重慶市西南大學(xué)附中2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。已知中內(nèi)角B,C所對(duì)應(yīng)的邊依次為a,b,c，若2a=b1,c 7,C3

，則的面積為（ ）A．3 32

B．3 C．33 D．2 3xy30

x,

xx2yx2

z3x

的最小值為（）A．-5 B．2 C．7 D．11已知非零向量a、b，若b2a且2ab 3b，則向量b在向量a方向上的投影為（ ）3b2

1b2

3b2

1b2已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示，俯視圖中的兩個(gè)小三角形全等，則（ ）A．PA，PB，PC兩兩垂直

B．三棱錐P-ABC的體積為83C．|PAPBPC|

6 D．三棱錐P-ABC的側(cè)面積為3 5設(shè)a，b，c為正數(shù)，“abc是“a2b2c2”的（ ）C．充要條件

必要不充分條件D《易·之說(shuō)，河圖、洛書(shū)是中華文化，陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六如圖，白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)103個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為（）1 1 1 3A．5 B．20 C．12 D．40函數(shù) 的定義域?yàn)椋?）．[，）∪，） （，）∪（，）．[，） （，）8．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為x2y23x2y2.給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線C有四條對(duì)稱軸；1②曲線C4；1③曲線C第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為8；4.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④x2 y2已知橢圓

b0)FF

y22px的焦點(diǎn)重合，且橢圓與拋a2 b2

1 2 2物線的兩個(gè)交點(diǎn)連線正好過(guò)點(diǎn)F2

，則橢圓的離心率為（ ）A．22

B．21 C．32 2 D．31雙曲線C：x2y21（m0，左焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）5 mA2x5y0 B2x 5y0 C．5x2y0 D．5xy0111，2，3，……n2n2個(gè)數(shù)填入nn方格中，使得每行、每列、每條對(duì)角線nf(n)為nf(3)15f(10)（ ）A．55 B．500 C．505 D．5050執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為（ ）A．16 B．48 C．96 D．128二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在三棱錐SABC中，SB，SC兩兩垂直且SASBSC2，點(diǎn)M為SABC的外接球上任意一點(diǎn)，則MAMB的最大值為 .若函數(shù)fxsinx 3cosx(xR，0)滿足的值為 .

2，且||，則2F為雙曲線Cx2a2

y2b2

1(a0,b0)FCFDD為垂足，且|FD

3|OF|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則C的離心率 .2已知

為偶函數(shù)，當(dāng) 時(shí)， ，則曲線 在點(diǎn) 處的切線方程.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:xa2

y2b2

b0)

3，以橢圓C左頂2T為圓心作圓Tx2)2y2

r2(r0)，設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N.C的方程；求TMTNT的方程；設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于NMNP分別與x軸交于點(diǎn)OOROS為定值.18（12分O的直徑AB的延長(zhǎng)線與弦CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)PE為⊙OAEACDE交ABFPDF~POC．19（12分）已知x)=x+3|-x-2|（1）求函數(shù)f(x)的最大值m；（2）a，b，ca+2b+3c=m12336.a b c 520（12分）已知函數(shù)f(x) x .ex1（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）x0ln(x1)f(x.x

x

11t 2 2

x1cos21（12分在平面直角坐標(biāo)系

中已知直線l的參數(shù)方程為 1 （t為參數(shù)和曲線C:ysin （y t 2為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．求直線l和曲線C的極坐標(biāo)方程；M是射線l:[0,與直線lN是l

|ON|與曲線C的公共點(diǎn)，求1 2

|OM|的最大值．22（10分）在中國(guó)，不僅是購(gòu)物，而且從共享單車到醫(yī)院掛號(hào)再到公共繳費(fèi)，日常生活中幾乎全部領(lǐng)域都支持手機(jī)支付出門不帶現(xiàn)金的人數(shù)正在迅速增加。中國(guó)人民大學(xué)和法國(guó)調(diào)查公司益普索合作，調(diào)查了騰訊服務(wù)的600060名，統(tǒng)計(jì)他們出門隨身攜帶現(xiàn)金（單位：元）100元以下（不含100元）的為“手機(jī)支付族”，其他為“非手機(jī)支付族”.根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，將22與性別有關(guān)？用樣本估計(jì)總體，若從騰訊服務(wù)的用戶中隨機(jī)抽取3位女性用戶，這3位用戶中手機(jī)支付族的人數(shù)為機(jī)變量的期望和方差；1000100元；方案二：手機(jī)支付消費(fèi)每滿1000元可抽獎(jiǎng)2次，每次中獎(jiǎng)的概率同為1，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)一次打9折，中獎(jiǎng)兩次28.5折1200惠方案更劃算？附：PP(K2k)00.0500.0100.001k03.8416.63510.8282K bc)22(ad)(ad)參考答案125601、A【解析】由余弦定理可得a2b2ab7，結(jié)合2a=b1a，b.【詳解】

