數(shù)學的發(fā)展歷史課件

數(shù)學發(fā)展簡史數(shù)學發(fā)展簡史1數(shù)學發(fā)展史大致可以分為四個階段

一、數(shù)學起源時期二、初等數(shù)學時期

三、近代數(shù)學時期四、現(xiàn)代數(shù)學時期數(shù)學發(fā)展史大致可以分為四個階段2一、數(shù)學起源時期

（遠古(4000年前)——公元前5世紀）

這一時期：建立自然數(shù)的概念；認識簡單的幾何圖形；算術與幾何尚未分開。一、數(shù)學起源時期3數(shù)學起源于四個“河谷文明”地域

非洲的尼羅河---埃及：幾何的故鄉(xiāng)西亞的底格里斯河與幼發(fā)拉底河：巴比倫---代數(shù)的源頭；中南亞的印度河與恒河---印度：阿拉伯數(shù)字的誕生地東亞的黃河與長江----中國

文明程度的主要標志之一就是數(shù)學的萌芽數(shù)學起源于四個“河谷文明”地域非洲的尼羅河---埃及：幾4記數(shù)刻痕記數(shù)是人類最早的數(shù)學活動，考古發(fā)現(xiàn)有3萬年前的狼骨上的刻痕。古埃及的象形數(shù)字出現(xiàn)在約公元前3400年；巴比倫的楔形數(shù)字出現(xiàn)在約公元前2400年；中國的甲骨文數(shù)字出現(xiàn)在約公元前1600年。古埃及的紙草書和羊皮書及巴比倫的泥板文書記載了早期數(shù)學的內(nèi)容，年代可以追溯到公元前2000年，其中甚至有“整勾股數(shù)”及二次方程求解的記錄。記數(shù)刻痕記數(shù)是人類最早的數(shù)學活動，考古發(fā)現(xiàn)有3萬年前的狼骨上5數(shù)學的發(fā)展歷史課件6萊茵德紙草書(1650B.C.)萊茵德紙草書(1650B.C.)7莫斯科紙草書莫斯科紙草書8古巴比倫的“記事泥板”中關于

“整勾股數(shù)”的記載”

（馬其頓，1988年）20世紀在兩河流域有約50萬塊泥版文書出土，其中300多塊與數(shù)學有關（約公元前1000年）

（文達，1982年）古巴比倫的“記事泥板”中關于

“整勾股數(shù)”的記載”（約公元前9數(shù)學的發(fā)展歷史課件10西安半坡遺址中國西安半坡遺址反映的是約公元前6000年的人類活動，那里出土的彩陶上有多種幾何圖形，包括平行線、三角形、圓、長方形、菱形等。西安半坡遺址中國西安半坡遺址反映的是約公元前6000年的人類11數(shù)學的發(fā)展歷史課件12數(shù)學的發(fā)展歷史課件13埃及—幾何的故鄉(xiāng)

公元前20~17世紀，埃及已經(jīng)積累了豐富的數(shù)學知識，其中包括算術（乘除法、分數(shù)）、幾何、三角，以及有關一元一次方程、一元二次方程的求解問題、關于谷倉容積的測定、關于金字塔斜面傾角的計算等等。他們能求出長方形、三角形、梯形和圓形的面積，其中圓周率求至3.16。埃及—幾何的故鄉(xiāng)公元前20~17世紀，埃及已經(jīng)積14巴比倫—代數(shù)的源頭會開平方、開立方，并有平方、平方根、立方和立方根表．知道二次方程的求根公式,知道了勾股定理，能測量不規(guī)則形面積和截頂角錐體的體積，并推算出圓周率的近似值為。印度—阿拉伯數(shù)字的誕生地印度數(shù)學的發(fā)展晚于埃及、巴比倫、希臘和中國．印度人的特殊貢獻有：阿拉伯數(shù)字是印度人的發(fā)現(xiàn)，他們大約在公元前4世紀就開始使用這種數(shù)字，直到公元8世紀才傳入阿拉伯國家，后經(jīng)阿拉伯人傳入歐洲．用符號“0”表示零是印度人的一大發(fā)明．巴比倫—代數(shù)的源頭印度—阿拉伯數(shù)字的誕生地15中國的《周髀算經(jīng)》（公元前200年成書）宋刻本《周髀算經(jīng)》，

（西周，前1100年）（上海圖書館藏）《周髀算經(jīng)》中關于勾股定理的記載中國的《周髀算經(jīng)》（公元前200年成書）宋刻本《周髀算經(jīng)》，16

二、初等數(shù)學時期

（前6世紀——公元16世紀）

也稱常量數(shù)學時期，這期間逐漸形成了初等數(shù)學的主要分支：算術、幾何、代數(shù)、三角。該時期的基本成果，構成現(xiàn)在中學數(shù)學的主要內(nèi)容。這一時期按照地域又分為三個階段：古希臘；東方；歐洲文藝復興。二、初等數(shù)學時期171．古希臘（前6世紀——公元6世紀）

在公元前7~5世紀的古希臘，數(shù)學知識是從埃及傳到那里的。古希臘最早的數(shù)學家可能是泰利斯。據(jù)說他提出并證明了下列幾何學基本命題：圓為它的任一直徑所平分；半圓的圓周角是直角；等腰三角形兩底角相等；相似三角形的各對應邊成比例；若兩三角形兩角和一邊對應相等則兩三角形全等。幾何的系統(tǒng)論述出現(xiàn)在公元前5世紀，德謨克利特提出了對于他那個時代相當深刻的、包含積分萌芽思想的一些論斷。不可公度線段的發(fā)現(xiàn)及隨之建立起來的不可公度比的理論，是希臘數(shù)學的巨大成就。這種邏輯構造方法，顯然超出了經(jīng)驗知識的范圍，是純數(shù)學最后定形的標志。1．古希臘（前6世紀——公元6世紀）18古希臘人對數(shù)學似乎有特別大的興趣，尤其是在幾何學方面。這在一定程度上應當歸功于畢達哥拉斯派和柏拉圖，他們都是數(shù)學的崇拜者和鼓吹者。據(jù)說柏拉圖在他所創(chuàng)辦的學園的門口上寫著：“不懂幾何學者不得入內(nèi)”。據(jù)說，歐幾里得幾何學中關于平行線、三角形、多邊形、圓、球和正多面體的許多定理，實際上都是畢達哥拉斯派的成果。公元前5世紀，在希臘曾存在過一個被稱為智者派的哲學派別，他們之中有一些數(shù)學家提出了三個著名的幾何作圖難題：即只用圓規(guī)和直尺，（1）作一正方形使其面積等于一已知圓的面積；（2）作一立方體使其體積等于一已知立方體的兩倍；（3）三等分一任意角。

古希臘人對數(shù)學似乎有特別大的興趣，尤其是在幾何學方面。公元19畢達哥拉斯(公元前580年～公元前500年)“萬物皆數(shù)”畢達哥拉斯(公元前580年～公元前500年)“萬物皆數(shù)”20TheSchoolofAthensbyRaphael這是“拉斐爾(意大利藝術大師（RaffaelloSanzio，1483-1520）)畫室”第二房間左面的壁畫“雅典的學院”（SchoolofAthens/Scolad’Atene），617×219cm，1510-1500年完成；它在上面那幅壁畫“圣事爭論”的對面；畫面以表現(xiàn)古代雅典柏拉圖的學苑（Academy/Academia）為背景，將地中海沿岸各國的古今著名學者熔于一爐；學者們的姿態(tài)以當時的“七藝”（語法、修辭、邏輯、數(shù)學、幾何、音樂和天文）而各具情態(tài)。背景大廳兩側的壁龕雕塑，左面是阿波羅，右面是雅典娜。TheSchoolofAthensbyRaphae21柏拉圖與亞里士多德倡導邏輯演繹的結構柏拉圖與22歐幾里得五條公理

1.等于同量的量彼此相等；2.等量加等量，其和相等；3.等量減等量，其差相等；4.彼此能重合的物體是全等的；5.整體大于部分。五條公設

1.過兩點能作且只能作一直線；2.線段(有限直線)可以無限地延長；3.以任一點為圓心,任意長為半徑,可作一圓；4.凡是直角都相等；5.同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側的兩個內(nèi)角之和小于180°，則這兩條直線經(jīng)無限延長后在這一側一定相交。(Euclid,公元前330年～前275年)歐幾里得五條公理(Euclid,公元前330年～前27523各卷簡介

