Banach空間及其相關(guān)定理

課程論文課程現(xiàn)代分析基礎(chǔ)學(xué)生姓名學(xué)號院系 專業(yè) 指導(dǎo)教師二Ｏ一五年十二月四日目錄1緒論 緒論巴拿赫空間（Banachspace）是一種賦有“長度”的線性空間，泛函分析研究的基本對象之一。數(shù)學(xué)分析各個(gè)分支的發(fā)展為巴拿赫空間理論的誕生提供了許多豐富而生動(dòng)的素材。從魏爾斯特拉斯，K.(T.W.)以來，人們久已十分關(guān)心閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)以及它們的一致收斂性。甚至在19世紀(jì)末，G.阿斯科利就得到[a，b]上一族連續(xù)函數(shù)之列緊性的判斷準(zhǔn)則，后來十分成功地用于常微分方程和復(fù)變函數(shù)論中。1909年里斯，F(xiàn).(F.)給出[0，1]上連續(xù)線性泛函的表達(dá)式，這是分析學(xué)歷史上的重大事件。還有一個(gè)極重要的空間，那就是由所有在[0，1]上次可勒貝格求和的函數(shù)構(gòu)成的空間。在1910～1917年，人們研究它的種種初等性質(zhì)；其上連續(xù)線性泛函的表示，則照亮了通往對偶理論的道路。人們還把弗雷德霍姆積分方程理論推廣到這種空間，并且引進(jìn)全連續(xù)算子的概念。當(dāng)然還該想到希爾伯特空間。正是基于這些具體的、生動(dòng)的素材，巴拿赫，S.與維納，N.相互獨(dú)立地在1922年提出當(dāng)今所謂巴拿赫空間的概念，并且在不到10年的時(shí)間內(nèi)便發(fā)展成一部本身相當(dāng)完美而又有著多方面應(yīng)用的理論[1]。由于其在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中的廣泛運(yùn)用，在20世紀(jì)30年代就得到了很大的發(fā)展，并很快成為一門獨(dú)立的學(xué)科[2]。Banach空間理論還是泛函分析的主要組成部分，是泛函分析涵蓋的其他三個(gè)主要研究方向：算子理論，應(yīng)用泛函分析以及Banach代數(shù)的理論基礎(chǔ)，影響著他們的發(fā)展[3]。20世紀(jì)60年代以后，不僅Banach空間理論本身有了深入的發(fā)展，更值得注意的是它在量子力學(xué)，物理學(xué)等許多領(lǐng)域都獲得了廣泛的應(yīng)用，已經(jīng)成為自然科學(xué)與工程技術(shù)理論不可缺少的重要研究工具。接下來本文將用四章的內(nèi)容對Banach空間以及Banach空間中的相關(guān)定理做一個(gè)介紹。本文從第二章的Banach空間的概念開始講起，逐步引出Banach空間中的相關(guān)定理，這其中包括一致有界性定理、Hahn-Banach定理、開映射、閉圖像定理以及逆算子定理。泛函科學(xué)體系的建立正是得益于20世紀(jì)初Banach空間這幾個(gè)定理的提出。2Banach空間基本概念在探討B(tài)anach空間之前，本文先用一些定義來解釋一下Banach空間并就相關(guān)的基本概念做一個(gè)介紹。2.1擬范數(shù)定義及例子定義2.1.1線性空間：設(shè)X為一個(gè)線性空間，則在X中對加法滿足：(1)x+y=y+x（交換律）(2)(x+y)+z=x+(y+z)（結(jié)合律）(3)存在零元θ，使θ+x=x(4)存在逆元x`使得x`+x=θ，x`記為-x對數(shù)乘滿足：(5)1·x=x，θ·x=θ(6)λ(μx)=λμx（結(jié)合律）(7)(λ+μ)x=λx+μx（數(shù)乘分配律）(8)λ(x+y)=λx+λy定義2.1.2設(shè)K是實(shí)數(shù)域R或復(fù)數(shù)域C，X為數(shù)域K上的一個(gè)線性空間，若||·||是X到R的映射并且滿足：(1)||x||=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0，x∈X(2)存在C≥1對所有的x，y∈X，||x+y||≤C||x||+C||y||(3)若x∈X而α∈K，則||αx||=|α|||x||其中(2)中的常數(shù)C不依賴于x，y，則稱||·||為X上擬范數(shù)，而||x||稱為x的擬范數(shù)，這時(shí)，稱(X，||·||)為擬賦范線性空間[4]。