7a2b2ab a2由余弦定理，得7a2

2abcosCa2

b2

ab2ab1

，解得b3，S

1absinC123 .33 3ABC33 3

2 2 2 2故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.2、A【解析】根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式，找到截距的最小值.【詳解】xy30由約束條件

x2y

，畫(huà)出可行域

ABC 如圖 x2z3xy變?yōu)閥3xz為斜率為-3的一簇平行線，z為在y軸的截距，z最小的時(shí)候?yàn)檫^(guò)C點(diǎn)的時(shí)候，xy30x2所以C x2y0 y1z3xy3215故選A項(xiàng)【點(diǎn)睛】3、D【解析】設(shè)非零向量a與b的夾角為，在等式2ab 3b兩邊平方，求出cos的值，進(jìn)而可求得向量b在向量a方向的投影為bcos，即可得解.【詳解】b2a，由2ab 3b得2ab

3b2，整理得2a22abb20，2a22a2acos4a

0，解得cos1，2因此，向量b在向量abcos1b.2故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的計(jì)算，同時(shí)也考查利用向量的模計(jì)算向量的夾角，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】根據(jù)三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖，然后再計(jì)算可得.【詳解】解：根據(jù)三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示，其中D為AB的中點(diǎn)，PD底面ABC.P-ABC112224，3 2 3ACBCPD2，AB

AC2BC

2 2DADBDC| 2， PAPBPC| 22 2 PA2PB2

AB2，PAPB不可能垂直，即PA,PB,PC不可能兩兩垂直，1 1

2SPBA

2 222 2，2

PBC

S PAC 2

6 122 5.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為2 52 2.故正確的為C.【點(diǎn)睛】5、B【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：abc為正數(shù)，a2b2c3時(shí)，滿足abca2b2c2不成立，即充分性不成立，若a2b2c2，則(ab)22abc2，即(ab)2c22abc2，即(ab)2 c2，即abc，成立，即必要性成立，則abc是a2b2c2”的必要不充分條件，B．【點(diǎn)睛】6、C【解析】“3個(gè)數(shù)中至少有2.【詳解】C310

120種，3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有：,3,4,5,5,6,7,7,8,9,3,5,7,5,7,9，共10種，P

1.C.【點(diǎn)睛】

120 12.7、A【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，解得函數(shù)且；的定義域?yàn)?故選A．【點(diǎn)睛】組對(duì)實(shí)際問(wèn)題：由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等組求解若已知函數(shù) 的定義域?yàn)?則函數(shù) 的定義域由不等式 求出.8、C【解析】①利用x,y之間的代換判斷出對(duì)稱軸的條數(shù)；②利用基本不等式求解出到原點(diǎn)的距離最大值；③將面積轉(zhuǎn)化為x,y的關(guān)系式，然后根據(jù)基本不等式求解出最大值；④根據(jù)x,y滿足的不等式判斷出四葉草與對(duì)應(yīng)圓的關(guān)系，從而判斷出面積是否小于.4【詳解】xx

x2y23x2y2不變，所以四葉草圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；當(dāng)y變?yōu)閥時(shí)，x2y23x2y2不變，所以四葉草圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；當(dāng)y變?yōu)閤時(shí)，x2y2