第一卷：幾何基礎。重點內(nèi)容有三角形全等的條件，三角形邊和角的大小關系，平行線理論，三角形和多角形等積（面積相等）的條件，第一卷最后兩個命題是畢達哥拉斯定理的正逆定理；

第二卷：幾何與代數(shù)。講如何把三角形變成等積的正方形；其中12、13命題相當于余弦定理。

第三卷：本卷闡述圓，弦，切線，割線，圓心角，圓周角的一些定理。

第四卷：討論圓內(nèi)接和外切多邊形的做法和性質(zhì)；

第五卷：討論比例理論，多數(shù)是繼承自歐多克斯的比例理論,被認為是"最重要的數(shù)學杰作之一"

第六卷：講相似多邊形理論，并以此闡述了比例的性質(zhì)。

第五、第七、第八、第九、第十卷：講述比例和算術的理論；第十卷是篇幅最大的一卷，主要討論無理量（與給定的量不可通約的量），其中第一命題是極限思想的雛形。

第十一卷、十二、十三卷：最后講述立體幾何的內(nèi)容.中學的數(shù)學全部包括于此各卷簡介中學的數(shù)學全部包括于此24阿波羅尼奧斯（約公元前262－前190）

《圓錐曲線論》阿波羅尼奧斯（約公元前262－前190）《圓錐曲線論》25托勒密丟番圖三角學不定方程托勒密丟番圖三角學不定方程26《砂粒計算》是專講計算方法和計算理論的一本著作。阿基米德要計算充滿宇宙大球體內(nèi)的砂粒數(shù)量，他運用了很奇特的想象，建立了新的量級計數(shù)法，確定了新單位，提出了表示任何大數(shù)量的模式，這與對數(shù)運算是密切相關的?！肚蚺c圓柱》熟練地運用窮竭法證明了球的表面積等于球大圓面積的四倍；球的體積是一個圓錐體積的四倍，這個圓錐的底等于球的大圓，高等于球的半徑。阿基米德還指出，如果等邊圓柱中有一個內(nèi)切球，則圓柱的全面積和它的體積，分別為球表面積和體積的1.5倍?！秷A的度量》，利用圓的外切與內(nèi)接96邊形，求得圓周率π為：22/7>π>223/71，這是數(shù)學史上最早的，明確指出誤差限度的π值。他還證明了圓面積等于以圓周長為底、半徑為高的等腰三角形的面積（使用的是窮竭法）。

阿基米德《砂粒計算》是專講計算方法和計算理論的一本著作。阿基米德要計27《拋物線求積法》研究了曲線圖形求積的問題，并用窮竭法建立了這樣的結論：“任何由直線和直角圓錐體的截面所包圍的弓形（即拋物線），其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四?！彼€用力學權重方法再次驗證這個結論，使數(shù)學與力學成功地結合起來?！墩撀菥€》是阿基米德對數(shù)學的出色貢獻。他明確了螺線的定義，以及對螺線的面積的計算方法。在同一著作中，阿基米德還導出幾何級數(shù)和算術級數(shù)求和的幾何方法?！镀矫娴钠胶狻肥顷P于力學的最早的科學論著，講的是確定平面圖形和立體圖形的重心問題?！陡◇w》，是流體靜力學的第一部專著，阿基米德把數(shù)學推理成功地運用于分析浮體的平衡上，并用數(shù)學公式表示浮體平衡的規(guī)律?！墩撳F型體與球型體》講的是確定由拋物線和雙曲線其軸旋轉而成的錐型體體積，以及橢圓繞其長軸和短軸旋轉而成的球型體的體積。

阿基米德的理論為幾何和微積分的開創(chuàng)寫下了不可磨滅的一章《拋物線求積法》研究了曲線圖形求積的問題，并用窮竭法建立了這28阿基米德的墓碑上刻的圖阿基米德的墓碑上刻的圖29此后是千余年的停滯隨著希臘科學的終結，在歐洲出現(xiàn)了科學蕭條，數(shù)學發(fā)展的中心移到了印度、中亞細亞和阿拉伯國家．在這些地方從5世紀到15世紀的一千年中間，數(shù)學主要由于計算的需要而發(fā)展．印度人發(fā)明了現(xiàn)代記數(shù)法（后來傳到阿拉伯，從發(fā)掘出的材料看，中國是使用十進制最早的國家），引進了負數(shù)．到了16世紀，歐洲文藝復興時代，歐洲人向阿拉伯學習，并根據(jù)阿拉伯文的翻譯熟識了希臘科學，從阿拉伯沿襲過來的印度記數(shù)法逐漸在歐洲確定下來，歐洲科學終于越過了先人的成就．此后是千余年的停滯隨著希臘科學的終結，在歐洲出現(xiàn)了科學蕭條，302．東方（公元2世紀——15世紀）中國：西漢（前2世紀）—宋元時期（公元10世紀—14世紀）印度：公元8世紀—12世紀阿拉伯國家：公元8世紀—15世紀2．東方（公元2世紀——15世紀）中國：西漢（前2世紀）—311）中國西漢（前2世紀）

——《周髀算經(jīng)》、《九章算術》

魏晉南北朝（公元3世紀——5世紀）——劉徽、祖沖之出入相補原理，割圓術，算

1）中國32

《九章算術》是我國第一部最重要的數(shù)學專著，大約成書于東漢初期（公元1世紀）。書中載有246個應用題目的解法，涉及算術、初等代數(shù)、初等幾何等多方面的內(nèi)容。其中所載述的分數(shù)四則運算、比例算法、用勾股定理解決一些測量中的問題等，都是當時世界最高水平的工作。關于負數(shù)的概念和正負數(shù)加減法則的記載是世界上最早的。書中還講述了開平方、開立方、一元二次方程的數(shù)值解法、聯(lián)立一次方程解法等許多問題?！毒耪滤阈g》是我國第一部最重要的數(shù)學專著，大約成書33“中國古代數(shù)學第一人”劉徽（約公元3世紀）割圓術“中國古代數(shù)學第一人”劉徽（約公元3世紀）割圓術34第24屆“國際數(shù)學家大會”（ICM）

InternationalCongressofMathematicians

第24屆“國際數(shù)學家大會”（ICM）

Internation35為2002北京“國際數(shù)學家大會”發(fā)行的

紀念郵資明信片JP108為2002北京“國際數(shù)學家大會”發(fā)行的

紀念郵資明信片JP36該會標的涵義？該會標的涵義？37第24屆“國際數(shù)學家大會”會標宋刻本《周髀算經(jīng)》，（上海圖書館藏）第24屆“國際數(shù)學家大會”會標宋刻本《周髀算經(jīng)》，38《周髀算經(jīng)》中的“勾股定理”

（約公元前700年）

《周髀算經(jīng)》卷上記載西周開國時期周公與大夫商高討論勾股測量的對話，商高答周公問時提到“勾廣三股修四經(jīng)隅五”，這是勾股定理的特例。卷上另一處敘述周公后人榮方與陳子（約公元前6、7世紀）的對話中，則包含了勾股定理的一般形式：“……以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日?！薄吨荀滤憬?jīng)》中的“勾股定理”

（約公元前700年）

39中國數(shù)學史上最先完成

勾股定理的證明趙爽(東漢末至三國時代,生平不詳，約生活于公元3世紀)研究過張衡的天文學著作《靈憲》和劉洪的《乾象歷》，也提到過“算術”。他的主要貢獻是約在222年深入研究了《周牌算經(jīng)》，為該書寫了序言，并作了詳細注釋。其中一段530余字的“勾股圓方圖”注文是數(shù)學史上極有價值的文獻。其中的弦圖相當于運用面積的“出入相補”方法，證明了勾股定理。中國數(shù)學史上最先完成

勾股定理的證明趙爽(東漢末40勾股定理將勾股定理表述為：“勾股各自乘，并之，為弦實。開方除之，即弦。”證明方法敘述為：“按弦圖，又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差自相乘為中黃實，加差實，亦成弦實?！惫垂啥ɡ韺⒐垂啥ɡ肀硎鰹椋骸肮垂筛髯猿?，并之，為弦實。開方除41數(shù)學的發(fā)展歷史課件42祖沖之（公元429-500年）祖沖之（公元429-500年）43

