質(zhì)點動力學(xué)基本方程課件

第三篇動力學(xué)引言動力學(xué)研究物體的機械運動與作用力之間的關(guān)系。

動力學(xué)中所研究的力學(xué)模型是質(zhì)點和質(zhì)點系（包括剛體）。動力學(xué)的兩類問題：（1）已知物體的運動規(guī)律，求作用在物體上的力；（2）已知作用在物體上的力及運動的初始條件，求物體的運動規(guī)律。第三篇動力學(xué)引言動力學(xué)研1第九章質(zhì)點動力學(xué)基本方程動力學(xué)基本定律質(zhì)點運動微分方程

第九章質(zhì)點動力學(xué)基本方程動力學(xué)基本定律29.1動力學(xué)基本定律第一定律（慣性定律）

任何質(zhì)點如不受力作用，則將保持其原來靜止的或勻速直線運動的狀態(tài)不變。

質(zhì)點保持其原有運動狀態(tài)不變的屬性稱為慣性。事實上，不存在不受力的質(zhì)點，若作用在質(zhì)點上的力系為平衡力系，則等效于質(zhì)點不受力。該定律表明：力是改變質(zhì)點運動狀態(tài)的原因。第二定律（力與加速度關(guān)系定律）

質(zhì)點受力作用時所獲得的加速度的大小與作用力的大小成正比，與質(zhì)點的質(zhì)量成反比，加速度的方向與力的方向相同。9.1動力學(xué)基本定律第一定律（慣39.1動力學(xué)基本定律

即：或由于上式是推導(dǎo)其它動力學(xué)方程的出發(fā)點，所以通常稱上式為動力學(xué)基本方程。當(dāng)質(zhì)點同時受幾個力的作用時上式中的應(yīng)理解為這些力的合力。該定律表明：1、力與加速度的關(guān)系是瞬時關(guān)系，即力在某瞬時對質(zhì)點運動狀態(tài)的改變是通過該瞬時確定的加速度表現(xiàn)的。作用力并不直接決定質(zhì)點的速度，速度的方向可以完全不同于作用力的方向。2、若相等的兩個力作用在質(zhì)量不同的兩個質(zhì)點上，則質(zhì)量越大，加速度越??；質(zhì)量越小，加速度越大。9.1動力學(xué)基本定律即：或由于上49.1動力學(xué)基本定律式中是物體所受重力的大小，稱為物體的重量，是重力加速度的大小。通常取。在國際單位制中，長度、質(zhì)量和時間的單位是基本單位，分別取米、千克和秒；力的單位是導(dǎo)出單位，為牛頓。即：

這說明：質(zhì)量越大，保持其原來運動狀態(tài)的能力越強，即質(zhì)量越大，慣性也越大。因此，質(zhì)量是質(zhì)點慣性大小的度量。在重力場中，物體均受重力作用。物體在重力作用下自由下落所獲得的加速度稱為重力加速度，用表示。由第二定律有9.1動力學(xué)基本定律式中是物體所受重力的59.1動力學(xué)基本定律

必須指出的是：質(zhì)點受力與坐標無關(guān)，但質(zhì)點的加速度與坐標的選擇有關(guān)，因此牛頓第一、第二定律不是任何坐標都適用的。凡牛頓定律適用的坐標系稱為慣性坐標系。反之為非慣性坐標系。第三定律（作用與反作用定律）

兩個物體間相互作用的作用力和反作用力總是大小相等、方向相反，沿著同一作用線同時分別作用在這兩個物體上。

以牛頓定律為基礎(chǔ)所形成的力學(xué)理論稱為古典力學(xué)。9.1動力學(xué)基本定律69.2質(zhì)點運動微分方程

將動力學(xué)基本方程用微分形式表示所得到的方程稱為質(zhì)點運動微分方程。一、矢徑形式的質(zhì)點運動微分方程

由動力學(xué)基本方程：由運動學(xué)可知：于是可得：或這就是矢徑形式的質(zhì)點運動微分方程。

二、直角坐標形式的質(zhì)點運動微分方程這就是直角坐標形式的質(zhì)點運動微分方程。9.2質(zhì)點運動微分方程79.2質(zhì)點運動微分方程

三、自然坐標形式的質(zhì)點運動微分方程或這就是自然坐標形式的質(zhì)點運動微分方程。四、動力學(xué)兩類問題的求解第一類問題：已知質(zhì)點的運動，求作用在質(zhì)點上的力。這類問題其實質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的求導(dǎo)問題。第二類問題：已知作用在質(zhì)點上的力，求質(zhì)點的運動。這類問題其實質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的解微分方程或求積分問題。9.2質(zhì)點運動微分方程三、自然89.2