定義2.1.3設(shè)(X，||·||)為擬賦范線性空間，||x||為x的擬范數(shù)，則有||-x||=||x||，limαn→下面給出擬賦范線性空間的例子：例2.1.1對于0≤p＜1，lp={(xi)|xi∈K，i=1∞|xi|p<2.2Banach空間定義2.2.1在定義2.1.2的條件下，明顯的，若C=1，則(X，||·||)為線性賦范空間。一般的，擬范數(shù)||x||不一定就是X上的范數(shù)。定義2.2.2賦范（擬賦范）線性空間X中若lim則稱點(diǎn)列{xn}為柯西點(diǎn)列。定義2.2.3賦范（擬賦范）線性空間X如果是完備的，即X中的每一個(gè)柯西點(diǎn)列{xn}在X中強(qiáng)收斂于某一點(diǎn)x0：lim則稱線性空間X為Banach空間。（有關(guān)強(qiáng)收斂的定義見定義2.2.4）下面給出Banach空間的例子：例2.2.1(1)在C[a，b]中，||x||=maxt∈[a,b]|x(t)|，x(t)∈C[a，(2)在m中，||x||=sup1<i<∞|ξi|，則C[a，b]，m都是Banach空間。其中范數(shù)||x||可以理解為距離，有了范數(shù)的概念，我們可以引入任意的點(diǎn)之間的距離。顯然，由d(x，y)=||x-y||定義了X上的一個(gè)距離。容易驗(yàn)證，這個(gè)距離滿足距離的三條公理。第一第二公理是顯然的，現(xiàn)給出第三公理—三角不等式的證明：設(shè)x，y，z∈X，有d(x，y)=||x-y||=||x-z+z-y||≤||x-z||+||z-y||=d(x，z)+d(x，y)，證畢。定義2.2.4若limn→∞dxn，x=0，則稱點(diǎn)列{xn命題2.2.1在賦范（擬賦范）線性空間X中，有(1)若s-limn→∞xn=x(2)若s-limn→∞xn=x，s-lim(3)若s-limn→∞xn=x，s-lim下面給出命題2.2.1的證明：只需證明在實(shí)的擬范數(shù)意義下(2)成立即可。事實(shí)上，由于||αx-αnxn||≤||(α-αn)x||+||αn(x-xn)||故只要證明limn→∞xn=0意味著limn→∞αx記pn(α)=||αxn||是定義在實(shí)數(shù)集R1上的函數(shù)，則由(c`)知pn(α)在R1上是連續(xù)的，因此由(c`)，limn→∞pn(α)=0及Egorov定理，存在lim在A上一致成立。因?yàn)長ebesgue測度關(guān)于平移是連續(xù)的，若記B?C表示對稱差(B∪C)\(B∩C)，則當(dāng)σ→0時(shí)，|(A+σ)?A|→0。因此存在正數(shù)σ0，使得當(dāng)|σ|≤σ0時(shí)，|(A+σ)?A|<|A|/2。特別的，有|(A+σ)∩A|>0。所以任何滿足|σ|≤σ0的實(shí)數(shù)σ可表示成σ=α-α`，其中α，α`∈A。故，由pn(σ)=pn(α-α`)≤pn(α)+pn(α`)，得limn→∞pn(α)=0在|σ|≤|σ0如果M是任一正數(shù)，取正整數(shù)k≥M/σ0，則由pn(kσ)≤kpn(σ)知對所有的|α|≤M，(1)成立，證畢。2.3Banach空間中線性變換及其性質(zhì)定義2.3.1設(shè)T是從賦范線性空間X到賦范線性空間Y的線性變換，定義其范數(shù)為T若||T||<∞，則稱T是有界線性變換。