宋元時期（公元10世紀——14世紀）

宋元四大家——李冶（1192～1279）、秦九韶（約1202～約1261）、楊輝（13世紀下半葉）、朱世杰（13世紀末～14世紀初）天元術、正負開方術——高次方程數(shù)值求解；大衍總數(shù)術——一次同余式組求解宋元時期（公元10世紀——14世44楊輝楊輝45秦九韶程序秦九韶程序是中國南宋時期的數(shù)學家秦九韶最先提出的一種解一元高次方程的算法-正負開方術。后來在西方被十九世紀初英國數(shù)學家威廉·霍納重新發(fā)現(xiàn)，被稱作霍納算法?；艏{在1819年發(fā)表《解所有次方程》論文，被評為“必使發(fā)明人因為發(fā)現(xiàn)此算法而置身于重要發(fā)明家之列”。秦九韶程序秦九韶程序是中國南宋時期的數(shù)學家秦九韶最先提出的一46秦九韶的《數(shù)書九章》“賈憲三角”，

卷一“大衍總數(shù)術”也稱“楊輝三角”秦九韶的《數(shù)書九章》“47朱世杰的《四元玉鑒》

四元高次方程組，（天、地、人、物——x、y、z、w）

（“天元基金”）朱世杰的《四元玉鑒》

四元高次方程組，（天、地、人、物——48

2）印度

現(xiàn)代記數(shù)法（公元8世紀）——印度數(shù)碼，有0，負數(shù)；十進制（后經(jīng)阿拉伯傳入歐洲，也稱阿拉伯記數(shù)法）數(shù)學與天文學交織在一起阿耶波多——《阿耶波多歷數(shù)書》（公元499年）開創(chuàng)弧度制度量婆羅摩笈多——《婆羅摩修正體系》、《肯特卡迪亞格》代數(shù)成就可貴 婆什迦羅——《莉拉沃蒂》、《算法本源》（12世紀）算術、代數(shù)、組合學2）印度49

3）阿拉伯國家（公元8世紀——15世紀）

花拉子米——《代數(shù)學》（阿拉伯文《還原與對消計算概要》）曾長期作為歐洲的數(shù)學課本，“代數(shù)”一詞，即起源于此；阿拉伯語原意是“還原”，即“移項”；此后，代數(shù)學的內(nèi)容，主要是解方程。阿布爾．維法奧馬爾．海亞姆阿拉伯學者在吸收、融匯、保存古希臘、印度和中國數(shù)學成果的基礎上，又有他們自己的創(chuàng)造，使阿拉伯數(shù)學對歐洲文藝復興時期數(shù)學的崛起，作了很好的學術準備。

3）阿拉伯國家50花拉子米當時阿拉伯天文學家和數(shù)學家工作的情景花拉子米當時阿拉伯天文學家和數(shù)學家工作的情景51

3．歐洲文藝復興時期

（公元16世紀——17世紀初）

1）方程與符號

意大利－塔塔利亞、卡爾丹、費拉里

三次方程的求根公式法國－韋達

引入符號系統(tǒng)，代數(shù)成為獨立的學科

3．歐洲文藝復興時期52“算法家”與“算盤家”的比賽韋達“算法家”與“算盤家”的比賽韋53

2）透視與射影幾何

畫家－布努雷契、柯爾比、迪勒、達．芬奇數(shù)學家－阿爾貝蒂、德沙格、帕斯卡、拉伊爾

3）對數(shù)

簡化天文、航海方面煩雜計算，把乘除轉化為加減。

蘇格蘭數(shù)學家－納皮爾2）透視與射影幾何54中世紀油畫中世紀油畫55文藝復興時代的油畫文藝復興時代的油畫56英國畫家柯爾比<泰勒博士透視方法淺說>(1754)

卷首插圖（違反透視原理）英國畫家柯爾比<泰勒博士透視方法淺說>(1754)

卷首插圖57家庭手工業(yè)、作坊→工場手工業(yè)→機器大工業(yè)貿(mào)易及殖民地→航海業(yè)空前發(fā)展對運動和變化的研究成了自然科學的中心→→變量、函數(shù)

1.笛卡爾的坐標系（1637年《幾何學》）

恩格斯：“數(shù)學中的轉折點是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了……”三、近代數(shù)學時期：變量數(shù)學

（公元17世紀——19世紀初）

家庭手工業(yè)、作坊→工場手工業(yè)→機器大工業(yè)三、近代58<幾何學>(1637)笛卡爾(R.Descartes,1596-1650)<幾何學>(1637)笛卡爾(R.Descartes,1559解析幾何是代數(shù)與幾何相結合的產(chǎn)物在《幾何學》里，笛卡爾給出了解析幾何原理，這就是利用坐標方法把具有兩個未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成平面上的一條曲線。解析幾何給出了回答如下問題的途徑：（1）通過計算來解決曲線作圖的幾何問題；（2）求給定某種幾何性質(zhì)的曲線的方程；（3）利用代數(shù)方法證明新的幾何定理；（4）反過來，從幾何的觀點來看代數(shù)方程。因此，解析幾何是代數(shù)與幾何相結合的產(chǎn)物，在采用坐標方法的同時，用代數(shù)方法研究幾何對象。在笛卡爾之前，從古希臘起在數(shù)學中占優(yōu)勢地位的是幾何學；解析幾何則使代數(shù)獲得更廣的意義和更高的地位。解析幾何是代數(shù)與幾何相結合的產(chǎn)物在《幾何學》里，笛卡爾給出了60２．牛頓和萊布尼茲的微積分

（17世紀后半期）

到了十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力。２．牛頓和萊布尼茲的微積分

（17世紀后半期）61

十七世紀的許多著名的數(shù)學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻。十七世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國大科學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題(積分學的中心問題)。牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側重于幾何學來考慮的。

62牛頓的一項被廣泛認可的成就是廣義二項式定理，它適用于任何冪。他發(fā)現(xiàn)了牛頓恒等式、牛頓法，分類了立方面曲線（兩變量的三次多項式），為有限差理論作出了重大貢獻，并首次使用了分式指數(shù)和坐標幾何學得到丟番圖方程的解。他用對數(shù)趨近了調(diào)和級數(shù)的部分和（這是歐拉求和公式的一個先驅），并首次有把握地使用冪級數(shù)和反轉（revert）冪級數(shù)。他還發(fā)現(xiàn)了π的一個新公式。牛頓：IsaacNewton牛頓的一項被廣泛認可的成就是廣義二項式定理，它適用于任何冪。63萊布尼茨曾討論過負數(shù)和復數(shù)的性質(zhì)，得出復數(shù)的對數(shù)并不存在，共扼復數(shù)的和是實數(shù)的結論。在后來的研究中，萊布尼茨證明了自己結論是正確的。他還對線性方程組進行研究，對消元法從理論上進行了探討，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理論，此外，萊布尼茨還創(chuàng)立了符號邏輯學的基本概念。萊布尼茨(GottfriendWilhelmLeibniz，1646-1716)萊布尼茨曾討論過負數(shù)和復數(shù)的性質(zhì)，得出復數(shù)的對數(shù)并不存在，共64數(shù)學方法的轉變幾何方法解析方法數(shù)學方法的轉變幾何方法解析方法65３．微分方程、變分法、微分幾何、

復變函數(shù)、概率論微分方程論研究的是這樣一種方程，方程中的未知項不是數(shù)，而是函數(shù)。變分法研究的是這樣一種極值問題，所求的極值不是點或數(shù)，而是函數(shù)。微分幾何是關于曲線和曲面的一般理論。與微分幾何相聯(lián)系的解析幾何在18世紀也有長足的發(fā)展，被推廣到三維情形，并突破了笛卡爾當年解析幾何僅僅作為求解幾何問題的代數(shù)技巧的界限。微積分及其中變量、函數(shù)和極限等概念，運動、變化等思想，使辯證法滲入了全部數(shù)學；并使數(shù)學成為精確地表述自然科學和技術的規(guī)律及有效地解決問題的得力工具。３．微分方程、變分法、微分幾何、

