專題19 綜合型問題（第07期）-2017年中考數(shù)學試題分項版解析

一、選擇題1．（2017四川省攀枝花市）如圖，正方形ABCD中．點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，△AEF是等邊三角形．連接AC交EF于點G．過點G作GH⊥CE于點H．若，則=（）A．6B．4C．3D．2【答案】A．【解析】DF=，∴S△ADF=AD?DF=6．故選A．考點：1．正方形的性質(zhì)；2．等邊三角形的性質(zhì)；3．綜合題．2．（2017山東省萊蕪市）如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠ABC=120°，M是BC邊的一個三等分點，P是對角線AC上的動點，當PB+PM的值最小時，PM的長是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】選A．考點：1．軸對稱﹣最短路線問題；2．菱形的性質(zhì)；3．動點型；4．最值問題；5．和差倍分．3．（2017山東省萊蕪市）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為2，連結(jié)AC、AD、BE，BE分別與AC和AD相交于點F、G，連結(jié)DF，給出下列結(jié)論：①∠FDG=18°；②FG=3﹣；③（S四邊形CDEF）2=9+2；④DF2﹣DG2=7﹣2．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B．【解析】試題分析：①∵五方形ABCDE是正五邊形，∴AB=BC，∠ABC=180°﹣=108°，∴∠BAC=∠ACB=36°，∴∠ACD=108°﹣36°=72°，同理得：∠ADE=36°，∵∠BAE=108°，AB=AE，∴∠ABE=36°，∴∠CBF=108°﹣36°=72°，∴BC=FC，∵BC=CD，∴CD=CF，∴∠CDF=∠CFD=（180°-72°）÷2=54°，∴∠FDG=∠CDE﹣∠CDF﹣∠ADE=108°﹣54°﹣36°=18°；所以①正確；②∵∠ABE=∠ACB=36°，∠BAC=∠BAF，∴△ABF∽△ACB，∴，∴AB?ED=AC?EG，∵AB=ED=2，AC=BE=BG+EF﹣FG=2AB﹣FG=4﹣FG，EG=BG﹣FG=2﹣FG，∴22=（2﹣FG）（4﹣FG），∴FG=3+＞2（舍），F(xiàn)G=3﹣；所以②正確；所以③不正確；④如圖2，連接EC，∵EF=ED，∴?CDEF是菱形，∴FD⊥EC，∵EC=BE=4﹣FG=4﹣（3﹣）=1+，∴S四邊形CDEF=FD?EC=2×，×FD×（1+）=，F(xiàn)D2=10﹣2，∴DF2﹣DG2=10﹣2﹣4=6﹣2，所以④不正確；本題正確的有兩個，故選B．考點：1．正多邊形和圓；2．相似三角形的判定與性質(zhì)；3．綜合題．4．（2017江蘇省鎮(zhèn)江市）點E、F分別在平行四邊形ABCD的邊BC、AD上，BE=DF，點P在邊AB上，AP：PB=1：n（n＞1），過點P且平行于AD的直線l將△ABE分成面積為S1、S2的兩部分，將△CDF分成面積為S3、S4的兩部分（如圖），下列四個等式：①②③④其中成立的有（）A．①②④B．②③C．②③④D．③④【答案】B．【解析】考點：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．平行四邊形的性質(zhì)；3．壓軸題．5．（2017四川省德陽市）當≤X≤2時，函數(shù)y=-2x+b的圖象上到少有一個點在函數(shù)的圖象下方，則b的取值范圍為（）A．b≥B．b＜C．b＜3D．＜b＜【答案】B．【解析】試題分析：在函數(shù)中，令x=2，則y=；令x=，則y=2；若直線y=﹣2x+b經(jīng)過（2，），則=﹣4+b，即b=；若直線y=﹣2x+b經(jīng)過（，2），則2=﹣1+b，即b=3，∵直線y=﹣2x+在直線y=﹣2x+3的上方，∴當函數(shù)y=﹣2x+b的圖象上至少有一點在函數(shù)的圖象下方時，直線y=﹣2x+b在直線y=﹣2x+的下方，∴b的取值范圍為b＜．故選B．考點：1．反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；2．一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；3．綜合題．6．（2017四川省雅安市）如圖，四邊形ABCD中，AB=4，BC=6，AB⊥BC，BC⊥CD，E為AD的中點，F(xiàn)為線段BE上的點，且FE=BE，則點F到邊CD的距離是（）A．3B．C．4D．【答案】C．【解析】考點：1．矩形的判定與性質(zhì)；2．三角形中位線；3．相似三角形的判定與性質(zhì)；4．綜合題．7．（2017遼寧省鞍山市）如圖，在矩形ABCD中，點E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為點F，連接DF，分析下列四個結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②DF=DC；③S△DCF=4S△DEF；④tan∠CAD=．