電動力學-習題答案chapter

考慮兩列振幅相同的偏振方向相同頻率分別為d和d的線偏振平面波它們都沿z軸方向求合成波證明波的振幅不是常 而是一個求合成波的相位速度和振幅速 E1(x,t)E0(x)cos(k1x E2(x,t)E0(x)cos(k2x EE1(x,t)E2(x,t)E0(x)[cos(k1x1t)cos(k2x k1 12t)cos(k1

1x 2E0(x) x2

其中k1kdkk2kdk;1d,2 E2E0(x)cos(kxt)cos(dkxd E2E0(xcos(dkxd相速kxtvp群速dkxdt

一平面電磁波以45o從真空入射到r2的介質(zhì)電場強度垂直于入射 求反r S,S',S''分別為入射波反射波和折射波的玻S'S'SnnE'R nTS''nT

E2E00n2cos2E''2n1cosE20又根據(jù)電場強度垂直于入射面的公式可R

1cos cos1 cos cos2 41412coscos(1cos 2cos21sin2 10,202 22 2R(

22 2 2 224

222 22 22T 22

32有一可見平面光波由水入射到空氣入射角為60 證明這時將會發(fā)生全反射并求折射波沿表面的相速度和透入空氣的深度 設(shè)該波在空氣中的波長為06.28105 水的折射率為 1解由折射定律得臨界角c kk3 3k相速度vpk 2k

) 所以當平面光波以 入射 6.28 sin2nsin260 sin2nsin260 vvv 頻率為的電磁波在各向同性介質(zhì) 時若E,D,B,H仍按ei(kxt)變化但 E平行DEv v v v vkBkDBDBE0,但一般kE

v 2 vv 2[kE(kE)k 證明 由麥氏方程 EHvH

D B得0 v v v v0B

ei(kxt)ikBei(kxt)ikBrkBv同 kDv

vv]

v

v0 [ei(kxt 0

i ikBvv1v(vv)B v

vv]

vvi [ei(kxtv 1

vBE(kE)E Eik vQD E一般 即kE一般B 1 B 由E B(kD D另由H D(kvv) 1 B(k

得H(k

2 vvSEHE(kE)[Ek(kQv

2 kE一般0S一般E 一個波沿x方向偏振另一個沿方向偏振2

反之一個圓偏振可以分解為怎樣的兩個線偏振解偏振方向在x軸上的波可記為xA0cos(tkz)A0cos(t0xyAcos(tkz

)Acos(t 00y0x2

0x2y2A2[cos2(t )cos2(t0y 00A2[cos2(t0000即x2y20

0x)sin2(t0x所以合成的振動是一個圓頻率為的沿z軸方 的右旋圓偏振反之一個圓振可以分解為兩個偏振方向垂直同振 同頻 相位差為2的線偏振的合證明設(shè)在z>0z<0的空間中垂直于導體表面入射 zi(ztEE0 于是由 0的表 單位面積進入導體的能量v

1 1 ) E 其中HkEin

H)2vzi(zt

JE 所以金屬導體單1面積v*消v的 dQ

E)

2E0122 作積 Q2E00 dz4 又Q2QE2 E 原題得證 已知海水的r1,1S 試計算頻率為50,106和109Hz的三種電磁波在22透射深 Qr0r0422 250410722 25041072221064107222106410723109Hz時:3 2

22221094107平面電磁波由真空傾斜入射到導電介質(zhì)表面上入射角為 相速度和衰減長度若導電介質(zhì)為金 結(jié)果如 v提示導電介質(zhì)中 量ki,只有z分量為什解根據(jù)題 如圖所

zv kvkvzv kvkvk0 EE xei(0 k''x2 22v 2x根據(jù)邊界條件得k''x

ix

x又kxkxksin1 vv

c 故k,k無y分 y0,y v有與

2222(csin1 有 z

2212

22 2

22222 c

c2 212 2 12

)2222] c

c

1v1v如果是良導體

sin2122c 2 c 2

z

2

1

4222 2c2sin2 2[c4 2

21

4

2222 2c2 2[c2 2無限長的矩形波導管在在 0處被一塊垂直地插入地理想導體平板完全封閉求z到 0這段管內(nèi)可能存在的波解在此中結(jié)構(gòu)得波導管 電磁波的依舊滿足亥姆方 2Ek2Ek0

v E(x,y,z)(C1sinkxxD1coskxx)(C2sinkyyD2coskyy)(C3sinkzzD3coskzEyEz0,(x0, ExEz0,(y0,