x2y2不變，所以四葉草圖象關(guān)于yx軸對(duì)稱；當(dāng)y變?yōu)閤時(shí)，x2y2

x2y2不變，所以四葉草圖象關(guān)于yx軸對(duì)稱；綜上可知：有四條對(duì)稱軸，故正確；

x2y22②：因?yàn)閤2y2

x2y2，所以

x2y2

x2y2

， 2 1 1 1x2y2

，所以x2y2

x2

y2 ，4 2 81所以最大距離為，故錯(cuò)誤；2Pxyxy， x2

x2y2x2y2

x2y2

2xy3，所以xy1， xy

2 1，所以圍成矩形面積的最大值為，故正確；4 81 1x2y2

x2y24

的內(nèi)部，4S1，故正確.4 4 4【點(diǎn)睛】xy去分析證明.9、B【解析】

p a2b2

p2

2 232a2 4 2 232根據(jù)題意可得易知c ，且 4

，解方程可得 ，再利用

即可求解.212 p2b24p2a24a2b2 a21 b2 p2 2【詳解】2 232 23 p2

a2 p2易知c

p a2b2，且 4

421b2 2 p2b24p2a221b2 223232 2故有e2

c2a2

32

，則e

12故選：B2【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、拋物線的幾何性質(zhì)，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題10、B【解析】首先求得雙曲線的一條漸近線方程mx 5y0，再利用左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，列方程即可求出m，進(jìn)而出漸近線的方程.【詳解】mcm5設(shè)左焦點(diǎn)為，一條漸近線的方程為mx 5y0，由左焦點(diǎn)到漸近線的距離為mcm5

m 2，m所以漸近線方程為y故選：B【點(diǎn)睛】

2x5，即為2x 5y0,5本題考查雙曲線的漸近線的方程，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題.11、C【解析】

123n2因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等，可得f(n) ，即得解.n【詳解】因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等，所以n階幻方對(duì)角線上數(shù)的和f(n)就等于每行（或每列）的數(shù)的和，又n階幻方有n行（或n列，123n2因此，f(n) ，n12399100于是f(10)10

505．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)陣問(wèn)題，考查了學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.12、B【解析】列出每一次循環(huán)，直到計(jì)數(shù)變量i滿足i3退出循環(huán).【詳解】S21(11)4,i2S422(12)16,i3；S1623(13)48,i4，退出循環(huán)，輸出的S為48.【點(diǎn)睛】本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果，要注意在哪一步退出循環(huán)，是一道容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。313、2 23【解析】先根據(jù)三棱錐的幾何性質(zhì)，求出外接球的半徑，結(jié)合向量的運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求球體表面一點(diǎn)到大的問(wèn)題，即可求得結(jié)果.【詳解】

SAC外心距離最因?yàn)镾A,SB,SC兩兩垂直且SASBSC2，SABC2的正方體的外接球且外接球的球心為正方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)O，如下圖所示：容易知外接球半徑為3.AB的中點(diǎn)為O1， MAMBMOOAMOOB1 1 1 1O

OA1 1 1 1MO2OA2MO22，1 1 1故當(dāng)MO1

MAMB.MB在同一個(gè)大圓上，且MO1

AB，MABMO12

取得最大值，如圖所示：2此時(shí)，MO

3,OO1

1

2

31 22 32故答案為：2 32.【點(diǎn)睛】本題考查球體的幾何性質(zhì)，幾何體的外接球問(wèn)題，涉及向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算，屬綜合性困難題.14、1【解析】fx2sinx,由題可分析||表示相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心與一個(gè)對(duì)稱軸的距離為【詳解】

3 232,進(jìn)而求解即可.由題,fxsinx 3cosx2sinx,3 3

0,f2且||

,即相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心與一個(gè)對(duì)稱軸的距離為,1 所以T

2 2,即T2,4所以

222

1,T 故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用,考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn).15、2【解析】求出焦點(diǎn)到漸近線的距離就可得到a,b,c的等式，從而可求得離心率．【詳解】F(c,0)y

bx，即bxay0，a∴FD bc

b，由|FD| 3|OF|得b 3c，b2a2 2 2c∴b2 c2c2a2，c24a2，∴e 2．a(chǎn)故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是求出焦點(diǎn)到漸近線的距離，從而得出一個(gè)關(guān)于a,b,c的等式．16、【解析】試題分析：當(dāng)以時(shí)，，則，則，所以切線方程為．又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以 ，所，即 ．【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性、解析式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義【知識(shí)拓展】本題題型可歸納為“已知當(dāng)

時(shí)，函數(shù) ，則當(dāng)

時(shí)，求函數(shù)的解析式”．有如下結(jié)論：若函數(shù) 為偶函數(shù)則當(dāng)

若 為奇函數(shù)則函數(shù)的解析式為 ．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（1）x24

y21

x2

y2

13（）OROS425【解析】依題意，得a2ec

3，由此能求出橢圓C的方程.3M

a 2軸對(duì)稱，設(shè)