復變函數(shù)、概率論微分方程論66萊昂哈德——歐拉：

他對微分方程理論作出了重要貢獻。他還是歐拉近似法的創(chuàng)始人，這些計算法被用于計算力學中。此中最有名的被稱為歐拉方法。在數(shù)論里他引入了歐拉函數(shù)。自然數(shù)的歐拉函數(shù)被定義為小于并且與互質(zhì)的自然數(shù)的個數(shù)。例如，，因為有四個自然數(shù)1，3，5和7與8互質(zhì)。在分析領域，是歐拉綜合了萊布尼茲的微分與牛頓的流數(shù)。他在1735年由于解決了長期懸而未決的貝塞爾問題而獲得名聲：其中是黎曼函數(shù)。歐拉將虛數(shù)的冪定義為如下公式:這就是歐拉公式，它成為指數(shù)函數(shù)的中心。在初等分析中，從本質(zhì)上來說，要么是指數(shù)函數(shù)的變種，要么是多項式，兩者必居其一。被理查德·費曼稱為“最卓越的數(shù)學公'”的則是歐拉公式的一個簡單推論（通常被稱為歐拉恒等式）：在1735年，他定義了微分方程中有用的歐拉-馬歇羅尼常數(shù)：他是歐拉-馬歇羅尼公式的發(fā)現(xiàn)者之一，這一公式在計算難于計算的積分、求和與級數(shù)的時候極為有效。萊昂哈德——歐拉：他對微分方程理論作出了重67歐洲最大的數(shù)學家---約瑟夫·拉格朗日

近百余年來，數(shù)學領域的許多新成就都可以直接或間接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在數(shù)學史上被認為是對分析數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生全面影響的數(shù)學家之一。被譽為“歐洲最大的數(shù)學家”。歐洲最大的數(shù)學家---約瑟夫·拉格朗日68約瑟夫·拉格朗日：方程解法在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量時間花在代數(shù)方程和超越方程的解法上，作出了有價值的貢獻，推動了代數(shù)學的發(fā)展。他提交給柏林科學院兩篇著名的論文：《關于解數(shù)值方程》和《關于方程的代數(shù)解法的研究》。把前人解三、四次代數(shù)方程的各種解法，總結為一套標準方法，即把方程化為低一次的方程(稱輔助方程或預解式)以求解。置換群他試圖尋找五次方程的預解函數(shù)，希望這個函數(shù)是低于五次的方程的解，但未獲得成功。然而，他的思想已蘊含著置換群概念，對后來阿貝爾和伽羅華起到啟發(fā)性作用，最終解決了高于四次的一般方程為何不能用代數(shù)方法求解的問題。因而也可以說拉格朗日是群論的先驅。數(shù)論在數(shù)論方面，拉格朗日也顯示出非凡的才能。他對費馬提出的許多問題作出了解答。如，一個正整數(shù)是不多于4個平方數(shù)的和的問題等等，他還證明了圓周率的無理性。這些研究成果豐富了數(shù)論的內(nèi)容。冪級數(shù)在《解析函數(shù)論》以及他早在1772年的一篇論文中，在為微積分奠定理論基礎方面作了獨特的嘗試，他企圖把微分運算歸結為代數(shù)運算，從而拋棄自牛頓以來一直令人困惑的無窮小量，并想由此出發(fā)建立全部分析學。但是由于他沒有考慮到無窮級數(shù)的收斂性問題，他自以為擺脫了極限概念，其實只是回避了極限概念，并沒有能達到他想使微積分代數(shù)化、嚴密化的目的。不過，他用冪級數(shù)表示函數(shù)的處理方法對分析學的發(fā)展產(chǎn)生了影響，成為實變函數(shù)論的起點。約瑟夫·拉格朗日：方程解法694．代數(shù)基本定理（1799年）這一時期代數(shù)學的主題仍然是代數(shù)方程。18世紀的最后一年，高斯的博士論文給出了具有重要意義的“代數(shù)基本定理”的第一個證明。該定理斷言，在復數(shù)范圍里，n次多項式方程有n個根。4．代數(shù)基本定理（1799年）這一時期代數(shù)學的主題仍然是代數(shù)70高斯（C.F.Gauss,1777-1855）18歲時發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)分布定理和最小二乘法。通過對足夠多的測量數(shù)據(jù)的處理后，可以得到一個新的、概率性質(zhì)的測量結果。在這些基礎之上，高斯隨后專注于曲面與曲線的計算，并成功得到高斯鐘形曲線（正態(tài)分布曲線）。其函數(shù)被命名為標準正態(tài)分布（或高斯分布），并在概率計算中大量使用。高斯的數(shù)學研究幾乎遍及所有領域，在數(shù)論、代數(shù)學、非歐幾何、復變函數(shù)和微分幾何等方面都做出了開創(chuàng)性的貢獻。高斯（C.F.Gauss,1777-1855）18歲時發(fā)現(xiàn)了71“分析”、“代數(shù)”、“幾何”三大分支在18世紀，由微積分、微分方程、變分法等構成的“分析”，已經(jīng)成為與代數(shù)、幾何并列的數(shù)學的三大學科，并且在這個世紀里，其繁榮程度遠遠超過了代數(shù)和幾何。

第三時期（近代數(shù)學時期）的基本結果，如解析幾何、微積分、微分方程，高等代數(shù)、概率論等，已成為高等學校數(shù)學教育的主要內(nèi)容?！胺治觥?、“代數(shù)”、“幾何”三大分支72

四、現(xiàn)代數(shù)學時期（19世紀20年代——）進一步劃分為三個階段：現(xiàn)代數(shù)學醞釀階段（1820——1870年）；現(xiàn)代數(shù)學形成階段（1870——1950年）；現(xiàn)代數(shù)學繁榮階段（1950——現(xiàn)在）。這一時期雖然還不到二百年的時間，內(nèi)容卻非常豐富，遠遠超過了過去所有數(shù)學的總和。

四、現(xiàn)代數(shù)學時期73現(xiàn)代數(shù)學時期（19世紀20年代——）

１．康托的“集合論”2．柯西、魏爾斯特拉斯等人的“數(shù)學分析”3．希爾伯特的“公理化體系”4．高斯、羅巴契夫斯基、波約爾、黎曼的“非歐幾何”5．伽羅瓦創(chuàng)立的“抽象代數(shù)”6．黎曼開創(chuàng)的“現(xiàn)代微分幾何”7．龐加萊創(chuàng)立的“拓撲學”8.其它：數(shù)論、隨機過程、數(shù)理邏輯、組合數(shù)學、計算數(shù)學、分形與混沌等等。

現(xiàn)代數(shù)學時期的結果，也成為高校數(shù)學、力學、物理學等學科數(shù)學教學的內(nèi)容，并被科技工作者所使用?，F(xiàn)代數(shù)學時期（19世紀20年代——）74柯西（1789-1857)柯西近代數(shù)學的領跑者柯西（1789-1857)柯西75單復變函數(shù)柯西最重要和最有首創(chuàng)性的工作是關于單復變函數(shù)論的。18世紀的數(shù)學家們采用過上、下限是虛數(shù)的定積分。但沒有給出明確的定義?？挛魇紫汝U明了有關概念，并且用這種積分來研究多種多樣的問題，如實定積分的計算，級數(shù)與無窮乘積的展開，用含參變量的積分表示微分方程的解等等。分析基礎柯西在綜合工科學校所授分析課程及有關教材給數(shù)學界造成了極大的影響。自從牛頓和萊布尼茨發(fā)明微積分(即無窮小分析，簡稱分析)以來，這門學科的理論基礎是模糊的。為了進一步發(fā)展，必須建立嚴格的理論?？挛鳛榇耸紫瘸晒Φ亟⒘藰O限論?？挛鳂O限論的功能設函數(shù)f(x)在點x。的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)ε（無論它多么?。?，總存在正數(shù)δ，使得當x滿足不等式0<|x-x。|<δ時，對應的函數(shù)值f(x)都滿足不等式：|f(x)-A|<ε那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當x→x。時的極限。常微分方程柯西在分析方面最深刻的貢獻在常微分方程領域。他首先證明了方程解的存在和唯一性。在他以前，沒有人提出過這種問題。通常認為是柯西提出的三種主要方法，即柯西－利普希茨法，逐漸逼近法和強級數(shù)法，實際上以前也散見到用于解的近似計算和估計?？挛鞯淖畲筘暙I就是看到通過計算強級數(shù)，可以證明逼近步驟收斂，其極限就是方程的所求解。單復變函數(shù)常微分方程76其他貢獻雖然柯西主要研究分析，但在數(shù)學中各領域都有貢獻。關于用到數(shù)學的其他學科，他在天文和光學方面的成果是次要的，可是他卻是數(shù)理彈性理論的奠基人之一。除以上所述外，他在數(shù)學中其他貢獻如下：1．分析方面：在一階偏微分方程論中行進丁特征線的基本概念；認識到傅立葉變換在解微分方程中的作用等等。2．幾何方面：開創(chuàng)了積分幾何，得到了把平面凸曲線的長用它在平面直線上一些正交投影表示出來的公式。3．代數(shù)方面：首先證明了階數(shù)超過了的矩陣有特征值；與比內(nèi)同時發(fā)現(xiàn)兩行列式相乘的公式，首先明確提出置換群概念，并得到群論中的一些非平凡的結果；獨立發(fā)現(xiàn)了所謂“代數(shù)要領”，即格拉斯曼的外代數(shù)原理。于是，現(xiàn)代數(shù)學開始形成……其他貢獻于是，現(xiàn)代數(shù)學開始形成……77康托爾(1845～1918)

