2022-2023學年蘇教版必修第一冊 3.3.2 第1課時 一元二次不等式的解法 課件（67張）

第1課時一元二次不等式的解法第3章

3.3.2從函數(shù)觀點看一元二次不等式學習目標1.從函數(shù)觀點看一元二次不等式，了解一元二次不等式的意義.2.借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的聯(lián)系.導語通過前面的學習，我們知道一元一次不等式的解集和一元一次方程的解、一次函數(shù)的圖象有關系，那么一元二次方程、二次函數(shù)和怎樣的不等式有關系呢？如何求這一類不等式的解集呢？帶著這個問題，我們開始這節(jié)課的學習.課時對點練一、一元二次不等式的解法二、“三個二次”間的關系三、含參的一元二次不等式的解法隨堂演練內容索引一元二次不等式的解法

一問題1

園藝師打算在綠地上用柵欄圍一個矩形區(qū)域種植花卉.若柵欄的長度是24m，圍成的矩形區(qū)域的面積要大于20m2，則這個矩形的邊長為多少米？提示設這個矩形的一條邊長為xm，則另一條邊長為(12－x)m.由題意，得(12－x)x>20，其中x∈{x|0<x<12}.整理得x2－12x＋20<0，x∈{x|0<x<12}. ①求得不等式①的解集，就得到了問題的答案.知識梳理一元二次不等式的概念定義只含有一個

，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是

的整式不等式，叫作一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)未知數(shù)2一元二次不等式一般形式中，應注意二次項系數(shù)a≠0.注意點：問題2二次函數(shù)y＝x2－12x＋20的圖象與x軸有兩個交點，這與方程x2－12x＋20＝0的根有什么關系？提示

函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標正好是方程的根.問題3你能從二次函數(shù)y＝x2－12x＋20的圖象上找x2－12x＋20<0的解集嗎？提示

從圖象上看，位于x軸上方的圖象使得函數(shù)值大于零，位于x軸下方的圖象使得函數(shù)值小于零，故x2－12x＋20<0的解集為{x|2<x<10}.知識梳理二次函數(shù)的圖象與一元二次方程的根、不等式的解集的對應關系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝?jīng)]有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集————————————____________________________ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集______________(x1，x2)(－∞，x1)∪(x2，＋∞)R??(1)當a>0時，若不等式對應的一元二次方程能因式分解，可直接利用“大于取兩邊，小于取中間”的方法得到不等式的解集.(2)不等式的解集必須寫成集合的形式，若不等式無解，則應說解集為空集.注意點：

解下列不等式：(1)－2x2＋x－6<0；例1原不等式可化為2x2－x＋6>0.因為方程2x2－x＋6＝0的判別式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函數(shù)y＝2x2－x＋6的圖象開口向上，與x軸無交點(如圖所示).觀察圖象可得，原不等式的解集為R.(2)－x2＋6x－9≥0；原不等式可化為x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函數(shù)y＝(x－3)2的圖象如圖所示，根據(jù)圖象可得，原不等式的解集為{x|x＝3}.(3)x2－2x－3>0.方程x2－2x－3＝0的兩根是x1＝－1，x2＝3.函數(shù)y＝x2－2x－3的圖象是開口向上的拋物線，與x軸有兩個交點(－1,0)和(3,0)，如圖所示.觀察圖象可得不等式的解集為{x|x<－1或x>3}.解一元二次不等式的一般步驟第一步，將一元二次不等式化為一端為0的形式(習慣上二次項系數(shù)大于0).第二步，求出相應一元二次方程的根，或判斷出方程沒有實根.第三步，畫出相應二次函數(shù)示意草圖，方程有根的將根標在圖中.第四步，觀察圖象中位于x軸上方或下方的部分，對比不等式中不等號的方向，寫出解集.反思感悟

解下列不等式：(1)x2－5x－6>0；跟蹤訓練1方程x2－5x－6＝0的兩根為x1＝－1，x2＝6.結合二次函數(shù)y＝x2－5x－6的圖象(圖略)知，原不等式的解集為{x|x<－1或x>6}.(2)(2－x)(x＋3)<0.原不等式可化為(x－2)(x＋3)>0.方程(x－2)(x＋3)＝0的兩根為x1＝2，x2＝－3.結合二次函數(shù)y＝(x－2)(x＋3)的圖象(圖略)知，原不等式的解集為{x|x<－3或x>2}.“三個二次”間的關系

二

已知關于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}，求關于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集.例2由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，故不等式cx2＋bx＋a<0，故不等式cx2－bx＋a>0，延伸探究1.若本例中條件不變，求關于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集.2.若將本例中的條件“關于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}”變?yōu)椤瓣P于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是

”.求不等式cx2＋bx＋a<0的解集.由ax2＋bx＋c≥0的解集為∴不等式cx2＋bx＋a<0變?yōu)榧?ax2＋5ax－3a>0.又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0，已知以a，b，c為參數(shù)的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集時，一般遵循：(1)根據(jù)解集來判斷二次項系數(shù)的符號；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式；(3)約去a，將不等式化為具體的一元二次不等式求解.反思感悟

已知關于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集為{x|1<x<2}，求關于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集.跟蹤訓練2∵x2＋ax＋b<0的解集為{x|1<x<2}，∴方程x2＋ax＋b＝0的兩根為1,2.代入所求不等式，得2x2－3x＋1>0.含參的一元二次不等式的解法

三

設a∈R，解關于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.例3(1)當a＝0時，不等式可化為x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集為{x|x>2}.即原不等式的解集為?；即原不等式的解集為；④當a>0時，解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟反思感悟

解關于x的不等式x2＋(1－a)x－a<0.跟蹤訓練3方程x2＋(1－a)x－a＝0的解為x1＝－1，x2＝a，函數(shù)y＝x2＋(1－a)x－a的圖象開口向上，則當a<－1時，原不等式解集為{x|a<x<－1}；當a＝－1時，原不等式解集為?；當a>－1時，原不等式解集為{x|－1<x<a}.課堂小結1.知識清單：(1)一元二次不等式的解法.(2)三個“二次”之間的關系.2.方法歸納：數(shù)形結合法、分類討論法.3.常見誤區(qū)：在求解不等式ax2＋bx＋c>0時，忽略a的正負導致出錯.隨堂演練

1.不等式3x2－2x＋1>0的解集為A. B.C.?

