期望與方差例題選講(含詳解)

概率統(tǒng)計（理）典型例題選講(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝＝;等可能事件概率的計算步驟：計算一次試驗的基本事件總數(shù);設所求事件A，并計算事件A包含的基本事件的個數(shù);依公式求值;答，即給問題一個明確的答復.(2)互斥事件有一個發(fā)生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B);特例：對立事件的概率：P(A)＋P()＝P(A＋)＝1.(3)相互獨立事件同時發(fā)生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);特例：獨立重復試驗的概率：Pn(k)＝.其中P為事件A在一次試驗中發(fā)生的概率，此式為二項式[(1-P)+P]n展開的第k+1項.(4)解決概率問題要注意“四個步驟，一個結合”：求概率的步驟是：第一步，確定事件性質即所給的問題歸結為四類事件中的某一種.第二步，判斷事件的運算即是至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件.第三步，運用公式求解第四步，答，即給提出的問題有一個明確的答復.典型例題分析1.有10張卡片，其中8張標有數(shù)字2，有2張標有數(shù)字5.從中隨機地抽取3張卡片，設3張卡片上的數(shù)字和為ξ，求Eξ與Dξ.解：這3張卡片上的數(shù)字和ξ這一隨機變量的可能取值為6，9，12，且“ξ=6”表示取出的3張卡上都標有2，則P（ξ=6)=.“ξ=9”表示取出的3張卡片上兩張為2，一張為5，則P(ξ=9)=.

“ξ=12”表示取出的3張卡片上兩張為5，一張為2，則P(ξ=12)=.

則期望Eξ=6×+9×+12×=7.8,

方差Dξ=(6-7.8)2+(9-7.8)2+(12-7.8)2=3.36.2.（2010江西）某迷宮有三個通道，進入迷宮的每個人都要經過一扇智能門．首次到達此門，系統(tǒng)會隨機(即等可能)為你打開一個通道．若是1號通道，則需要1小時走出迷宮；若是2號、3號通道，則分別需要2小時、3小時返回智能門，再次到達智能門時，系統(tǒng)會隨機打開一個你未到過的通道，直至走出迷宮為止。令ξ表示走出迷宮所需的時間，