0,(x0,

0,(y0,

0,(zExA1coskxxsinkyysinkz故EyA2sinkxxcoskyysinkzEzA3sinkxxsinkyycoskzE其

m,makn,n kxkykz 00c2A1aA2bA3kz綜上

E(x,y,z,t)E(x,y)ei(k2zt)在波導管中沿z方向傳 試使 Ei0H及Hi0EEx(xy)和Hz(xy這兩證 沿z軸的電磁波其電場和磁場可寫 E(x,y,z,t)E(x,y)ei(kzzt H(x,y,z,t)H(x,y)ei(kzztvE H

Bi vEEivE0

ikz

ikz

i0H

H

H

H

ikzH

i0 H

H

ikzH

H

i0 H

H

0由 消去

得

i(2k2

kEzzc 由 消去

得

k

kEzzc 由 消去Ey

Hx

H

0Ez1 k21由 消去Ex

c1Hy 1

2

Hy

z0zi( kc v 對于定態(tài)波磁場為v(v,)

v()Hx Hx v 由麥氏方程組 H 得H)(H2H2Hi 又EB 2

Ev(

k)H0, HHvHv 由nB0得nH Hn利用viv和電場的邊界條件可 Ht

HnH論證矩形波導管內(nèi)不存在TMm0TM0nv證明E

cos

xsink

yeikzEyA2sinkxxcoskyyeikz

A3sinkxxsinkv

yeikzHE Hx(A3kyiA2kz)sinkxxcosk

yeikzHH

(iA1k

A3kx)coskxxsink

yeikzH

(A

Ak)cos

xcos

yeikz 2 1 本題討論TM波故 A2kxA1ky故 若n0,則kyb0,A2kx又kxa0,那么 HxHy 若m0,則kxa0,A1ky又kyb0,那么A1HxHy波導中不可能存在TMm0TM0n兩種模式的頻率為30109Hz的微波在0.7cm0.4cm的矩形波導管中能以什么波 0.7cm0.6cm的矩形波導管中能以什么波模解1 30109Hz 波導為0.7cm0.4cmc (m)c (m)2(nb當a0.7102mb0.4102mm1,n1時,4.31010Hzm1,n0時2.11010Hzm0n1時,3.71010Hz此波可以以TM10波在其 30109Hz 波導為0.7cm0.6cmm1,n1時,2.11010Hzm1,n0時2.51010Hzm0n1時,3.31010Hz此波可以以TE10TE01兩種波一對無限大的平行理想導體板相距為b 電磁波沿平行與板面的z方向 在x方向是均勻的求可能的波模和每種波模的截止頻率解在導體板之 的電磁波滿足亥姆方 2Ek2Ek0v 令 是E的任意一個直角分 由于E在x方向上是均勻U(x,y,z)U(y,z)Y(y)Z又在y方向由于有金屬板作為邊界是取駐波解在z方向是空間取行波解得通解U(xyz)(C1sink

y

cosk

y)eikz由邊界條件nE0,和n0EAsin(

y)ei(kzzt i(kzt

n E

且k2

k,n E

sin(

y)ei(kzzt

c 又由E0得A1獨立與A2,A3無 bA2ikz令 0得截止頻率cbv證明在諧振腔 電場E的分布

cos

xsink

yeikzEyA2sinkxxcoskyyeikz

A3sinkxxsinkv

yeikzHE Hx(A3kyiA2kz)sinkxxcosk

yeikzHH

(iA1k

A3kx)coskxxsink

yeikzHzz

(A

Ak)cos

xcos

yeikz 2 1 1v 由 (EDHB)有諧振腔21 電場能流密 1 E 1 *

v* 2[

4[A2cos2kxsin2kysin2kzA2sin2kxcos2kysin2kzA2sin2kxsin2kycos2k 2)磁場能流

1v H BRe(H*B4 [(AkA

)2sin2kxcosk2kycos2kz4 3 z

(A1kzA3kx)2cos2k