2021-2022年高中數(shù)學第一章空間幾何體3.1柱體錐體臺體的表面積與體積3課件新人教版必修2202202262317

人教版必修2第一章空間幾何體1.3空間幾何體的表面積與體積1.3.1柱體、錐體、臺體的表面積與體積初中，我們已經(jīng)學習了正方體和長方體的表面積，以及它們的展開圖與表面積的關(guān)系，即展開的平面圖形的面積等于其表面積，因此可以通過它們的平面展開圖來求幾何體的表面積．根據(jù)柱、錐、臺體的結(jié)構(gòu)特征，我們也可以利用它們的平面展開圖計算它們的表面積．完成下列練習為求新知打下基礎：優(yōu)效預習1．棱長為a的正方體表面積為__________.2．長、寬、高分別為a、b、c的長方體，其表面積為__________________．3．長方體、正方體的側(cè)面展開圖為__________．4．圓柱的側(cè)面展開圖為__________．5．圓錐的側(cè)面展開圖為__________．6a22(ab＋bc＋ac)矩形矩形扇形1．柱體的表面積(1)側(cè)面展開圖：棱柱的側(cè)面展開圖是____________，一邊是棱柱的側(cè)棱，另一邊等于棱柱的__________，如圖①所示；圓柱的側(cè)面展開圖是__________，其中一邊是圓柱的母線，另一邊等于圓柱的底面周長，如圖②所示．平行四邊形底面周長矩形新知導入(2)面積：柱體的表面積S表＝S側(cè)＋2S底．特別地，圓柱的底面半徑為r，母線長為l，則圓柱的側(cè)面積S側(cè)＝__________，表面積S表＝______________．[名師點撥]表面積是幾何體表面的面積，它表示幾何體表面的大小，常把多面體展開成平面圖形，利用平面圖形求多面體的表面積，側(cè)面積是指側(cè)面的面積，與表面積不同．一般地，表面積＝側(cè)面積＋底面積．2πrl2πr(r＋l)2．錐體的表面積(1)側(cè)面展開圖：棱錐的側(cè)面展開圖是由若干個________拼成的，則側(cè)面積為各個三角形面積的_______，如圖①所示；圓錐的側(cè)面展開圖是_______，扇形的半徑是圓錐的_______，扇形的弧長等于圓錐的__________，如圖②所示．三角形和扇形母線底面周長(2)面積：錐體的表面積S表＝S側(cè)＋S底．特別地，圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則圓錐的側(cè)面積S側(cè)＝__________，表面積S表＝______________．πrlπr(l＋r)3．臺體的表面積(1)側(cè)面展開圖：棱臺的側(cè)面展開圖是由若干個__________拼接而成的，則側(cè)面積為各個梯形面積的__________，如圖①所示；圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，其側(cè)面積可由大扇形的面積減去小扇形的面積而得到，如圖②所示．梯形和(2)面積：臺體的表面積S表＝S側(cè)＋S上底＋S下底．特別地，圓臺的上、下底面半徑分別為r′，r，母線長為l，則側(cè)面積S側(cè)＝____________，表面積S表＝______________________．π(r＋r′)lπ(r2＋r′2＋rl＋r′l)1．一個棱柱的側(cè)面展開圖是三個全等的矩形，矩形的長和寬分別為6cm,4cm，則該棱柱的側(cè)面積為________.[答案]

72cm2[解析]

棱柱的側(cè)面積S側(cè)＝3×6×4＝72(cm2)．預習自測2．圓柱OO′的底面直徑為4，母線長為6，則該圓柱的側(cè)面積為________，表面積為________.[答案]

24π

32π[解析]

由已知得圓柱OO′的底面半徑為2，則其側(cè)面積S側(cè)＝2πrl＝2×π×2×6＝24π，表面積S表＝2πr(r＋l)＝2π×2×(2＋6)＝32π.3．已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體S－ABC(即正四面體S－ABC)，則其表面積為________.4．一個圓錐的軸截面為邊長為a的正三角形，則其表面積為________.規(guī)律總結(jié)：不要試圖去總結(jié)、記憶幾何體的表面積公式，而應該理解它是通過求各個面的面積的和而獲得的．5．圓臺的上、下底面半徑分別為3和4，母線長為6，則其表面積等于(

)A．72

B．42πC．67π D．72π[答案]

C[解析]

S表＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π.在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，∠BB1C1＝90°，側(cè)棱長為b，則其側(cè)面積為(

)[探究]棱柱的側(cè)面積等于各側(cè)面面積之和．高效課堂探究一.柱體的表面積[答案]