注1：在上式中，||x||是X中向量x的范數(shù)，||Tx||是Y中向量Tx的范數(shù)。在幾種范數(shù)同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，可以根據(jù)上下文搞清楚究竟指的是哪一種范數(shù)。注2：由于||Tx||≤||T||||x||以及T=sup因此T這意味著T將X中的閉單位球映到Y(jié)中以0為中心，||T||為半徑的閉球內(nèi)。定義2.3.2設(shè)X為Banach空間，f：X→R的一個(gè)泛函。(1)若對任意x1，x2∈X，f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，α∈R，f(αx)=αf(x)則稱f為X上的線性泛函。(2)若對任意x∈X，存在一個(gè)正數(shù)M，使|f(x)|≤M||x||，則稱f為X上的有界泛函。(3)若對任意xn，x∈X，xn→x時(shí)，必有f(xn)→f(x)，則稱f為X上的連續(xù)泛函。定義2.3.3設(shè)T是從賦范（擬賦范）線性空間X到賦范（擬賦范）線性空間Y內(nèi)的線性變換，則下列命題等價(jià)：(1)T是有界的(2)T是連續(xù)的(3)T在X的某點(diǎn)連續(xù)3一致有界定理及其推論上一章本文介紹了有關(guān)Banach空間的基本知識，以下的幾章將從一致有界定理講起，對Banach空間中的相關(guān)定理做一個(gè)介紹。3.1問題設(shè)X是賦范線性空間，有界性算子族{Tα：α∈A}?B(X→Y)，如果滿足條件：?x∈X，{Tα：α∈A}是X中的有界集，問{Tα：α∈A}是否為B(X→Y)中的有界集？1927年，Banach（巴拿赫）和Steinhaus（斯蒂豪斯）給出的一致有界性定理回答了這個(gè)問題。這個(gè)定理也是Banach空間理論的基石之一[6]。3.2基本概念下面介紹一些在學(xué)習(xí)一致有界定理之前需要知道的基本概念。定義3.2.1集E?X稱為無處稠密的，如果它的閉包E不包含X的非空開集。任意一列無處稠密集合列之并稱為第一類型集；X的其他集稱為第二類型集。顯然，E是X中無處稠密集?int(E)=?。事實(shí)上，如果E是無處稠密集，而int(E)≠?，則存在x∈int(E)=?，故存在r>0，使得U(x,r)?E，即E在U(x,r)反之，若int(E)=?。如果M不是無處稠密集，則?r>0，?x∈X，使得U(x,r)?E，x∈int(E)，這與int(定理3.2.1(Baire-Hausdroff定理)任意一個(gè)完備的度量空間是第二類型集；或者說，X的任意一列稠密開子集的交在X中稠密。（注：這一定理的逆定理是不正確的，Bourbaki（布爾巴基）在1955年給出了反例：一個(gè)不完備的空間仍是第二類型集。）證明：設(shè){Vn}是X中的一列稠密開集，W是X中的任一開集，我們需要證明當(dāng)W≠?時(shí)，W∩(∩nVn)≠?。設(shè)d是X的度量，記S(x,r)={y∈X:d(y,x)<r}并設(shè)S(x,r)是S(x,r)的閉包，由V1稠密，W∩V1是非空開集，故存在x1和r1使得S(x,r)?W∩V1，且0<r1<1。如果n≥2且xn-1和rn-1都已選出，則Vn的稠密性表明W∩Vn非空，因此存在xn和rn使S(x,r)?Vn∩S(xn-1,rn-1)由歸納法，我們得到X中的一個(gè)點(diǎn)列{xn}，且當(dāng)i，j>n時(shí)，xi，xj∈B(xn，rn)，因此d(xi，xj)<2n，從而{xn}是柯西點(diǎn)列。由于X是完備的，存在x∈X，使得lim另一方面，由于i>n時(shí)，xi∈S(xn,rn)。