魏爾斯特拉斯（1815-1897）康托爾(1845～1918)魏爾斯特拉斯（1815-18978希爾伯特D.(Hilbert,David，1862～1943)他的主要研究內(nèi)容有：不變量理論、代數(shù)數(shù)域理論、幾何基礎、積分方程、物理學、一般數(shù)學基礎，其間穿插的研究課題有：狄利克雷原理和變分法、華林問題、特征值問題、“希爾伯特空間”等。他于1900年8月8日在巴黎第二屆國際數(shù)學家大會上，提出了新世紀數(shù)學家應當努力解決的23個數(shù)學問題，被認為是20世紀數(shù)學的制高點，對這些問題的研究有力推動了20世紀數(shù)學的發(fā)展，在世界上產(chǎn)生了深遠的影響。希爾伯特領導的數(shù)學學派是19世紀末20世紀初數(shù)學界的一面旗幟，希爾伯特被稱為“數(shù)學界的無冕之王”。（著名的哥德巴赫猜想也是問題之一，以陳景潤為代表的中國數(shù)學家獲得了重大突破，但還沒有徹底解決。）希爾伯特D.(Hilbert,David，1862～19479伽羅瓦(1811-1832)

阿貝爾(1802-1829)波約尓羅巴切夫斯基現(xiàn)代群論非歐幾何伽羅瓦(1811-1832)阿貝爾(1802-1829)波80計算機進入數(shù)學領域

計算機1945年制造成功，到現(xiàn)在已經(jīng)改變或正在改變整個數(shù)學的面貌。圍繞著計算機，很快就形成了計算科學這門龐大的學科。離散數(shù)學的飛速發(fā)展，動搖了分析數(shù)學十七世紀以來占有的統(tǒng)治地位，目前大有和分析數(shù)學分庭抗禮之勢。自古以來，數(shù)學證明都是在數(shù)學家紙上完成的。隨著計算機的發(fā)明，出現(xiàn)了機器證明這一新課題。1976年，兩位美國數(shù)學家用計算機終于證明了“四色定理”這個難題，轟動了數(shù)學界，它開辟了人機合作去解決理論問題的途徑。計算機進入數(shù)學領域計算機1945年制造成81純粹數(shù)學不斷向縱深發(fā)展

集合論的觀點滲透到各個領域里去，逐漸取得支配的地位。公理化方法日趨完善。數(shù)學一方面勇往直前，另一方面又重視基礎的鞏固。數(shù)理邏輯和數(shù)學基礎已經(jīng)成為數(shù)學大廈的基礎，在它的上面矗立起泛函分析，抽象代數(shù)和拓撲學這三座宏偉的建筑。數(shù)學在獲得廣泛應用的同時，新理論、新觀點、新方法也不斷產(chǎn)生，如代數(shù)拓撲、積分論、測度論、賦范環(huán)論、緊李群等許多重大的基礎學科，都是本世紀產(chǎn)生和成熟的。先代數(shù)學在這些基礎上又向更新的高度攀登。本世紀的許多古典難題，包括希爾伯特的23個問題，有些已經(jīng)獲得了解決，有些取得了可喜的成果，還有不少振奮人心的突破。純粹數(shù)學不斷向縱深發(fā)展集合論的觀點滲透到各82

數(shù)學的發(fā)展是坎坷而又輝煌的，地球仍然在轉動，數(shù)學永遠不會停止前進的腳步，等待著后人能夠超越那些偉人，為將來數(shù)學的發(fā)展貢獻出自己的一份力量！

未來的數(shù)學會怎樣？沒人知道。謝謝！數(shù)學的發(fā)展是坎坷而又輝煌的，地球仍然在轉動83數(shù)學發(fā)展簡史數(shù)學發(fā)展簡史84數(shù)學發(fā)展史大致可以分為四個階段

一、數(shù)學起源時期二、初等數(shù)學時期

三、近代數(shù)學時期四、現(xiàn)代數(shù)學時期數(shù)學發(fā)展史大致可以分為四個階段85一、數(shù)學起源時期

（遠古(4000年前)——公元前5世紀）

這一時期：建立自然數(shù)的概念；認識簡單的幾何圖形；算術與幾何尚未分開。一、數(shù)學起源時期86數(shù)學起源于四個“河谷文明”地域

非洲的尼羅河---埃及：幾何的故鄉(xiāng)西亞的底格里斯河與幼發(fā)拉底河：巴比倫---代數(shù)的源頭；中南亞的印度河與恒河---印度：阿拉伯數(shù)字的誕生地東亞的黃河與長江----中國

文明程度的主要標志之一就是數(shù)學的萌芽數(shù)學起源于四個“河谷文明”地域非洲的尼羅河---埃及：幾87記數(shù)刻痕記數(shù)是人類最早的數(shù)學活動，考古發(fā)現(xiàn)有3萬年前的狼骨上的刻痕。古埃及的象形數(shù)字出現(xiàn)在約公元前3400年；巴比倫的楔形數(shù)字出現(xiàn)在約公元前2400年；中國的甲骨文數(shù)字出現(xiàn)在約公元前1600年。古埃及的紙草書和羊皮書及巴比倫的泥板文書記載了早期數(shù)學的內(nèi)容，年代可以追溯到公元前2000年，其中甚至有“整勾股數(shù)”及二次方程求解的記錄。記數(shù)刻痕記數(shù)是人類最早的數(shù)學活動，考古發(fā)現(xiàn)有3萬年前的狼骨上88數(shù)學的發(fā)展歷史課件89萊茵德紙草書(1650B.C.)萊茵德紙草書(1650B.C.)90莫斯科紙草書莫斯科紙草書91古巴比倫的“記事泥板”中關于

“整勾股數(shù)”的記載”

（馬其頓，1988年）20世紀在兩河流域有約50萬塊泥版文書出土，其中300多塊與數(shù)學有關（約公元前1000年）

（文達，1982年）古巴比倫的“記事泥板”中關于

“整勾股數(shù)”的記載”（約公元前92數(shù)學的發(fā)展歷史課件93西安半坡遺址中國西安半坡遺址反映的是約公元前6000年的人類活動，那里出土的彩陶上有多種幾何圖形，包括平行線、三角形、圓、長方形、菱形等。西安半坡遺址中國西安半坡遺址反映的是約公元前6000年的人類94數(shù)學的發(fā)展歷史課件95數(shù)學的發(fā)展歷史課件96埃及—幾何的故鄉(xiāng)

公元前20~17世紀，埃及已經(jīng)積累了豐富的數(shù)學知識，其中包括算術（乘除法、分數(shù)）、幾何、三角，以及有關一元一次方程、一元二次方程的求解問題、關于谷倉容積的測定、關于金字塔斜面傾角的計算等等。他們能求出長方形、三角形、梯形和圓形的面積，其中圓周率求至3.16。埃及—幾何的故鄉(xiāng)公元前20~17世紀，埃及已經(jīng)積97巴比倫—代數(shù)的源頭會開平方、開立方，并有平方、平方根、立方和立方根表．知道二次方程的求根公式,知道了勾股定理，能測量不規(guī)則形面積和截頂角錐體的體積，并推算出圓周率的近似值為。印度—阿拉伯數(shù)字的誕生地印度數(shù)學的發(fā)展晚于埃及、巴比倫、希臘和中國．印度人的特殊貢獻有：阿拉伯數(shù)字是印度人的發(fā)現(xiàn)，他們大約在公元前4世紀就開始使用這種數(shù)字，直到公元8世紀才傳入阿拉伯國家，后經(jīng)阿拉伯人傳入歐洲．用符號“0”表示零是印度人的一大發(fā)明．巴比倫—代數(shù)的源頭印度—阿拉伯數(shù)字的誕生地98中國的《周髀算經(jīng)》（公元前200年成書）宋刻本《周髀算經(jīng)》，

（西周，前1100年）（上海圖書館藏）《周髀算經(jīng)》中關于勾股定理的記載中國的《周髀算經(jīng)》（公元前200年成書）宋刻本《周髀算經(jīng)》，99

