Ch3各向異性彈性力學(xué)基礎(chǔ)課件

第三章各向異性彈性力學(xué)基礎(chǔ)第三章各向異性彈性力學(xué)基礎(chǔ)1第一節(jié)簡(jiǎn)介什么是均質(zhì)材料？以往所學(xué)的材料力學(xué)與彈性力學(xué)的研究對(duì)象主要是均質(zhì)、各向同性材料均質(zhì)材料是指材料內(nèi)部各個(gè)不同物質(zhì)點(diǎn)（或空間坐標(biāo)）的性質(zhì)相同，如彈性模量什么是各向同性材料？各向同性材料是指材料沿不同方向的性質(zhì)相同（圖）第一節(jié)簡(jiǎn)介什么是均2從細(xì)觀上看，復(fù)合材料是異質(zhì)材料，因?yàn)椴牧现械脑鰪?qiáng)相和基體相的材料性質(zhì)不同，所以復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)要反映出這種非均質(zhì)性。從宏觀力學(xué)分析角度看，復(fù)合材料可被視作均質(zhì)各向異性材料。（沒(méi)有絕對(duì)的均質(zhì)材料，如離散原子在空間的密度就不均勻，可以視作連續(xù)和均質(zhì)是因?yàn)樗芯肯到y(tǒng)的尺度遠(yuǎn)大于材料不均勻變化波長(zhǎng)。）從細(xì)觀上看，復(fù)合材料是異質(zhì)材料，因?yàn)椴牧现械脑鰪?qiáng)相和基體相的3各向異性是復(fù)合材料宏觀力學(xué)的最重要特征！復(fù)合材料的各向異性可能來(lái)源于兩個(gè)方面增強(qiáng)相排布的方向性增強(qiáng)相和基體相本身的各向異性各向異性是復(fù)合材料宏觀力學(xué)的最重要特征！復(fù)合材料的各向異性可4復(fù)合材料宏觀力學(xué)分析的基本假設(shè)1)所研究的各向異性彈性體為均質(zhì)連續(xù)固體.2)線彈性范圍內(nèi),服從廣義虎克定律.3)小變形復(fù)合材料宏觀力學(xué)分析的基本假設(shè)1)所研究的各向異性彈性體為均5各向異性與各向同性彈性力學(xué)的基本方程的差別差別在于:本構(gòu)方程其它平衡方程,幾何方程,協(xié)調(diào)方程,和邊界條件等則完全相同.即用各向異性胡克定律代替各向同性胡克定律,這一代換將使力學(xué)計(jì)算及反映的現(xiàn)象十分復(fù)雜.各向異性與各向同性彈性力學(xué)的基本方程的差別差別在于:本構(gòu)方程6彈性力學(xué)相關(guān)知識(shí)回顧彈性力學(xué)相關(guān)知識(shí)回顧7單元體應(yīng)力及正負(fù)號(hào)規(guī)定如果作用面的外法線指向坐標(biāo)系中相應(yīng)坐標(biāo)軸的正向,而應(yīng)力分量也指向?qū)?yīng)坐標(biāo)軸的正向,則應(yīng)力分量為正。當(dāng)兩個(gè)下標(biāo)中,只有一個(gè)指向坐標(biāo)軸的正向時(shí),該應(yīng)力分量就為負(fù).yx作用在y面上的正應(yīng)力作用在y面內(nèi)x方向的剪應(yīng)力z單元體應(yīng)力及正負(fù)號(hào)規(guī)定如果作用面的外法線指向坐標(biāo)系中相應(yīng)坐標(biāo)8各向異性彈性力學(xué)問(wèn)題需滿足的基本方程各向異性彈性力學(xué)問(wèn)題需滿足的基本方程9靜力平衡方程（3）X，Y，Z作用于微元體的體積力力要平衡！靜力平衡方程（3）X，Y，Z力要平衡！10幾何關(guān)系(小變形)(6)變形要協(xié)調(diào)！三個(gè)獨(dú)立的位移場(chǎng)即可以完全確定變形，而應(yīng)變亦可以描述變形，它們之間滿足以下關(guān)系！幾何關(guān)系(小變形)(6)變形要協(xié)調(diào)！三個(gè)獨(dú)立的位移場(chǎng)即可以完11本構(gòu)方程（6）反映出材料的性質(zhì)！與之間的關(guān)系本構(gòu)方程（6）反映出材料的性質(zhì)！與之間的關(guān)系12各向異性彈性力學(xué)問(wèn)題需滿足的基本方程與各向同性彈性力學(xué)一樣,各向異性彈性力學(xué)有15個(gè)未知量15個(gè)場(chǎng)方程靜力平衡方程（3）＋幾何關(guān)系（6）＋本構(gòu)方程（6）可以求解了嗎？各向異性彈性力學(xué)問(wèn)題需滿足的基本方程與各向同性彈性力學(xué)一樣,13給定力的邊界條件(3)定解還需邊界條件！給定位移的邊界條件(3)給定力的邊界條件(3)定解還需邊界條件！給定位移的邊界條件(14以上的力學(xué),幾何,物理,以及邊界條件諸方面構(gòu)成各向異性彈性力學(xué)的基本方程,與各向同性彈性力學(xué)的區(qū)別在于物理方程.其它均相同以上的力學(xué),幾何,物理,以及邊界條件諸方面構(gòu)成各向異性彈性力15第二節(jié)各向異性彈性力學(xué)的本構(gòu)方程小變形時(shí),剛度矩陣柔度矩陣應(yīng)力應(yīng)變本來(lái)是張量，將其轉(zhuǎn)換成列陣第二節(jié)各向異性彈性力學(xué)的本構(gòu)方程小變形時(shí),剛度矩陣柔度矩16用矩陣表示剛度矩陣36個(gè)用矩陣表示剛度矩陣36個(gè)17柔度矩陣柔度矩陣18剛度矩陣的性質(zhì)一剛度矩陣是對(duì)稱陣（可由應(yīng)變勢(shì)能密度的微分與次序無(wú)關(guān)得到）