于是對每一個(gè)n，x∈S(xn,rn)，（2）表明x3.3一致有界定理及其推論定理3.3.1（一致有界定理）設(shè)X是B-空間，Y是賦范線性空間，而{Tα：α∈A}是一族有界線性算子，那么或者存在某正數(shù)M>0，使得對每個(gè)α∈A||Tα||≤M，或者對X的某個(gè)稠密Gδ集中的所有點(diǎn)xsup這一定理的另一敘述如下：或者Y中存在一個(gè)球B（半徑為M，中心為0）使每個(gè)Tα映X的單位球到B內(nèi)，或者存在x∈X，使Y中沒有一個(gè)球能包含所有的Tαx。證明：令φxVn因?yàn)槊總€(gè)Tα連續(xù)，并且Y的范數(shù)是Y上的連續(xù)函數(shù)，故x→||Tαx||在X上連續(xù)，因此φ是下半連續(xù)的，并且Vn是開集。如果這些開集中有一個(gè)，例如不妨設(shè)VN不稠密于X，則一定存在x0∈X和r>0，使||x||<r蘊(yùn)含著x0+x?VN；這表明φx0+x≤N，或?qū)λ笑痢蔄和滿足||x||≤r的所有x都有||Tα(x0+x)||≤N。由于x=(x||Tαx||≤||Tα(x0+x)||+||Tαx0||≤2N，這說明對每個(gè)α∈A，||Tα||≤2N/r。如果每個(gè)Vn都在X中稠密，則由Baire-Hausdroff定理，∩nVn是X中一個(gè)稠密Gδ集。由于對每個(gè)x∈∩nVn，φx推論3.3.1（共鳴定理）設(shè){Tα：α∈A}是一族定義在B-空間X上取值于賦范線性空間Y中的有界線性算子，則{||Tαx||：α∈A}在每一點(diǎn)x∈X有界意味著{||Tα||：α∈A}有界。證明：由一致有界定理，對任意?>0存在δ>0，當(dāng)||x||<δ時(shí)總有supα∈ATαx推論3.3.2設(shè){Tα}是一列定義在B-空間X上取值于賦范線性空間Y中的有界線性算子，如果對每個(gè)x∈X，s-limn→∞Tnx=Tx存在，則T||T||≤證明：由范數(shù)的連續(xù)性知對每一個(gè)x∈X，序列{||Tnx||}是有界的。因此由推論6.1，supn≥1Tn<∞并且Tn這即為所要證明的不等式。T的線性性顯然成立。3.4一致有界性定理及其推論的應(yīng)用例3.4.1（傅立葉級數(shù)的發(fā)散問題）令C2π為定義在實(shí)軸上，以2π為周期的實(shí)連續(xù)函數(shù)組成的集合。在Cx則C2π是B-設(shè)x∈C2π1由古典分析可知，上述級數(shù)的前n+1項(xiàng)之和為1=令Kns,t=sinn+12我們的目的是證明：對任意一點(diǎn)t0∈[-π，π]，C2π中必有函數(shù)x(t)，它的傅立葉級數(shù)在t0發(fā)散。因?yàn)镃2π中的函數(shù)均以2π為周期，不妨設(shè)t0=0。對每個(gè)n，作C2π上的線性泛函fn則f下面估計(jì)積分-ππ-π==最后一個(gè)等式中做了變換替換u=(n+10=因此f由推論3.3.2，至少存在某函數(shù)x0∈C2π，使|fn(x0)|發(fā)散，由fn的定義可知，x0的傅立葉級數(shù)在t0=0發(fā)散。4Hahn-Banach定理與凸集分離定理本文在上一章主要介紹了Banach空間中一致有界定理以及其推論，這章將介紹Banach空間中的另一個(gè)重要定理。4.1實(shí)線性空間上的Hahn-Banach定理定理4.1.1（Hahn-Banach受控延拓定理）設(shè)X是實(shí)線性空間，p(x)是定義在X的實(shí)值函數(shù)，滿足對任意的x，y∈X及實(shí)數(shù)α，p(x+y)≤p(x)+p(y)，p(αx)=|α|p(x)（稱p是X上的半范數(shù)）。M是X的實(shí)線性子空間，f0是定義在M上的實(shí)線性泛函，對任意的x，y∈M和任意實(shí)數(shù)α，β，有f0(αx+βy)=αf0(x)+βf0(y)。如果在M上f0(x)≤p(x)，則存在定義在X上的實(shí)線性泛函F滿足(1)F是f0的延拓，即對任意的x∈M，有F(x)=f0(x)；(2)在X上F(x)≤p(x)。