《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》第二章隨機變量及其分布

.PAGE@;35-第二章隨機變量及其分布 -1-第一節(jié)隨機變量及其分布函數(shù) -2-一隨機變量概念 -2-二隨機變量的分布函數(shù) -3-基礎訓練2.1 -7-第二節(jié)離散型隨機變量及其概率分布 -7-一離散型隨機變量及其概率分布 -7-二常見的幾種離散型隨機變量及其分布 -11-基礎訓練2.2 -17-第三節(jié)連續(xù)型隨機變量及其概率分布 -17-一連續(xù)型隨機變量及其分布的概念與性質(zhì) -18-二常見的幾種連續(xù)型隨機變量及其分布 -21-基礎訓練2.3 -28-第四節(jié)隨機變量函數(shù)的分布 -28-一離散型隨機變量函數(shù)的分布 -29-二連續(xù)型隨機變量的函數(shù)分布 -30-基礎訓練2.4 -35-綜合訓練二 -35-內(nèi)容小結(jié)及題型分析二 -35-拓展提高二 -35-閱讀材料二 -35-數(shù)學實驗二 -35-第二章隨機變量及其分布【本章導讀】本章主要講述隨機變量與分布函數(shù)，一維離散型隨機變量、連續(xù)型隨機變量的概率分布，常見分布及函數(shù)的分布.【本章用到的先修知識】級數(shù)的運算，變限積分，分段函數(shù)的積分，無窮積分.【本章要點】隨機變量的概念，分布函數(shù)，分布律，概率密度，常見隨機變量的分布，函數(shù)的分布.在上一章中，我們用樣本空間的子集，即基本事件的集合來表示隨機試驗的各種結(jié)果.這種表示的方式對全面討論隨機試驗的統(tǒng)計規(guī)律性及數(shù)學工具的運用都有較大的局限.在本章中，我們將介紹概率論中另一個重要的概念：隨機變量.隨機變量的引入，使概率論的研究由個別隨機事件擴大為隨機變量所表征的隨機現(xiàn)象的研究.這樣，不僅可更全面揭示隨機試驗的客觀存在的統(tǒng)計規(guī)律性，而且可使我們用高等數(shù)學的方法來討論隨機試驗.第一節(jié)隨機變量及其分布函數(shù)一隨機變量概念在第一章里，我們主要研究了隨機事件及其概率，讀者可能會注意到在隨機現(xiàn)象中，有很大一部分問題與實數(shù)之間存在著某種客觀的聯(lián)系.例如，在產(chǎn)品檢驗問題中，我們關(guān)心的是抽樣中出現(xiàn)的廢品數(shù)；在車間供電問題中，我們關(guān)心的是某時間段正在工作的車床數(shù)；在電話問題中關(guān)心的是某一段時間內(nèi)的話務量等.對于這類隨機現(xiàn)象，其試驗結(jié)果顯然可以用數(shù)值來描述，并且隨著試驗的結(jié)果不同而取不同的數(shù)值。例如，從一批廢品率為的產(chǎn)品中有放回地抽取次，每次取一件產(chǎn)品，記錄取到廢品的次數(shù).這一試驗的樣本空間為.如果用表示取到廢品的次數(shù)，那末，的取值依賴于實驗結(jié)果，當實驗結(jié)果確定了，的取值也就隨之確定了.比如，進行了一次這樣的隨機試驗，實驗結(jié)果，即在次抽取中，只有一次取到了廢品，那末.然而，有些初看起來與數(shù)值無關(guān)的隨機現(xiàn)象，也常常能聯(lián)系數(shù)值來描述.例如，擲一枚勻稱的硬幣，觀察正面、背面的出現(xiàn)情況。這一試驗的樣本空間為，其中表示“正面朝上”，表示“背面朝上”，表面上看與數(shù)值沒有聯(lián)系.但如果引入變量，對實驗的兩個結(jié)果，將的值分別規(guī)定為和，即：.一旦實驗的結(jié)果確定了，的取值也就隨之確定了。為了計算n次投擲中出現(xiàn)的正面次數(shù)就只須計算其中“1”出現(xiàn)的次數(shù)了，從而使這一隨機試驗的結(jié)果與數(shù)值發(fā)生聯(lián)系.