逆算符算符函數(shù)復共軛算符10轉置算符11課件

（7）逆算符（8）算符函數(shù)（9）復共軛算符（10）轉置算符（11）厄密共軛算符（12）厄密算符（1）線性算符（2）算符相等（3）算符之和（4）算符之積（5）對易關系（6）對易括號（二）算符的一般特性回顧：（7）逆算符（1）線性算符（二）算符的一般特性回顧：1(12)厄密算符1.定義:滿足下列關系的算符稱為厄密算符.2.性質性質1:兩個厄密算符之和仍是厄密算符。即若?+=?,?+=?則(?+?)+=?++?+=(?+?)性質2:兩個厄密算符之積一般不是厄密算符,除非二算符對易。因為(??)+=?+?+=??≠??僅當[?,?]=0成立時,(??)+=??才成立。(12)厄密算符1.定義:滿足下列關系22性質性質3定理任何狀態(tài)下，厄密算符的平均值都是實數(shù)當逆定理任何狀態(tài)下平均值為實數(shù)的算符必為厄密算符推論：實驗上可以觀測的力學量，其平均值為實數(shù)，其相應算符均為厄密算符性質性質3當逆定理任何3（一）動量算符 （1）動量算符的厄密性 （2）動量本征方程 （3）箱歸一化（二）角動量算符 （1）角動量算符的形式 （2）角動量本征方程 （3）角動量算符的對易關系 （4）角動量升降階算符§2動量算符和角動量算符（一）動量算符§2動量算符和角動量算符4（一）動量算符（1）動量算符的厄密性使用波函數(shù)在無窮遠處趨于零的邊界條件。（2）動量本征方程其分量形式：證：由證明過程可見，動量算符的厄密性與波函數(shù)的邊界條件有關。（一）動量算符（1）動量算符的厄密性使用波函數(shù)在無窮遠（25I.求解這正是自由粒子的deBroglie波的空間部分波函數(shù)。如果取|c|2(2π)3=1則ψp(r)就可歸一化為δ-函數(shù)。解之得到如下一組解：于是：II.歸一化系數(shù)的確定采用分離變量法，令：代入動量本征方程且等式兩邊除以該式，得：I.求解這正是自由粒子的如果取解之得到如下一組解：于6xyzAA’oL（3）箱歸一化在箱子邊界的對應點A,A’上加上其波函數(shù)相等的條件，此邊界條件稱為周期性邊界條件。據(jù)上所述，具有連續(xù)譜的本征函數(shù)如:動量的本征函數(shù)是不能歸一化為一的，而只能歸一化為δ-函數(shù)。但是，如果我們加上適當?shù)倪吔鐥l件，則可以用以前的歸一化方法來歸一，這種方法稱為箱歸一化。周期性邊界條件這表明，px只能取分立值。換言之，加上周期性邊界條件后，連續(xù)譜變成了分立譜。xyzAA’oL（3）箱歸一化在箱子邊界的對應點A,A’上7所以c=L-3/2，歸一化的本征函數(shù)為：波函數(shù)變?yōu)檫@時歸一化系數(shù)c可由歸一化條件來確定：所以c=L-3/2，波函數(shù)8討論：（1）箱歸一化實際上相當于如圖所示情況：(a)A’(b)A(c)yx（2）由px=2nx/L,py=2ny/L,pz=2nz/L, 可以看出，相鄰兩本征值的間隔p=2

/L與L 成反比。當L選的足夠大時，本征值間隔可任意小， 當L

時，本征值變成為連續(xù)譜。（3）從這里可以看出，只有分立譜才能歸一化為一，連續(xù)譜 歸一化為函數(shù)（4）p(r)×exp[–iEt/]就是自由粒子波函數(shù)，在它所描 寫的狀態(tài)中，粒子動量有確定值，該確定值就是動量算 符在這個態(tài)中的本征值。討論：（1）箱歸一化實際上相當于如圖所示情況：(a)A’(b9（二）角動量算符（1）角動量算符的形式根據(jù)量子力學基本假定II，量子力學角動量算符為:(I)直角坐標系角動量平方算符經典力學中，若動量為p，相對點O的位置矢量為r的粒子繞O點的角動量是：由于角動量平方算符中含有關于x，y，z偏導數(shù)的交叉項,所以直角坐標下角動量平方算符的本征方程不能分離變量,難于求解,為此我們采用球坐標較為方便.（二）角動量算符（1）角動量算符的形式根據(jù)量子力學基本假定I10直角坐標與球坐標之間的變換關系xz球坐標ry這表明：r=r(x,y,z)x=x(r,θ,φ)(II)球坐標將（1）式兩邊分別對xyz求偏導數(shù)得：將（2）式兩邊分別對xyz求偏導數(shù)得：對于任意函數(shù)f(r,θ,φ)（其中，r,θ,φ都是x,y,z的函數(shù)）則有：將（3）式兩邊分別對xyz求偏導數(shù)得：直角坐標與球坐標之間的變換關系xz球坐標ry這表11將上面結果代回原式得：則角動量算符在球坐標中的表達式為：將上面結果則角動量算符12（2）本征方程(I)Lz的本征方程求歸一化系數(shù)正交性：I。波函數(shù)有限條件，要求 z為實數(shù)；II。波函數(shù)單值條件，要求 當φ轉過2π角 回到原位時波函數(shù) 值相等，即：合記之得正交歸一化條件：（2）本征方程(I)Lz的本征方程求正交性：I。波函數(shù)有13最后得Lz