(Ⅰ)求ξ的分布列；

(Ⅱ)求ξ的數(shù)學期望。解：(Ⅰ)ξ的所有可能取值為：1，3，4，6，

，

(Ⅱ)（小時）．3．（2009高考(陜西理)）某食品企業(yè)一個月內被消費者投訴的次數(shù)用表示,椐統(tǒng)計,隨機變量的概率分布如下:0123p0.10.32aa(Ⅰ)求a的值和的數(shù)學期望;(Ⅱ)假設一月份與二月份被消費者投訴的次數(shù)互不影響,求該企業(yè)在這兩個月內共被消費者投訴2次的概率?【答案】(1)由概率分布的性質有0.1+0.3+2a+a=1,解答a=0.2的概率分布為0123P0.10.30.40.2(2)設事件A表示“兩個月內共被投訴2次”事件表示“兩個月內有一個月被投訴2次,另外一個月被投訴0次”;事件表示“兩個月內每月均被投訴12次”則由事件的獨立性得故該企業(yè)在這兩個月內共被消費者投訴2次的概率為0.174．（浙江省溫州市2010屆高三八校聯(lián)考（理））甲乙兩隊參加某知識競賽,每隊3人,每人回答一個問題,答對者為本隊贏得一分,答錯得零分?假設甲隊中每人答對的概率均為,乙隊中3人答對的概率分別為且各人回答正確與否相互之間沒有影響.用ξ表示乙隊的總得分.(Ⅰ)求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望; (Ⅱ)用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件,用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件,求?【答案】:(1);數(shù)學期望(2)用η表示甲隊的總得分;;∴5．（浙江省臺州中學09-10學年高二上學期第二次統(tǒng)練（理））在汶川大地震后對唐家山堰塞湖的搶險過程中,武警官兵準備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個巨大的汽油罐.已知只有5發(fā)子彈,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射擊是相互獨立的,且命中的概率都是.(Ⅰ)求油罐被引爆的概率;(Ⅱ)如果引爆或子彈打光則停止射擊,設射擊次數(shù)為.求的分布列及數(shù)學期望E().(用分數(shù)表示)【答案】:6．（北京市崇文區(qū)2009屆高三一模文）某學校進行交通安全教育,設計了如下游戲,如圖,一輛車模要直行通過十字路口,此時前方交通燈為紅燈,且該車模前面已有4輛車模依次在同一車道上排隊等候(該車道只可以直行或左轉行駛).已知每輛車模直行的概率是,左轉行駛的概率是,該路口紅綠燈轉換間隔時間均為1分鐘.假設該車道上一輛直行去東向的車模駛出停車線需要10秒鐘,一輛左轉去北向的車模駛出停車線需要20秒鐘,求:(Ⅰ)前4輛車模中恰有2輛車左轉行駛的概率;(Ⅱ)該車模在第一次綠燈亮起時的1分鐘內通過該路口的概率(汽車駛出停車線就算通過路口).【答案】(Ⅰ)設前4輛車模中恰有2輛左轉行駛為事件A,則(Ⅱ)設該車在第一次綠燈亮起時的1分鐘內通過該路口為事件B,其中4輛車模均直行通過路口為事件,3輛直行1輛左轉為事件,則事件、互斥.7．（2009高考(湖北理)）一個盒子里裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標有數(shù)2，3，4，5；另一個盒子也裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標有數(shù)3，4，5，6。現(xiàn)從一個盒子中任取一張卡片，其上面的數(shù)記為x；再從另一盒子里任取一張卡片，其上面的數(shù)記為y，記隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望?！敬鸢浮浚阂李}意，可分別取、6、11取，則有.8．(2012課標卷2)某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理．(1)若花店一天購進16枝玫瑰花，求當天的利潤y(單位：元)關于當天需求量n(單位：枝，n∈N)的函數(shù)解析式；(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．①若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當天的利潤(單位：元)，求X的分布列、數(shù)學期望及方差；②若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝？請說明理由．解：(1)當日需求量n≥16時，利潤y＝80.當日需求量n＜16時，利潤y＝10n－80.所以y關于n的函數(shù)解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10n－80，n＜16，,80，n≥16.))(n∈N)．(4分)(2)①X可能的取值為60,70,80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7，X的數(shù)學期望為E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.(6分)X的方差為D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.(8分)②答案一：花店一天應購進16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天購進17枝玫瑰花，Y表示當天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學期望為E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.Y的方差為D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.由以上的計算結果可以看出，D(X)＜D(Y)，即購進16枝玫瑰花時利潤波動相對較?。硗?，雖然E(X)＜E(Y)，但兩者相差不大．故花店一天應購進16枝玫瑰花．