以上兩個例子表明：無論隨機試驗的結(jié)果本身與數(shù)量有無聯(lián)系，我們都能把實驗的結(jié)果與實數(shù)對應起來，即可把實驗的結(jié)果數(shù)量化，這個數(shù)隨著試驗的結(jié)果不同而變化，因而，它是樣本點的函數(shù)，這個函數(shù)就是我們要引入的隨機變量.1、隨機變量的定義定義1設某隨機試驗的樣本空間為，若對中每個樣本點都有唯一的實數(shù)與之對應，則稱為隨機變量.由定義可知，隨機變量是定義在樣本空間上的單值實值函數(shù)，通常以或希臘字母，，等來表示，而隨機變量的取值一般用小寫英文字母等來表示.隨機變量與普通實函數(shù)這兩個概念既有聯(lián)系又有區(qū)別，他們都是從一個集合到另一個集合的映射，它們的區(qū)別主要在于：普通實函數(shù)無需做試驗便可依據(jù)自變量的值確定函數(shù)值，而隨機變量的取值在做實驗之前是不確定的，只有在做了試驗之后，依據(jù)所出現(xiàn)的結(jié)果才能確定.2、引入隨機變量的意義引入隨機變量以后，就可以用隨機變量來描述隨機事件?！纠?】在擲硬幣進行打賭時，如果規(guī)定出現(xiàn)正面贏1元，出現(xiàn)反面輸1元.這個試驗中，可定義則和就分別表示了事件{出現(xiàn)正面}和{出現(xiàn)反面}，且有.若試驗的結(jié)果本身就是用數(shù)量描述的，則可定義?！纠?】在“擲骰子”這個試驗中，用表示{出現(xiàn)點}，且?！纠?】在“測試燈泡壽命”這個試驗中，如果用表示燈泡的壽命（小時），則是定義在樣本空間上的函數(shù)，表示{燈泡的壽命為（小時）}；從而就是事件{燈泡壽命不超過t（小時）}的概率.【例4】在某城市中考察人口的年齡結(jié)構(gòu)，年齡在80歲以上的長壽者，年齡介于18歲至35歲之間的年輕人，以及不到12歲的兒童，它們各自的比率如何。從表面上看，這些是孤立事件，但若我們引進一個隨機變量：表示隨機抽取一個人的年齡；那末，上述幾個事件可以分別表示成、及.由此可見，隨機事件的概念是被包容在隨機變量這個更廣的概念之內(nèi)的。隨機變量的引入，使概率論的研究由個別隨機事件擴大為隨機變量所表征的隨機現(xiàn)象的研究.正因為隨機變量可以描述各種隨機事件，使我們擺脫只是孤立地去研究一個隨機事件，而通過隨機變量將各個事件聯(lián)系起來，進而去研究其全部.今后，我們主要研究隨機變量和它的分布.3、隨機變量的分類隨機變量因取值方式的不同，通常分為離散型和非離散型兩類.而非離散型隨機變量中最重要的是連續(xù)型隨機變量.今后，我們主要討論離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量.二隨機變量的分布函數(shù)許多隨機變量的取值是不能一個一個地列舉出來的，且它們?nèi)∧硞€值的概率可能是零.例如，在測試燈泡的壽命時，可認為壽命X的取值充滿了區(qū)間，事件表示燈泡的壽命正好是，在實際中，測試數(shù)百萬只燈泡的壽命，可能也不會有一只的壽命正好是.也就是說，事件發(fā)生的頻率在零附近波動，自然可認為。由于有許多隨機變量的概率分布情況不能以其取某個值的概率來表示，故我們轉(zhuǎn)而討論隨機變量的取值落在某一個區(qū)間里的概率，即取定，討論。因為，所以對任何一個實數(shù)，只需知道，就可知的取值落在任一區(qū)間里的概率了.為此，我們用來討論隨機變量的概率分布情況.定義2設是一個隨機變量，是任意實數(shù)，則函數(shù)稱為的分布函數(shù).有時記作或【注1】（1）有了分布函數(shù)，對于任意的實數(shù)，隨機變量落在區(qū)間里的概率可用分布函數(shù)來計算：.（2）分布函數(shù)是一個普通意義上的函數(shù)，完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性，或者說，分布函數(shù)完整地表示了隨機變量的概率分布情況，通過它，我們可以用高等數(shù)學的方法來全面地研究隨機變量（3）若把看作是數(shù)軸上的隨機點的坐標，則分布函數(shù)在的函數(shù)值就表示落在區(qū)間里的概率。