常微分方程習(xí)題集153

可編輯文檔可編輯文檔PAGE1PAGE1/30精心收集的文檔，僅提供學(xué)習(xí)，請(qǐng)勿復(fù)制《常微分方程》測(cè)試題1一、填空題30%1、形如 的方程，稱為變量分離方程這里. 分別為x.y的連續(xù)函數(shù)。2、形如 -的方程，稱為伯努利方程，這里 的連續(xù)函數(shù).n3如果存在常數(shù) -對(duì)于所有函數(shù) 稱為在R上關(guān)于滿足利普希茲條件。4、形如 -的方程稱為歐拉方程，這里5、設(shè) 的某一解，則它的任一解- 。二、計(jì)算題40%1、求方程2、求方程 的通解?？删庉嬑臋n可編輯文檔PAGEPAGE2/302、方程2、方程的通解中含有任意常數(shù)的個(gè)數(shù)為.3、方程有積分因子的充要條件為.4、連續(xù)是保證對(duì)滿足李普希茲條件的條件．5、方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是．6、若是二階線性齊次微分方程的基本解組，則它們(有或無)共同零點(diǎn)．33的隱式解。430%1.試驗(yàn)證=x=x,x=a上的基解矩陣。2.設(shè)為方程x 為n n常數(shù)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)基解矩（即證明:(t )= (t-t )其中t 為某一建設(shè)目%>《常微分方程》測(cè)試題《常微分方程》測(cè)試題2一、填空題：（30%）11、曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距是切點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的等差中項(xiàng)，則曲線所滿足的微分方程是.PAGE3PAGE3/307、設(shè)是方程7、設(shè)是方程的通解，則.線性無關(guān)的另一解.9線性無關(guān)的另一解.9是階常系數(shù)齊次線性方程特征方程的K重根，則該方程相應(yīng)于K個(gè)線性無關(guān)解是.件是 .二、求下列微分方程的通解：（40%）

的解 是的基本解組的充要條88、已知是二階齊次線性微分方程的一個(gè)非零解，則與1、2、3、4、5、求解方程 ．三、求初值問題 的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，出在解的存在區(qū)間的誤差估.（10分）四、求解微分方程組PAGE4PAGE4/30滿足初始條件（10%）滿足初始條件（10%）五、證明題：（10%）設(shè)，是方程的解，且滿足==0，，這里在上連續(xù)，．試證明：存在常數(shù)C使得=C指出下列方程的階數(shù)，是否是線性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空題(8%)（1）．方程的所有常數(shù)解.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一階線性非齊次方程的兩個(gè)不同解，則用這兩個(gè)解可把其通解表示.《常微分方程》測(cè)試題《常微分方程》測(cè)試題31．辨別題PAGE6PAGE6/30（3）.若方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0是全微分方程，同它的通積分是 .（4）.設(shè)M(x0,y0)是可微曲線y=y(x)上的任意一點(diǎn)，過該點(diǎn)的切線在x軸和y軸上的截距分別.3、單選題(14%)（1）．方程是（）.(A)可分離變量方程(C)全微分方程線性方程貝努利方程（2）．方程，過點(diǎn)（0，0）有（）.(A)一個(gè)解(C)無數(shù)個(gè)解（B）兩個(gè)解（D）三個(gè)解（3）．方程的所有常數(shù)解是（(A)y=±1,x=±1, (B)(C)(D)y=1,x=1（4）．若函數(shù)y(x)滿足方程y=( ).