從36個(gè)彈性常數(shù)到21個(gè)（最一般的各向異性，即在彈性體內(nèi)不存在任何彈性對(duì)稱關(guān)系的各向異性體）剛度矩陣的性質(zhì)一剛度矩陣是對(duì)稱陣（可由應(yīng)變勢(shì)能密度的微分與次19幾種各向異性彈性力學(xué)的本構(gòu)方程1完全各向異性(21個(gè)彈性常數(shù))在均質(zhì)彈性體中,若過(guò)每一點(diǎn)沿不同的方向都具有不同的彈性特性時(shí),這種彈性體稱之為一般各向異性體.幾種各向異性彈性力學(xué)的本構(gòu)方程1完全各向異性(21個(gè)彈性常20如果材料具有某種對(duì)稱性，獨(dú)立的剛度矩陣（或柔度矩陣）彈性常數(shù)數(shù)目將減少什么是對(duì)稱性？

經(jīng)過(guò)某種操作，材料性質(zhì)或行為保持不變的特性，如

鏡面對(duì)稱

旋轉(zhuǎn)對(duì)稱（中心對(duì)稱是其特例）

平移對(duì)稱如果材料具有某種對(duì)稱性，獨(dú)立的剛度矩陣（或柔度矩陣）彈性常數(shù)21有一彈性對(duì)稱面(13個(gè)彈性常數(shù))對(duì)于一物體點(diǎn),所謂彈性對(duì)稱面是指通過(guò)該點(diǎn)有這樣一種平面,沿這些平面的對(duì)稱方向彈性性能是相同的.例如:單向纖維復(fù)合材料宏觀而言是各向異性均勻體,垂直于纖維的各橫截面都是彈性對(duì)稱面.垂直于彈性對(duì)稱面的軸為材料的主軸(彈性主軸),其方向?yàn)閺椥灾鞣较?有一彈性對(duì)稱面(13個(gè)彈性常數(shù))對(duì)于一物體點(diǎn),所謂彈性對(duì)稱22只有13個(gè)(21-8)彈性常數(shù)對(duì)于各向異性材料的柔度矩陣或剛度矩陣，其分量是和坐標(biāo)方向選取有關(guān)?。?！

