傅里葉級數(shù)課件

第九章

數(shù)字信號處理的實現(xiàn)1第九章

數(shù)字信號處理的實現(xiàn)1第三章傅里葉變換教學(xué)目的：1、掌握傅里葉級數(shù)的定義及性質(zhì)。2、掌握傅里葉變換的定義及性質(zhì)。3、建立信號頻譜的概念。4、掌握頻譜密度函數(shù)的概念及其意義。5、掌握抽樣定理及抽樣信號頻譜的特征教學(xué)重點：1、傅里葉變換及其性質(zhì)。2、抽樣定理。2第三章傅里葉變換教學(xué)目的：2§3.1引言

頻域分析將時間變量變換成頻率變量，揭示了信號內(nèi)在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制和頻分復(fù)用等重要概念。時域分析頻域分析3§3.1引言頻域分析將時間變量變換成頻率變量，揭示了信發(fā)展歷史1822年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳導(dǎo)理論時發(fā)表了“熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)的理論基礎(chǔ)。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用。19世紀末，人們制造出用于工程實際的電容器。進入20世紀以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進一步應(yīng)用開辟了廣闊的前景。在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實際應(yīng)用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點。FFT快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。

4發(fā)展歷史1822年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1§3.2周期信號傅里葉級數(shù)三角函數(shù)形式的傅氏級數(shù)指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級數(shù)頻譜圖兩種傅氏級數(shù)的關(guān)系函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系周期信號的功率傅里葉有限級數(shù)與最小方均誤差主要內(nèi)容：FourierSeries（FS)5§3.2周期信號傅里葉級數(shù)三角函數(shù)形式的傅氏級數(shù)主要一．三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)

構(gòu)成完備的正交函數(shù)集n=0,1,...1.三角函數(shù)集6一．三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)構(gòu)成完備的正交函數(shù)集n=0,直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度在滿足狄氏條件時，可展成稱為三角形式的傅里葉級數(shù)。其系數(shù)2．傅里葉級數(shù)形式7直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度在滿足狄氏條件時，可展成3、狄利克雷（Dirichlet）條件條件3:在一周期內(nèi)，信號絕對可積。條件2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個。條件1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的數(shù)目應(yīng)是有限個。一般的周期信號都滿足狄氏條件.83、狄利克雷（Dirichlet）條件條件3:在一周期內(nèi)，信例3-2-1求周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式。傅里葉級數(shù)展開式為9例3-2-1求周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式。傅余弦形式正弦形式10余弦形式正弦形式101、信號分解為直流分量，及各正、余弦分量之和，各分量的頻率是信號頻率ω1的整數(shù)倍。頻率為ω1

、2ω1

、nω1分量：基波、二次諧波、n次諧波2、c0：直流分量cn：n次諧波分量的幅度大小φn：n次諧波分量的相位大小理解：周期信號傅立葉級數(shù)111、信號分解為直流分量，及各正、余弦分量之和，各分量的頻率是相位頻譜（圖）：把φn對nω1的關(guān)系繪成圖形4、幅度頻譜圖和相位頻譜圖幅度頻譜（圖）：把cn對nω1的關(guān)系繪成圖形12相位頻譜（圖）：把φn對nω1的關(guān)系繪成圖形4、幅度頻譜圖和O1w13wwpnj5、頻譜圖譜線，包絡(luò)幅度頻譜圖相位頻譜圖頻譜特點：離散性諧波性收斂性單邊譜1ww13wnc0c1c3cO13O1w13wwpnj5、頻譜圖譜線，包絡(luò)幅度頻譜圖相位頻譜傅立葉級數(shù)的意義：周期信號經(jīng)過傅立葉級數(shù)展開，將時域信號f(t)轉(zhuǎn)換到了頻域表示t→ω

。時域周期信號f(t)FS14傅立葉級數(shù)的意義：周期信號經(jīng)過傅立葉級數(shù)展開，將時域信號f(二．指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)1．復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集2．指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)(推導(dǎo)）15二．指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)1．復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集2．指數(shù)形式1616結(jié)果：17結(jié)果：17理解：18理解：18幅頻頻譜圖相頻頻譜圖3、幅度頻譜圖和相位頻譜圖19幅頻頻譜圖相頻頻譜圖3、幅度頻譜圖和相位頻譜圖194、頻譜圖頻譜特點：離散性諧波性收斂性雙邊譜ww譜線，包絡(luò)1w13wnFn1F2F3OF01-w1-3w204、頻譜圖頻譜特點：ww譜線，包絡(luò)1w13wnFn1F2F3w13wpnjOnjO1ww13w1-π相位頻譜21w13wpnjOnjO1ww13w1-π相位頻譜21為什么引入負頻率?