下面就力是一個變量的函數(shù)的首次積分加以介紹：

1、當(dāng)力是常數(shù)或是時間的簡單函數(shù)時，有，則。質(zhì)點運動微分方程

，分離變量積分。

3、當(dāng)力是速度的簡單函數(shù)時，有，分離變量積分。

下面舉例說明質(zhì)點動力學(xué)兩類問題的求解方法。

2、當(dāng)力是位置的簡單函數(shù)時，有，利用循環(huán)求導(dǎo)變換,則有9.2下面就力是一個變量的函數(shù)的首9

例1如圖，設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點M在平面oxy內(nèi)運動，已知其運動方程為求作用在質(zhì)點上的力。

解：以質(zhì)點M為研究對象。分析運動：由運動方程消去時間，得可見質(zhì)點作橢圓運動。

將運動方程對時間求兩階導(dǎo)數(shù)得：例1如圖，設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點M10

代入質(zhì)點運動微分方程，即可求得主動力的投影為：于是可見，力與矢徑共線反向，其大小正比于矢徑的模，方向恒指向橢圓中心。這種力稱為有心力。9.2質(zhì)點運動微分方程代入質(zhì)點運動微分方程，即可求得主動力的投影為11

例2質(zhì)量為1Kg的小球M，用兩繩系住，兩繩的另一端分別連接在固定點A、B，如圖。已知小球以速度在水平面內(nèi)作勻速圓周運動，圓的半徑，求兩繩的拉力。

解：以小球為研究對象，任一瞬時小球受力如圖。小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運動。方向指向O點。9.2質(zhì)點運動微分方程例2質(zhì)量為1Kg的小球M12

建立如圖所示的自然坐標系。由自然坐標形式的質(zhì)點運動微分方程得：（1）（2）代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立求解得：

下面再對本題作進一步的分析討論，由（1）、（2）式可得：令，可得令，可得因此，只有當(dāng)時，兩繩才同時受力。否則將只有其中一繩受力。9.2質(zhì)點運動微分方程建立如圖所示的自然坐標系。由13

例3從某處拋射一物體，已知初速度為，拋射角為，如不計空氣阻力，求物體在重力單獨作用下的運動規(guī)律。

解：以拋射體為研究對象，將其視為質(zhì)點。任一瞬時受力如圖，建立如圖的坐標。由直角坐標形式的質(zhì)點運動微分方程得積分后得9.2質(zhì)點運動微分方程例3從某處拋射一物體，14

再積分后得式中，為積分常數(shù)，由初始條件確定。

當(dāng)，，，代入以上四式，即得：，。于是物體的運動方程為：

軌跡方程為：由此可見，物體的軌跡是一拋物線。9.2質(zhì)點運動微分方程再積分后得式中，15

例4垂直于地面向上發(fā)射一物體，求該物體在地球引力作用下的運動速度，并求第二宇宙速度。不計空氣阻力及地球自轉(zhuǎn)的影響。解：以物體為研究對象，將其視為質(zhì)點，建立如圖坐標。質(zhì)點在任一位置受地球引力的大小為：由于所以

由直角坐標形式的質(zhì)點運動微分方程得：由于，將上式改寫為9.2質(zhì)點運動微分方程例4垂直于地面向上發(fā)16

分離變量得：設(shè)物體在地面發(fā)射的初速度為，在空中任一位置處的速度為，對上式積分得所以物體在任意位置的速度為：可見物體的速度將隨的增加而減小。9.2質(zhì)點運動微分方程分離變量得：設(shè)物體在地面發(fā)射的初速度為17

若，則物體在某一位置時速度將為零，此后物體將回落，為以初速向上發(fā)射物體所能達到的最大高度。將及代入上式可得若，則不論為多大，甚至為無限大時，速度均不會減小為零，因此欲使物體向上發(fā)射一去不復(fù)返時必須具有的最小速度為若取，，代入上式可得這就是物體脫離地球引力范圍所需的最小初速度，稱為第二宇宙速度。9.2質(zhì)點運動微分方程若，18