的本征函數(shù)和本征值：討論：厄密性要求第一項為零所以則這正是周期性邊界條件最后得Lz討論：厄密性要求第一項為零所以則這正是周14(II)L2的本征值問題L2的本征值方程可寫為：為使Y(,)在變化的整個區(qū)域(0,π)內都是有限的，則必須滿足：=（+1),其中=0,1,2,...其中Y(,)是L2屬于本征值2的本征函數(shù)。此方程就是大家熟悉的球諧函數(shù)方程，其求解方法在數(shù)學物理方法中已有詳細的講述，得到的結論是：該方程的解就是球函數(shù)Ylm(,)，其表達式：歸一化系數(shù)，由歸一化條件確定(II)L2的本征值問題L2的本征值方程可寫為：為使Y15其正交歸一條件為：具體計算請參考有關數(shù)學物理方法的書籍，在這里就不作詳細介紹了。(III)本征值的簡并度由于量子數(shù)表征了角動量的大小，所以稱為角量子數(shù)；m稱為磁量子數(shù)?？芍?，對應一個值，m取值為0,±1,±2,±3,...,±

共(2+1)個值。因此當確定后，尚有(2+1)個磁量子狀態(tài)不確定。換言之，對應一個值有(2+1)個量子狀態(tài)，這種現(xiàn)象稱為簡并，的簡并度是(2+1)度。根據(jù)球函數(shù)定義式其正交歸一具體計算請參考有關數(shù)學物理方法的書籍，在這里就不16（3）角動量算符的對易關系證：（3）角動量算符的對易關系證：17§3電子在庫侖場中的運動（一）有心力場下的Schr?dinger方程（二）求解Schrodinger方程（三）使用標準條件定解（四）歸一化系數(shù)（五）總結§3電子在庫侖場中的運動（一）有心力場下的Schr?di18體系Hamilton量H的本征方程對于勢能只與r有關而與θ,

無關的有心力場，使用球坐標求解較為方便。于是方程可改寫為：V=-Ze2/r考慮一電子在一帶正電的核所產生的電場中運動，電子質量為μ，電荷為-e，核電荷為+Ze。取核在坐標原點，電子受核電的吸引勢能為：xz球坐標ry此式使用了角動量平方算符L2的表達式：（一）有心力場下的Schrodinger方程體系Hamilton量H的本征方程對于勢能只與r有19（二）求解Schrodinger方程（1）分離變量化簡方程ψ(r,θ,)=R(r)Ylm(θ,)令注意到L2Ylm=(+1)2Ylm則方程化為：令R(r)=u(r)/r代入上式得：若令討論E<0情況，方程可改寫如下：于是化成了一維問題，勢V(r)稱為等效勢，它由離心勢和庫侖勢兩部分組成。（二）求解Schrodinger方程（1）分離變量ψ(20令（2）求解(I)解的漸近行為ρ→∞時，方程變?yōu)樗钥扇〗鉃橛邢扌詶l件要求A'=0

2令（2）求解(I)解的漸近行為ρ→∞所以可取解為21(II)求級數(shù)解令為了保證有限性條件要求：當r→0時R=u/r→有限成立即代入方程令ν'=ν-1第一個求和改為:把第一個求和號中ν=0項單獨寫出，則上式改為：再將標號ν'改用ν后與第二項合并，代回上式得：(II)求級數(shù)解令為了保證有限性條件要求：當r→022[s(s-1)-(+1)]b0=0→s(s-1)-(+1)=0S=-