可以從兩方面理解：1張量的分量、2以單拉為例只有13個(gè)(21-8)彈性常數(shù)對(duì)于各向異性材料的柔度矩陣或剛23正交各向異性(9個(gè)彈性常數(shù))(13-4)是指過(guò)均質(zhì)彈性體的每一點(diǎn)有三個(gè)互相正交的彈性主軸(三個(gè)互相正交的彈性對(duì)稱面)的情況右手坐標(biāo)系左手坐標(biāo)系正交各向異性(9個(gè)彈性常數(shù))(13-4)是指過(guò)均質(zhì)彈性體的24沒(méi)有拉壓剪切耦合現(xiàn)象沒(méi)有不同平面內(nèi)的剪切耦合現(xiàn)象正交各向異性(三個(gè)互相正交的彈性對(duì)稱面)(9個(gè)彈性常數(shù))(13-4)沒(méi)有拉壓剪切耦合現(xiàn)象沒(méi)有不同平面內(nèi)的剪切耦合現(xiàn)象正交各向異性25通過(guò)分析幾何的對(duì)稱性可推測(cè)彈性對(duì)稱性。例子：纖維在橫截面內(nèi)按距形排列的單向纖維復(fù)合材料,宏觀而言是一正交異性體的例子.宏觀均勻正交異性體通過(guò)分析幾何的對(duì)稱性可推測(cè)彈性對(duì)稱性。例子：纖維在橫截面內(nèi)按26橫觀各向同性(5個(gè)彈性常數(shù))宏觀均勻橫向同性體如果通過(guò)均質(zhì)彈性體的每一點(diǎn)都可以找到某一相互平行的平面,并且該平面內(nèi)所有各個(gè)方向的彈性性質(zhì)均相同,纖維在橫截面內(nèi)是隨機(jī)排列的,宏觀而言,其所有橫方向的彈性性能均相同,_橫觀各向同性橫觀各向同性(5個(gè)彈性常數(shù))宏觀均勻橫向同性體如果通過(guò)均質(zhì)彈27橫觀各向同性5個(gè)彈性常數(shù)橫觀各向同性5個(gè)彈性常數(shù)28工程常數(shù)指廣義的彈性模量,泊松比,剪切模量等彈性系數(shù).可以通過(guò)簡(jiǎn)單的拉伸與純剪得到.比柔度系數(shù),剛度系數(shù)的確定容易.剛度（柔度）矩陣中的彈性常數(shù)不夠直觀，因此實(shí)際中要引入工程常數(shù)指廣義的彈性模量,泊松比,剪切模量等彈性系數(shù).剛度（29正交各向異性體的工程常數(shù)當(dāng)只在j方向作用正應(yīng)力時(shí)這樣就變成共有12個(gè)彈性常數(shù)，但應(yīng)該只有9個(gè)是獨(dú)立的，因此有…正交各向異性體的工程常數(shù)當(dāng)只在j方向作用正應(yīng)力時(shí)這樣就變成共30三個(gè)互等關(guān)系【選作題】對(duì)于橫觀各向同性，有幾個(gè)不等的工程常數(shù)，有幾個(gè)互等關(guān)系？是什么？三個(gè)互等關(guān)系【選作題】對(duì)于橫觀各向同性，有幾個(gè)不等的工程常數(shù)31彈性常數(shù)的取值范圍根據(jù)非0應(yīng)變狀態(tài)的彈性應(yīng)變能為正值,應(yīng)變能應(yīng)是應(yīng)變或者是應(yīng)力的正定二次型.應(yīng)變能的表達(dá)式為:彈性常數(shù)的取值范圍根據(jù)非0應(yīng)變狀態(tài)的彈性應(yīng)變能為正值,應(yīng)變能32W是的正定二次型的充要條件是矩陣[S]的所有主要主子式大于零.