∴G'(x)<0,G(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減,G(x)≤G(0)=-1,∴F(x)≤-ex+1≤0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立,∴x2+2x+3≤e2x(3-2sin

x).-15-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(3)證明:由(-73-題型一題型二題型三策略一策略二策略三突破策略三

尋求導(dǎo)函數(shù)零點法若使用策略一或策略二解答時,遇到令f'(x)=0,但無法解出導(dǎo)函數(shù)的零點x0時,可利用函數(shù)零點存在性定理,設(shè)出導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的零點x0,再判斷導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a,x0),(x0,b)的正負情況,從而判斷f(x)在x0處取得最值,求出最值并通過對最值的處理消去x0使問題得到解決.-16-題型一題型二題型三策略一策略二策略三突破策略三尋求-74-題型一題型二題型三策略一策略二策略三例3設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)零點的個數(shù);當(dāng)a≤0時,f'(x)>0,f'(x)沒有零點,當(dāng)a>0時,因為y=e2x在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,y=-在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以f'(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.-17-題型一題型二題型三策略一策略二策略三例3設(shè)函數(shù)f(x-75-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(2)證明:由(1),可設(shè)f'(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的唯一零點為x0,當(dāng)x∈(0,x0)時,f'(x)<0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時,f'(x)>0.故f(x)在區(qū)間(0,x0)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(x0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=x0時,f(x)取得最小值,最小值為f(x0).-18-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(2)證明:由(-76-題型一題型二題型三策略一策略二策略三對點訓(xùn)練3設(shè)函數(shù)f(x)=ax-2-lnx(a∈R).(1)若f(x)的圖象在點(e,f(e))處的切線方程為x-ey+b=0,求a,b的值;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)若g(x)=ax-ex,求證:當(dāng)x>0時,f(x)>g(x).-19-題型一題型二題型三策略一策略二策略三對點訓(xùn)練3設(shè)函數(shù)-77-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-20-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-78-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-21-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-79-題型一題型二題型三策略一策略二策略三∴當(dāng)x>0時,f(x)>g(x).-22-題型一題型二題型三策略一策略二策略三∴當(dāng)x>0時,f-80-題型一題型二題型三策略一策略二策略三突破策略一

分離參數(shù)法已知不等式在某一區(qū)間上恒成立,求參數(shù)的取值范圍,一般先分離參數(shù),再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題求解.即f(x)≥g(k)?[f(x)]min≥g(k),f(x)≤g(k)?[f(x)]max≤g(k).-23-題型一題型二題型三策略一策略二策略三突破策略一分離-81-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若?x∈[1,+∞),不等式f(x)>-1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.-24-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(1)求函數(shù)f(-82-題型一題型二題型三策略一策略二策略三∴由條件知,2a>x2-ex對?x∈[1,+∞)都成立.令g(x)=x2-ex,h(x)=g'(x)=2x-ex,∴h'(x)=2-ex.當(dāng)x∈[1,+∞)時,h'(x)=2-ex≤2-e<0,∴h(x)=g'(x)=2x-ex在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,∴h(x)=2x-ex≤2-e<0,即g'(x)<0,∴g(x)=x2-ex在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,∴g(x)=x2-ex≤g(1)=1-e,故f(x)>-1在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)恒成立,只需2a>g(x)max=1-e,-25-題型一題型二題型三策略一策略二策略三∴由條件知,2a-83-題型一題型二題型三策略一策略二策略三對點訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)=alnx+bx(a,b∈R)在點(1,f(1))處的切線方程為x-2y-2=0.(1)求a,b的值;-26-題型一題型二題型三策略一策略二策略三對點訓(xùn)練4已知函-84-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-27-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-85-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-28-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-86-題型一題型二題型三策略一策略二策略三突破策略二

分類討論法當(dāng)不等式中的參數(shù)無法分離,或含參不等式中左、右兩邊的函數(shù)具有某些不確定因素時,應(yīng)用分類討論的方法來處理,分類討論可使原問題中的不確定因素變成確定因素,為問題的解決提供新的條件.因此,求參數(shù)的范圍轉(zhuǎn)換成了討論參數(shù)在哪些范圍能使不等式成立.例5已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).(1)當(dāng)a=4時,求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;(2)當(dāng)x∈(1,+∞)時,f(x)>0,求a的取值范圍.解:(1)f(x)的定義域為(0,+∞).當(dāng)a=4時,f(x)=(x+1)ln

x-4(x-1),f'(x)=ln

x+-3,f'(1)=-2,f(1)=0.曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為2x+y-2=0.-29-題型一題型二題型三策略一策略二策略三突破策略二分類-87-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(2)當(dāng)x∈(1,+∞)時,①當(dāng)a≤2,x∈(1,+∞)時,x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0,故g'(x)>0,g(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,因此g(x)>0;②當(dāng)a>2時,令g'(x)=0得由x2>1和x1x2=1得x1<1,故當(dāng)x∈(1,x2)時,g'(x)<0,g(x)在區(qū)間(1,x2)內(nèi)單調(diào)遞減,因此g(x)<0.綜上,a的取值范圍是(-∞,2].-30-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(2)當(dāng)x∈(1-88-題型一題型二題型三策略一策略二策略三對點訓(xùn)練5已知函數(shù)f(x)=m(x-1)ex+x2(m∈R).(1)若m=-1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若對任意的x<0,不等式x2+(m+2)x>f'(x)恒成立,求m的取值范圍.解:(1)當(dāng)m=-1時,f(x)=(1-x)ex+x2,則f'(x)=x(2-ex).由f'(x)>0得0<x<ln