分布函數(shù)具有以下基本性質(zhì)：（1）單調(diào)性是一個單調(diào)不減的函數(shù)，即當時,.事實上，，故.（2）非負性，.因為，即是落在里的概率，所以。（3）極限性對此，我們只給出一個直觀的解釋，不作嚴格的證明.事實上，是事件的概率，而是必然事件，故.類似地，是不可能事件，故.（4）右連續(xù)性.【注2】對于任意一個函數(shù)，若滿足上述性質(zhì)，則它一定是某隨機變量的分布函數(shù).【例1】判斷下列函數(shù)是否為分布函數(shù)（1）（2）【解】（1）因為在上單調(diào)下降，所以不可能是分布函數(shù).（2）由題設，在上單調(diào)不減，右連續(xù)，且，，所以是某隨機變量的分布函數(shù)由定義可見，要計算取值的概率可以通過其分布函數(shù)來實現(xiàn).若，則有：【例2】已知的分布函數(shù)為求，，，?！窘狻?；；；.【例3】設某隨機變量的分布函數(shù)為（）求.【解】由分布函數(shù)的右連續(xù)性知，，而，；，.所以聯(lián)立方程組，解得或【例3】設隨機變量的分布函數(shù)為，求：（1）常數(shù)；2）落在上的概率。【解】（1）因為，而所以由在處右連續(xù)知，，即于是2）【例4】設隨機變量的分布函數(shù)為求1）常數(shù)；2）.【解】1）由極限性得，從而解得于是【注3】（1）由例3，例4可知：求分布函數(shù)中的待定常數(shù)，主要是利用分布函數(shù)的極限性及右連續(xù)性.（2）由上面的討論可以看到，分布函數(shù)作為概率來講是事件的概率，同時它又是實變量的單值函數(shù)，這是我們在高等數(shù)學中早已熟悉的對象，而且分布函數(shù)又具有相當好的性質(zhì)，有利于數(shù)學處理，引入隨機變量和分布函數(shù)這兩個概念，就好像在隨機現(xiàn)象和高等數(shù)學之間架起了一座橋梁，有了這座橋梁，“高等數(shù)學”這個強有力的工具才有可能進入隨機現(xiàn)象的領(lǐng)域中來.由此可以體會到隨機變量及分布函數(shù)這兩個概念的地位和作用.因此在討論問題時一定要注意分布函數(shù)的本質(zhì)屬性基礎訓練2.1第二節(jié)離散型隨機變量及其概率分布有些隨機變量的全部可能取值是有限多個或可列無限多個.例如擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)；產(chǎn)品檢驗有放回抽樣時，抽檢到的次品數(shù)，電話話交換臺接到的呼喚次數(shù)等.在這一節(jié)里，我們討論這類隨機變量及其概率分布（分布律及分布函數(shù)）.一離散型隨機變量及其概率分布定義1若隨機變量的全部可能取值是有限多個或可列無限多個，則稱這個隨機變量是離散型隨機變量.易知，要掌握一個離散型隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律，必須要搞清楚兩個方面：一是隨機變量的所有可能取到的值；更主要的的是搞清楚隨機變量取這些可能值的概率.【例1】袋中裝有5只同樣大小的球，編號為1，2，3，4，5，從中同時取出3只球，設取出球的最大號為隨機變量.則由題意，所有可能取到的值為3、4、5；由古典概率公式可知，可能取到每一個值的概率分別為；習慣上，我們將它記為3451/103/106/10.或這就是所謂的離散型隨機變量的分布律.1、離散型隨機變量的分布律定義2設離散型隨機變量所有可能取的值為且取各個值的概率為則稱上式為離散型的隨機變量的概率分布或分布律。分布律也可以用表格（或矩陣）的形式來表示，即表示為或由概率的定義可知，離散型隨機變量X的分布律必然滿足下列兩個條件（1）非負性：；（2）規(guī)范性：.【注4】（1）任意滿足上述兩個條件的數(shù)列，都可以作為某離散型隨機變量的分布列.（2）由定義可知，若樣本空間是離散的，則定義在上的任何單值實函數(shù)都是離散型隨機變量?！纠?】設是隨機變量，問是否為的分布律？【解】由于，且，所以是的分布律.分布律不僅給出了的概率，而且對于任意的實數(shù)，事件發(fā)生的概率均可由分布列算出.因為，于是由概率的可列可加性有