()的實函數(shù)的性質(zhì)不變。，才能保證和數(shù)，必須有共軛對是實函數(shù)，分解成虛指－)(ee11jjtftfnnww22為什么引入負頻率?()的實函數(shù)的性質(zhì)不變。，才能保證和數(shù)，請畫出其幅度譜和相位譜。例3-2-2化為余弦形式三角函數(shù)形式的頻譜圖三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的譜系數(shù)

23請畫出其幅度譜和相位譜。例3-2-2化為余弦形式三角函數(shù)形式化為指數(shù)形式整理24化為指數(shù)形式整理24譜線指數(shù)形式的頻譜圖25譜線指數(shù)形式的頻譜圖25三角形式與指數(shù)形式的頻譜圖對比三角函數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式的頻譜圖26三角形式與指數(shù)形式的頻譜圖對比三角函數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式的三．函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系偶函數(shù)奇函數(shù)奇諧函數(shù)偶諧函數(shù)主要內(nèi)容：27三．函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系偶函數(shù)主要內(nèi)容：271．偶函數(shù)信號波形相對于縱軸對稱281．偶函數(shù)信號波形相對于縱軸對稱282．奇函數(shù)292．奇函數(shù)293．奇諧函數(shù)f(t)的傅氏級數(shù)偶次諧波為零，即若波形沿時間軸平移半個周期并相對于該軸上下反轉(zhuǎn)，此時波形并不發(fā)生變化：303．奇諧函數(shù)f(t)的傅氏級數(shù)偶次諧波為零，即若波形沿時間軸4．偶諧函數(shù)f(t)的傅氏級數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量314．偶諧函數(shù)f(t)的傅氏級數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量四．周期信號的功率這是帕塞瓦爾定理在傅里葉級數(shù)情況下的具體體現(xiàn);表明：周期信號平均功率=直流、基波及各次諧波分量有效值的平方和；即：時域和頻域能量守恒。32四．周期信號的功率這是帕塞瓦爾定理在傅里葉級數(shù)情況下的具體體五．傅里葉有限級數(shù)與最小方均誤差誤差函數(shù)方均誤差33五．傅里葉有限級數(shù)與最小方均誤差誤差函數(shù)方均誤差33見書圖3－6(P99）對稱方波有限項傅里葉級數(shù)的波形吉布斯現(xiàn)象：當(dāng)選取有限項級數(shù)的N越大時，在合成波形中出現(xiàn)的峰起愈靠近f(t)的不連續(xù)點，當(dāng)N很大時，該峰起值趨于一個常數(shù)，大約等于總跳變值的9％，并從不連續(xù)點開始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去，這種現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。34見書圖3－6(P99）吉布斯現(xiàn)象：當(dāng)選取有限項級數(shù)的N見書P100傅立葉級數(shù)所取項數(shù)n越多，相加后的波形越接近原信號f(t)。f(t)波形變化愈劇烈，所包含的高頻分量愈豐富，變化愈緩慢，所包含的低頻分量愈豐富。當(dāng)信號中任一頻譜分量的幅度或相位發(fā)生相對變化時，輸出波形發(fā)生失真。35見書P100傅立葉級數(shù)所取項數(shù)n越多，相加后的波形越接近原信主要內(nèi)容以周期矩形脈沖信號為例進行分析頻譜結(jié)構(gòu)頻譜特點頻帶寬度能量分布§3.3典型周期信號的傅里葉級數(shù)36主要內(nèi)容以周期矩形脈沖信號為例進行分析§3.3典型周期信號一．周期矩形脈沖信號頻譜結(jié)構(gòu)在一個周期中：37一．周期矩形脈沖信號頻譜結(jié)構(gòu)在一個周期中：371．三角形式的傅里葉級數(shù)381．三角形式的傅里葉級數(shù)382．指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)392．指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)393．頻譜及其特點wOFn(1)包絡(luò)線形狀：抽樣函數(shù)(3)離散譜（諧波性）見書P104403．頻譜及其特點wOFn(1)包絡(luò)線形狀：抽樣函數(shù)(3)離散結(jié)論

周期矩形脈沖的頻譜說明了周期信號頻譜的特點：離散性、諧波性、收斂性。wOFn見書P10541結(jié)論周期矩形脈沖的頻譜說明了周期信號頻譜的特點：離1.問題提出二．頻帶寬度由頻譜的收斂性可知，信號的功率集中在低頻段。第一個零點集中了信號絕大部分能量（平均功率）。

421.問題提出二．頻帶寬度由頻譜的收斂性可知，信號的功率集中在而總功率周期矩形脈沖信號的功率二者比值43而總功率周期矩形脈沖信號的功率二者比值43在滿足一定失真條件下，信號可以用某段頻率范圍的信號來表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度（簡稱帶寬）。2．頻帶寬度一般把第一個零點稱為信號的頻帶寬度。記為：