二、初等數(shù)學時期

（前6世紀——公元16世紀）

也稱常量數(shù)學時期，這期間逐漸形成了初等數(shù)學的主要分支：算術、幾何、代數(shù)、三角。該時期的基本成果，構成現(xiàn)在中學數(shù)學的主要內(nèi)容。這一時期按照地域又分為三個階段：古希臘；東方；歐洲文藝復興。二、初等數(shù)學時期1001．古希臘（前6世紀——公元6世紀）

在公元前7~5世紀的古希臘，數(shù)學知識是從埃及傳到那里的。古希臘最早的數(shù)學家可能是泰利斯。據(jù)說他提出并證明了下列幾何學基本命題：圓為它的任一直徑所平分；半圓的圓周角是直角；等腰三角形兩底角相等；相似三角形的各對應邊成比例；若兩三角形兩角和一邊對應相等則兩三角形全等。幾何的系統(tǒng)論述出現(xiàn)在公元前5世紀，德謨克利特提出了對于他那個時代相當深刻的、包含積分萌芽思想的一些論斷。不可公度線段的發(fā)現(xiàn)及隨之建立起來的不可公度比的理論，是希臘數(shù)學的巨大成就。這種邏輯構造方法，顯然超出了經(jīng)驗知識的范圍，是純數(shù)學最后定形的標志。1．古希臘（前6世紀——公元6世紀）101古希臘人對數(shù)學似乎有特別大的興趣，尤其是在幾何學方面。這在一定程度上應當歸功于畢達哥拉斯派和柏拉圖，他們都是數(shù)學的崇拜者和鼓吹者。據(jù)說柏拉圖在他所創(chuàng)辦的學園的門口上寫著：“不懂幾何學者不得入內(nèi)”。據(jù)說，歐幾里得幾何學中關于平行線、三角形、多邊形、圓、球和正多面體的許多定理，實際上都是畢達哥拉斯派的成果。公元前5世紀，在希臘曾存在過一個被稱為智者派的哲學派別，他們之中有一些數(shù)學家提出了三個著名的幾何作圖難題：即只用圓規(guī)和直尺，（1）作一正方形使其面積等于一已知圓的面積；（2）作一立方體使其體積等于一已知立方體的兩倍；（3）三等分一任意角。

古希臘人對數(shù)學似乎有特別大的興趣，尤其是在幾何學方面。公元102畢達哥拉斯(公元前580年～公元前500年)“萬物皆數(shù)”畢達哥拉斯(公元前580年～公元前500年)“萬物皆數(shù)”103TheSchoolofAthensbyRaphael這是“拉斐爾(意大利藝術大師（RaffaelloSanzio，1483-1520）)畫室”第二房間左面的壁畫“雅典的學院”（SchoolofAthens/Scolad’Atene），617×219cm，1510-1500年完成；它在上面那幅壁畫“圣事爭論”的對面；畫面以表現(xiàn)古代雅典柏拉圖的學苑（Academy/Academia）為背景，將地中海沿岸各國的古今著名學者熔于一爐；學者們的姿態(tài)以當時的“七藝”（語法、修辭、邏輯、數(shù)學、幾何、音樂和天文）而各具情態(tài)。背景大廳兩側的壁龕雕塑，左面是阿波羅，右面是雅典娜。TheSchoolofAthensbyRaphae104柏拉圖與亞里士多德倡導邏輯演繹的結構柏拉圖與105歐幾里得五條公理

1.等于同量的量彼此相等；2.等量加等量，其和相等；3.等量減等量，其差相等；4.彼此能重合的物體是全等的；5.整體大于部分。五條公設

1.過兩點能作且只能作一直線；2.線段(有限直線)可以無限地延長；3.以任一點為圓心,任意長為半徑,可作一圓；4.凡是直角都相等；5.同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側的兩個內(nèi)角之和小于180°，則這兩條直線經(jīng)無限延長后在這一側一定相交。(Euclid,公元前330年～前275年)歐幾里得五條公理(Euclid,公元前330年～前275106各卷簡介

第一卷：幾何基礎。重點內(nèi)容有三角形全等的條件，三角形邊和角的大小關系，平行線理論，三角形和多角形等積（面積相等）的條件，第一卷最后兩個命題是畢達哥拉斯定理的正逆定理；

第二卷：幾何與代數(shù)。講如何把三角形變成等積的正方形；其中12、13命題相當于余弦定理。

第三卷：本卷闡述圓，弦，切線，割線，圓心角，圓周角的一些定理。

第四卷：討論圓內(nèi)接和外切多邊形的做法和性質(zhì)；

第五卷：討論比例理論，多數(shù)是繼承自歐多克斯的比例理論,被認為是"最重要的數(shù)學杰作之一"

第六卷：講相似多邊形理論，并以此闡述了比例的性質(zhì)。

第五、第七、第八、第九、第十卷：講述比例和算術的理論；第十卷是篇幅最大的一卷，主要討論無理量（與給定的量不可通約的量），其中第一命題是極限思想的雛形。

第十一卷、十二、十三卷：最后講述立體幾何的內(nèi)容.中學的數(shù)學全部包括于此各卷簡介中學的數(shù)學全部包括于此107阿波羅尼奧斯（約公元前262－前190）

《圓錐曲線論》阿波羅尼奧斯（約公元前262－前190）《圓錐曲線論》108托勒密丟番圖三角學不定方程托勒密丟番圖三角學不定方程109《砂粒計算》是專講計算方法和計算理論的一本著作。阿基米德要計算充滿宇宙大球體內(nèi)的砂粒數(shù)量，他運用了很奇特的想象，建立了新的量級計數(shù)法，確定了新單位，提出了表示任何大數(shù)量的模式，這與對數(shù)運算是密切相關的?！肚蚺c圓柱》熟練地運用窮竭法證明了球的表面積等于球大圓面積的四倍；球的體積是一個圓錐體積的四倍，這個圓錐的底等于球的大圓，高等于球的半徑。阿基米德還指出，如果等邊圓柱中有一個內(nèi)切球，則圓柱的全面積和它的體積，分別為球表面積和體積的1.5倍?！秷A的度量》，利用圓的外切與內(nèi)接96邊形，求得圓周率π為：22/7>π>223/71，這是數(shù)學史上最早的，明確指出誤差限度的π值。他還證明了圓面積等于以圓周長為底、半徑為高的等腰三角形的面積（使用的是窮竭法）。

阿基米德《砂粒計算》是專講計算方法和計算理論的一本著作。阿基米德要計110《拋物線求積法》研究了曲線圖形求積的問題，并用窮竭法建立了這樣的結論：“任何由直線和直角圓錐體的截面所包圍的弓形（即拋物線），其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四?！彼€用力學權重方法再次驗證這個結論，使數(shù)學與力學成功地結合起來?！墩撀菥€》是阿基米德對數(shù)學的出色貢獻。他明確了螺線的定義，以及對螺線的面積的計算方法。在同一著作中，阿基米德還導出幾何級數(shù)和算術級數(shù)求和的幾何方法?！镀矫娴钠胶狻肥顷P于力學的最早的科學論著，講的是確定平面圖形和立體圖形的重心問題?！陡◇w》，是流體靜力學的第一部專著，阿基米德把數(shù)學推理成功地運用于分析浮體的平衡上，并用數(shù)學公式表示浮體平衡的規(guī)律。《論錐型體與球型體》講的是確定由拋物線和雙曲線其軸旋轉而成的錐型體體積，以及橢圓繞其長軸和短軸旋轉而成的球型體的體積。

阿基米德的理論為幾何和微積分的開創(chuàng)寫下了不可磨滅的一章《拋物線求積法》研究了曲線圖形求積的問題，并用窮竭法建立了這111阿基米德的墓碑上刻的圖阿基米德的墓碑上刻的圖112此后是千余年的停滯隨著希臘科學的終結，在歐洲出現(xiàn)了科學蕭條，數(shù)學發(fā)展的中心移到了印度、中亞細亞和阿拉伯國家．在這些地方從5世紀到15世紀的一千年中間，數(shù)學主要由于計算的需要而發(fā)展．印度人發(fā)明了現(xiàn)代記數(shù)法（后來傳到阿拉伯，從發(fā)掘出的材料看，中國是使用十進制最早的國家），引進了負數(shù)．到了16世紀，歐洲文藝復興時代，歐洲人向阿拉伯學習，并根據(jù)阿拉伯文的翻譯熟識了希臘科學，從阿拉伯沿襲過來的印度記數(shù)法逐漸在歐洲確定下來，歐洲科學終于越過了先人的成就．此后是千余年的停滯隨著希臘科學的終結，在歐洲出現(xiàn)了科學蕭條，1132．東方（公元2世紀——15世紀）中國：西漢（前2世紀）—宋元時期（公元10世紀—14世紀）印度：公元8世紀—12世紀阿拉伯國家：公元8世紀—15世紀2．東方（公元2世紀——15世紀）中國：西漢（前2世紀）—1141）中國西漢（前2世紀）