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4B．3C．2D．1【答案】A．【解析】△DEF，故③正確；學@科網(wǎng)④設(shè)AE=a，AB=b，則AD=2a，由△BAE∽△ADC，有，即b=a，∴tan∠CAD==．故④正確；故選A．考點：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．矩形的性質(zhì)；3．解直角三角形；4．綜合題．二、填空題8．（2017四川省涼山州）古希臘數(shù)學家把1、3、6、10、15、21、…叫做三角形數(shù)，其中1是第一個三角形數(shù)，3是第二個三角形數(shù)，6是第三個三角形數(shù)，…，依此類推，第100個三角形數(shù)是．【答案】5050．【解析】試題分析：設(shè)第n個三角形數(shù)為an，∵a1=1，a2=3=1+2，a3=6=1+2+3，a4=10=1+2+3+4，…∴an=1+2+…+n=，將n=100代入an，得：a100==5050，故答案為：5050．考點：1．規(guī)律型：數(shù)字的變化類；2．綜合題．9．（2017四川省攀枝花市）如圖1，E為矩形ABCD的邊AD上一點，點P從點B出發(fā)沿折線BE-ED-DC運動到點C停止，點Q從點B出發(fā)沿BC運動到點C停止，它們運動的速度都是1cm/s．若點P、點Q同時開始運動，設(shè)運動時間為t（s），△BPQ的面積為y（），已知y與t之間的函數(shù)圖象如圖2所示．給出下列結(jié)論：①當0＜t≤10時，△BPQ是等腰三角形；②=48；③當14＜t＜22時，y=110-5t；④在運動過程中，使得△ABP是等腰三角形的P點一共有3個；⑤△BPQ與△ABE相似時，t=14.5．其中正確結(jié)論的序號是_______．【答案】①③⑤．【解析】△ABP為等腰直角三角形需要分類討論：當AB=AP時，ED上存在一個符號題意的P點，當BA=BO時，BE上存在一個符合同意的P點，當PA=PB時，點P在AB垂直平分線上，所以BE和CD上各存在一個符號題意的P點，共有4個點滿足題意，故④錯誤；⑤△BPQ與△ABE相似時，只有；△BPQ∽△BEA這種情況，此時點Q與點C重合，即，∴PC=7.5，即t=14.5．故⑤正確．綜上所述，正確的結(jié)論的序號是①③⑤．故答案為：①③⑤．考點：1．動點問題的函數(shù)圖象；2．分類討論；3．綜合題．10．（2017四川省阿壩州）如圖，在平面直角坐標系中，一動點從原點O出發(fā)，沿著箭頭所示方向，每次移動1個單位，依次得到點P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），…，則點P2017的坐標是．【答案】（672，1）．【解析】試題分析：由圖可得，P6（2，0），P12（4，0），…，P6n（2n，0），P6n+1（2n，1），2016÷6=336，∴P6×336（2×336，0），即P2016（672，0），∴P2017（672，1），故答案為：（672，1）．考點：1．規(guī)律型：點的坐標；2．綜合題．11．（2017山東省萊蕪市）二次函數(shù)（a＜0）圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為﹣3，1，與y軸交于點C，下面四個結(jié)論：①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函數(shù)圖象上的兩點，則y1＞y2；③a=﹣c；④若△ABC是等腰三角形，則b=﹣．其中正確的有（請將結(jié)論正確的序號全部填上）【答案】①③．【解析】＜y2；故②不正確；③∵=﹣1，∴b=2a，當x=1時，y=0，即a+b+c=0，3a+c=0，a=﹣c；④要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，當AB=BC=4時，∵AO=1，△BOC為直角三角形，又∵OC的長即為|c|，∴c2=16﹣9=7，∵由拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上，∴c=，與b=2a、a+b+c=0聯(lián)立組成解方程組，解得b=﹣；同理當AB=AC=4時，∵AO=1，△AOC為直角三角形，又∵OC的長即為|c|，∴c2=16﹣1=15，∵由拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上，∴c=，與b=2a、a+b+c=0聯(lián)立組成解方程組，解得b=﹣；同理當AC=BC時，在△AOC中，AC2=1+c2，在△BOC中BC2=c2+9，∵AC=BC，∴1+c2=c2+9，此方程無實數(shù)解．經(jīng)解方程組可知有兩個b值滿足條件．故⑤錯誤．綜上所述，正確的結(jié)論是①③．故答案為：①③．考點：1．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；2．拋物線與x軸的交點；3．等腰三角形的性質(zhì)；4．綜合題．12．