用Jacobi-迭代法-Gauss-Seidol迭代法求解線性方程組-討論收斂性VIP

實驗六解線性方程組的迭代法一、實驗目標1、理解求解線性方程組的兩種迭代法的求解思想：Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法。2、掌握迭代法收斂的條件，并會判斷Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收斂性。3、學會編程實現(xiàn)Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法，掌握終止迭代的技術(shù)（X(k1)X(k)<或k（予給的迭代次數(shù)）與發(fā)散性判斷的方法。4、體會初始解X(0)，松弛因子的選取，對計算結(jié)果的影響。二、實驗問題解線性方程組AXb.1 5 1 8(1)A4 1 1,b13; 2 1 6 2 1 5 15(2)A4 8 1,b21; (3)

4 1 1 74 2312100008 6536501004 20 22115312311013914

512 12 3 2A4 2

1 6

3 3 2 3，

3b 8 6 8

7

2 6 3 5 460 2

3 4

5 3 0 1

13 16 10 11 9 17

2 1 2 2

384 6 2 7 13

2 0 12 4

19 0 0 1 8 3 24 8 6 3 2

=(1, -1, 0, 1, 2, 0, 3, 1, -1, 2)T.對稱正定陣系數(shù)陣24024024024021213211418352161431812241033441112531011406334264 0 062240

0 06 203 23A , b .2 4

922 0 2

15 0 1945精確解*= (1, -1, 0, 2, 1, -1, 0, 2)T.11000000041000000141000000141000000141000000141000000141000000141000000140000000141

0 70 5 0 0 130 0 2 0 0 6A , b .0 0 12 0 0 0 0

14 4 0

5 0

4

5精確解*=(2, 1, -3, 0, 1, -2, 3, 0, 1, -1)T.三、實驗要求1、試用Jacobi迭代法，Gauss-Seidol(1)，(2)，討論收斂性。2、編寫Jacobi迭代法，Gauss-Seidol迭代法解線性方程組的一般程序，對不同精度要求，如103,104,105，求解線性方程組(1)，(2)，由迭代次數(shù)體會該迭代法的收斂快慢。3、使用SOR方法求解方程組(3)，(4)，(5)，選取松弛因子=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，觀察松弛因子的不同取法對算法收斂性的影響，并能找出你所選用的松弛因子的最佳者。附錄一：

《數(shù)值分析》實驗報告（模板）【實驗課題】 用Jacobi迭代法迭代法求解線性方程組論收斂性【實驗目標】

word專業(yè)資料-可復制編輯-歡迎下載、 理解求解線性方程組的Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法的求解思想2、 了解迭代法收斂的條件會判斷Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收斂性。3、 學會編程實現(xiàn)Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法掌握終止迭代的術(shù)（X(k)X(k) < 或k（予給的迭代次數(shù)）與發(fā)散性判斷的方法。【理論概述與算法描述】雅可比迭代法對于矩陣A，A=D-L-U，令M=D，則A=D-N，則雅克比迭代法xk1=Bxk+f，其中B-I-1/DA=D^-1(L+U)=J,計xk=(Xk,Xk)T所以axk1

1i1

naxknaxkbiii

j

ijj ijjji1

i,因此雅可比迭代法得計算公式x0(X0,X0 X0)T1 2 n

xk1(bnaxk)/ai i ijj iij1,i=1,2,3.......,k=0,1,2.....高斯塞德爾迭代法令M=D-L,A=M-N,得B=(D-L)^-1U=G,G為高斯塞德爾迭代法的迭代矩陣，得axk1

i1

axk1

axkb到iii

j1

ijj

ijjji1

i，所以高斯塞德爾計算公式為x0(X0,X0 X0)T，1xk1=（

2i1

naxk1

axkb）/a，ij1

ijj

ijj iji1

ii i=1,2,3.......,k=0,1,2.....word專業(yè)資料-可復制編輯-歡迎下載【實驗問題】用Jacobi迭代法，Gauss-Seidol迭代法求解線性方程組，判斷收斂性【實驗過程與結(jié)果】1.2.matlab編程實現(xiàn)3.對實驗結(jié)果進行分析，比較兩種方法，并判斷收斂性【結(jié)果分析、討論與結(jié)論】兩種方法得到的結(jié)果一樣，雅可比k=17x=-0.1348-1.0829word專業(yè)資料-可復制編輯-歡迎下載3.92032.高斯塞德爾k=17x=-0.1348-1.08293.9203【附程序】雅可比程序算法function n=length(b);x=zeros(n,1);x=x0+1;k=0;whilenorm(x-x0)>tolifk>20disp('jacobifails')end

break;

word專業(yè)資料-可復制編輯-歡迎下載k=k+1;fori=1:nx0=x;x(i)=(b(i)-A(i,1:n)*x0+A(i,i)*x(i))/A(i,i);endendk高斯塞德爾程序算法functionx=gaussseided(A,b,x0,tol)n=length(b);x=zeros(n,1);x=x0+1;k=0;whilenorm(x-x0)>tolifk>20disp('gaussseidedfails:')break;endk=k+1;fori=1:nx0=x;

word專業(yè)資料-可復制編輯-歡迎下載x(i)=(b(i)-A(i,1:(i-1))