——《周髀算經(jīng)》、《九章算術》

魏晉南北朝（公元3世紀——5世紀）——劉徽、祖沖之出入相補原理，割圓術，算

1）中國115

《九章算術》是我國第一部最重要的數(shù)學專著，大約成書于東漢初期（公元1世紀）。書中載有246個應用題目的解法，涉及算術、初等代數(shù)、初等幾何等多方面的內(nèi)容。其中所載述的分數(shù)四則運算、比例算法、用勾股定理解決一些測量中的問題等，都是當時世界最高水平的工作。關于負數(shù)的概念和正負數(shù)加減法則的記載是世界上最早的。書中還講述了開平方、開立方、一元二次方程的數(shù)值解法、聯(lián)立一次方程解法等許多問題?！毒耪滤阈g》是我國第一部最重要的數(shù)學專著，大約成書116“中國古代數(shù)學第一人”劉徽（約公元3世紀）割圓術“中國古代數(shù)學第一人”劉徽（約公元3世紀）割圓術117第24屆“國際數(shù)學家大會”（ICM）

InternationalCongressofMathematicians

第24屆“國際數(shù)學家大會”（ICM）

Internation118為2002北京“國際數(shù)學家大會”發(fā)行的

紀念郵資明信片JP108為2002北京“國際數(shù)學家大會”發(fā)行的

紀念郵資明信片JP119該會標的涵義？該會標的涵義？120第24屆“國際數(shù)學家大會”會標宋刻本《周髀算經(jīng)》，（上海圖書館藏）第24屆“國際數(shù)學家大會”會標宋刻本《周髀算經(jīng)》，121《周髀算經(jīng)》中的“勾股定理”

（約公元前700年）

《周髀算經(jīng)》卷上記載西周開國時期周公與大夫商高討論勾股測量的對話，商高答周公問時提到“勾廣三股修四經(jīng)隅五”，這是勾股定理的特例。卷上另一處敘述周公后人榮方與陳子（約公元前6、7世紀）的對話中，則包含了勾股定理的一般形式：“……以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日?！薄吨荀滤憬?jīng)》中的“勾股定理”

（約公元前700年）

122中國數(shù)學史上最先完成

勾股定理的證明趙爽(東漢末至三國時代,生平不詳，約生活于公元3世紀)研究過張衡的天文學著作《靈憲》和劉洪的《乾象歷》，也提到過“算術”。他的主要貢獻是約在222年深入研究了《周牌算經(jīng)》，為該書寫了序言，并作了詳細注釋。其中一段530余字的“勾股圓方圖”注文是數(shù)學史上極有價值的文獻。其中的弦圖相當于運用面積的“出入相補”方法，證明了勾股定理。中國數(shù)學史上最先完成

勾股定理的證明趙爽(東漢末123勾股定理將勾股定理表述為：“勾股各自乘，并之，為弦實。開方除之，即弦?！弊C明方法敘述為：“按弦圖，又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差自相乘為中黃實，加差實，亦成弦實?！惫垂啥ɡ韺⒐垂啥ɡ肀硎鰹椋骸肮垂筛髯猿?，并之，為弦實。開方除124數(shù)學的發(fā)展歷史課件125祖沖之（公元429-500年）祖沖之（公元429-500年）126

宋元時期（公元10世紀——14世紀）

宋元四大家——李冶（1192～1279）、秦九韶（約1202～約1261）、楊輝（13世紀下半葉）、朱世杰（13世紀末～14世紀初）天元術、正負開方術——高次方程數(shù)值求解；大衍總數(shù)術——一次同余式組求解宋元時期（公元10世紀——14世127楊輝楊輝128秦九韶程序秦九韶程序是中國南宋時期的數(shù)學家秦九韶最先提出的一種解一元高次方程的算法-正負開方術。后來在西方被十九世紀初英國數(shù)學家威廉·霍納重新發(fā)現(xiàn)，被稱作霍納算法?；艏{在1819年發(fā)表《解所有次方程》論文，被評為“必使發(fā)明人因為發(fā)現(xiàn)此算法而置身于重要發(fā)明家之列”。秦九韶程序秦九韶程序是中國南宋時期的數(shù)學家秦九韶最先提出的一129秦九韶的《數(shù)書九章》“賈憲三角”，

卷一“大衍總數(shù)術”也稱“楊輝三角”秦九韶的《數(shù)書九章》“130朱世杰的《四元玉鑒》

四元高次方程組，（天、地、人、物——x、y、z、w）

（“天元基金”）朱世杰的《四元玉鑒》

四元高次方程組，（天、地、人、物——131

2）印度

現(xiàn)代記數(shù)法（公元8世紀）——印度數(shù)碼，有0，負數(shù)；十進制（后經(jīng)阿拉伯傳入歐洲，也稱阿拉伯記數(shù)法）數(shù)學與天文學交織在一起阿耶波多——《阿耶波多歷數(shù)書》（公元499年）開創(chuàng)弧度制度量婆羅摩笈多——《婆羅摩修正體系》、《肯特卡迪亞格》代數(shù)成就可貴 婆什迦羅——《莉拉沃蒂》、《算法本源》（12世紀）算術、代數(shù)、組合學2）印度132

3）阿拉伯國家（公元8世紀——15世紀）

花拉子米——《代數(shù)學》（阿拉伯文《還原與對消計算概要》）曾長期作為歐洲的數(shù)學課本，“代數(shù)”一詞，即起源于此；阿拉伯語原意是“還原”，即“移項”；此后，代數(shù)學的內(nèi)容，主要是解方程。阿布爾．維法奧馬爾．海亞姆阿拉伯學者在吸收、融匯、保存古希臘、印度和中國數(shù)學成果的基礎上，又有他們自己的創(chuàng)造，使阿拉伯數(shù)學對歐洲文藝復興時期數(shù)學的崛起，作了很好的學術準備。

3）阿拉伯國家133花拉子米當時阿拉伯天文學家和數(shù)學家工作的情景花拉子米當時阿拉伯天文學家和數(shù)學家工作的情景134

3．歐洲文藝復興時期

（公元16世紀——17世紀初）

1）方程與符號

意大利－塔塔利亞、卡爾丹、費拉里

三次方程的求根公式法國－韋達

引入符號系統(tǒng)，代數(shù)成為獨立的學科

3．歐洲文藝復興時期135“算法家”與“算盤家”的比賽韋達“算法家”與“算盤家”的比賽韋136

2）透視與射影幾何

畫家－布努雷契、柯爾比、迪勒、達．芬奇數(shù)學家－阿爾貝蒂、德沙格、帕斯卡、拉伊爾

3）對數(shù)

簡化天文、航海方面煩雜計算，把乘除轉化為加減。

蘇格蘭數(shù)學家－納皮爾2）透視與射影幾何137中世紀油畫中世紀油畫138文藝復興時代的油畫文藝復興時代的油畫139英國畫家柯爾比<泰勒博士透視方法淺說>(1754)

卷首插圖（違反透視原理）英國畫家柯爾比<泰勒博士透視方法淺說>(1754)

卷首插圖140家庭手工業(yè)、作坊→工場手工業(yè)→機器大工業(yè)貿(mào)易及殖民地→航海業(yè)空前發(fā)展對運動和變化的研究成了自然科學的中心→→變量、函數(shù)

1.笛卡爾的坐標系（1637年《幾何學》）

恩格斯：“數(shù)學中的轉折點是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了……”三、近代數(shù)學時期：變量數(shù)學