例5在重力作用下以仰角初速度拋射出一物體。假設(shè)空氣阻力與速度成正比，方向與速度方向相反，即，為阻力系數(shù)。試求拋射體的運動方程。解：以物體為研究對象，將其視為質(zhì)點。建立圖示坐標。在任一位置質(zhì)點受力如圖。由直角坐標形式的質(zhì)點運動微分方程得因為9.2質(zhì)點運動微分方程例5在重力作用下以仰角初速度19

將它們代入運動微分方程，并令，得：這是兩個獨立的線性二階常系數(shù)常微分方程，由常微分方程理論可知，它們的解為求導(dǎo)得其中，、、、為積分常數(shù)，由運動初始條件確定。9.2質(zhì)點運動微分方程將它們代入運動微分方程，并令20

當(dāng)時，；代入以上四式，求得于是質(zhì)點的運動方程為上式即為軌跡的參數(shù)方程，軌跡如圖所示。由第一式可知軌跡漸近線為。對于拋射體的射程：當(dāng)較大時，，當(dāng)較小時，由運動方程求。9.2質(zhì)點運動微分方程當(dāng)時，21

質(zhì)點的速度公式為由上式可見，質(zhì)點的速度在水平方向的投影不是常量，而是隨著時間的增加而不斷減小，當(dāng)時，

；質(zhì)點的速度在軸上的投影，隨著時間的增加，大小和方向都將變化，當(dāng)時，，方向鉛垂向下。因此，質(zhì)點的運動經(jīng)過一段時間后將鉛直向下作勻速運動。9.2質(zhì)點運動微分方程質(zhì)點的速度公式為由上式可見，22

例6如圖所示，一細常桿桿端有一小球M，其質(zhì)量為，另一端用光滑鉸固定。桿長為，質(zhì)量不計，桿在鉛垂面內(nèi)運動，開始時小球位于鉛垂位置，突然給小球一水平初速度，求桿處于任一位置時對球的約束力。

解：以小球為研究對象，將其視為質(zhì)點。建立圖示的自然坐標。由運動學(xué)知：在任一位置質(zhì)點受力如圖。由自然坐標形式的質(zhì)點運動微分方程得9.2質(zhì)點運動微分方程例6如圖所示，一細常桿桿23

即（1）（2）（1）式是一常系數(shù)二階非線性微分方程，其解為橢圓積分，較為復(fù)雜。將其積分一次求出，代入（2）式即可求出。因為所以9.2質(zhì)點運動微分方程即（1）（2）（1）式是一常系數(shù)二階非線性微24

得：由初始條件：時，，代入上式得（3）將其代入（2）式，得（4）

下面將計算結(jié)果作進一步的討論：9.2質(zhì)點運動微分方程得：由初始條件：時，25

由（3）得此式表示桿在任意位置時球的速度。由此式可知：當(dāng)時小球才能作圓周運動，否則球作擺動。

（4）式給出約束力隨角的變化規(guī)律。當(dāng)時，當(dāng)時，因此，要使，必須滿足。

若令，可由（4）式給出約束力為零時，桿的位置（設(shè)此時桿的位置用表示）所滿足的條件9.2質(zhì)點運動微分方程由（3）得此式表示桿在任意位26

即若則因此，在區(qū)間范圍內(nèi)，總存在確定的值，使小球在這一點不受桿的作用。當(dāng)時，，即小球受拉；當(dāng)時，，即小球受壓。9.2質(zhì)點運動微分方程即若則因此，在區(qū)間范2711.3質(zhì)點動力學(xué)的兩類問題

9.3牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理結(jié)束11.3質(zhì)點動力學(xué)的兩類問題9.3牽連運動為28第三篇動力學(xué)引言動力學(xué)研究物體的機械運動與作用力之間的關(guān)系。

動力學(xué)中所研究的力學(xué)模型是質(zhì)點和質(zhì)點系（包括剛體）。動力學(xué)的兩類問題：（1）已知物體的運動規(guī)律，求作用在物體上的力；（2）已知作用在物體上的力及運動的初始條件，求物體的運動規(guī)律。第三篇動力學(xué)引言動力學(xué)研29第九章質(zhì)點動力學(xué)基本方程動力學(xué)基本定律質(zhì)點運動微分方程

第九章質(zhì)點動力學(xué)基本方程動力學(xué)基本定律309.1動力學(xué)基本定律第一定律（慣性定律）

任何質(zhì)點如不受力作用，則將保持其原來靜止的或勻速直線運動的狀態(tài)不變。

質(zhì)點保持其原有運動狀態(tài)不變的屬性稱為慣性。事實上，不存在不受力的質(zhì)點，若作用在質(zhì)點上的力系為平衡力系，則等效于質(zhì)點不受力。該定律表明：力是改變質(zhì)點運動狀態(tài)的原因。第二定律（力與加速度關(guān)系定律）