，且在x=1時(shí)，y=1,則在x=e時(shí)(A) (B) (C)2 (D)e（5）．階線性齊次方程的所有解構(gòu)成一個(gè)（）線性空間．（A）維 （B） 維 （C） 維 （D） 維（6）.方程 （）奇解．有三個(gè) 無 （C）有一個(gè) （D）有兩個(gè)（7）．方程 過點(diǎn) （）．（A）有無數(shù)個(gè)解 （B）只有三個(gè)解（C）只有解 （D）只有兩個(gè)解4.計(jì)算題(40%)求下列方程的通解或通積分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5.計(jì)算題(10%)求方程 的通解．6．證明題（16%）PAGE7PAGE7/30設(shè)在整個(gè)平面上連續(xù)可微，且．求證：方程可編輯文檔設(shè)在整個(gè)平面上連續(xù)可微，且．求證：方程的非常數(shù)解，當(dāng)時(shí)，有，那么 必為 或<%建設(shè)目標(biāo)%>《常微分方程》測(cè)試題41．辨別題指出下列方程的階數(shù)，是否是線性方程：(12%)（1） （2） （3）（4） （5） （6）2、填空題(8%)（1）．方程 的所有常數(shù)解.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一階線性非齊次方程的兩個(gè)不同解，則用這兩個(gè)解可其通解表示.（3）.若方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0是全微分方程，同它的通積分是 .（4）.設(shè)M(x0,y0)是可微曲線y=y(x)上的任意一點(diǎn)，過該點(diǎn)的切線在x軸和y軸上的截距分別 3、單選題(14%)PAGE8PAGE8/30（1）．方程是（）.(A)可分離變量方程(C)全微分方程線性方程貝努利方程（2）．方程，過點(diǎn)（0，0）有（）.(A)一個(gè)解(C)無數(shù)個(gè)解（B）兩個(gè)解（D）三個(gè)解（3）．方程的所有常數(shù)解是（(A)y=±1,x=±1, (B)(C)(D)y=1,x=1（4）．若函數(shù)y(x)滿足方程y=( ).

，且在x=1時(shí)，y=1,則在x=e時(shí)(A) (B) (C)2 (D)e（5）．階線性齊次方程的所有解構(gòu)成一個(gè)（）線性空間．（A）維 （B） 維 （C） 維 （D） 維（6）.方程 （）奇解．有三個(gè) 無 （C）有一個(gè) （D）有兩個(gè)（7）．方程 過點(diǎn) （）．可編輯文檔可編輯文檔PAGE17PAGE17/30的非常數(shù)解的非常數(shù)解，當(dāng)時(shí)，有，那么必為或有無數(shù)個(gè)解 （B）只有三個(gè)解只有解 （D）只有兩個(gè)解4.計(jì)算題(40%)求下列方程的通解或通積分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5.計(jì)算題(10%)求方程 的通解．6．證明題（16%）設(shè) 在整個(gè) 平面上連續(xù)可微，且 ．求證：方程《常微分方程》測(cè)試題 5一、填空題（30%）若y=y1 2個(gè)解可把其通解表示為 ．方程 滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)是 ．3．連續(xù)是保證方程初值唯一的一條積分曲線.條件．線性齊次微分方程組 的一個(gè)基本解組的個(gè)數(shù)不能多個(gè)，其中 ， ．二階線性齊次微分方程的兩個(gè)的充要條件是 ．

, 成為其基本解組方程 滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)是 ．方程 的所有常數(shù)是 ．方程 所有常數(shù)解是 ．線性齊次微分方程組的解組的 條件是它們的朗斯基行列階線性齊次微分方程線性無關(guān)解的個(gè)數(shù)最為 個(gè)二、計(jì)算題（40%）求下列方程的通解或通積分：