2,由f'(x)<0得x<0或x>ln

2,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,ln

2),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0),(ln

2,+∞).-31-題型一題型二題型三策略一策略二策略三對點訓(xùn)練5已知函-89-題型一題型二題型三策略一策略二策略三因為x<0,所以mex-x-m>0.令h(x)=mex-x-m,則h'(x)=mex-1,當(dāng)m≤1時,h'(x)≤ex-1<0,則h(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,所以h(x)>h(0)=0,符合題意;當(dāng)m>1時,h(x)在區(qū)間(-∞,-ln

m)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(-ln

m,0)內(nèi)單調(diào)遞增,所以h(x)min=h(-ln

m)<h(0)=0,不符合題意.綜上所述,m的取值范圍為(-∞,1].-32-題型一題型二題型三策略一策略二策略三因為x<0,所以-90-題型一題型二題型三策略一策略二策略三突破策略三

分別求函數(shù)最值法若兩邊變量不同的函數(shù)不等式恒成立,求不等式中的參數(shù)范圍,常用分別求函數(shù)最值求解.即若對?x1∈I1,?x2∈I2,f(x1)>g(x2)恒成立,則f(x)min>g(x)max.若對?x1∈I1,?x2∈I2,使得f(x1)>g(x2),則f(x)min>g(x)min.若對?x1∈I1,?x2∈I2,使得f(x1)<g(x2),則f(x)max<g(x)max.-33-題型一題型二題型三策略一策略二策略三突破策略三分別-91-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;-34-題型一題型二題型三策略一策略二策略三(1)討論函數(shù)f-92-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-35-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-93-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-36-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-94-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-37-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-95-題型一題型二題型三策略一策略二策略三當(dāng)x∈(1,2]時,1-x<0,xln

x>0,h'(x)<0,即函數(shù)h(x)=x-x2ln

x在區(qū)間(1,2]上單調(diào)遞減.故當(dāng)x=1時,h(x)取到極大值,也是最大值h(1)=1.所以a≥1.-38-題型一題型二題型三策略一策略二策略三當(dāng)x∈(1,2]-96-題型一題型二題型三策略一策略二策略三當(dāng)m≤0時,f'(x)<0,此時函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.當(dāng)m>0時,由f'(x)=0,解得x=2m.令f'(x)>0,解得0<x<2m,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;令f'(x)<0,解得2m<x,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.此時函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2m),單調(diào)遞減區(qū)間為(2m,+∞).-39-題型一題型二題型三策略一策略二策略三當(dāng)m≤0時,f'-97-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-40-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-98-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-41-題型一題型二題型三策略一策略二策略三-99-題型一題型二題型三策略一策略二突破策略一

求導(dǎo)與數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)零點或方程根的情況,可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等,并借助函數(shù)的大致圖象判斷函數(shù)零點或方程根的情況.其基本的思路為:(1)構(gòu)造函數(shù),并求其定義域;(2)求導(dǎo)數(shù),得單調(diào)區(qū)間和極值點;(3)通過數(shù)形結(jié)合,挖掘隱含條件,確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況進而求解.-42-題型一題型二題型三策略一策略二突破策略一求導(dǎo)與數(shù)形-100-題型一題型二題型三策略一策略二例7函數(shù)f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),a∈R.(1)當(dāng)a>0時,解不等式f(x)≤0;(2)當(dāng)a=0時,求整數(shù)t的所有值,使方程f(x)=x+2在區(qū)間[t,t+1]上有解.解:(1)因為ex>0,所以不等式f(x)≤0等價于ax2+x≤0.-43-題型一題型二題型三策略一策略二例7函數(shù)f(x)=(a-101-題型一題型二題型三策略一策略二(2)當(dāng)a=0時,方程f(x)=x+2即為xex=x+2.因為ex>0,所以x=0不是方程的解,所以方程f(x)=x+2有且只有兩個實數(shù)根,且分別在區(qū)間[1,2]和

[-3,-2]上,所以整數(shù)t的所有值為-3,1.-44-題型一題型二題型三策略一策略二(2)當(dāng)a=0時,方程-102-題型一題型二題型三策略一策略二對點訓(xùn)練7已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2,曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線與x軸交點的橫坐標為-2.(1)求a;(2)證明:當(dāng)k<1時,曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.(2)證明

由(1)知f(x)=x3-3x2+x+2,設(shè)g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4,由題設(shè)知1-k>0.當(dāng)x≤0時,g'(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)單調(diào)遞增,g(-1)=k-1<0,g(0)=4>0,所以g(x)=0在區(qū)間(-∞,0]上有唯一實根.當(dāng)x>0時,令h(x)=x3-3x2+4,則g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).(1)解

f'(x)=3x2-6x+a,f'(0)=a,曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線方程為y=ax+2,-45-題型一題型二題型三策略一策略二對點訓(xùn)練7已知函數(shù)f(-103-題型一題型二題型三策略一策略二h'(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以g(x)>h(x)≥h(