上海市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題【含答案】

上海市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題一．填空題1.______【分析】直接利用反三角函數(shù)的定義求值即可．【詳解】解：，，，故．本題主要考查反三角函數(shù)的求值問(wèn)題，要注意反三角函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．2.已知一扇形的圓心角為1弧度，半徑為1，則該扇形的面積為_(kāi)_______.【分析】直接利用扇形面積公式計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)扇形的面積公式可得.故答案為本題考查了扇形的面積，屬于簡(jiǎn)單題.3.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則的值是________．.分析：由對(duì)稱(chēng)軸得，再根據(jù)限制范圍求結(jié)果.詳解：由題意可得，所以，因?yàn)?，所以點(diǎn)睛：函數(shù)（A>0,ω>0）的性質(zhì)：(1)；(2)最小正周期；(3)由求對(duì)稱(chēng)軸；(4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間.4.已知，則______.【分析】直接根據(jù)正切函數(shù)的二倍角公式求解即可.【詳解】解:已知,所以故答案為:本題考查正切函數(shù)的二倍角公式,熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵.5.在中的內(nèi)角、、所對(duì)的邊、、，，，，則__________．1【分析】根據(jù)正弦定理可得，結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】，由正、余弦定理得.故答案為.本題主要考查了正弦定理，余弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是將角化邊.6.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則數(shù)列的公差為_(kāi)_____.【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式即可得出.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，

∵，∴，

則數(shù)列的公差.

故?1.本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝an＋，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=______.；【詳解】試題分析：解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=a1+，解得a1=1,當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=（）-（）=-整理可得an＝?an?1，即=-2，故數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列，故an=1×（-2）n-1=（-2）n-1故答案為（-2）n-1．考點(diǎn):等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．8.在中，角,,所對(duì)的邊分別為，，，若的面積為，且,,成等差數(shù)列，則最小值為_(kāi)_____．4【分析】先根據(jù),,成等差數(shù)列得到，再根據(jù)余弦定理得到滿(mǎn)足的等式關(guān)系，而由面積可得，利用基本不等式可求的最小值.【詳解】因?yàn)?,成等差數(shù)列，，故.由余弦定理可得.由基本不等式可以得到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.因?yàn)?，所以，所以即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故填4.三角形中與邊有關(guān)的最值問(wèn)題，可根據(jù)題設(shè)條件找到各邊的等式關(guān)系或角的等量關(guān)系，再根據(jù)邊的關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征選用合適的基本不等式求最值，也可以利用正弦定理把與邊有關(guān)的目標(biāo)代數(shù)式轉(zhuǎn)化為與角有關(guān)的三角函數(shù)式后再求其最值.9.設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)之積為，并且滿(mǎn)足條件：，，，給出下列結(jié)論：①；②；③是數(shù)列中的最大項(xiàng)；④使成立的最大自然數(shù)等于4031；其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_____.①③【分析】分別討論和，找到矛盾，可判斷①，通過(guò)以及可得到，則通過(guò)可判斷②，通過(guò)時(shí)，，時(shí)，，可判斷③，算出，可判斷④.【詳解】解：∵，

若，則，此時(shí)，與矛盾，故不成立，若，，此時(shí)，與矛盾，故不成立，∴，故①正確；因?yàn)椋?，，由得，故②不正確；因?yàn)椋?，，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以是數(shù)列中的最大項(xiàng)，故③正確；

，，

∴使成立的最大自然數(shù)等于4032，故④不正確.

故①③.本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、遞推關(guān)系、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.10.已知正項(xiàng)數(shù)列中，若存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)數(shù)列中任意一項(xiàng)，也是數(shù)列中的一項(xiàng)，稱(chēng)數(shù)列為“倒置數(shù)列”，是它的“倒置系數(shù)”；若等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是，數(shù)列所有項(xiàng)之積是，則______（用和表示）【分析】由數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)的有窮正項(xiàng)等比數(shù)列，取，由“倒置數(shù)列”的定義可知，數(shù)列是“倒置數(shù)列”，再由等比數(shù)列的性質(zhì)即可求得數(shù)列所有項(xiàng)之積是.【詳解】解：∵數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為的有窮正項(xiàng)等比數(shù)列，取，

對(duì)數(shù)列中的任意一項(xiàng)，

也是數(shù)列中的一項(xiàng)，

由“倒置數(shù)列”的定義可知，數(shù)列是“倒置數(shù)列”，

又∵數(shù)列所有項(xiàng)之積是，

，

則.