證明：首先假設(shè)X是由M及元素x0X={x=m+αx0:m∈M,α是實(shí)的}因?yàn)閤0?M，對X中的元素x∈M，上面的表示x=m+αx0是唯一的。因此對任意x，y∈M和任意實(shí)數(shù)F(x)=F(m+αx0)=f0(m)+αc，則F是X上的實(shí)線性泛函，且是f0的延拓。下面取c，使F(x)≤p(x)，即f0(m)+αc≤p(m+αx0)。這等價(jià)于如下兩個(gè)條件f0(m/α)+c≤p(m/α+x0)α>0，f0(m/(-α))-c≤p(m/(-α)-x0)α<0。為滿足這些條件，只要選取c，使得f0這種c是可取到的，因?yàn)閒≤p我們只需取c介于兩數(shù)supm`∈M考慮f0的所有滿足g(x)≤p(x)，x∈D(g)的延拓g組成的集族，如果h是g的一個(gè)延拓，則定義h>g，則該集族構(gòu)成一個(gè)偏序集。由Zorn定理，存在f0的最大線性延拓g，對所有x∈D(g)，滿足g(x)≤p(x)。下面只要證明D(g)=X即可。否則，將D(g)看作M，g看作f0，則存在g的延拓F滿足F(x)≤p(x)，x∈D(F)，這與g是最大延拓矛盾。4.2復(fù)線性空間上的Hahn-Banach定理定理4.2.1設(shè)X是復(fù)線性空間，p(x)是X上的半范數(shù)。設(shè)M是X的線性子空間，f是M上的復(fù)線性泛函，且在M上|f(x)|≤p(x)，則存在定義在X上的復(fù)線性泛函F，使得：(1)F是f的延拓；(2)在X上|F(x)|≤p(x)。證明：顯然如果將數(shù)乘運(yùn)算限制在實(shí)數(shù)域上，復(fù)線性空間亦可看作是實(shí)線性空間。令f(x)=g(x)+ih(x)，其中g(shù)(x)和h(x)分別是f(x)的實(shí)部和虛部，則g(x)和h(x)是M上的實(shí)線性泛函，且在M上滿足|g(x)|≤|f(x)|≤p(x)，|h(x)|≤|f(x)|≤p(x)。因?yàn)閷θ我鈞∈Mg(ix)+ih(ix)=f(ix)=if(x)=i(g(x)+ih(x))=-h(x)+ig(x)，故對x∈M，h(x)=-g(ix)。因此由定理4.4.1存在g的實(shí)線性延拓G，滿足G(x)≤p(x)。從而-G(x)=G(-x)≤p(-x)=p(x)，故|G(x)|≤p(x)。令F(x)=G(x)-iG(ix)則由F(ix)=G(ix)-iG(-x)=G(ix)+iG(x)=iF(x)，易得F是X上的復(fù)線性泛函。對任意x∈M，F(xiàn)(x)=G(x)-iG(ix)=g(x)-ig(ix)=g(x)+ih(x)=f(x)因此F是f的延拓。下面證明|F(x)|≤p(x)。記Fx=re-iθ4.3賦范線性空間上的Hahn-Banach定理定理4.3.1（Hahn-Banach保范延拓定理）設(shè)X是賦范線性空間的子空間，M是X的線性子空間，f1是M上的連續(xù)線性泛函，則存在X上的連續(xù)線型泛函F滿足：(1)F是f1的延拓；(2)||f1||=||F||。證明：令p(x)=||f1||·||x||，則p是X上的連續(xù)半范數(shù)，并且在M上|f1(x)|≤p(x)。由定理4.2.1，存在f1的線性延拓F滿足|F(x)|≤p(x)。因此F≤supx≤1px=||f1||。另一方面，因?yàn)镕是f4.4有關(guān)Hahn-Banach定理的一些推論推論4.4.1設(shè)X是賦范線性空間，對任意的x∈X，x?θ，則存在f∈X*使得f(x)=||x||且||f||=1。證明：令M是x張成的一維線性子空間，則M={λx|λ為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)}。令f(λx)=λ||x||則f是M上的有界線性泛函，且f(x)=||x||，||f||=1。