為基本解組．1.2．3．4．5．三、證明題（30%）1．試證明：對(duì)任意 及滿足條件 的 ，方程的滿足條件的滿足條件的解在上存在．在的任意解均有．3．設(shè)方程中，在上連續(xù)可微，且，．求證：該方程的任一滿足初值條件的解必在區(qū)間上存在．《常微分方程》測(cè)試題《常微分方程》測(cè)試題6一、填空題（20%)1．方程的所有常數(shù)解是．2．方程的常數(shù)解是．3．一階微分方程的一個(gè)特解的圖像是維空間上的一條曲線．方程 的基本解組是 ．二、選擇題(25%)階線性齊次微分方程基本解組中解的個(gè)數(shù)恰好是（ 個(gè)．（A） （B）-1 （C）+1 （D）+2李普希茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一（ ）條件．（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分3.方程過點(diǎn) 共有（）個(gè)解．（A）一（B）無數(shù) 兩（D）三4．方程（A）有一個(gè)（ ）奇解．（B）有兩個(gè) （C）無（D）有無數(shù)個(gè)5．方程的奇解是（ ）．（A）（B） （C）（D）三、計(jì)算題三、計(jì)算題(25%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.4.5.四、求下列方程的通解或通積分(30%)1.2.3.《常微分方程》測(cè)試題7一.解下列方程(80%)x= +ytgydx-ctydy=03.{y-x(+)}dx-xdy=04.2xylnydx+{+ 5. =6-x6. =2式。

=1,x0,試求函數(shù)f(x)的一般表達(dá)m（比例系數(shù)為正比（比例系數(shù)為的關(guān)系。二． 證明題(20%)

）。試求此質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間用初等方法求得它的通解。用初等方法求得它的通解。2．試證：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N試同xM+yN0,則是該方程的一個(gè)積分因子《常微分方程》測(cè)試題8《常微分方程》測(cè)試題8計(jì)算題.求下列方程的通解或通積分（70%）1.2.3.4.5．6．7．《常微分方程》測(cè)試題《常微分方程》測(cè)試題9一、填空題（30%）1、方程有只含的積分因子的充要條件是（.有只含的積分因子的充要條件.２稱為黎卡提方程它有積分因.證明題（30%）證明題（30%）8.在方程中，已知，在上連續(xù)，且．求證：對(duì)任意和，滿足初值條件的解的存在區(qū)間必為9.設(shè)在區(qū)間上連續(xù)．試證明方程的所有解的存在區(qū)間必為10.假設(shè)方程在全平面上滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件，且，I上的兩個(gè)解．求證：若<，，I上必有<成立PAGE18PAGE18/30３稱為伯努利方程它有積分因。４、若 為階齊線性方程的個(gè)解，則它們線無關(guān)的充要條件。５、形的方程稱為歐拉方程。６、若 和 都是 的基解矩陣，則 和 具有的系是 。７當(dāng)方程的特征根為兩個(gè)共軛虛根是則當(dāng)其實(shí)部時(shí)零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱。二、計(jì)算題（６０％）1、２、３、若expAt

試求方程組 的解 并求４、５、求方程 經(jīng)過（0，0）的第三次近似解PAGEPAGE19/30可編輯文檔6.求 的奇點(diǎn),并判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定三、證明題（１０％）１、階齊線性方程一定存在個(gè)線性無關(guān)解。《常微分方程》測(cè)試題10一、選擇題（30%）微分方程 的階數(shù) 若 和 在矩形區(qū)域程 有只

內(nèi)是 的連續(xù)函且有連續(xù)的一階偏導(dǎo),則有關(guān)的積分因子的充要條件是 .如果

存在唯 .

,定義于區(qū)間 上,連續(xù)且滿足初始條

,其中使 使 則稱在上關(guān)于滿足利普希茲條件.6方程定義在矩形區(qū)域 :則經(jīng)過點(diǎn)的解的存在區(qū)間是 5對(duì)于任意的,(為某一矩形區(qū)域),若存在常數(shù)PAGEPAGE20/30若 是齊次線性方程的個(gè)解, 為其伏朗斯基行列則 滿足階線性方程 若 為齊次線性方程的一個(gè)基本解, 為非齊次線性方程的一特解則非齊次線性方程的所有解可表為 若 為畢卡逼近序列 的極限則有10

