人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)

12.3角的平分線的性質(zhì)12.3角的平分線的性質(zhì)角平分線是從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線..1.什么叫角平分線？復(fù)習(xí)：角平分線是從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成感悟?qū)嵺`經(jīng)驗(yàn)，用尺規(guī)作角的平分線

下圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是∠DAB的平分線．你能說(shuō)明它的道理嗎？

ABDCE感悟?qū)嵺`經(jīng)驗(yàn)，用尺規(guī)作角的平分線下圖是一個(gè)平分角尺規(guī)作角的平分線觀察領(lǐng)悟作法，探索思考證明方法：AＢＯＭＮＣ畫法：

１．以Ｏ為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．２．分別以Ｍ，Ｎ為圓心．大于1/2ＭＮ的長(zhǎng)為半徑作?。畠苫≡凇希粒希碌膬?nèi)部交于Ｃ．３．作射線ＯＣ．射線ＯＣ即為所求．

尺規(guī)作角的平分線觀察領(lǐng)悟作法，探索思考證明方法：AＢＯＭＮＣ畫∠AOB平分線OC，在OC上任取一點(diǎn)P，過(guò)P向角的兩邊作垂線段PD、PE，你能得出什么結(jié)論？思考AOBPEDC畫∠AOB平分線OC，在OC上任取一點(diǎn)P，過(guò)P向角的兩邊作垂你能證明嗎？將∠AOB沿OC對(duì)折，我發(fā)現(xiàn)PD與PE重合，即PD與PE相等.圖1-26你能證明嗎？將∠AOB沿OC對(duì)折，我發(fā)現(xiàn)PD∵

PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∵∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，

OP=OP，∴△PDO≌△PEO.∴

PD=PE.我們來(lái)證明這個(gè)結(jié)論.圖1-26圖1-26∵PD⊥OA，PE⊥OB，在△PDO和△PEO中，∴△用符號(hào)語(yǔ)言表示為：AOBPED12∵∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.∵OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，

PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.C角平分線的性質(zhì)定理：

角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．用符號(hào)語(yǔ)言表示為：AOBPED12∵∠1=∠2∵OC是∠角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。BADOPEC定理應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離。定理的作用：證明線段相等。推理的理由有三個(gè)，必須寫完全，不能少了任何一個(gè)。角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。B同學(xué)甲、乙誰(shuí)的畫法是正確的?同學(xué)甲、乙誰(shuí)的畫法是正確的?B思考：如圖所示OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),問(wèn)PE=PD?為什么?OAEDCPPD,PE沒(méi)有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角平分線上任一點(diǎn)這個(gè)角兩邊的距離,所以不一定相等.B思考：如圖所示OC是∠AOB的平分線,P是OC上1、∵AD平分∠CAB,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(______________________________)ACDEB12DC=DE角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等2、判斷題（）∵如圖，AD平分∠BAC（已知）

∴

BD=DC，

()角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等?！馏w驗(yàn)成功ACDEB12DC=DE角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等2∵如圖，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）

∴

=

，()在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。BDCD（×）∵如圖，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴

=

，（）

DBDC在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。√不必再證全等∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴例1.

如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.

求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.證明：過(guò)點(diǎn)P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、

CA，垂足為D、E、F∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上

∴PD=PE（在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.

即點(diǎn)P到邊AB、BC、

CA的距離相等DEFABCPMN例1.如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.

求例2.已知：在等腰Rt△ABC中，AC＝BC∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E。求證：BD＋DE＝AC

變式已知AB＝15cm,求△DBE的周長(zhǎng)EDCBA例2.已知：在等腰Rt△ABC中，AC＝BC變式動(dòng)腦筋角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上嗎？如圖1-27，點(diǎn)P

在∠AOB

的內(nèi)部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D，E.若PD=PE，那么點(diǎn)P在∠AOB的平分線上嗎？圖1-27動(dòng)腦筋角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)在Rt△PDO和Rt△PEO中，∵