.一般地，若是一個區(qū)間，則【例3】設的分布律由例2給出，求為偶數(shù)的概率.【解】因為，所以2、離散型隨機變量的分布函數(shù)已知離散型隨機變量的分布律為，則由分布函數(shù)的定義知由此可知，離散型隨機變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù)，是的第一類間斷點，而在處的概率就是在這些間斷點處的躍度.【例4】設的分布列為0120.30.40.3求的分布函數(shù)。解：當時，由于，所以，當時，，當時，，當時，，于是.可以看到，是一階梯狀的右連續(xù)函數(shù)，在處有跳躍，其躍度分別為.【例5】設隨機變量的分布函數(shù)為試求：（1）的分布律；（2）【解】(1)由于是一個階梯狀的函數(shù)，故知是一個離散型的隨機變量，而的跳躍點分別為、、，對應的跳躍度分別為、、，所以的分布律為－1130.40.40.2（2）這是一個條件概率問題.因為，，所以由條件概率公式可得.【注4】對于離散型隨機變量統(tǒng)計規(guī)律的描述我們已學了兩種方法——分布列與分布函數(shù)法，兩種描述方法各有特點，各有側(cè)重.分布列反映了隨機變量取每一個可能值的概率，而分布函數(shù)則反映的是隨機變量從到的總體分布情況.因此，離散型隨機變量的分布函數(shù)實際上是一個分布列從到的累加，在計算離散型隨機變量事件的概率時應注意隨機變量取可能值.務必認真理解分布函數(shù)的概念.二常見的幾種離散型隨機變量及其分布1.兩點分布定義3若一個隨機變量只有兩個可能的取值、，且有，（）則稱服從、處參數(shù)為的兩點分布.特別地，如果若隨機變量服從、處參數(shù)為的兩點分布，即（2.1）01或則稱X服從以p為參數(shù)的（0-1）分布。若某個隨機試驗的結(jié)果只有兩個，如產(chǎn)品是否合格、試驗是否成功、擲硬幣是否出現(xiàn)正面、衛(wèi)星的一次發(fā)射是否成功等，它們的樣本空間為，則總能定義一個服從（0-1）分布的隨機變量也就是說，它們都可以用（0-1）分布來描述，只不過對不同的問題參數(shù)p的值不同而已.可見，（0-1）分布是經(jīng)常遇到的一種分布.2.二項分布定義4若隨機變量X的取值為且（2.2）其中，則稱X服從以為參數(shù)的二項分布或伯努利分布，記為.容易證明（1）（2）注意到正好是二項式的展開式的一般項，因此稱該隨機變量服從二項分布；在第一章中我們討論了n重伯努利試驗，易見在n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)X是服從二項分布的隨機變量，即二項分布是以重伯努利試驗為背景的，因此也稱該隨機變量服從伯努利分布.特別地，當時二項分布為.這就是（0-1）分布，故當X服從（0-1）分布時，常記為.二項分布的單調(diào)性及最可能發(fā)生的次數(shù)由于，所以當時，單調(diào)增加；時，單調(diào)下降，因此可知當k在附近時達最大值.可以證明，在重貝努力試驗中，事件最可能成功的次數(shù)為（1）當不是整數(shù)時，在時達到最大，即事件A發(fā)生次的概率最大.（2）當是整數(shù)時，在和時達到最大，事件A發(fā)生次和次的概率最大.其中[x]是不超過x的最大整數(shù).【例6】已知某型號電子元件的一級品率為0.2，現(xiàn)從一大批元件中隨機抽查20只，問（1）至少抽到一件一級品的概率是多少？（2）最可能的一級品數(shù)是多少？【解】設表示抽查的20只元件中的一級品數(shù)，由于檢查20只元件是否一級品可看成是20重的伯努利試驗，所以服從二項分布，所以的分布律為.