故答案為本題是新定義題，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，正確找出數(shù)列的一個(gè)“倒置系數(shù)”是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題.二．選擇題11.已知（），則（）A. B.C. D.B【分析】先計(jì)算出，再求得解.【詳解】由題得，，所以.故選B本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.12.下列等式中正確的是（）A. B.C. D.C【分析】利用反三角函數(shù)對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷得解.【詳解】選項(xiàng)A,中x,而是錯(cuò)誤的，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B,,所以該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；選項(xiàng)C,，所以該選項(xiàng)是正確的；選項(xiàng)D,,反正切函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，所以該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的.故選C本題主要考查反三角函數(shù)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.13.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)的最小正周期為D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線(xiàn)圍成的封閉圖形面積為D【分析】由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得f（x）的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．【詳解】解：函數(shù)的部分圖象，可得A＝2，?，∴ω＝2．再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得2?φ，∴φ，f（x）＝2sin（2x）．令x，求得f（x）＝﹣2，為函數(shù)的最小值，故A錯(cuò)誤；令x，求得f（x）＝﹣1，不是函數(shù)的最值，故B錯(cuò)誤；函數(shù)f（2x）＝2sin（4x）的最小正周期為，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，2x，函數(shù)f（x）的圖象與直線(xiàn)y＝2圍成的封閉圖形為x、x、y＝2、y＝﹣2構(gòu)成的矩形的面積的一半，矩形的面積為π?（2+2）＝4π，故函數(shù)f（x）的圖象與直線(xiàn)y＝2圍成的封閉圖形面積為2π，故D正確，故選D．本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．14.已知.將四個(gè)數(shù)按照一定順序排列成一個(gè)數(shù)列，則（）A.當(dāng)時(shí)，存在滿(mǎn)足已知條件的，四個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列B.當(dāng)時(shí)，存在滿(mǎn)足已知條件的，四個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列C.當(dāng)時(shí)，存在滿(mǎn)足已知條件的，四個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列D.當(dāng)時(shí)，存在滿(mǎn)足已知條件的，四個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列D【分析】注意到時(shí)，符合題目的要求，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】注意到時(shí)，，且的值為，構(gòu)成公差為的等差數(shù)列.由此判斷出D選項(xiàng)正確.故選D.本小題主要考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義，考查分析求解能力，屬于基礎(chǔ)題.三．解答題15.已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值與最小值．（1）；（2）最大值，最小值．分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性得出結(jié)論．

（2）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)在區(qū)間上的值域．【詳解】解：（1）函數(shù)，

故它的最小正周期；

（2）在區(qū)間上，，

故當(dāng)

時(shí)，取得最小值為，取得最小值為；

當(dāng)時(shí)，取得最大值為1，取得最大值為，

故函數(shù)在區(qū)間上的最大值，最小值．本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．16.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，公差，且是等比數(shù)列；（Ⅰ）求；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（Ⅱ）根據(jù)的正負(fù)性，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（Ⅰ）由題意：是等比數(shù)列，所以有解得：或0（舍去），所以；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，即有；當(dāng)時(shí)，，，即有．本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力17.已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列，且，，.（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)于任意，有，求實(shí)數(shù)的值.（1），（2）（3）【分析】（1）假設(shè)公差，公比，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)式子，可得，，然后利用公式法，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用錯(cuò)位相減法求和，可得結(jié)果.（3）計(jì)算出，代值計(jì)算并化簡(jiǎn)，可得結(jié)果.【詳解】解：（1）依題意：，即，解得：所以，（2），，，上面兩式相減，得：則即所以，（3），所以由得，，即本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及利用錯(cuò)位相減法求和，屬基礎(chǔ)題.18.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，，．（1）求、的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)，有．（1），；（2）；（3）證明詳見(jiàn)解析．【分析】（1）由得，，解得，同理可得；（2）當(dāng)時(shí)，，可得，化簡(jiǎn)構(gòu)造數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式；（3）當(dāng)時(shí)，，利用放縮法證明不等式.【詳解】（1）由得，，又，所以；當(dāng)時(shí)，得，解得；（2），當(dāng)時(shí)，，所以，化簡(jiǎn)得：，所以，即，又，所以，故數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，所以，得；（3），當(dāng)時(shí)，，數(shù)列為等差數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，，原不等式成立，當(dāng)時(shí)，，所以，原不等式成立，綜上，對(duì)一切正整數(shù)，有．本題主要考查了等差與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查了利用放縮法證明數(shù)列不等式，考查了學(xué)生的邏輯推理與運(yùn)算求解能力.四．附加題19.已知函數(shù)，（）．（1）試討論并直接寫(xiě)出的單調(diào)性；（2）試求的最小值．（1）增區(qū)間：；減區(qū)間：，；（2）．【分析】（1）根據(jù)輔助角公式可得，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論可得分子在處取得最小值2，分母取得最大值，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）∵，令，解得，令，解得即的增區(qū)間為，減區(qū)間：，（2）由（1）可得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即和處同時(shí)取得最小值2，即在上恒成立，而在處取得最大值，所以當(dāng)時(shí)，有最小值.本題主要考查了三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，正弦型函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)最值的求法，屬于中檔題.20.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足：，．（1）