C規(guī)律總結(jié)：求柱體表面積的方法(1)直棱柱的側(cè)面積等于它的底面周長和高的乘積；表面積等于它的側(cè)面積與上、下兩個底面的面積之和．(2)求斜棱柱的側(cè)面積一般有兩種方法：一是定義法；二是公式法．所謂定義法就是利用側(cè)面積為各側(cè)面面積之和來求，公式法即直接用公式求解．(3)求圓柱的側(cè)面積只需利用公式即可求解．圓柱的側(cè)面展開圖是鄰邊長分別為6π和4π的矩形，則圓柱的表面積為(

)A．6π(4π＋3)B．8π(3π＋1)C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)[答案]

C跟蹤訓練[解析]

圓柱的側(cè)面積S側(cè)＝6π×4π＝24π2.由于圓柱的底面周長和母線長不明確，因此進行分類討論：①長為6π的邊為母線時，4π為圓柱的底面周長，則2πr＝4π，即r＝2，∴S底＝4π，∴S表＝S側(cè)＋2S底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)；②長為4π的邊為母線時，6π為圓柱的底面周長，則2πr＝6π，即r＝3.∴S底＝9π，∴S表＝S側(cè)＋2S底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)．(2)已知棱長均為5，底面為正方形的四棱錐S－ABCD，如圖，求它的側(cè)面積、表面積．探究二、錐體的表面積[探究]

(1)若圓錐的軸截面是等邊三角形，則母線長與底面半徑存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？(2)求棱錐的側(cè)面積和表面積的關(guān)鍵點是什么？[答案]

(1)A

(2)見解析規(guī)律總結(jié)：(1)求棱錐側(cè)面積的一般方法：定義法．(2)求圓錐側(cè)面積的一般方法：公式法：S側(cè)＝πrl.已知一個四棱錐底面為正方形且頂點在底面正方形射影為底面正方形的中心(正四棱錐)，底面正方形的邊長為4cm，高與斜高的夾角為30°，如圖所示，求正四棱錐的側(cè)面積和表面積(單位：cm2)．[分析]

利用正棱錐的高、斜高、底面邊心距組成的直角三角形求解，然后代入公式．跟蹤訓練圓臺的上、下底面半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角是180°，那么圓臺的表面積是多少？(結(jié)果中保留π)[探究]

(1)扇環(huán)的面積公式是什么？(2)圓臺的母線如何去求？探究三、臺體的表面積規(guī)律總結(jié)：(1)注意展開前后有關(guān)數(shù)學量的變與不變，是解決此類問題的突破口．(2)本題還可直接利用圓錐或圓臺的側(cè)面展開圖圓心角公式求解．[答案]

A跟蹤訓練規(guī)律總結(jié)：在正四棱臺中有兩個直角梯形值得注意：一是O1OMM1，二是O1OBB1.它們都可以轉(zhuǎn)化成直角三角形，利用三角形知識求解．(1)求棱臺側(cè)面積的一般方法：定義法．(2)求圓臺側(cè)面積的一般方法：公式法S側(cè)＝π(r＋r′)l.若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖1，則其表面積等于________.探究四、由三視圖求幾何體的表面積(2011·安徽高考)一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(

)[答案]

C跟蹤訓練易錯點對幾何體的表面積理解不全面誤區(qū)警示[錯因分析]

挖去圓錐的幾何體的表面少了一個半徑為a的圓，但同時增加了一個圓錐的側(cè)面，而上述解法未考慮到增加的部分．(2015·滄州市高三復習質(zhì)量檢測)一個空間幾何體的三視圖及其相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則這個空間幾何體的表面積是(

)[答案]

A針對訓練1．棱長為3的正方體的表面積為(

)A．27

B．64

C．54

D．36[答案]

C[解析]

根據(jù)表面積的定義，組成正方體的表面共6個，且每個都是邊長為3的正方形．從而，其表面積為6×32＝54.當堂檢測[答案]

A3．圓錐的母線長為5，底面半徑為3，則其側(cè)面積等于(

)A．15

B．15π

C．24π

D．30π[答案]

B[解析]

S側(cè)＝πrl＝π×3×5＝15π.[答案]

A5．如圖所示，圓臺的上、下底半徑和高的比為144，母線長為10，則圓臺的側(cè)面積為(

)A．81π B．100πC．14π D．169π[答案]

B[解析]

圓臺的軸截面如圖，設上底半徑為r，則下底半徑為4r，高為4r.因為母線長為10，所以在軸截面等腰