（1）所求概率為，但這個式子的計算相當繁瑣，我們用其對立事件的概率求解，如下（2）由于不是整數(shù)，所以其中有只一級品的概率最大.【例7】某人獨立地射擊，設每次射擊的命中率為0.02，射擊400次，求至少擊中目標兩次的概率.解把每次射擊看成一次試驗，設擊中的次數(shù)為，則的分布律為于是所求概率為.【注5】例7的結(jié)果告訴我們兩個事實：其一，雖然每次射擊的命中率很小（為0.02），但射擊次數(shù)足夠多（為400次）時，則擊中目標兩次幾乎是肯定的（概率為0.997）.這個事實告訴我們，一個事件盡管在一次實驗中發(fā)生的概率很小，但在大量的獨立重復試驗中這事件的發(fā)生幾乎是必然的。也就是說，小概率事件在大量獨立重復室驗中是不可忽視的.其二，若射手在400次獨立射擊中，擊中目標的次數(shù)不到兩次是一件概率很小的事件，而這事件竟然在一次實驗中發(fā)生了，則跟據(jù)實際推斷，我們有理由懷疑“每次射擊的命中率為0.02”這一假設正確性，即可認為射手射擊的命中率達不到0.02.直接計算上式是很麻煩的.下面我們給出一個當n很大而p很小時的近似計算公式.泊松定理（Poisson）設是一常數(shù)，n是正整數(shù)。若，則對任一固定的非負整數(shù)，有。證由，知對任意固定的，當時，，故有.這個定理可以用于近似計算.定理的條件，意味著n很大時，必定很小，由泊松定理知，當，且n很大而p很小時，有近似計算公式（2.3）其中.在實際計算中，當時，上式的近似值效果頗佳，而且時，效果更好.的值有表可查（見書后附表）.在例7中，，由(2.3)式知因此【例8】現(xiàn)有90臺同類型的設備，各臺設備的工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺設備的故障能由一個人處理.配備維修工人的方法有兩種，一種是由三人分開維護，每人負責30臺；另一種是由3人共同維護90臺.試比較兩種方法在設備發(fā)生故障不能及時維修的概率的大小。【解】按第一種配備的方法.設為第個人負責的30臺設備發(fā)生故障而無人修理的事件.表示第i個人負責的30臺設備中同時發(fā)生故障的設備臺數(shù)，則。由泊松定理.而90臺設備發(fā)生故障無人修理的事件為，故采用第一種配備維修工人的方法時，所求概率為.在采用第二種配備維修工人的方法時，設為90臺設備中同時發(fā)生故障的設備臺數(shù)，則，而所求概率由泊松定理可知由于，顯然共同負責比分塊負責的維修效率提高了.3、泊松分布從上面的泊松定理可引入另一類重要的分布.定義5設離散型隨機變量的所有可能取值為0、1、2、，且取各個值的概率為（2.4）其中為常數(shù)，則稱服從參數(shù)為的泊松分布，記為.易驗證泊松分布可作為二項分布的近似，然而泊松分布的作用不盡于此.近數(shù)十年來，人們發(fā)現(xiàn)很多隨機現(xiàn)象都可利用泊松分布去描述，例如：1)在社會生活中，各種服務需求量，如一定時間內(nèi)，某電話交換臺接到的呼叫數(shù)，某公共汽車站來到的乘客數(shù)，某商場來到的顧客數(shù)或出售的某種貨物數(shù)，…，它們都服從泊松分布，因此泊松分布在管理科學和運籌學中占很重要的地位.2)在生物學中，某區(qū)域內(nèi)某種微生物的個數(shù)，某生物繁殖后代的數(shù)量等也服從泊松分布.3)放射性物質(zhì)在一定時間內(nèi)放射到指定地區(qū)的粒子數(shù)也是服從泊松分布的.【例9】由某商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)的泊松分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應進某種商品多少件（假定上月沒有存貨）？【解】設該商店每月銷售某種商品件，月底的進貨為件，則當時就不會脫銷，因而按題意要求為因為已知服從的泊松分布，所以，因而上式也就是查泊松分布表得.于是，這家商店只要在月底進貨某種商品15件，就可以95%以上的把握保證這種商品在下個月內(nèi)不脫銷.4.