OP=OP，PD=PE，∴

Rt△PDO≌Rt△PEO.∵

PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.如圖1-27，過(guò)點(diǎn)O，P作射線OC.∴∠AOC=∠BOC.∴

OC是∠AOB的平分線，即點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上.圖1-27在Rt△PDO和Rt△PEO中，∵PD⊥OA，PE⊥OB角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。角平分線的判定定理：AOBPDEC用符號(hào)語(yǔ)言表示為：∵PD⊥OA，PE⊥OB且PD=PE∴OC平分∠AOB.由此得到角平分線的性質(zhì)定理的逆定理：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上已知：如圖在四邊形ABCD中，AB＝AD，

AB⊥BC，AD⊥DC．求證：點(diǎn)A在∠DCB的平分線上．體驗(yàn)成功已知：如圖在四邊形ABCD中，AB＝AD，體驗(yàn)成功舉例例1如圖1-28，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.

（1）求證：點(diǎn)B在∠ADC的平分線上；（2）求證：BD是∠ABC的平分線.圖1-28舉例1如圖1-28，∠BAD=∠BCD=90°，∠證明：在△ABC中，∵∠1=∠2，∴

BA=BC.又BA⊥AD，BC⊥CD，∴點(diǎn)B在∠ADC的平分線上.圖1-28（1）求證：點(diǎn)B在∠ADC的平分線上；人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)證明：在△ABC中，又BA⊥AD，BC⊥CD，∴點(diǎn)B圖1-28證明：在Rt△BAD和Rt△BCD中，

∵

BA=BC，BD=BD，∴

Rt△BAD≌Rt△BCD.∴∠ABD=∠CBD.∴

BD是∠ABC的平分線.（2）求證：BD是∠ABC的平分線.人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)圖1-28證明：在Rt△BAD和Rt△BCD中，∴Rt△例

已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.

求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.ABCPMNABCPMN練習(xí)：

已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.

求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.證明：過(guò)點(diǎn)P作PD、PE、PF分別垂直于AB、

BC、CA，垂足分別為D、E、FFDEDE又∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上

∴PD=PE（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.

即點(diǎn)P到邊AB、BC、

CA的距離相等想一想，點(diǎn)P在∠A

的平分線上嗎？這說(shuō)明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)例已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.

練習(xí)：如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上．

證明：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于MGHM∵點(diǎn)F在∠BCE的平分線上，F(xiàn)G⊥AE，F(xiàn)M⊥BC∴FG＝FM又∵點(diǎn)F在∠CBD的平分線上，F(xiàn)H⊥AD，F(xiàn)M⊥BC∴FM＝FH∴FG＝FH∴點(diǎn)F在∠DAE的平分線上人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)練習(xí)：如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交解：設(shè)要截取的長(zhǎng)度為Ｘm,則：

練習(xí)：要在Ｓ區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路和鐵路距離相等，且離公路和鐵路的交叉處500米，該集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處？（比例尺1：20000）ＳＯ公路鐵路解得：Ｘ＝0.025m

＝2.5cmＡ則點(diǎn)Ａ即為所求的點(diǎn)拓展思維：若把在Ｓ區(qū)去掉，有幾處A點(diǎn)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)解：設(shè)要截取的長(zhǎng)度為Ｘm,則：解作∠AOB的角平分線，交MN于一點(diǎn)，則這點(diǎn)即為所

求作的點(diǎn)P.（提示：用尺規(guī)作圖）練習(xí)如圖，在直線MN上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到∠AOB兩邊的距離相等.P人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)解作∠AOB的角平分線，交MN于一點(diǎn)，則這點(diǎn)即為所練習(xí)如2.如圖，在△ABC

中，AD

平分∠BAC，DE⊥AB

于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，BD=CD.

求證：AB=AC.證明∵點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，

DE⊥AB，DF⊥AC，

∴

DE=DF.