稱為黎卡提方程，若它有一個(gè)特解，則經(jīng)過變換

，可化為伯努利方程．二求下列方程的解（35%）１２ 求方程 經(jīng)過 的第三次近似解３ 討論方程 ， 的解的存在區(qū)間4求方程 的奇解567三證明題 （35%）可編輯文檔可編輯文檔PAGEPAGE21/30微分方程。2微分方程。2、 稱為齊次方程。3、求=f(x,y)滿足的解等價(jià)于求積分方程 的連續(xù)解。4f(x,y)Gy滿足利普希茲條件，則方程y= 。作為的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是5nn是 。6、方程組的 稱之為的一個(gè)基本解組。1試證,則可用初等積分法求它的通解2一階線性方程,當(dāng),在上連續(xù)時(shí),其解存在唯一<%建設(shè)目標(biāo)%>《常微分方程》測(cè)試題11（30%）。1、當(dāng) 時(shí)，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0稱為恰當(dāng)方程，或稱全可編輯文檔可編輯文檔PAGE22PAGE22/303、討論方程3、討論方程在怎樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件，并求通過點(diǎn)（0，0）的一切解4、求解常系數(shù)線性方程：5、試求方程組的一個(gè)基解矩陣，并計(jì)算6a,b,c為常數(shù)，且ac 0。三、證明題（10%）。試證：如果滿足初始條件的解，那么7、若是常系數(shù)線性方程組的基解矩陣，則expAt= 8、滿足 的點(diǎn)（），稱為方程組的奇點(diǎn)9、當(dāng)方程組的特征根為兩個(gè)共軛虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí)時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為 。二、計(jì)算題（60%）1、求解方程：=22、解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0PAGE23PAGE23/30可編輯文檔《常微分方程》測(cè)試題《常微分方程》測(cè)試題13一、判斷題（10%）方程 是恰當(dāng)方程。 （）是三階微分方程。 （）是方程 的通解。 （）函數(shù)組線性相關(guān)的充要條件是它們的伏朗斯基行列式等于零。 （）方程二、選擇題（10

是二階線性方程。 （）A．A．B．1．方程 定義在矩形域 上，則經(jīng)過點(diǎn) 的解存在區(qū)間是（）。A．B．C．D．2．與初值問題等價(jià)的一階方程組.PAGE25PAGE25/30C．D．3．方程 （ 是一個(gè) 函數(shù)矩陣）的解空間構(gòu)維線性空C．D．A．n-1 B．n C．n+1 D．4．微分方程的一個(gè)解是（）A．C．B．D．5．方程有積分因子（）A．B．C． D．三、填空題（20%）方程 通過點(diǎn) 的第二次近似解。當(dāng) 時(shí)，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0稱為恰當(dāng)方程，或稱全微分方程。如果區(qū)間

在 且 則方程上，連續(xù)且滿足初始條件。

存在唯一的解，其中

，定義于若 12……，是齊線性方程的個(gè)解， 為其伏朗斯基行列式則 足一階線性方程方程 有僅與有關(guān)的積分因子的充要條件。利用變量替換 可把方程 化為變量分離方程 。若 都是 =A(t)X的基解矩陣，則 具有關(guān)系： 。方程 的一個(gè)特解 形如 的方程稱為歐拉方程。若 是常系數(shù)線性方程組 的基解矩陣，則expAt= 四、計(jì)算題求方程 的通解。分）求解下列初值問題： 。（8分可編輯文檔可編輯文檔PAGE29PAGE29/30《常微分方程》測(cè)試題14一、判斷題（10%）1．方程 是二階非線性方程。（）2．方程 的通解是 。（）利普希茨條件是保證初值問題解的唯一性的充分條件而不是必要條件。向量函數(shù)組的線性相關(guān)概念與它的相應(yīng)的分量線性相關(guān)概念并不等價(jià)。（（））5．若 是階齊次線性方程的個(gè)解，其伏朗斯基行列式則 在I上線性相關(guān)。二、選擇題（10%）（）1．曲線 滿足方程（ ）A． B． C． D．積分方程 的一個(gè)解是（ ）B． C． D．若微分方程

有積分因子

，則 滿足（）B．C． D