不滿足s≥1條件，舍去。s=+1高階項系數(shù)：[(ν+s+1)(ν+s)-(+1)]bν+1+(β-ν-s)bν=0系數(shù)bν的遞推公式注意到s=+1上式之和恒等于零，所以ρ得各次冪得系數(shù)分別等于零，即[s(s-1)-(+1)]b0=0→s(s-1)23（三）使用標準條件定解（3）有限性條件（1）單值；（2）連續(xù)。二條件滿足1.ρ→0時，R(r)有限已由s=+1條件所保證。2.ρ→∞時，f(ρ)的收斂性如何？需要進一步討論。所以討論波函數(shù)的收斂性可以用e

ρ代替f(ρ)后項與前項系數(shù)之比級數(shù)e

ρ與f(ρ)收斂性相同可見若f(ρ)是無窮級數(shù)，則波函數(shù)R不滿足有限性條件，所以必須把級數(shù)從某項起截斷。與諧振子問題類似,為討論f(ρ)的收斂性現(xiàn)考察級數(shù)后項系數(shù)與前項系數(shù)之比：（三）使用標準條件定解（3）有限性條件（1）單值；二條件滿24最高冪次項的νmax=nr令注意此時多項式最高項的冪次為nr++1則于是遞推公式改寫為量子數(shù)取值由定義式由此可見，在粒子能量小于零情況下（束縛態(tài)）僅當粒子能量取En給出的分立值時，波函數(shù)才滿足有限性條件的要求。En<0最高冪次項的νmax=nr令注意則于是遞推公式改寫為25將β=n代入遞推公式：利用遞推公式可把b1,b2,...,bn--1用b0表示出來。將這些系數(shù)代入f()表達式得：其封閉形式如下：締合拉蓋爾多項式將β=n代入遞推公式：利用遞推公式可把b1,b2,26總波函數(shù)為：則徑向波函數(shù)公式：徑向波函數(shù)第一Borh軌道半徑總波函則徑向波函數(shù)公式：徑向波函數(shù)第一Borh軌道半27使用球函數(shù)的歸一化條件：利用拉蓋爾多項式的封閉形式采用與求諧振子波函數(shù)歸一化系數(shù)類似的方法就可求出歸一化系數(shù)表達式如下：（四）歸一化系數(shù)使用球函數(shù)的利用拉蓋爾多項式的封閉形式采用與求諧振子波函數(shù)28下面列出了前幾個徑向波函數(shù)Rnl表達式：下面列出了前幾個徑向波函數(shù)Rnl表達式：29（1）本征值和本征函數(shù)（2）能級簡并性能量只與主量子數(shù)n有關，而本征函數(shù)與n,,m有關，故能級存在簡并。當n確定后，=n-nr-1，所以最大值為n-1。當確定后，m=0,±1,±2,....,±。共2+1個值。所以對于En能級其簡并度為：即對能量本征值En由n2個本征函數(shù)與之對應，也就是說有n2個量子態(tài)的能量是En。n=1對應于能量最小態(tài)，稱為基態(tài)能量，E1=μZ2e4/22，相應基態(tài)波函數(shù)是ψ100=R10Y00，所以基態(tài)是非簡并態(tài)。當E<0時，能量是分立譜，束縛態(tài)，束縛于阱內，在無窮遠處，粒子不出現(xiàn)，有限運動,波函數(shù)可歸一化為一。n=nr++l=0,1,2,...nr=0,1,2,...（五）總結（1）本征值和本征函數(shù)（2）能級簡并性能量只與主量子數(shù)n30作業(yè)周世勛《量子力學教程》