信號時域壓縮，頻域擴展，時域擴展，頻域壓縮。為了充份利用頻帶，頻帶變窄，脈寬展寬，但同時通信速度降低，即通信速度和占用頻帶是一對矛盾。見書P10644在滿足一定失真條件下，信號可以用某段頻率范圍的信號來表示，此請自修：周期鋸齒脈沖信號周期三角脈沖信號周期半波余弦信號周期全波余弦信號45請自修：周期鋸齒脈沖信號45小結(jié)：1、周期信號的傅立葉級數(shù)2、三角函數(shù)形式分解3、指數(shù)函數(shù)形式分解4、幅度譜5、相位譜6、離散性、諧波性，收斂性7、頻帶寬度（帶寬）46小結(jié)：1、周期信號的傅立葉級數(shù)46§3.4傅里葉變換傅里葉變換的推導(dǎo)傅里葉正反變換對傅里葉變換的物理意義傅里葉變換存在的條件主要內(nèi)容：FourierTransform（FT)47§3.4傅里葉變換傅里葉變換的推導(dǎo)主要內(nèi)容：Fourier第九章

數(shù)字信號處理的實現(xiàn)48第九章

數(shù)字信號處理的實現(xiàn)1第三章傅里葉變換教學(xué)目的：1、掌握傅里葉級數(shù)的定義及性質(zhì)。2、掌握傅里葉變換的定義及性質(zhì)。3、建立信號頻譜的概念。4、掌握頻譜密度函數(shù)的概念及其意義。5、掌握抽樣定理及抽樣信號頻譜的特征教學(xué)重點：1、傅里葉變換及其性質(zhì)。2、抽樣定理。49第三章傅里葉變換教學(xué)目的：2§3.1引言

頻域分析將時間變量變換成頻率變量，揭示了信號內(nèi)在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制和頻分復(fù)用等重要概念。時域分析頻域分析50§3.1引言頻域分析將時間變量變換成頻率變量，揭示了信發(fā)展歷史1822年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳導(dǎo)理論時發(fā)表了“熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)的理論基礎(chǔ)。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用。19世紀末，人們制造出用于工程實際的電容器。進入20世紀以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進一步應(yīng)用開辟了廣闊的前景。在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實際應(yīng)用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點。FFT快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。

51發(fā)展歷史1822年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1§3.2周期信號傅里葉級數(shù)三角函數(shù)形式的傅氏級數(shù)指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級數(shù)頻譜圖兩種傅氏級數(shù)的關(guān)系函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系周期信號的功率傅里葉有限級數(shù)與最小方均誤差主要內(nèi)容：FourierSeries（FS)52§3.2周期信號傅里葉級數(shù)三角函數(shù)形式的傅氏級數(shù)主要一．三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)

構(gòu)成完備的正交函數(shù)集n=0,1,...1.三角函數(shù)集53一．三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)構(gòu)成完備的正交函數(shù)集n=0,直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度在滿足狄氏條件時，可展成稱為三角形式的傅里葉級數(shù)。其系數(shù)2．傅里葉級數(shù)形式54直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度在滿足狄氏條件時，可展成3、狄利克雷（Dirichlet）條件條件3:在一周期內(nèi)，信號絕對可積。條件2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個。條件1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的數(shù)目應(yīng)是有限個。一般的周期信號都滿足狄氏條件.553、狄利克雷（Dirichlet）條件條件3:在一周期內(nèi)，信例3-2-1求周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式。傅里葉級數(shù)展開式為56例3-2-1求周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式。傅余弦形式正弦形式57余弦形式正弦形式101、信號分解為直流分量，及各正、余弦分量之和，各分量的頻率是信號頻率ω1的整數(shù)倍。頻率為ω1

、2ω1

、nω1分量：基波、二次諧波、n次諧波2、c0：直流分量cn：n次諧波分量的幅度大小φn：n次諧波分量的相位大小理解：周期信號傅立葉級數(shù)581、信號分解為直流分量，及各正、余弦分量之和，各分量的頻率是相位頻譜（圖）：把φn對nω1的關(guān)系繪成圖形4、幅度頻譜圖和相位頻譜圖幅度頻譜（圖）：把cn對nω1的關(guān)系繪成圖形59相位頻譜（圖）：把φn對nω1的關(guān)系繪成圖形4、幅度頻譜圖和O1w13wwpnj5、頻譜圖譜線，包絡(luò)幅度頻譜圖相位頻譜圖頻譜特點：離散性諧波性收斂性單邊譜1ww13wnc0c1c3cO60O1w13wwpnj5、頻譜圖譜線，包絡(luò)幅度頻譜圖相位頻譜傅立葉級數(shù)的意義：周期信號經(jīng)過傅立葉級數(shù)展開，將時域信號f(t)轉(zhuǎn)換到了頻域表示t→ω