D.R√1234因為Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x2－2x＋1>0的解集為R.12342.不等式3＋5x－2x2≤0的解集為3＋5x－2x2≤0?2x2－5x－3≥0√1234√12344.已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，?RA等于A.(－1,2) B.[－1,2]C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.(－∞－1]∪[2，＋∞)√∵x2－x－2≤0，∴(x－2)(x＋1)≤0，∴－1≤x≤2，即A＝[－1,2].在數(shù)軸上表示出集合A，如圖所示.由圖可得?RA＝(－∞，－1)∪(2，＋∞).課時對點練

12345678910111213141516基礎鞏固1.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是原不等式可化為(3x＋1)2≤0，√123456789101112131415162.若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x≤5，x∈N*}，則A∩B等于A.{1,2,3} B.{1,2}C.{4,5} D.{1,2,3,4,5}√又x∈N*且x≤5，則x＝1,2.123456789101112131415163.不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是方法一

取x＝1檢驗，滿足，排除A；取x＝4檢驗，不滿足，排除B，C.方法二

原不等式可化為2x2＋7x－9≤0，√123456789101112131415164.如果關于x的不等式x2<ax＋b的解集是{x|1<x<3}，那么ba等于A.－81 B.81C.－64 D.64√不等式x2<ax＋b可化為x2－ax－b<0，其解集是{x|1<x<3}，解得a＝4，b＝－3，所以ba＝(－3)4＝81.123456789101112131415165.(多選)下列不等式的解集為R的有A.x2＋x＋1≥0 B.C.x2＋6x＋10>0 D.2x2－3x＋4<1√A中Δ＝12－4×1<0.滿足條件；√C中Δ＝62－4×10<0.滿足條件；D中不等式可化為2x2－3x＋3<0，所對應的二次函數(shù)開口向上，顯然不可能.123456789101112131415166.(多選)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是

，則以下結論正確的有A.a＜0B.＝－1C.cx2＋bx＋a>0的解集為D.a＋2b＋3c>0√√√1234567891011121314151612345678910111213141516當x＝0，c>0，123456789101112131415167.已知集合A＝{x|3x－2－x2<0}，B＝{x|x－a<0}，且B?A，則a的取值范圍為________.A＝{x|3x－2－x2<0}＝{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x<1或x>2}，B＝{x|x<a}，若B?A，如圖，則a≤1.{a|a≤1}123456789101112131415168.已知關于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是

，則ax2－bx＋c>0的解集為___________.12345678910111213141516所以不等式ax2－bx＋c>0，即為2x2－5x＋2<0，123456789101112131415169.解關于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R).原不等式轉化為(x－2a)(x＋a)<0.對應的一元二次方程的根為x1＝2a，x2＝－a.①當a>0時，x1>x2，不等式的解集為{x|－a<x<2a}；②當a＝0時，原不等式化為x2<0，無解；③當a<0時，x1<x2，不等式的解集為{x|2a<x<－a}.綜上，當a>0時，原不等式的解集為{x|－a<x<2a}；當a＝0時，原不等式的解集為?；當a<0時，原不等式的解集為{x|2a<x<－a}.1234567891011121314151610.已知關于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集為

.(1)求a，c的值；解得a＝－6，c＝－1.12345678910111213141516(2)解關于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化為－6x2＋8x－2≥0，12345678910111213141516綜合運用11.在R上定義運算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，則滿足x⊙(x－2)<0的實數(shù)x的取值范圍為A.{x|0<x<2} B.{x|－2<x<1}C.{x|x<－2或x>1} D.{x|－1<x<2}√12345678910111213141516根據(jù)給出的定義得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，則(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是{x|－2<x<1}.1234567891011121314151612.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)的部分對應值如下表：由題意知，二次函數(shù)圖象開口向上，當x＝－2和x＝3時，y＝0，故ax2＋bx＋c>0的解集為(－∞，－2)∪(3，＋∞).x－3－2－101234y60－4－6－6－406則不等式ax2＋bx＋c>0的解集是A.R B.空集C.(－∞，－2)∪(3，＋∞) D.(－2,3)√1234567891011121314151613.(多選)不等式mx2－mx－2<0的解集可能是A.R

B.?C. D.(－1,2)√√√12345678910111213141516當m＝0時，mx2－mx－2<0的解集為R；當m>0，mx2－mx－2＝0的兩個根異號，即m＝1時，該不等式的解集為(－1,2)；當m<0，Δ＝(－m)2＋8m<0，即－8<m<0時，mx2－mx－2<0的解集為R；當m<0，Δ＝(－m)2＋8m＝0，12345678910111213141516當m<0，Δ＝(－m)2＋8m>0，即m<－8的解集在兩個根之外，解集不可能為空集.1234567891011121314151614.若關于x的不等式ax2－6x＋a2<0的非空解集為{x|1<x<m}，則m＝_____.因為ax2－6x＋a2<0的解集