∴

AB=AC.在Rt△BED和Rt△CFD中，

∵

BD=CD，DE=DF，∴

Rt△BED≌Rt△CFD.∴∠B=∠C.人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)2.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB動(dòng)腦筋如圖1-29，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF

的中點(diǎn).需添加一個(gè)什么條件，就可使CM，AM分別為∠ACD和∠CAB的平分線呢？圖1-29圖1-29人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)動(dòng)腦筋如圖1-29，已知EF⊥CD，EF∵

ME⊥CD，MN⊥CA，同理可得AM是∠CAB的平分線.可以添加條件MN=ME

（或MN=MF）.∴

M在∠ACD的平分線上，即CM是∠ACD的平分線.圖1-29人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)∵M(jìn)E⊥CD，MN⊥CA，同理可得AM是∠CAB的平分線如圖1-30，在△ABC

的外角∠DAC

的平分線上任取一點(diǎn)P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn).試探索BE+PF與PB的大小關(guān)系.例2∴

PE=PF.在△EBP中，BE+PE>PB，∴

BE+PF>PB.∵

AP是∠DAC的平分線，又PE⊥DB，PF⊥AC，解圖1-30舉例人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)如圖1-30，在△ABC的外角∠DAC的平分線上任取例2利用結(jié)論，解決問(wèn)題練一練

1、如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村.要使這個(gè)度假村到三條公路的距離相等,應(yīng)在何處修建?想一想在確定度假村的位置時(shí),一定要畫出三個(gè)角的平分線嗎?你是怎樣思考的?你是如何證明的?人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)利用結(jié)論，解決問(wèn)題練一練

1、如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展拓展與延伸2、直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:()

A.一處B.兩處

C.三處D.四處分析:由于沒(méi)有限制在何處選址,故要求的地址共有四處。人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)拓展與延伸2、直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)練習(xí)3

如圖,求作一點(diǎn)P,使PC=PD,并且點(diǎn)P到∠AOB的兩邊的距離相等.C●D●ABO人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)練習(xí)3如圖,求作一點(diǎn)P,使PC=PD,并且點(diǎn)P到∠AOB的練習(xí)如圖，E是∠AOB

的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA

于點(diǎn)C，ED⊥OB于點(diǎn)D.

求證：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD.人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)練習(xí)如圖，E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA于點(diǎn)C（2）在Rt△OED和Rt△OEC中，

∵

OE=OE，ED=EC，∴

Rt△OED≌Rt△OEC(HL).∴

OD=OC.證明（1）∵點(diǎn)E在∠BOA的平分線上，

EC⊥AO，ED⊥OB，

∴

ED=EC.

∴∠ECD=∠EDC.∴△EDC

是個(gè)等腰三角形.人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)（2）在Rt△OED和Rt△OEC中，2.如圖，在△ABC

中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，

BC分別平分∠BAD，∠ABE，點(diǎn)C在線段DE上.

求證：AB=AD+BE.M證明作CM⊥AB于點(diǎn)M.∵AC，BC分別平分∠BAD，∠ABE，

∴

CD=CM，CE=CM.在Rt△ACD和Rt△ACM中，

∵

CM=CD，AC=AC，∴

Rt△ACD≌Rt△ACM.∴AD=AM.同理，BE=BM.又

AB=AM+BM，∴

AB=AD+BE.人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)2.如圖，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，M12.3角的平分線的性質(zhì)12.3角的平分線的性質(zhì)角平分線是從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線..1.什么叫角平分線？復(fù)習(xí)：角平分線是從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成感悟?qū)嵺`經(jīng)驗(yàn)，用尺規(guī)作角的平分線

下圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是∠DAB的平分線．你能說(shuō)明它的道理嗎？

ABDCE感悟?qū)嵺`經(jīng)驗(yàn)，用尺規(guī)作角的平分線下圖是一個(gè)平分角尺規(guī)作角的平分線觀察領(lǐng)悟作法，探索思考證明方法：AＢＯＭＮＣ畫法：

１．以Ｏ為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．２．分別以Ｍ，Ｎ為圓心．大于1/2ＭＮ的長(zhǎng)為半徑作?。畠苫≡凇希粒希碌膬?nèi)部交于Ｃ．３．作射線ＯＣ．射線ＯＣ即為所求．