等等W是的正定二次型的充要條件是矩陣[S]的所有主33對(duì)于各向同性對(duì)于各向同性34按照矩陣[S]的所有主要主子式大于零.計(jì)算出正定二次型的充要條件【習(xí)題】實(shí)際的各向同性材料:按照矩陣[S]的所有主要主子式大于零.計(jì)算出正定二次型的充要35對(duì)于正交各向異性對(duì)于正交各向異性36因?yàn)閷?duì)角線各元素都是主子式因?yàn)閷?duì)角線各元素都是主子式37Ch3各向異性彈性力學(xué)基礎(chǔ)課件38用實(shí)驗(yàn)測(cè)出,細(xì)觀力學(xué)計(jì)算的彈性常數(shù)必須滿足上述各類不等式的取值范圍.各種互等關(guān)系否則,測(cè)試有問(wèn)題,計(jì)算有問(wèn)題,或者問(wèn)題本身不能采用宏觀彈性理論處理.用實(shí)驗(yàn)測(cè)出,細(xì)觀力學(xué)計(jì)算的彈性常數(shù)必須滿足39小結(jié)一般各向異性剛度（柔度）矩陣對(duì)稱（21）對(duì)稱性分析：一個(gè)對(duì)稱面（13），三個(gè)正交對(duì)稱面【正交各向異性（9）】，橫觀各向同性（5），各向同性（2）工程常數(shù)及互等關(guān)系彈性常數(shù)物理可能的取值范圍小結(jié)一般各向異性剛度（柔度）矩陣對(duì)稱（21）40第三章各向異性彈性力學(xué)基礎(chǔ)第三章各向異性彈性力學(xué)基礎(chǔ)41第一節(jié)簡(jiǎn)介什么是均質(zhì)材料？以往所學(xué)的材料力學(xué)與彈性力學(xué)的研究對(duì)象主要是均質(zhì)、各向同性材料均質(zhì)材料是指材料內(nèi)部各個(gè)不同物質(zhì)點(diǎn)（或空間坐標(biāo)）的性質(zhì)相同，如彈性模量什么是各向同性材料？各向同性材料是指材料沿不同方向的性質(zhì)相同（圖）第一節(jié)簡(jiǎn)介什么是均42從細(xì)觀上看，復(fù)合材料是異質(zhì)材料，因?yàn)椴牧现械脑鰪?qiáng)相和基體相的材料性質(zhì)不同，所以復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)要反映出這種非均質(zhì)性。從宏觀力學(xué)分析角度看，復(fù)合材料可被視作均質(zhì)各向異性材料。（沒(méi)有絕對(duì)的均質(zhì)材料，如離散原子在空間的密度就不均勻，可以視作連續(xù)和均質(zhì)是因?yàn)樗芯肯到y(tǒng)的尺度遠(yuǎn)大于材料不均勻變化波長(zhǎng)。）從細(xì)觀上看，復(fù)合材料是異質(zhì)材料，因?yàn)椴牧现械脑鰪?qiáng)相和基體相的43各向異性是復(fù)合材料宏觀力學(xué)的最重要特征！復(fù)合材料的各向異性可能來(lái)源于兩個(gè)方面增強(qiáng)相排布的方向性增強(qiáng)相和基體相本身的各向異性各向異性是復(fù)合材料宏觀力學(xué)的最重要特征！復(fù)合材料的各向異性可44復(fù)合材料宏觀力學(xué)分析的基本假設(shè)1)所研究的各向異性彈性體為均質(zhì)連續(xù)固體.2)線彈性范圍內(nèi),服從廣義虎克定律.3)小變形復(fù)合材料宏觀力學(xué)分析的基本假設(shè)1)所研究的各向異性彈性體為均45各向異性與各向同性彈性力學(xué)的基本方程的差別差別在于:本構(gòu)方程其它平衡方程,幾何方程,協(xié)調(diào)方程,和邊界條件等則完全相同.