幾何分布在獨立重復的試驗中，事件發(fā)生的概率為，設表示事件首次發(fā)生時所需的試驗次數(shù)，顯然所有可能取到的值為，而取各個值的概率為其中（2.5）定義6如果一個隨機變量的分布律由(2.5)式給出，則稱服從參數(shù)為的幾何分布.易驗證，.【例10】設有某求職人員，在求職過程中每次求職成功率為0.4.試問該人員要求職多少次，才能有0.9的把握獲得一個就業(yè)機會？解設表示該人員在求職過程中，首次成功的求職次數(shù)，則服從幾何分布，其中有事件的不相容性，有故該求職人員至少要求職5次，才能以0.9的把握得到一次就業(yè)的機會.上面討論了幾種常見的離散型隨機變量的分布.兩點分布、二項分布、泊松分布、幾何分布都是以伯努利試驗為背景，即在一次試驗中事件要么出現(xiàn)，要么不出現(xiàn).但要注意試驗的次數(shù)是不同的，兩點分布的次數(shù)為1，二項分布的次數(shù)是，泊松分布是無窮.隨機變量的取值從0到試驗的次數(shù).由此可見，兩點分布是二項分布的特例，泊松分布是二項分布的推廣.注意幾何分布的取值從1開始到無窮.在應用中，一定要分清該問題屬于哪一種類型，準確靈活地應用.基礎訓練2.2第三節(jié)連續(xù)型隨機變量及其概率分布在上一節(jié)中我們通過分布律及分布函數(shù)研究了離散型隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律.但在許多隨機現(xiàn)象中出現(xiàn)的一些變量，如“測量某地的氣溫”、“某型號顯象管的壽命”、“某省高考體檢時每個考生的身高、體重”等，它們的取值是可以充滿某個區(qū)間或區(qū)域的（也就不會只取有限個或可列個值），對于這樣的隨機變量，如何描述它們的統(tǒng)計規(guī)律呢？【引例】等可能地在數(shù)軸上的有界區(qū)間上投點,記為落點的位置(數(shù)軸上的坐標),求隨機變量的分布函數(shù).在這里“等可能”的含義是指，所投的點落在中的任一子區(qū)間中的概率，與的長度成正比，而與在中的位置無關(guān).【解】對于任意實數(shù)，當時，，所以.當時，由于，由幾何概率的計算公式得.當時，由于，由幾何概率的計算公式得.所以隨機變量的分布函數(shù)為圖2-2圖2-2圖2-1由引例可知，的取值充滿了區(qū)間，其分布函數(shù)在是連續(xù)的（見圖2-1）；并且，我們能找到這樣一個非負、可積的函數(shù)使.（讀者自己計算）.這一類的隨機變量就是我們本節(jié)介紹的連續(xù)性隨機變量.一連續(xù)型隨機變量及其分布的概念與性質(zhì)1.定義定義1設是隨機變量的分布函數(shù)，若存在非負可積函數(shù)，對任意實數(shù)，有(2.6)則稱為連續(xù)型隨機變量。稱為的概率密度函數(shù)，簡稱為密度函數(shù)或概率密度.圖2-1由分布函數(shù)的性質(zhì)即可驗證任一連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)具有下述兩條基本性質(zhì)：圖2-1（1）；（2）.【注6】上述性質(zhì)具有很明顯的幾何意義.（1）的曲線位于軸的上方；（2）以軸為底邊，以為高構(gòu)成的曲邊梯形的面積等于1.反過來，任意一個上的函數(shù)，如果具有以上兩個性質(zhì)，都可以作為某連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù).密度函數(shù)除了具有上述兩條特征性質(zhì)外，還有如下一些重要性質(zhì).2、概率分布的性質(zhì)（1）設、為任意實數(shù)，且，則（2.7）即由密度函數(shù)可求分布函數(shù)及隨機變量落在任意區(qū)間上的概率.（2）若是連續(xù)型隨機變量，則，都有.