(14分)答案二：花店一天應購進17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天購進17枝玫瑰花，Y表示當天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學期望為E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.由以上的計算結果可以看出，E(X)＜E(Y)，即購進17枝玫瑰花時的平均利潤大于購進16枝時的平均利潤．故花店一天應購進17枝玫瑰花．9.(2015·衡水調研卷)某中學為豐富教工生活，國慶節(jié)舉辦教工趣味投籃比賽，有A，B兩個定點投籃位置，在A點投中一球得2分，在B點投中一球得3分．其規(guī)則是：按先A后B再A的順序投籃．教師甲在A和B點投中的概率分別是eq\f(1,2)和eq\f(1,3)，且在A，B兩點投中與否相互獨立．(1)若教師甲投籃三次，試求他投籃得分X的分布列和數(shù)學期望；(2)若教師乙與甲在A，B點投中的概率相同，兩人按規(guī)則各投三次，求甲勝乙的概率．答案(1)E(X)＝3(2)eq\f(19,48)解析設“教師甲在A點投中”的事件為A，“教師甲在B點投中”的事件為B.(1)根據(jù)題意知X的可能取值為0,2,3,4,5,7.P(X＝0)＝P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(A))＝(1－eq\f(1,2))2×(1－eq\f(1,3))＝eq\f(1,6)，P(X＝2)＝P(Aeq\x\to(B)eq\x\to(A)＋eq\x\to(A)eq\x\to(B)A)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,3))×(1－eq\f(1,2))＝eq\f(1,3)，P(X＝3)＝P(eq\x\to(A)Beq\x\to(A))＝(1－eq\f(1,2))×eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,2))＝eq\f(1,12)，P(X＝4)＝P(Aeq\x\to(B)A)＝eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,3))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，P(X＝5)＝P(ABeq\x\to(A)＋eq\x\to(A)BA)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,2))×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，P(X＝7)＝P(ABA)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12).E(X)＝0×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,12)＋4×eq\f(1,6)＋5×eq\f(1,6)＋7×eq\f(1,12)＝3.(2)教師甲勝乙包括：甲得2分，3分，4分，5分，7分五種情形，這五種情形之間彼此互斥，因此所求事件的概率為P＝eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,12)×(eq\f(1,6)＋eq\f(1,3))＋eq\f(1,6)×(eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,12))＋eq\f(1,6)×(eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,12)＋eq\f(1,6))＋eq\f(1,12)×(1－eq\f(1,12))＝eq\f(57,144)＝eq\f(19,48).10.(2013課標卷2)一批產品需要進行質量檢驗，檢驗方案是：先從這批產品中任取4件作檢驗，這4件產品中優(yōu)質品的件數(shù)記為n。如果n=3，再從這批產品中任取4件作檢驗，若都為優(yōu)質品，則這批產品通過檢驗；如果n=4，再從這批產品中任取1件作檢驗，若為優(yōu)質品，則這批產品通過檢驗；其他情況下，這批產品都不能通過檢驗。假設這批產品的優(yōu)質品率為50%，即取出的產品是優(yōu)質品的概率都為，且各件產品是否為優(yōu)質品相互獨立（1）求這批產品通過檢驗的概率；（2）已知每件產品檢驗費用為100元，凡抽取的每件產品都需要檢驗，對這批產品作質量檢驗所需的費用記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學期望?！窘馕觥吭O第一次取出的4件產品中恰有3件優(yōu)質品為事件A，第一次取出的4件產品中全為優(yōu)質品為事件B,第二次取出的4件產品都是優(yōu)質品為事件C，第二次取出的1件產品是優(yōu)質品為事件D，這批產品通過檢驗為事件E，根據(jù)題意有E=(AB)∪(CD),且AB與CD互斥，∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=.…6分（Ⅱ）X的可能取值為400,500,800，并且P(X=400)=1-=，P(X=500)=，P(X=800)==，……10分EX=400×+500×+800×=506.25……12分11.（2011天津高考）學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎．（每次游戲結束后將球放回原箱）

（Ⅰ）求在1次游戲中，

（i）摸出3個白球的概率；

（ii）獲獎的概率；

（Ⅱ）求在2次游戲中獲獎次數(shù)X的分布列及數(shù)學期望E（X）．解：（Ⅰ）（i）設“在一次游戲中摸出i個白球”為事件Ai（i=，0，1，2，3），

則P（A3）=，

（ii）設“在一次游戲中獲獎”為事件B，則B=A2∪A3，

又P（A2）=，且A2、A3互斥，

所以P（B）=P（A2）+P（A3）=；

（Ⅱ）由題意可知X的所有可能取值為0，1，2．

P（X=0）=（1﹣）2=，P（X=1）=C21（1﹣）=，P（X=2）=（）2=，

所以X的分布列是

X的數(shù)學期望E（X）=0×．12.（2010四川）某種有獎銷售的飲料，瓶蓋內印有“獎勵一瓶”或“謝謝購買”字樣，購買一瓶若其瓶蓋內印