即用各向異性胡克定律代替各向同性胡克定律,這一代換將使力學(xué)計(jì)算及反映的現(xiàn)象十分復(fù)雜.各向異性與各向同性彈性力學(xué)的基本方程的差別差別在于:本構(gòu)方程46彈性力學(xué)相關(guān)知識(shí)回顧彈性力學(xué)相關(guān)知識(shí)回顧47單元體應(yīng)力及正負(fù)號(hào)規(guī)定如果作用面的外法線指向坐標(biāo)系中相應(yīng)坐標(biāo)軸的正向,而應(yīng)力分量也指向?qū)?yīng)坐標(biāo)軸的正向,則應(yīng)力分量為正。當(dāng)兩個(gè)下標(biāo)中,只有一個(gè)指向坐標(biāo)軸的正向時(shí),該應(yīng)力分量就為負(fù).yx作用在y面上的正應(yīng)力作用在y面內(nèi)x方向的剪應(yīng)力z單元體應(yīng)力及正負(fù)號(hào)規(guī)定如果作用面的外法線指向坐標(biāo)系中相應(yīng)坐標(biāo)48各向異性彈性力學(xué)問(wèn)題需滿足的基本方程各向異性彈性力學(xué)問(wèn)題需滿足的基本方程49靜力平衡方程（3）X，Y，Z作用于微元體的體積力力要平衡！靜力平衡方程（3）X，Y，Z力要平衡！50幾何關(guān)系(小變形)(6)變形要協(xié)調(diào)！三個(gè)獨(dú)立的位移場(chǎng)即可以完全確定變形，而應(yīng)變亦可以描述變形，它們之間滿足以下關(guān)系！幾何關(guān)系(小變形)(6)變形要協(xié)調(diào)！三個(gè)獨(dú)立的位移場(chǎng)即可以完51本構(gòu)方程（6）反映出材料的性質(zhì)！與之間的關(guān)系本構(gòu)方程（6）反映出材料的性質(zhì)！與之間的關(guān)系52各向異性彈性力學(xué)問(wèn)題需滿足的基本方程與各向同性彈性力學(xué)一樣,各向異性彈性力學(xué)有15個(gè)未知量15個(gè)場(chǎng)方程靜力平衡方程（3）＋幾何關(guān)系（6）＋本構(gòu)方程（6）可以求解了嗎？各向異性彈性力學(xué)問(wèn)題需滿足的基本方程與各向同性彈性力學(xué)一樣,53給定力的邊界條件(3)定解還需邊界條件！給定位移的邊界條件(3)給定力的邊界條件(3)定解還需邊界條件！給定位移的邊界條件(54以上的力學(xué),幾何,物理,以及邊界條件諸方面構(gòu)成各向異性彈性力學(xué)的基本方程,與各向同性彈性力學(xué)的區(qū)別在于物理方程.其它均相同以上的力學(xué),幾何,物理,以及邊界條件諸方面構(gòu)成各向異性彈性力55第二節(jié)各向異性彈性力學(xué)的本構(gòu)方程小變形時(shí),剛度矩陣柔度矩陣應(yīng)力應(yīng)變本來(lái)是張量，將其轉(zhuǎn)換成列陣第二節(jié)各向異性彈性力學(xué)的本構(gòu)方程小變形時(shí),剛度矩陣柔度矩56用矩陣表示剛度矩陣36個(gè)用矩陣表示剛度矩陣36個(gè)57柔度矩陣柔度矩陣58剛度矩陣的性質(zhì)一剛度矩陣是對(duì)稱陣（可由應(yīng)變勢(shì)能密度的微分與次序無(wú)關(guān)得到）

