高考數(shù)學二輪復(fù)習真題源講義專題強化訓練(十九)

專題強化訓練(十九)一、單項選擇題1.“n>1”是“方程x2+ny2=1表示焦點在x軸上的圓錐曲線”的(A)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:當n<0時,方程x2+ny2=1表示焦點在x軸上的雙曲線;當n>0時,x2+ny2=1可化為x2+y21n=1,因為橢圓的焦點在x軸上,所以1>1n,即n>1,故方程x2+ny2=1表示焦點在x軸上的圓錐曲線時,n<0或n>1,故“n>1”是“方程x2.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不僅是著名的物理學家,也是著名的數(shù)學家,他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的對稱軸為坐標軸,焦點在y軸上,且橢圓C的離心率為74A.x29+y216=1 B.C.x218+y232=1 D.解析:設(shè)橢圓C的方程為x2b2+y2a2=1(a>b>0),由題意可得3.(2022·廣東高中聯(lián)合質(zhì)量測評)“青花出暈染,勝卻人間無數(shù)”,青花瓷是中華陶瓷燒制工藝的珍品,也是中國瓷器的主流品種之一,如圖,是一青花瓷花瓶,其外形上下對稱,可以看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.若該花瓶的瓶口直徑是8cm,瓶身最小的直徑是4cm,瓶高是6cm,則該雙曲線的離心率為(B)A.52 B.7C.54 D.解析:以花瓶最細處所在直線為x軸,花瓶的豎直對稱軸為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,設(shè)雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),花瓶的最小直徑|A1A2|=2a=4,則a=2,由已知可得M(4,3),故164-9b24.已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,P為C在第一象限上的一點,若PF的中點到y(tǒng)軸的距離為3,則直線PF的斜率為(C)A.2 B.2 C.22 D.4解析:由y2=8x,知焦點到準線的距離為p=4,焦點F(2,0).由拋物線的定義知PF的中點到y(tǒng)軸的距離等于|PF又|PF|=xP+2,所以xP+2=6,得xP=4,從而yP=42,所以點P(4,42).所以直線PF的斜率為42-05.由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計的南非雙曲線大教堂驚艷世界,該建筑是數(shù)學與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線y2a2A.y=±3x B.y=±33C.y=±x D.y=±2x解析:因為雙曲線方程為y2a2所以下焦點為(0,-c)(c>0),漸近線方程為y=±abx,即ax±則下焦點到ax±by=0的距離d=bca2+b2=b=2,又因為e=ca=1+(ba)所以該雙曲線的漸近線方程為y=±336.(2022·河北張家口三模)已知點P是拋物線y2=4x上的動點,過點P向y軸作垂線,垂足記為N,動點M滿足|PM|+|PN|的最小值為3,則點M的軌跡長度為(C)A.16π3 C.16π3+43 D.8π+2解析:設(shè)點F為拋物線y2=4x的焦點.當M在拋物線外部時,如圖(1)所示,當M,P,F三點共線時,|PM+PN|最小,故|PM|+|PN|=|PM|+|PN|+1-1=|PM|+|PF|-1≥|MF|-1=3,所以|MF|=4,點M的軌跡方程為(x-1)2+y2=16(在拋物線外部的部分),與y2=4x聯(lián)立解得x=3,所以軌跡與拋物線的兩個交點為A(3,23),B(3,-23),則∠AFB=2π3圓在拋物線外部的弧長為4π3×4=16π當點M在拋物線上或內(nèi)部時,如圖(2)所示,當N,P,M三點共線時,|PM|+|PN|最小,此時點M的軌跡方程為x=3(-23≤y≤23),其長度為43.所以點M的軌跡長度為16π3+437.(2022·廣東佛山模擬)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,過焦點且斜率為22的直線l與拋物線C交于A,B(A在B的上方)兩點,若|AF|=λ|BF|,則λ的值為(C)A.2 B.3 C.2 D.5解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>x2),直線l的傾斜角為θ,則y12=2pxy22=2px2,|AB|=x1+x2+p=2psin2θ,由tanθ=22,及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得sin2θ=8由直線l的斜率為22,則直線l的方程為y-0=22(x-p2)即y=22x-2p,聯(lián)立拋物線方程,消去y并整理,得4x2-5px+p2=0,則x1x2=p24,可得x1=p,x2=則|AF||8.(2022·四川德陽模擬)已知F1,F2是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,點P在C上,且僅當點P在y軸右邊時有A.[12,32) B.[13C.[13,33) D.[12解析:設(shè)|PF1|=x,由于點P在C上,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-x,當點P在y軸右邊時,有x∈(a,a+c],設(shè)PF1→,PF2→的夾角為θ,又PF1→·P在△PF1F2中,由余弦定理可知,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosθ,所以(2c)2=x2+(2a-x)2-2x(2a-x)cosθ=x2+(2a-x)2-x2=(2a-x)2,又2c>0,2a-x>0,所以2c=2a-x,所以x=2(a-c),又a<x≤a+c,所以a<2(a-c)≤a+c,所以2c<a≤3c,所以13≤ca<12,故1二、多項選擇題9.