（公元17世紀——19世紀初）

家庭手工業(yè)、作坊→工場手工業(yè)→機器大工業(yè)三、近代141<幾何學>(1637)笛卡爾(R.Descartes,1596-1650)<幾何學>(1637)笛卡爾(R.Descartes,15142解析幾何是代數(shù)與幾何相結合的產(chǎn)物在《幾何學》里，笛卡爾給出了解析幾何原理，這就是利用坐標方法把具有兩個未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成平面上的一條曲線。解析幾何給出了回答如下問題的途徑：（1）通過計算來解決曲線作圖的幾何問題；（2）求給定某種幾何性質(zhì)的曲線的方程；（3）利用代數(shù)方法證明新的幾何定理；（4）反過來，從幾何的觀點來看代數(shù)方程。因此，解析幾何是代數(shù)與幾何相結合的產(chǎn)物，在采用坐標方法的同時，用代數(shù)方法研究幾何對象。在笛卡爾之前，從古希臘起在數(shù)學中占優(yōu)勢地位的是幾何學；解析幾何則使代數(shù)獲得更廣的意義和更高的地位。解析幾何是代數(shù)與幾何相結合的產(chǎn)物在《幾何學》里，笛卡爾給出了143２．牛頓和萊布尼茲的微積分

（17世紀后半期）

到了十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力。２．牛頓和萊布尼茲的微積分

（17世紀后半期）144

十七世紀的許多著名的數(shù)學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻。十七世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國大科學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題(積分學的中心問題)。牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側重于幾何學來考慮的。

145牛頓的一項被廣泛認可的成就是廣義二項式定理，它適用于任何冪。他發(fā)現(xiàn)了牛頓恒等式、牛頓法，分類了立方面曲線（兩變量的三次多項式），為有限差理論作出了重大貢獻，并首次使用了分式指數(shù)和坐標幾何學得到丟番圖方程的解。他用對數(shù)趨近了調(diào)和級數(shù)的部分和（這是歐拉求和公式的一個先驅），并首次有把握地使用冪級數(shù)和反轉（revert）冪級數(shù)。他還發(fā)現(xiàn)了π的一個新公式。牛頓：IsaacNewton牛頓的一項被廣泛認可的成就是廣義二項式定理，它適用于任何冪。146萊布尼茨曾討論過負數(shù)和復數(shù)的性質(zhì)，得出復數(shù)的對數(shù)并不存在，共扼復數(shù)的和是實數(shù)的結論。在后來的研究中，萊布尼茨證明了自己結論是正確的。他還對線性方程組進行研究，對消元法從理論上進行了探討，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理論，此外，萊布尼茨還創(chuàng)立了符號邏輯學的基本概念。萊布尼茨(GottfriendWilhelmLeibniz，1646-1716)萊布尼茨曾討論過負數(shù)和復數(shù)的性質(zhì)，得出復數(shù)的對數(shù)并不存在，共147數(shù)學方法的轉變幾何方法解析方法數(shù)學方法的轉變幾何方法解析方法148３．微分方程、變分法、微分幾何、

復變函數(shù)、概率論微分方程論研究的是這樣一種方程，方程中的未知項不是數(shù)，而是函數(shù)。變分法研究的是這樣一種極值問題，所求的極值不是點或數(shù)，而是函數(shù)。微分幾何是關于曲線和曲面的一般理論。與微分幾何相聯(lián)系的解析幾何在18世紀也有長足的發(fā)展，被推廣到三維情形，并突破了笛卡爾當年解析幾何僅僅作為求解幾何問題的代數(shù)技巧的界限。微積分及其中變量、函數(shù)和極限等概念，運動、變化等思想，使辯證法滲入了全部數(shù)學；并使數(shù)學成為精確地表述自然科學和技術的規(guī)律及有效地解決問題的得力工具。３．微分方程、變分法、微分幾何、

復變函數(shù)、概率論微分方程論149萊昂哈德——歐拉：

他對微分方程理論作出了重要貢獻。他還是歐拉近似法的創(chuàng)始人，這些計算法被用于計算力學中。此中最有名的被稱為歐拉方法。在數(shù)論里他引入了歐拉函數(shù)。自然數(shù)的歐拉函數(shù)被定義為小于并且與互質(zhì)的自然數(shù)的個數(shù)。例如，，因為有四個自然數(shù)1，3，5和7與8互質(zhì)。在分析領域，是歐拉綜合了萊布尼茲的微分與牛頓的流數(shù)。他在1735年由于解決了長期懸而未決的貝塞爾問題而獲得名聲：其中是黎曼函數(shù)。歐拉將虛數(shù)的冪定義為如下公式:這就是歐拉公式，它成為指數(shù)函數(shù)的中心。在初等分析中，從本質(zhì)上來說，要么是指數(shù)函數(shù)的變種，要么是多項式，兩者必居其一。被理查德·費曼稱為“最卓越的數(shù)學公'”的則是歐拉公式的一個簡單推論（通常被稱為歐拉恒等式）：在1735年，他定義了微分方程中有用的歐拉-馬歇羅尼常數(shù)：他是歐拉-馬歇羅尼公式的發(fā)現(xiàn)者之一，這一公式在計算難于計算的積分、求和與級數(shù)的時候極為有效。萊昂哈德——歐拉：他對微分方程理論作出了重150歐洲最大的數(shù)學家---約瑟夫·拉格朗日

近百余年來，數(shù)學領域的許多新成就都可以直接或間接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在數(shù)學史上被認為是對分析數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生全面影響的數(shù)學家之一。被譽為“歐洲最大的數(shù)學家”。歐洲最大的數(shù)學家---約瑟夫·拉格朗日151約瑟夫·拉格朗日：方程解法在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量時間花在代數(shù)方程和超越方程的解法上，作出了有價值的貢獻，推動了代數(shù)學的發(fā)展。他提交給柏林科學院兩篇著名的論文：《關于解數(shù)值方程》和《關于方程的代數(shù)解法的研究》。把前人解三、四次代數(shù)方程的各種解法，總結為一套標準方法，即把方程化為低一次的方程(稱輔助方程或預解式)以求解。置換群他試圖尋找五次方程的預解函數(shù)，希望這個函數(shù)是低于五次的方程的解，但未獲得成功。然而，他的思想已蘊含著置換群概念，對后來阿貝爾和伽羅華起到啟發(fā)性作用，最終解決了高于四次的一般方程為何不能用代數(shù)方法求解的問題。因而也可以說拉格朗日是群論的先驅。數(shù)論在數(shù)論方面，拉格朗日也顯示出非凡的才能。他對費馬提出的許多問題作出了解答。如，一個正整數(shù)是不多于4個平方數(shù)的和的問題等等，他還證明了圓周率的無理性。這些研究成果豐富了數(shù)論的內(nèi)容。冪級數(shù)在《解析函數(shù)論》以及他早在1772年的一篇論文中，在為微積分奠定理論基礎方面作了獨特的嘗試，他企圖把微分運算歸結為代數(shù)運算，從而拋棄自牛頓以來一直令人困惑的無窮小量，并想由此出發(fā)建立全部分析學。但是由于他沒有考慮到無窮級數(shù)的收斂性問題，他自以為擺脫了極限概念，其實只是回避了極限概念，并沒有能達到他想使微積分代數(shù)化、嚴密化的目的。不過，他用冪級數(shù)表示函數(shù)的處理方法對分析學的發(fā)展產(chǎn)生了影響，成為實變函數(shù)論的起點。約瑟夫·拉格朗日：方程解法1524．代數(shù)基本定理（1799年）這一時期代數(shù)學的主題仍然是代數(shù)方程。18世紀的最后一年，高斯的博士論文給出了具有重要意義的“代數(shù)基本定理”的第一個證明。該定理斷言，在復數(shù)范圍里，n次多項式方程有n個根。4．代數(shù)基本定理（1799年）這一時期代數(shù)學的主題仍然是代數(shù)153高斯（C.F.Gauss,1777-1855）18歲時發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)分布定理和最小二乘法。通過對足夠多的測量數(shù)據(jù)的處理后，可以得到一個新的、概率性質(zhì)的測量結果。在這些基礎之上，高斯隨后專注于曲面與曲線的計算，并成功得到高斯鐘形曲線（正態(tài)分布曲線）。其函數(shù)被命名為標準正態(tài)分布（或高斯分布），并在概率計算中大量使用。高斯的數(shù)學研究幾乎遍及所有領域，在數(shù)論、代數(shù)學、非歐幾何、復變函數(shù)和微分幾何等方面都做出了開創(chuàng)性的貢獻。高斯（C.F.Gauss,1777-1855）18歲時發(fā)現(xiàn)了154“分析”、“代數(shù)”、“幾何”三大分支在18世紀，由微積分、微分方程、變分法等構成的“分析”，已經(jīng)成為