質(zhì)點受力作用時所獲得的加速度的大小與作用力的大小成正比，與質(zhì)點的質(zhì)量成反比，加速度的方向與力的方向相同。9.1動力學(xué)基本定律第一定律（慣319.1動力學(xué)基本定律

即：或由于上式是推導(dǎo)其它動力學(xué)方程的出發(fā)點，所以通常稱上式為動力學(xué)基本方程。當(dāng)質(zhì)點同時受幾個力的作用時上式中的應(yīng)理解為這些力的合力。該定律表明：1、力與加速度的關(guān)系是瞬時關(guān)系，即力在某瞬時對質(zhì)點運動狀態(tài)的改變是通過該瞬時確定的加速度表現(xiàn)的。作用力并不直接決定質(zhì)點的速度，速度的方向可以完全不同于作用力的方向。2、若相等的兩個力作用在質(zhì)量不同的兩個質(zhì)點上，則質(zhì)量越大，加速度越?。毁|(zhì)量越小，加速度越大。9.1動力學(xué)基本定律即：或由于上329.1動力學(xué)基本定律式中是物體所受重力的大小，稱為物體的重量，是重力加速度的大小。通常取。在國際單位制中，長度、質(zhì)量和時間的單位是基本單位，分別取米、千克和秒；力的單位是導(dǎo)出單位，為牛頓。即：

這說明：質(zhì)量越大，保持其原來運動狀態(tài)的能力越強，即質(zhì)量越大，慣性也越大。因此，質(zhì)量是質(zhì)點慣性大小的度量。在重力場中，物體均受重力作用。物體在重力作用下自由下落所獲得的加速度稱為重力加速度，用表示。由第二定律有9.1動力學(xué)基本定律式中是物體所受重力的339.1動力學(xué)基本定律

必須指出的是：質(zhì)點受力與坐標無關(guān)，但質(zhì)點的加速度與坐標的選擇有關(guān)，因此牛頓第一、第二定律不是任何坐標都適用的。凡牛頓定律適用的坐標系稱為慣性坐標系。反之為非慣性坐標系。第三定律（作用與反作用定律）

兩個物體間相互作用的作用力和反作用力總是大小相等、方向相反，沿著同一作用線同時分別作用在這兩個物體上。

以牛頓定律為基礎(chǔ)所形成的力學(xué)理論稱為古典力學(xué)。9.1動力學(xué)基本定律349.2質(zhì)點運動微分方程

將動力學(xué)基本方程用微分形式表示所得到的方程稱為質(zhì)點運動微分方程。一、矢徑形式的質(zhì)點運動微分方程

由動力學(xué)基本方程：由運動學(xué)可知：于是可得：或這就是矢徑形式的質(zhì)點運動微分方程。

二、直角坐標形式的質(zhì)點運動微分方程這就是直角坐標形式的質(zhì)點運動微分方程。9.2質(zhì)點運動微分方程359.2質(zhì)點運動微分方程

三、自然坐標形式的質(zhì)點運動微分方程或這就是自然坐標形式的質(zhì)點運動微分方程。四、動力學(xué)兩類問題的求解第一類問題：已知質(zhì)點的運動，求作用在質(zhì)點上的力。這類問題其實質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的求導(dǎo)問題。第二類問題：已知作用在質(zhì)點上的力，求質(zhì)點的運動。這類問題其實質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的解微分方程或求積分問題。9.2質(zhì)點運動微分方程三、自然369.2

下面就力是一個變量的函數(shù)的首次積分加以介紹：

1、當(dāng)力是常數(shù)或是時間的簡單函數(shù)時，有，則。質(zhì)點運動微分方程

，分離變量積分。

3、當(dāng)力是速度的簡單函數(shù)時，有，分離變量積分。

下面舉例說明質(zhì)點動力學(xué)兩類問題的求解方法。

2、當(dāng)力是位置的簡單函數(shù)時，有，利用循環(huán)求導(dǎo)變換,則有9.2下面就力是一個變量的函數(shù)的首37

例1如圖，設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點M在平面oxy內(nèi)運動，已知其運動方程為求作用在質(zhì)點上的力。

解：以質(zhì)點M為研究對象。分析運動：由運動方程消去時間，得可見質(zhì)點作橢圓運動。

將運動方程對時間求兩階導(dǎo)數(shù)得：例1如圖，設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點M38