從36個(gè)彈性常數(shù)到21個(gè)（最一般的各向異性，即在彈性體內(nèi)不存在任何彈性對(duì)稱關(guān)系的各向異性體）剛度矩陣的性質(zhì)一剛度矩陣是對(duì)稱陣（可由應(yīng)變勢(shì)能密度的微分與次59幾種各向異性彈性力學(xué)的本構(gòu)方程1完全各向異性(21個(gè)彈性常數(shù))在均質(zhì)彈性體中,若過(guò)每一點(diǎn)沿不同的方向都具有不同的彈性特性時(shí),這種彈性體稱之為一般各向異性體.幾種各向異性彈性力學(xué)的本構(gòu)方程1完全各向異性(21個(gè)彈性常60如果材料具有某種對(duì)稱性，獨(dú)立的剛度矩陣（或柔度矩陣）彈性常數(shù)數(shù)目將減少什么是對(duì)稱性？

經(jīng)過(guò)某種操作，材料性質(zhì)或行為保持不變的特性，如

鏡面對(duì)稱

旋轉(zhuǎn)對(duì)稱（中心對(duì)稱是其特例）

平移對(duì)稱如果材料具有某種對(duì)稱性，獨(dú)立的剛度矩陣（或柔度矩陣）彈性常數(shù)61有一彈性對(duì)稱面(13個(gè)彈性常數(shù))對(duì)于一物體點(diǎn),所謂彈性對(duì)稱面是指通過(guò)該點(diǎn)有這樣一種平面,沿這些平面的對(duì)稱方向彈性性能是相同的.例如:單向纖維復(fù)合材料宏觀而言是各向異性均勻體,垂直于纖維的各橫截面都是彈性對(duì)稱面.垂直于彈性對(duì)稱面的軸為材料的主軸(彈性主軸),其方向?yàn)閺椥灾鞣较?有一彈性對(duì)稱面(13個(gè)彈性常數(shù))對(duì)于一物體點(diǎn),所謂彈性對(duì)稱62只有13個(gè)(21-8)彈性常數(shù)對(duì)于各向異性材料的柔度矩陣或剛度矩陣，其分量是和坐標(biāo)方向選取有關(guān)?。?！

可以從兩方面理解：1張量的分量、2以單拉為例只有13個(gè)(21-8)彈性常數(shù)對(duì)于各向異性材料的柔度矩陣或剛63正交各向異性(9個(gè)彈性常數(shù))(13-4)是指過(guò)均質(zhì)彈性體的每一點(diǎn)有三個(gè)互相正交的彈性主軸(三個(gè)互相正交的彈性對(duì)稱面)的情況右手坐標(biāo)系左手坐標(biāo)系正交各向異性(9個(gè)彈性常數(shù))(13-4)是指過(guò)均質(zhì)彈性體的64沒(méi)有拉壓剪切耦合現(xiàn)象沒(méi)有不同平面內(nèi)的剪切耦合現(xiàn)象正交各向異性(三個(gè)互相正交的彈性對(duì)稱面)(9個(gè)彈性常數(shù))(13-4)沒(méi)有拉壓剪切耦合現(xiàn)象沒(méi)有不同平面內(nèi)的剪切耦合現(xiàn)象正交各向異性65通過(guò)分析幾何的對(duì)稱性可推測(cè)彈性對(duì)稱性。例子：纖維在橫截面內(nèi)按距形排列的單向纖維復(fù)合材料,宏觀而言是一正交異性體的例子.宏觀均勻正交異性體通過(guò)分析幾何的對(duì)稱性可推測(cè)彈性對(duì)稱性。例子：纖維在橫截面內(nèi)按66橫觀各向同性(5個(gè)彈性常數(shù))宏觀均勻橫向同性體如果通過(guò)均質(zhì)彈性體的每一點(diǎn)都可以找到某一相互平行的平面,并且該平面內(nèi)所有各個(gè)方向的彈性性質(zhì)均相同,纖維在橫截面內(nèi)是隨機(jī)排列的,宏觀而言,其所有橫方向的彈性性能均相同,_橫觀各向同性橫觀各向同性(5個(gè)彈性常數(shù))宏觀均勻橫向同性體如果通過(guò)均質(zhì)彈67橫觀各向同性5個(gè)彈性常數(shù)橫觀各向同性5個(gè)彈性常數(shù)68工程常數(shù)指廣義的彈性模量,泊松比,剪切模量等彈性系數(shù).可以通過(guò)簡(jiǎn)單的拉伸與純剪得到.比柔度系數(shù),剛度系數(shù)的確定容易.剛度（柔度）矩陣中的彈性常數(shù)不夠直觀，因此實(shí)際中要引入工程常數(shù)指廣義的彈性模量,泊松比,剪切模量等彈性系數(shù).剛度（69正交各向異性體的工程常數(shù)當(dāng)只在j方