Mx,

，Nx,

0MCy

x1 1，x1 1 1 1 1 1 4由T，知TMTNx

2,

x

2,

5x

81T的方程.1 1 1

1 41 5 5y y0

xy xy

x,y

，則直線MP的方程為：

y

1 xx

，令y0，得x

10 0

，同理：0 0xy xy

0 xx 00 1

R y y0 10x 100R y y0

1，由此能證明OROSx x xR S R

x 4為定值.S【詳解】3依題意，得a2，ec ，3a 243c 3,b 143C

x y21.242MNxMx

，Nx,

0，1 1 1 1 121由于點(diǎn)M在橢圓C上，所以y21x ，211 4由T，則TMx1

2,y1

,TNx1

2,y，1 TMTNx1

2,y1

x1

2,y1 x2x1

22y1

x1

221 1 45x24x

35

8xx

1.4 1 1

41 5 52x1

2，

8

TMTN的最小值為1

3，故M8,3， 1 5 5 1 5 5 513又點(diǎn)M在圓T上，代入圓的方程得到r2 .25故圓T的方程為：x22y

1325Px,

MP

y

yy 0

xx，0 0xyxy

0 xx 00 10xyxy00令y0，得x 0R

10 1，同理：x y y S0 1

10 1.y y0 1x2y2x2y20故xx 0R S

1 0 1y2 y20 1MP在橢圓上，x0

4y0

,x241

1y1

，代入上式得：xx

41y2 1

y240

y0

y1

4

2y21

4，R S y0

2y21

y2y20 1所以O(shè)ROSx x xR S

x 4S【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、圓的軌跡方程、直線與橢圓的位置關(guān)系中定值問(wèn)題，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.18、證明見(jiàn)解析【解析】已知兩個(gè)三角形有公共角P,一組相等角結(jié)合平面幾何的知識(shí)證得即可.【詳解】AEAC，所以AOC，又因?yàn)镃DEPPFD,AOCPPCO，所以．PDFPOCPDF~POC.【點(diǎn)睛】屬于基礎(chǔ)題.19（1）m5（2）見(jiàn)解析【解析】fx的最大值.由（1）a5“1的代換的方法，結(jié)合基.【詳解】（1）f(x)x3||x2x3)(x2)|5(x3)(x2)0當(dāng)且僅當(dāng)x3x2

即x2時(shí)等號(hào)成立，所以m5（2）由（1）a5.法1：由柯西不等式得

1

2 3 ( a)2( 2b)2( )2

)2a

)2b

)2c a1a( a1a

2b2b3c2b2b3c3

(123)236當(dāng)且僅當(dāng)abc

5時(shí)等號(hào)成立，6即512336，所以12336 .a b c

a b c 5 2：由a5a5 5 5

1，123123a2ba b c a b c5 5 5 12a46c3a6b95 5a 5a 5 5c 5c 5142b2a3a6c6b5 5a 5a 5c 5c 14461236，5 5 5 5 5當(dāng)且僅當(dāng)abc【點(diǎn)睛】

5時(shí)“=”成立.620（1）單調(diào)遞減區(qū)間為(,0)(0,，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間證明見(jiàn)解析【解析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷單調(diào)性， ln(x1)f(xln(x1)ln

ex1

hx)

ln(x1)h(x)xex1，x即證.【詳解】（）函數(shù)f(x)

x ex1 xx 定義域?yàn)?,0) (0,)，ex1ex(1x)1則f(x)

gxex(1x1(x0)gxxex，ex12x0g(x)0g(xx0g(x)0g(x)單調(diào)遞增；g(x)g(0)0x0，f(x)0，x0，f(x的單調(diào)遞減區(qū)間為(,0)(0,，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間.（2）證明ln(x1)f(x)，即為ln(x1) x ，x x ex1 x 1nex

ex11因?yàn)?ex1 ex

，1 ex1 ln(x1)

ex11，x ex1ln(x1)

x x1)令hx)g(x)

x ，則hx)x1x2x ln(x1)gx

，1 1 x ，x1

(x

x1 (x1)2x0g(x)0g(x)在(0,上單調(diào)遞減，g(x)g(0)0x0，h(x0在(0,上恒成立，h(x在(0,上單調(diào)遞減，所以要證原不等式成立，只需證當(dāng)x0時(shí)，xex1，m(xexx1x0mx)exm(x)m(0)0xex1，

1，可知m(x0x0恒成立， 故hxh1ln(x1)ln

ex11，故原不等式得證.【點(diǎn)睛】

x ex1本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)