。時域周期信號f(t)FS61傅立葉級數(shù)的意義：周期信號經(jīng)過傅立葉級數(shù)展開，將時域信號f(二．指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)1．復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集2．指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)(推導(dǎo)）62二．指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)1．復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集2．指數(shù)形式6316結(jié)果：64結(jié)果：17理解：65理解：18幅頻頻譜圖相頻頻譜圖3、幅度頻譜圖和相位頻譜圖66幅頻頻譜圖相頻頻譜圖3、幅度頻譜圖和相位頻譜圖194、頻譜圖頻譜特點：離散性諧波性收斂性雙邊譜ww譜線，包絡(luò)1w13wnFn1F2F3OF01-w1-3w674、頻譜圖頻譜特點：ww譜線，包絡(luò)1w13wnFn1F2F3w13wpnjOnjO1ww13w1-π相位頻譜68w13wpnjOnjO1ww13w1-π相位頻譜21為什么引入負頻率?

()的實函數(shù)的性質(zhì)不變。，才能保證和數(shù)，必須有共軛對是實函數(shù)，分解成虛指－)(ee11jjtftfnnww69為什么引入負頻率?()的實函數(shù)的性質(zhì)不變。，才能保證和數(shù)，請畫出其幅度譜和相位譜。例3-2-2化為余弦形式三角函數(shù)形式的頻譜圖三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的譜系數(shù)

70請畫出其幅度譜和相位譜。例3-2-2化為余弦形式三角函數(shù)形式化為指數(shù)形式整理71化為指數(shù)形式整理24譜線指數(shù)形式的頻譜圖72譜線指數(shù)形式的頻譜圖25三角形式與指數(shù)形式的頻譜圖對比三角函數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式的頻譜圖73三角形式與指數(shù)形式的頻譜圖對比三角函數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式的三．函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系偶函數(shù)奇函數(shù)奇諧函數(shù)偶諧函數(shù)主要內(nèi)容：74三．函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系偶函數(shù)主要內(nèi)容：271．偶函數(shù)信號波形相對于縱軸對稱751．偶函數(shù)信號波形相對于縱軸對稱282．奇函數(shù)762．奇函數(shù)293．奇諧函數(shù)f(t)的傅氏級數(shù)偶次諧波為零，即若波形沿時間軸平移半個周期并相對于該軸上下反轉(zhuǎn)，此時波形并不發(fā)生變化：773．奇諧函數(shù)f(t)的傅氏級數(shù)偶次諧波為零，即若波形沿時間軸4．偶諧函數(shù)f(t)的傅氏級數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量784．偶諧函數(shù)f(t)的傅氏級數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量四．周期信號的功率這是帕塞瓦爾定理在傅里葉級數(shù)情況下的具體體現(xiàn);表明：周期信號平均功率=直流、基波及各次諧波分量有效值的平方和；即：時域和頻域能量守恒。79四．周期信號的功率這是帕塞瓦爾定理在傅里葉級數(shù)情況下的具體體五．傅里葉有限級數(shù)與最小方均誤差誤差函數(shù)方均誤差80五．傅里葉有限級數(shù)與最小方均誤差誤差函數(shù)方均誤差33見書圖3－6(P99）對稱方波有限項傅里葉級數(shù)的波形吉布斯現(xiàn)象：當(dāng)選取有限項級數(shù)的N越大時，在合成波形中出現(xiàn)的峰起愈靠近f(t)的不連續(xù)點，當(dāng)N很大時，該峰起值趨于一個常數(shù)，大約等于總跳變值的9％，并從不連續(xù)點開始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去，這種現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。81見書圖3－6(P99）吉布斯現(xiàn)象：當(dāng)選取有限項級數(shù)的N見書P100傅立葉級數(shù)所取項數(shù)n越多，相加后的波形越接近原信號f(t)。f(t)波形變化愈劇烈，所包含的高頻分量愈豐富，變化愈緩慢，所包含的低頻分量愈豐富。當(dāng)信號中任一頻譜分量的幅度或相位發(fā)生相對變化時，輸出波形發(fā)生失真。82見書P100傅立葉級數(shù)所取項數(shù)n越多，相加后的波形越接近原信主要內(nèi)容以周期矩形脈沖信號為例進行分析頻譜結(jié)構(gòu)頻譜特點頻帶寬度能量分布§3.3典型周期信號的傅里葉級數(shù)83主要內(nèi)容以周期矩形脈沖信號為例進行分析§3.3典型周期信號一．周期矩形脈沖信號頻譜結(jié)構(gòu)在一個周期中：84一．周期矩形脈沖信號頻譜結(jié)構(gòu)在一個周期中：371．三角形