由定理4.3.1將f由M保范線性延拓成X上的有界線性泛函即可。推論4.4.2對于賦范線性空間X內(nèi)的任意向量x，由||x||=sup{|f(x)|：f∈X*,||f||≤1}證明：由|f(x)|≤||f||·||x||及推論1知推論2成立。4.5Hahn-Banach定理的幾何形式：凸集分離定理推論4.4.1的幾何意義如下：若x≠θ，令||x||=r，由推論4.4.1，存在f∈X*使得f(x)=||x||=r且||f||=1，當(dāng)x∈S(θ,r)時(shí)，||x||≤|f(x)|≤||f||·||x||=||x||≤r*設(shè)H={x|f(x)=r}，在幾何上，稱H為X中的一個(gè)超平面(Hyperplane)。超平面的特性是它可以把整個(gè)空間分隔為互相隔離的兩個(gè)部分H-和H+：H-={x|f(x)≤r}，H+={x|f(x)≥r}。其中*式表示整個(gè)閉球S(θ,r)位于超平面H的一側(cè)，即包含在定理4.5.1（凸集分離定理，SeparatingTheorem）設(shè)X-Banach空間，A，B?X為兩個(gè)凸集，A∩B=?，其中有一個(gè)凸集有內(nèi)點(diǎn)，則必存在一個(gè)f*∈X*及超平面H={X|f(x)=α}使這個(gè)超平面H分離凸集A和B，即fx5Banach空間中開映射、閉圖像定理以及逆算子定理本文上一章主要敘述了Hahn-Banach定理及其相關(guān)推論，本章將重點(diǎn)介紹開映射和閉圖像這兩個(gè)定理，而且本章會(huì)用到第三章提到的一些定理及定義。5.1開映射定理命題5.1.1設(shè)X，Y是線性拓?fù)淇臻g，T是X到Y(jié)內(nèi)的連續(xù)線性變換，并假設(shè)T的值域R(T)是Y中的第二類型集，則對X中0的任意一個(gè)鄰域U，存在Y中0的鄰域V，使得V?TU證明：設(shè)W是X中0的一個(gè)鄰域，滿足W=-W，W+W?U。對每個(gè)x∈X，當(dāng)n→∞時(shí)x/n→0，因此對充分大的n，x∈nW。因此X=?n=1∞(nW)，從而RT=?n=1∞T(nW)。由于R(T)是第二類型集，故存在n0使得T(n0W)包含Y的非空開集。而T(nW)=n(TW)，并且因?yàn)閚TW與TW同胚，TW中也包含了非空開集，設(shè)y0=Tx0(x0∈W)是這個(gè)開集中的一點(diǎn)，由于映射x→-x0+x是同胚的，故在Y中存在0的鄰域V使得V?-y0+T(W)。-y0因此-y0+T(W)?T(U)，取閉包-定理5.1.1（開映射定理）設(shè)X是Banach空間，Y是線性賦范空間T：X→Y是有界線性算子并且R(T)是Y中的第二綱集，則T必是開算子（開映射）并且是到上的。特別的，從Banach空間到Banach空間上的有界線性算子是開算子（開映射）。證明：a.我們知道，對于線性賦范空間的任意子集A，B，A+U=容易驗(yàn)證U1+UT(U我們只要證明了T(U1)含有內(nèi)點(diǎn)，則T(U)注意?x∈X,xn→0，于是存在n使得xn∈TXT(X)是第二綱集，故存在n使得nT(U1)具有非空內(nèi)部，也即T(U1)具有非空內(nèi)部。此時(shí)由上面所說，T(U)以0∈Y為內(nèi)點(diǎn)。不妨設(shè)T(Ox(0,1))=T(U)?Oy(0,δ)，其中δ>0。（為明確起見我們記X中OYb.現(xiàn)在我們證明，由(2)可以推出OY實(shí)際上，?y0∈O于是存在x1∈OX(0,r2O于是存在x2∈Ox一般來說，?xn∈現(xiàn)在一方面limn→∞yni=1∞X完備，故存在xn=limn→∞i=1nxiy這說明(3)成立。T是開算子。c.記V=OY0,rδ2TXT是到上的。由于完備度量空間是第二綱集，故最后的結(jié)論是明顯的。5.2逆算子定理上一節(jié)我們了解了開映射定理，本文接下來將要介紹閉圖像定理，但在講閉圖像定理之前，我們需要首先了解一下逆算子定理。