3.1、3.10作業(yè)周世勛《量子力學31（7）逆算符（8）算符函數(shù)（9）復共軛算符（10）轉置算符（11）厄密共軛算符（12）厄密算符（1）線性算符（2）算符相等（3）算符之和（4）算符之積（5）對易關系（6）對易括號（二）算符的一般特性回顧：（7）逆算符（1）線性算符（二）算符的一般特性回顧：32(12)厄密算符1.定義:滿足下列關系的算符稱為厄密算符.2.性質性質1:兩個厄密算符之和仍是厄密算符。即若?+=?,?+=?則(?+?)+=?++?+=(?+?)性質2:兩個厄密算符之積一般不是厄密算符,除非二算符對易。因為(??)+=?+?+=??≠??僅當[?,?]=0成立時,(??)+=??才成立。(12)厄密算符1.定義:滿足下列關系233性質性質3定理任何狀態(tài)下，厄密算符的平均值都是實數(shù)當逆定理任何狀態(tài)下平均值為實數(shù)的算符必為厄密算符推論：實驗上可以觀測的力學量，其平均值為實數(shù)，其相應算符均為厄密算符性質性質3當逆定理任何34（一）動量算符 （1）動量算符的厄密性 （2）動量本征方程 （3）箱歸一化（二）角動量算符 （1）角動量算符的形式 （2）角動量本征方程 （3）角動量算符的對易關系 （4）角動量升降階算符§2動量算符和角動量算符（一）動量算符§2動量算符和角動量算符35（一）動量算符（1）動量算符的厄密性使用波函數(shù)在無窮遠處趨于零的邊界條件。（2）動量本征方程其分量形式：證：由證明過程可見，動量算符的厄密性與波函數(shù)的邊界條件有關。（一）動量算符（1）動量算符的厄密性使用波函數(shù)在無窮遠（236I.求解這正是自由粒子的deBroglie波的空間部分波函數(shù)。如果取|c|2(2π)3=1則ψp(r)就可歸一化為δ-函數(shù)。解之得到如下一組解：于是：II.歸一化系數(shù)的確定采用分離變量法，令：代入動量本征方程且等式兩邊除以該式，得：I.求解這正是自由粒子的如果取解之得到如下一組解：于37xyzAA’oL（3）箱歸一化在箱子邊界的對應點A,A’上加上其波函數(shù)相等的條件，此邊界條件稱為周期性邊界條件。據(jù)上所述，具有連續(xù)譜的本征函數(shù)如:動量的本征函數(shù)是不能歸一化為一的，而只能歸一化為δ-函數(shù)。但是，如果我們加上適當?shù)倪吔鐥l件，則可以用以前的歸一化方法來歸一，這種方法稱為箱歸一化。周期性邊界條件這表明，px只能取分立值。換言之，加上周期性邊界條件后，連續(xù)譜變成了分立譜。xyzAA’oL（3）箱歸一化在箱子邊界的對應點A,A’上38所以c=L-3/2，歸一化的本征函數(shù)為：波函數(shù)變?yōu)檫@時歸一化系數(shù)c可由歸一化條件來確定：所以c=L-3/2，波函數(shù)39討論：（1）箱歸一化實際上相當于如圖所示情況：(a)A’(b)A(c)yx（2）由px=2nx/L,py=2ny/L,pz=2nz/L, 可以看出，相鄰兩本征值的間隔p=2

/L與L 成反比。當L選的足夠大時，本征值間隔可任意小， 當L

時，本征值變成為連續(xù)譜。（3）從這里可以看出，只有分立譜才能歸一化為一，連續(xù)譜 歸一化為函數(shù)（4）p(r)×exp[–iEt/]就是自由粒子波函數(shù)，在它所描 寫的狀態(tài)中，粒子動量有確定值，該確定值就是動量算 符在這個態(tài)中的本征值。討論：（1）箱歸一化實際上相當于如圖所示情況：(a)A’(b40（二）角動量算符（1）角動量算符的形式根據(jù)量子力學基本假定II，量子力學角動量算符為:(I)直角坐標系角動量平方算符經典力學中，若動量為p，相對點O的位置矢量為r的粒子繞O點的角動量是：由于角動量平方算符中含有關于x，y，z偏導數(shù)的交叉項,所以直角坐標下角動量平方算符的本征方程不能分離變量,難于求解,為此我們采用球坐標較為方便.（二）角動量算符（1）角動量算符的形式根據(jù)量子力學基本假定I41直角坐標與球坐標之間的變換關系xz球坐標ry這表明：r=r(x,y,z)x=x(r,θ,φ)(II)球坐標將（1）式兩邊分別對xyz求偏導數(shù)得：將（2）式兩邊分別對xyz求偏導數(shù)得：對于任意函數(shù)f(r,θ,φ)（其中，r,θ,φ都是x,y,z的函數(shù)）則有：將（3）式兩邊分別對xyz求偏導數(shù)得：直角坐標與球坐標之間的變換關系xz球坐標ry這表42將上面結果代回原式得：則角動量算符在球坐標中的表達式為：將上面結果則角動量算符43（2）本征方程(I)Lz的本征方程求歸一化系數(shù)正交性：I。波函數(shù)有限條件，要求 z為實數(shù)；II。波函數(shù)單值條件，要求 當φ轉過2π角 回到原位時波函數(shù) 值相等，即：合記之得正交歸一化條件：（2）本征方程(I)Lz的本征方程求正交性：I。波函數(shù)有44最后得Lz