已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,Q是圓F2:(x-4)2+yA.E的離心率為2B.E的漸近線方程為y=±3xC.F2到E的漸近線的距離為3D.△PF1F2內(nèi)切圓圓心的橫坐標為±2解析:由題意,可知F2(4,0),所以c=4.又由題意,知|PF1|=|PQ|,所以2a=||PF1|-|PF2||=||PQ|-|PF2||=|QF2|=4<2c=8,所以b2=c2-a2=12,故E的方程為x24-y212=1,所以E的離心率為ca=±3x,故A,B正確;焦點F2到E的漸近線的距離為d=4312設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓與x軸相切于點A(x0,0),則由雙曲線定義得即△PF1F2內(nèi)切圓圓心的橫坐標為±2,所以D正確.故選ABD.10.設(shè)P是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點,F1,FA.|OP|=c(O為原點)B.S△FC.△F1PF2的內(nèi)切圓半徑r=a-cD.|PF1|max=a+c解析:在Rt△F1PF2中,O為斜邊F1F2的中點,所以|OP|=12|F1F2設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,則有m2+n2=(2c)2,m+n=2a,所以mn=12[(m+n)2-(m2+n2)]=2b2,所以S△F1PS△F1PF2=12(m+n+2c)·r=b2若|PF1|=a+c,則P為橢圓右頂點,此時P,F1,F2構(gòu)不成三角形,故D錯誤.故選ABC.11.設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,O為坐標原點,過F的直線與拋物線C分別交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則下列說法正確的是(AD)A.y1y2為定值B.∠AOB可能為直角C.以BF為直徑的圓與y軸有兩個交點D.對于確定的直線AB,在C的準線上存在三個不同的點P,使得△ABP為直角三角形解析:由題意知直線AB的斜率不為0,設(shè)lAB:x=ty+1,與y2=4x聯(lián)立可得y2-4ty-4=0,y1y2=-4,故A正確;因為x1x2=y12y2216=1,所以kOA·k設(shè)BF的中點為M(1+x22,y22)設(shè)AB的中點N(x1+x22,y1+y故有以AB為直徑的圓與拋物線C的準線相切,對于確定的直線AB,當∠P為直角時,此時P為切點;當∠A或∠B為直角時,P為過A(或B)的AB的垂線與準線的交點,故D正確.故選AD.12.(2022·湖北模擬)已知F是拋物線y2=4x的焦點,P是拋物線y2=4x上一動點,Q是圓C:(x-4)2+(y-1)2=1上一動點,則下列說法正確的有(AC)A.|PF|的最小值為1B.|QF|的最小值為10C.|PF|+|PQ|的最小值為4D.|PF|+|PQ|的最小值為10+1解析:由題意知,F(1,0),C(4,1),圓C的半徑為r=1,由拋物線的定義知,|PF|=xP+1≥1,所以|PF|的最小值為1,即選項A正確;點Q是圓上的動點,|QF|min=|CF|-r=10-1,即選項B錯誤;過點P作PM垂直準線于點M,則|PF|+|PQ|=|PM|+|PQ|≥|MQ|,而|MQ|min=|MC|-r=4+1-1=4,當且僅當M,Q,C三點共線,且該直線與x軸平行時,等號成立,所以|PF|+|PQ|的最小值為4,即選項C正確,選項D錯誤.故選AC.三、填空題13.(2022·湖南長沙岳麓區(qū)校級模擬)已知點A,B在橢圓C:x26+y23=1上,O為坐標原點,直線OA與OB的斜率之積為-12,設(shè)OP→=λOA→+μOB解析:設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),則x126+y123=1,x2由題設(shè),點P(λx1+μx2,λy1+μy2)在橢圓C上,則(λx1即λ2(x126+y123)+μ2(x226+y223答案:114.拋物線y2=4x的焦點為F,點A(3,2),P為拋物線上一點,且P不在直線AF上,則△PAF的周長的最小值為.

解析:由拋物線y2=4x可得焦點坐標為F(1,0),準線方程為x=-1.由題意可知求△PAF周長的最小值,即求|PA|+|PF|的最小值.設(shè)點P在準線上的射影為點D.則根據(jù)拋物線的定義,可知|PF|=|PD|,因此求|PA|+|PF|的最小值即求|PA|+|PD|的最小值.易知當P,A,D三點共線時,|PA|+|PD|最小.所以(|PA|+|PD|)min=xA-(-1)=3+1=4.又因為|AF|=(3-1所以△PAF的周長的最小值為4+22.答案:4+2215.(2022·河北張家口一模)已知橢圓C:x2a2+y2b解析:因為直線AB過原點,由橢圓及直線的對稱性可得|OA|=|OB|,所以|AB|=2|OA|,設(shè)右焦點為F′,如圖所示,連接BF′,AF′,又因為2|OF|=|AB|=2c(c>0),即|FF′|=|AB|,可得四邊形AFBF′為矩形,且∠ABF=∠AF′F,在Rt△AFF′中,|AF|=|FF′|sin∠AF′F=2c·sin∠AF′F,|AF′|=|FF′|cos∠AF′F=2c·cos∠AF′F,由橢圓的定義可得|AF|+|AF′|=2a,所以2a=2c·(sin∠AF′F+cos∠AF′F),因為∠BAF=π6,故∠AF′F=π所以離心率e=ca=132答案:3-116.已知直線l為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線,F1,F2是雙曲線C的左、