在微積分課程中介紹過反函數(shù)的概念，并且知道“單調(diào)函數(shù)必存在反函數(shù)”，將此概念和結(jié)論推廣到更一般的空間。定義5.2.1逆算子（廣義上）：設(shè)X和Y是同一數(shù)域K上的線性賦范空間，G?X，算子T：G→Y，T的定義域?yàn)镈(T)=G；值域?yàn)镽(T)。用T-1表示從R(T)→D(T)的逆映射（蘊(yùn)含T是單射），則稱T-1為T的逆算子（invertiableoperator）。定義5.2.2正則算子：設(shè)X和Y是同一數(shù)域K上的線性賦范空間，若算子T：G?X(1)T是可逆算子；(2)T是滿射，即R(T)=Y；(3)T-1是線性有界算子，則稱T為正則算子（normaloperator）。性質(zhì)5.2.1若G?X→Y是線性算子，則T證明：y1，y2∈Y，α，β∈K，由T線性性知：T=由于T可逆，即T不是零算子，于是T-1αy1定理5.2.1逆算子定理：設(shè)T是Banach空間X到Banach空間Y上的雙射（既單又滿）、線性有界算子，則T-1是線性有界算子。例5.2.1設(shè)線性賦范空間X上有兩個(gè)范數(shù)||·||1和||·||2，如果(X，||·||1)和(X，||·||2)均是Banach空間，而且||·||2比||·||1強(qiáng)，那么范數(shù)||·||1和||·||2等價(jià)。（等價(jià)范數(shù)定理）證明：設(shè)I是從由(X,||·||2)到(X,||·||1)上的恒等映射，由于范數(shù)||·||2比范數(shù)||·||1強(qiáng)，所以存在M>0，使得?x∈X有||Ix||1=||x||1≤M||x||2于是I是線性有界算子，加之I既是單射有時(shí)滿射，因此根據(jù)逆算子定理知I-1是線性有界算子，即存在M`>0，使得?x∈X有||I-1x||2=||x||2≤M`||x||1故范數(shù)||·||1和||·||2等價(jià)。5.3閉圖像定理定義5.3.1設(shè)X和Y是同一數(shù)域上的線性拓?fù)淇臻g，則乘積空間X×Y按如下運(yùn)算構(gòu)成線性空間：x如果稱形如G的集合為X×Y中的開集，其中G1，G2分別是X和Y中的開集，則X×Y是一個(gè)拓?fù)渚€性空間。進(jìn)一步，如果X和Y是擬賦范線性空間，令x,y則X×Y構(gòu)成擬賦范線性空間。由于s-limn→∞{xn,yn}={x,y}等價(jià)于s-limn→∞xn=x，s-lim定義5.3.2設(shè)T是D(T)?X到Y(jié)的線性變換，T的圖像是指X×Y中的集合{x,Tx:x∈D(T)}，記為G(T)。設(shè)X，Y是拓?fù)渚€性空間，如果G(T)是X×Y的閉線性空間，則稱T是閉線性算子。如果從D(T)?X到Y(jié)的線性變換T的圖像G(T)的閉包是從D(S)?X到Y(jié)的線性變換S的圖像，則稱注：當(dāng)X和Y是擬賦范線性空間時(shí)，T是閉線性算子的充分必要條件是：對任意{xn}?D(T)，s-limn→∞xn=x和命題5.3.1若X，Y是擬賦范線性空間，則T可閉的充分必要條件是對任意{xs-limn→∞xn=0證明：必要性顯然成立。充分性：如下定義T的最小閉延拓S：當(dāng)且僅當(dāng)存在{xn}?D(T)且s-limn→∞xn=x，由s-limn→∞xn=0和s-limn→∞Txn=y意味著y=0，y由x唯一確定。下面證明S是ω因此，s-lim故ω∈DS定義5.3.3(1)設(shè)X，Y是兩個(gè)集合，考慮乘積X×Y={x,y若T：X→Y是某個(gè)映射，則稱集合G是T的圖像。顯然X×Y中的點(diǎn)(x,y)∈G(T)當(dāng)且僅當(dāng)y=Tx。(2)若X，Y是線性賦范空間，定義x,y則得到X×Y上的范