2010年-數(shù)學(xué)分析參考答案

2010年燕山大學(xué)數(shù)學(xué)分析參考答案答案來自數(shù) ：答案參考，作者不對其準(zhǔn)確性負(fù)責(zé)。大家主要看的是解題思路。如發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，請回帖或發(fā)郵件指正（s ），謝謝！一兩次羅必達(dá)法則即可，發(fā)現(xiàn)燕山大學(xué)一般第一題都是極限題，而且只考羅必達(dá)法則1lim1xx1 1

ln1xlim1x

1＝lim

1

1 2二0Iexdcos0excosxexcos 1exdsin01exsinx0即12I1 三⑴除零點(diǎn)外顯然函數(shù)處處不連續(xù)，所以這里應(yīng)該使用方式來證明。對0，這里不訪設(shè)1，則取即可x0時(shí)fxf0x22fx0⑵考慮極限limfxf

limf 對0取，則當(dāng)0

x0

fx0x

x所以由極限定義知

fxf

limfx f00四學(xué)分析》上冊P93的證明?？梢栽跀?shù)學(xué)中。下寫簡要過程：由導(dǎo)數(shù)定義及極限的保號性知xU0axU0bxx fx1fa,fx2fbf在aba,bf在點(diǎn)取得最大值，而由上式知ab即ab，也就是說f的極小值點(diǎn)。由費(fèi)馬定理得f0□五注意：下面的證明都是在x1時(shí)討論的，不在一一說明。xft由題知f至少是二次可微的因?yàn)閒x

x

f左邊可微則右邊必可微，所以去分母后，兩邊同時(shí)求導(dǎo)x2fxx1fx0，分離變量得dfxx2f x所以lnfxxlnx1C，（右邊的對數(shù)中沒加絕對值是由于x1fxCexlnx1f01在給定的方程中令x0即得所以C1fx0fxf01而由于fxexlnx1ex，兩邊積分得： fxf0xftdtxetdtex （x0 fxx0時(shí)有exfx1由積分中值定0,1s.t.f12f10f 2 gxxfxgg1f所以由羅爾中值定理,1s.tgff0□本答案提供者為：數(shù)學(xué)/凡星有夢■由t02x02x 2ydx2ytxtdt21cost2dt3□本答案提供者為：數(shù)學(xué)/凡星 參見：華東師大第三版《數(shù)學(xué)分析P233中只證明了x0,2的情況，所以還需要說明一下：由于x在端點(diǎn)時(shí)sinnx0，所以數(shù)顯然收n設(shè)冪極數(shù)Sn

則有其收斂半徑r1，因此在1,1上可逐項(xiàng)求積分，所以當(dāng)x1,1S xtn1dt

xtn1dtx1dxln1

01 1 x2即得n2nln2ln2 對方程兩邊求微解

dx1 ez dxf1f2dxf3dxf1f21xexyf3ezx□本答案提供者為：數(shù)學(xué)/凡星有夢■

xr應(yīng)用極坐標(biāo)變換yrarctana,arctan

則Jr并由原區(qū)域確定變量范2sin2sinsinsin 所以所求面Sarctanarctan

2 sin

rdrd

arctanbqpdqarctanasin

arctanbarctanasinqparctanbdcos

qparctanb

2 2

arctan

1cos21cos

dcossin2q 1cos2

arctanqarctan

2arctan ln

lncot4qplnb

1cos2arctan

arctan補(bǔ)上半球下面的圓面*:z0,x2y2a2取下側(cè)為正向，使其成為一個(gè)封閉曲面S*， x3dydzy3dxdzz3dxdy0所以由高斯公x3dydzy3dxdzz3dxdy做球坐標(biāo)

x3dydzy3dxdzz3dxdyx2y2z2 xrsin令yrsinzr

0r0/0/2a2 / a 則上面的積分等于00 0rrsindrdd0d0 sind0rdr 本答案提供者為：數(shù)學(xué)/凡星有夢■本題考查學(xué)生含參量積分、分部積分以及常微分方程基礎(chǔ)知識I2tet2sin0sin02 sin etco