尺規(guī)作角的平分線觀察領(lǐng)悟作法，探索思考證明方法：AＢＯＭＮＣ畫∠AOB平分線OC，在OC上任取一點(diǎn)P，過(guò)P向角的兩邊作垂線段PD、PE，你能得出什么結(jié)論？思考AOBPEDC畫∠AOB平分線OC，在OC上任取一點(diǎn)P，過(guò)P向角的兩邊作垂你能證明嗎？將∠AOB沿OC對(duì)折，我發(fā)現(xiàn)PD與PE重合，即PD與PE相等.圖1-26你能證明嗎？將∠AOB沿OC對(duì)折，我發(fā)現(xiàn)PD∵

PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∵∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，

OP=OP，∴△PDO≌△PEO.∴

PD=PE.我們來(lái)證明這個(gè)結(jié)論.圖1-26圖1-26∵PD⊥OA，PE⊥OB，在△PDO和△PEO中，∴△用符號(hào)語(yǔ)言表示為：AOBPED12∵∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.∵OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，

PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.C角平分線的性質(zhì)定理：

角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．用符號(hào)語(yǔ)言表示為：AOBPED12∵∠1=∠2∵OC是∠角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。BADOPEC定理應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離。定理的作用：證明線段相等。推理的理由有三個(gè)，必須寫完全，不能少了任何一個(gè)。角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。B同學(xué)甲、乙誰(shuí)的畫法是正確的?同學(xué)甲、乙誰(shuí)的畫法是正確的?B思考：如圖所示OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),問(wèn)PE=PD?為什么?OAEDCPPD,PE沒(méi)有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角平分線上任一點(diǎn)這個(gè)角兩邊的距離,所以不一定相等.B思考：如圖所示OC是∠AOB的平分線,P是OC上1、∵AD平分∠CAB,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(______________________________)ACDEB12DC=DE角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等2、判斷題（）∵如圖，AD平分∠BAC（已知）

∴

BD=DC，

()角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等?！馏w驗(yàn)成功ACDEB12DC=DE角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等2∵如圖，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）

∴

=

，()在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。BDCD（×）∵如圖，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴

=

，（）

DBDC在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等?！滩槐卦僮C全等∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴例1.

如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.

求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.證明：過(guò)點(diǎn)P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、

CA，垂足為D、E、F∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上

∴PD=PE（在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.

即點(diǎn)P到邊AB、BC、

CA的距離相等DEFABCPMN例1.如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.

求例2.已知：在等腰Rt△ABC中，AC＝BC∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E。求證：BD＋DE＝AC

變式已知AB＝15cm,求△DBE的周長(zhǎng)EDCBA例2.已知：在等腰Rt△ABC中，AC＝BC變式動(dòng)腦筋角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上嗎？如圖1-27，點(diǎn)P

在∠AOB

的內(nèi)部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D，E.若PD=PE，那么點(diǎn)P在∠AOB的平分線上嗎？圖1-27動(dòng)腦筋角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)在Rt△PDO和Rt△PEO中，∵

OP=OP，PD=PE，∴

Rt△PDO≌Rt△PEO.∵

PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.如圖1-27，過(guò)點(diǎn)O，P作射線OC.∴∠AOC=∠BOC.∴

OC是∠AOB的平分線，即點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上.圖1-27在Rt△PDO和Rt△PEO中，∵PD⊥OA，PE⊥OB角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。角平分線的判定定理：AOBPDEC用符號(hào)語(yǔ)言表示為：∵PD⊥OA，PE⊥OB且PD=PE∴OC平分∠AOB.由此得到角平分線的性質(zhì)定理的逆定理：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上已知：如圖在四邊形ABCD中，AB＝AD，

AB⊥BC，AD⊥DC．求證：點(diǎn)A在∠DCB的平分線上．體驗(yàn)成功已知：如圖在四邊形ABCD中，AB＝AD，體驗(yàn)成功舉例例1如圖1-28，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.