的本征函數(shù)和本征值：討論：厄密性要求第一項為零所以則這正是周期性邊界條件最后得Lz討論：厄密性要求第一項為零所以則這正是周45(II)L2的本征值問題L2的本征值方程可寫為：為使Y(,)在變化的整個區(qū)域(0,π)內都是有限的，則必須滿足：=（+1),其中=0,1,2,...其中Y(,)是L2屬于本征值2的本征函數(shù)。此方程就是大家熟悉的球諧函數(shù)方程，其求解方法在數(shù)學物理方法中已有詳細的講述，得到的結論是：該方程的解就是球函數(shù)Ylm(,)，其表達式：歸一化系數(shù)，由歸一化條件確定(II)L2的本征值問題L2的本征值方程可寫為：為使Y46其正交歸一條件為：具體計算請參考有關數(shù)學物理方法的書籍，在這里就不作詳細介紹了。(III)本征值的簡并度由于量子數(shù)表征了角動量的大小，所以稱為角量子數(shù)；m稱為磁量子數(shù)?？芍?，對應一個值，m取值為0,±1,±2,±3,...,±

共(2+1)個值。因此當確定后，尚有(2+1)個磁量子狀態(tài)不確定。換言之，對應一個值有(2+1)個量子狀態(tài)，這種現(xiàn)象稱為簡并，的簡并度是(2+1)度。根據(jù)球函數(shù)定義式其正交歸一具體計算請參考有關數(shù)學物理方法的書籍，在這里就不47（3）角動量算符的對易關系證：（3）角動量算符的對易關系證：48§3電子在庫侖場中的運動（一）有心力場下的Schr?dinger方程（二）求解Schrodinger方程（三）使用標準條件定解（四）歸一化系數(shù)（五）總結§3電子在庫侖場中的運動（一）有心力場下的Schr?di49體系Hamilton量H的本征方程對于勢能只與r有關而與θ,

無關的有心力場，使用球坐標求解較為方便。于是方程可改寫為：V=-Ze2/r考慮一電子在一帶正電的核所產生的電場中運動，電子質量為μ，電荷為-e，核電荷為+Ze。取核在坐標原點，電子受核電的吸引勢能為：xz球坐標ry此式使用了角動量平方算符L2的表達式：（一）有心力場下的Schrodinger方程體系Hamilton量H的本征方程對于勢能只與r有50（二）求解Schrodinger方程（1）分離變量化簡方程ψ(r,θ,)=R(r)Ylm(θ,)令注意到L2Ylm=(+1)2Ylm則方程化為：令R(r)=u(r)/r代入上式得：若令討論E<0情況，方程可改寫如下：于是化成了一維問題，勢V(r)稱為等效勢，它由離心勢和庫侖勢兩部分組成。（二）求解Schrodinger方程（1）分離變量ψ(51令（2）求解(I)解的漸近行為ρ→∞時，方程變?yōu)樗钥扇〗鉃橛邢扌詶l件要求A'=0

2令（2）求解(I)解的漸近行為ρ→∞所以可取解為52(II)求級數(shù)解令為了保證有限性條件要求：當r→0時R=u/r→有限成立即代入方程令ν'=ν-1第一個求和改為:把第一個求和號中ν=0項單獨寫出，則上式改為：再將標號ν'改用ν后與第二項合并，代回上式得：(II)求級數(shù)解令為了保證有限性條件要求：當r→053[s(s-1)-(+1)]b0=0→s(s-1)-(+1)=0S=-

不滿足s≥1條件，舍去。s=+1高階項系數(shù)：[(ν+s+1)(ν+s)-(+1)]bν+1+(β-ν-s)bν=0系數(shù)bν的遞推公式注意到s=+1上式之和恒等于零，所以ρ得各次冪得系數(shù)分別等于零，即[s(s-1)-(+1)]b0=0→s(s-1)54（三）使用標準條件定解（3）有限性條件（1）單值；（2）連續(xù)。二條件滿足1.ρ→0時，R(r)有限已由s=+1條件所保證。2.ρ→∞時，f(ρ)的收斂性如何？需要進一步討論。所以討論波函數(shù)的收斂性可以用e

ρ代替f(ρ)后項與前項系數(shù)之比級數(shù)e

ρ與f(ρ)收斂性相同可見若f(ρ)是無窮級數(shù)，則波函數(shù)R不滿足有限性條件，所以必須把級數(shù)從某項起截斷。與諧振子問題類似,為討論f(ρ)的收斂性現(xiàn)考察級數(shù)后項系數(shù)與前項系數(shù)之比：（三）使用標準條件定解（3