事實上，而，所以【注7】由此可知：連續(xù)型隨機變量取任一指定值的概率為0，此性質(zhì)與離散型隨機變量不同；此性質(zhì)也表明概率為0的事件不一定是不可能事件，稱為幾乎不可能事件；同樣概率為1的事件也不一定是必然事件.這樣，對連續(xù)性隨機變量有：（2.8）（2.9）【注8】這一個結(jié)果從幾何上來講，落在區(qū)間中的概率恰好等于在區(qū)間上曲線形成的曲邊梯形的面積.（3）若在處是連續(xù)的，則.（2.10）事實上，由定義及積分上限函數(shù)的導數(shù)可得.【注9】（1）在連續(xù)點處，利用（2.10）式有，（2.11）從這里我們看到概率密度的定義與物理學中的線密度的定義相類似，這就是為什么稱之為概率密度的緣故.（2）由（2.11）式，如果不及高階無窮小，則有（2.12）即，落在上的概率近似等于.（3）對連續(xù)型隨機變量，分布函數(shù)和密度函數(shù)可以相互確定，因此密度函數(shù)也完全刻畫了連續(xù)型隨機變量的分布規(guī)律.【例1】設隨機變量的分布函數(shù)為.求常數(shù)及密度函數(shù).【解】由的連續(xù)性，有，所以，；密度函數(shù)為【例2】設隨機變量的密度函數(shù)為試求（1）常數(shù)；（2)的分布函數(shù)；3）。【解】（1）由密度函數(shù)的性質(zhì)，可知即，解得于是密度函數(shù)為（2），.（3）.【例3】已知隨機變量的概率密度為，（1）確定常數(shù)；（2）求的分布函數(shù)；（3）求.【解】（1）由，得，解得，于是的概率密度為（2）由分布函數(shù)的定義可知當時，當時，當時，當時，綜上所述（3），.二常見的幾種連續(xù)型隨機變量及其分布1.均勻分布定義2若隨機變量的概率密度函數(shù)為（2.13）時，則稱隨機變量服從上的均勻分布，記為.顯然，滿足（1）；（2）.其分布函數(shù)為（2.14）這正是本節(jié)講過的引例.均勻分布可用來描述在某個區(qū)間上具有等可能結(jié)果的隨機試驗的統(tǒng)計規(guī)律性.例如，乘客在公共汽車站的候車時間，近似計算中的舍入誤差等，在一個較短的時間內(nèi)，考慮某一股票的價格在內(nèi)波動的情況等.【注10】設隨機變量，則對任意滿足，有這表明，落在內(nèi)任一小區(qū)間上取值的概率與該小區(qū)間的長度成正比，而與小區(qū)間在的位置無關(guān)，這就是均勻分布的概率意義，實際上均勻分布描述了幾何概型的隨機試驗.【例4】設隨機變量，現(xiàn)對進行3次獨立觀測，試求至少有兩次觀測值大于3的概率.【解】設為三次觀測中，觀測值大于3的觀測次數(shù)，由于進行3次獨立觀測，所以，其中為每次觀測時觀測值大于3的概率.因為，所以；則，所求概率為2.指數(shù)分布定義3若隨機變量的密度函數(shù)為（2.15）則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記作.容易證明：滿足（1）；（2）.其分布函數(shù)為（2.16）【注11】指數(shù)分布是一種應用廣泛的連續(xù)型分布.許多“等待時間”是服從這個分布的；一些沒有明顯“衰老”機理的元器件的壽命也可以用指數(shù)分布來描述.所以指數(shù)分布在排隊論和可靠性理論等領(lǐng)域中有著廣泛的應用.電話問題中的通話時間可以認為服從指數(shù)分布.【例5】假定打一次電話所用的時間（單位：分鐘）服從參數(shù)的指數(shù)分布，試求在排隊打電話的人中，后一個人等待前一個人的時間（1）超過10分鐘；（2）10分鐘到20分鐘之間的概率。解：由題設知，故所求概率為1）2）【例6】一大型設備在兩次故障之間時間間隔服從參數(shù)為指數(shù)分布，求設備在已經(jīng)無故障工作了8小時的情況下，再無故障運行9小時的概率.【解】由題意的分布函數(shù)為所求概率為條件概率，由條件概率公式得.【注12】指數(shù)分布具有無記憶性.即對于任意，總有（2.17）如例6所示，設備在已經(jīng)無故障工作了8小時的情況下，再無故障運行9小時的概率等于，即對已使用8小時失去記憶.3.