（1）求證：點(diǎn)B在∠ADC的平分線上；（2）求證：BD是∠ABC的平分線.圖1-28舉例1如圖1-28，∠BAD=∠BCD=90°，∠證明：在△ABC中，∵∠1=∠2，∴

BA=BC.又BA⊥AD，BC⊥CD，∴點(diǎn)B在∠ADC的平分線上.圖1-28（1）求證：點(diǎn)B在∠ADC的平分線上；人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)證明：在△ABC中，又BA⊥AD，BC⊥CD，∴點(diǎn)B圖1-28證明：在Rt△BAD和Rt△BCD中，

∵

BA=BC，BD=BD，∴

Rt△BAD≌Rt△BCD.∴∠ABD=∠CBD.∴

BD是∠ABC的平分線.（2）求證：BD是∠ABC的平分線.人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)圖1-28證明：在Rt△BAD和Rt△BCD中，∴Rt△例

已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.

求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.ABCPMNABCPMN練習(xí)：

已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.

求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.證明：過(guò)點(diǎn)P作PD、PE、PF分別垂直于AB、

BC、CA，垂足分別為D、E、FFDEDE又∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上

∴PD=PE（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.

即點(diǎn)P到邊AB、BC、

CA的距離相等想一想，點(diǎn)P在∠A

的平分線上嗎？這說(shuō)明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)例已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.

練習(xí)：如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上．

證明：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于MGHM∵點(diǎn)F在∠BCE的平分線上，F(xiàn)G⊥AE，F(xiàn)M⊥BC∴FG＝FM又∵點(diǎn)F在∠CBD的平分線上，F(xiàn)H⊥AD，F(xiàn)M⊥BC∴FM＝FH∴FG＝FH∴點(diǎn)F在∠DAE的平分線上人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)練習(xí)：如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交解：設(shè)要截取的長(zhǎng)度為Ｘm,則：

練習(xí)：要在Ｓ區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路和鐵路距離相等，且離公路和鐵路的交叉處500米，該集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處？（比例尺1：20000）ＳＯ公路鐵路解得：Ｘ＝0.025m

＝2.5cmＡ則點(diǎn)Ａ即為所求的點(diǎn)拓展思維：若把在Ｓ區(qū)去掉，有幾處A點(diǎn)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)解：設(shè)要截取的長(zhǎng)度為Ｘm,則：解作∠AOB的角平分線，交MN于一點(diǎn)，則這點(diǎn)即為所

求作的點(diǎn)P.（提示：用尺規(guī)作圖）練習(xí)如圖，在直線MN上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到∠AOB兩邊的距離相等.P人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)解作∠AOB的角平分線，交MN于一點(diǎn)，則這點(diǎn)即為所練習(xí)如2.如圖，在△ABC

中，AD

平分∠BAC，DE⊥AB

于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，BD=CD.

求證：AB=AC.證明∵點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，

DE⊥AB，DF⊥AC，

∴

DE=DF.

∴

AB=AC.在Rt△BED和Rt△CFD中，

∵

BD=CD，DE=DF，∴

Rt△BED≌Rt△CFD.∴∠B=∠C.人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)2.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB動(dòng)腦筋如圖1-29，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF

的中點(diǎn).需添加一個(gè)什么條件，就可使CM，AM分別為∠ACD和∠CAB的平分線呢？圖1-29圖1-29人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)動(dòng)腦筋如圖1-29，已知EF⊥CD，EF∵

ME⊥CD，MN⊥CA，同理可得AM是∠CAB的平分線.可以添加條件MN=ME

（或MN=MF）.∴

M在∠ACD的平分線上，即CM是∠ACD的平分線.圖1-29人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)∵M(jìn)E⊥CD，MN⊥CA，同理可得AM是∠CAB的平分線如圖1-30，在△ABC

的外角∠DAC

的平分線上任取一點(diǎn)P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn).試探索BE+PF與PB的大小關(guān)系.例2∴

PE=PF.在△EBP中，BE+PE>PB，∴

BE+PF>PB.∵

AP是∠DAC的平分線，又PE⊥DB，PF⊥AC，解圖1-30舉例人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件：角的平分線的性質(zhì)如圖1-30，在△ABC的外角∠DAC