代入質(zhì)點運動微分方程，即可求得主動力的投影為：于是可見，力與矢徑共線反向，其大小正比于矢徑的模，方向恒指向橢圓中心。這種力稱為有心力。9.2質(zhì)點運動微分方程代入質(zhì)點運動微分方程，即可求得主動力的投影為39

例2質(zhì)量為1Kg的小球M，用兩繩系住，兩繩的另一端分別連接在固定點A、B，如圖。已知小球以速度在水平面內(nèi)作勻速圓周運動，圓的半徑，求兩繩的拉力。

解：以小球為研究對象，任一瞬時小球受力如圖。小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運動。方向指向O點。9.2質(zhì)點運動微分方程例2質(zhì)量為1Kg的小球M40

建立如圖所示的自然坐標系。由自然坐標形式的質(zhì)點運動微分方程得：（1）（2）代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立求解得：

下面再對本題作進一步的分析討論，由（1）、（2）式可得：令，可得令，可得因此，只有當(dāng)時，兩繩才同時受力。否則將只有其中一繩受力。9.2質(zhì)點運動微分方程建立如圖所示的自然坐標系。由41

例3從某處拋射一物體，已知初速度為，拋射角為，如不計空氣阻力，求物體在重力單獨作用下的運動規(guī)律。

解：以拋射體為研究對象，將其視為質(zhì)點。任一瞬時受力如圖，建立如圖的坐標。由直角坐標形式的質(zhì)點運動微分方程得積分后得9.2質(zhì)點運動微分方程例3從某處拋射一物體，42

再積分后得式中，為積分常數(shù)，由初始條件確定。

當(dāng)，，，代入以上四式，即得：，。于是物體的運動方程為：

軌跡方程為：由此可見，物體的軌跡是一拋物線。9.2質(zhì)點運動微分方程再積分后得式中，43

例4垂直于地面向上發(fā)射一物體，求該物體在地球引力作用下的運動速度，并求第二宇宙速度。不計空氣阻力及地球自轉(zhuǎn)的影響。解：以物體為研究對象，將其視為質(zhì)點，建立如圖坐標。質(zhì)點在任一位置受地球引力的大小為：由于所以

由直角坐標形式的質(zhì)點運動微分方程得：由于，將上式改寫為9.2質(zhì)點運動微分方程例4垂直于地面向上發(fā)44

分離變量得：設(shè)物體在地面發(fā)射的初速度為，在空中任一位置處的速度為，對上式積分得所以物體在任意位置的速度為：可見物體的速度將隨的增加而減小。9.2質(zhì)點運動微分方程分離變量得：設(shè)物體在地面發(fā)射的初速度為45

若，則物體在某一位置時速度將為零，此后物體將回落，為以初速向上發(fā)射物體所能達到的最大高度。將及代入上式可得若，則不論為多大，甚至為無限大時，速度均不會減小為零，因此欲使物體向上發(fā)射一去不復(fù)返時必須具有的最小速度為若取，，代入上式可得這就是物體脫離地球引力范圍所需的最小初速度，稱為第二宇宙速度。9.2質(zhì)點運動微分方程若，46

例5在重力作用下以仰角初速度拋射出一物體。假設(shè)空氣阻力與速度成正比，方向與速度方向相反，即，為阻力系數(shù)。試求拋射體的運動方程。解：以物體為研究對象，將其視為質(zhì)點。建立圖示坐標。在任一位置質(zhì)點受力如圖。由直角坐標形式的質(zhì)點運動微分方程得因為9.2質(zhì)點運動微分方程例5在重力作用下以仰角初速度47

將它們代入運動微分方程，并令，得：這是兩個獨立的線性二階常系數(shù)常微分方程，由常微分方程理論可知，它們的解為求導(dǎo)得其中，、、、為積分常數(shù)，由運動初始條件確定。9.2質(zhì)點運動微分方程將它們代入運動微分方程，并令48

當(dāng)時，；代入以上四式，求得于是質(zhì)點的運動方程為上式即為軌跡的參數(shù)方程，軌跡如圖所示。由第一式可知軌跡漸近線為。對于拋射體的射程：當(dāng)較大時，，當(dāng)較小時，由運動方程求。9.2質(zhì)點運動微分方程當(dāng)時，49

質(zhì)點的速度公式為由上式可見，質(zhì)點的速度在水平方向的投影不是常量，而是隨著時間的增加而不斷減小，當(dāng)