正態(tài)分布定義4如果隨機變量的密度函數(shù)為（2.18）其中是兩個常數(shù)，則稱服從參數(shù)為和的正態(tài)分布，記為.容易證明：滿足（1）；（2）.【注13】利用積分及變量代換積分法可證明之.其分布函數(shù)為（2.19）正態(tài)分布是概率論中最重要的一個分布，高斯（Gauss）在研究誤差理論時曾用它來刻劃誤差.經(jīng)驗表明許多實際問題中的變量，如測量誤差、射擊時彈著點與靶心間的距離、熱力學中理想氣體的分子速度、某地區(qū)成年男子的身高等都可以認為服從正態(tài)分布.進一步的理論研究表明，一個變量如果受到大量微小的、獨立的隨機因素的影響，那么這個變量一般也服從或近似正態(tài)分布.正態(tài)分布圖形特征：（1）正態(tài)分布的密度函數(shù)關(guān)于對稱；（2）在處達到最大值；（3）當固定，改變的值，的圖形沿軸平移而不改變形狀，故又稱為位置參數(shù)；若固定，改變的值，則的圖形的形狀隨著的增大而變得平坦，故稱為形狀參數(shù)；（4）曲線在處有拐點且以軸為漸近線.圖圖2-5圖圖2-6標準正態(tài)分布當時，正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，其密度函數(shù)為（2.20）分布函數(shù)為（2.21）若，則下列結(jié)論必須熟記（1）；（2）；（3）.標準正態(tài)分布的重要性之一是可通過標準正態(tài)分布函數(shù)表查出分布函數(shù)值.【例7】設求【解】,查表,故若，則應如何求其分布函數(shù)值？標準正態(tài)分布的重要性之二是可通過線性變換將任何一個一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布.正態(tài)分布的標準化定理1設，則.證明的分布函數(shù)為，所以.由定理1可知，下列結(jié)論成立，必須熟記（1）；（2）.【例8】設隨機變量服從正態(tài)分布，（1）求.（2）求常數(shù)使（3）求常數(shù)，使【解】（1）（2），查表知，所以；（3）所以，查表得，即.【例9】把溫度調(diào)節(jié)器放入貯存著某種液體的容器中,調(diào)節(jié)器定在,液體的溫度T是隨機變量,設.試求:若，求的概率；(2)若要求保持液體的溫度至少為80度的概率不低于0.99，問d至少為多少度?【解】所求概率為按題意，求d，使即要求，查表知而故需解得，即至少為.【注14】標準正態(tài)分布表中沒有2.327的分布函數(shù)值，在此采用的是線性插值法求得的.即設分布函數(shù)值0.99對應的為，由標準正態(tài)分布表知，，而0.99介于0.9898和0.9901之間，則由，解得.【例10】設，求，，.【解】一般地這個概率與無關(guān).由此可見，在一次試驗中落在區(qū)間的概率相當大，即幾乎必然落在上述區(qū)間內(nèi)，或者說，在一般情形下,在一次試驗中落在區(qū)間以外的概率可以忽略不計.這就是通常所說的原理.【例11】*隨機變量的密度函數(shù)為，求.【解】=0.1448.應該指出，除了離散型，連續(xù)型以外，隨機變量還有其它類型，例如是分布函數(shù)，它不是離散型的，也不是連續(xù)型的(因為它不連續(xù)).以后如果對一般的隨機變量進行討論，就用分布函數(shù)；如果對離散型情形，主要就用分布列；如果對連續(xù)型，則主要用密度函數(shù),不另提其它類型了?；A訓練2.3第四節(jié)隨機變量函數(shù)的分布在實際中，我們不僅要研究隨機變量，還要討論隨機變量的函數(shù).例如在測量圓軸的截面積時，往往只能測量到圓軸的直徑，然后由函數(shù)得到截面積的值。在這一節(jié)中，我們討論如何由已知隨機變量的分布去求它的函數(shù)的分布，這里是已知的連續(xù)函數(shù)。一離散型隨機變量函數(shù)的分布設隨機變量的分布律