（2017遼寧省撫順市）如圖，等邊△A1C1C2的周長為1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延長線上取點C3，使D1C3=D1C1，連接D1C3，以C2C3為邊作等邊△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延長線上取點C4，使D2C4=D2C2，連接D2C4，以C3C4為邊作等邊△A3C3C4；…且點A1，A2，A3，…都在直線C1C2同側(cè)，如此下去，則△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn+1的周長和為．（n≥2，且n為整數(shù)）【答案】．【解析】試題分析：∵等邊△A1C1C2的周長為1，作C1D1⊥A1C2于D1，∴A1D1=D1C2，∴△A2C2C3的周長=△A1C1C2的周長=，∴△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn+1的周長分別為1，，，…，，∴△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn+1的周長和為1+++…+=．故答案為：．考點：1．等邊三角形的性質(zhì)；2．規(guī)律型；3．綜合題．13．（2017遼寧省盤錦市）如圖，點A1（1，1）在直線y=x上，過點A1分別作y軸、x軸的平行線交直線于點B1，B2，過點B2作y軸的平行線交直線y=x于點A2，過點A2作x軸的平行線交直線于點B3，…，按照此規(guī)律進行下去，則點An的橫坐標為．【答案】．【解析】試題分析：∵AnBn+1∥x軸，∴tan∠AnBn+1Bn=．當x=1時，=，∴點B1的坐標為（1，），∴A1B1=1﹣，A1B2==﹣1．∵1+A1B2=，∴點A2的坐標為（，），點B2的坐標為（，1），∴A2B2=﹣1，A2B3==﹣，∴點A3的坐標為（，），點B3的坐標為（，）．同理，可得：點An的坐標為（，）．故答案為：．考點：1．一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；2．規(guī)律型：點的坐標；3．綜合題．14．（2017遼寧省錦州市）如圖，正方形ABCD中，AB=2，E是CD中點，將正方形ABCD沿AM折疊，使點B的對應點F落在AE上，延長MF交CD于點N，則DN的長為．【答案】．【解析】試題分析：∵在正方形ABCD中，AB=2，∴AD=CD=2，∠D=∠B=90°，∵E是CD中點，∴DE=1，∴AE==，∵將正方形ABCD沿AM折疊，使點B的對應點F落在AE上，∴AF=AB=2，∠AFN=∠B=90°，∴EF=，∠NFE=90°，∴∠D=∠NFE，∵∠AED=∠NEF，∴△ADE∽△NFE，∴，即，∴NE=，∴DN=DE﹣NE=，故答案為：．考點：1．翻折變換（折疊問題）；2．正方形的性質(zhì)；3．綜合題．15．（2017遼寧省錦州市）如圖，Rt△OA0A1在平面直角坐標系內(nèi)，∠OA0A1=90°，∠A0OA1=30°，以O(shè)A1為直角邊向外作Rt△OA1A2，使∠OA1A2=90°，∠A1OA2=30°，以O(shè)A2為直角邊向外作Rt△OA2A3，使∠OA2A3=90°，∠A2OA3=30°，按此方法進行下去，得到Rt△OA3A4，Rt△OA4A5，…，Rt△OA2016A2017，若點A0（1，0），則點A2017的橫坐標為．【答案】．【解析】試題分析：∵∠OA0A1=90°，OA1=，∠A2OA1=30°，同理：OA2=（）2，…，OAn=（）n，∴OA2017的長度為（）2017；∵2017×30°÷360=168…1，∴OA2017與OA1重合，∴點A2017的橫坐標為（）2017÷=．故答案為：．考點：1．規(guī)律型：點的坐標；2．綜合題．16．（2017四川省德陽市）若拋物線與x軸交于An、Bn兩點（a為常數(shù)，a≠0，n為自然數(shù)，n≥1），用Sn表示An、Bn兩點間的距離，則S1+S2+……+S2017＝_____________．【答案】．【解析】試題分析：∵=﹣a（x﹣）（x﹣）=0，∴點An的坐標為（，0），點Bn的坐標為（，0）（不失一般性，設(shè)點An在點Bn的左側(cè)），∴Sn=﹣，∴S1+S2+…+S2017==．故答案為：．考點：1．拋物線與x軸的交點；2．規(guī)律型；3．綜合題．17．（2017四川省資陽市）按照如圖所示的方法排列黑色小正方形地磚，則第14個圖案中黑色小正方形地磚的塊數(shù)是________．【答案】365．【解析】考點：1．規(guī)律型：圖形的變化類；2．壓軸題；3．規(guī)律型．18．（2017四川省遂寧市）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E、F分別從點A、點D以相同速度同時出發(fā)，點E從點A向點D運動，點F從點D向點C運動，點E運動到D點時，E、F停止運動．連接BE、AF相交于點G，連接CG．有下列結(jié)論：①AF⊥BE；②點G隨著點E、F的運動而運動，且點G的運動路徑的長度為；③線段DG的最小值為；④當線段DG最小時，△BCG的面積.其中正確的命題有．（填序號）【答案】①②③．【解析】試題分析：∵E在AD邊上（不與A、D重合），點F在DC邊上（不與D、C重合）．又∵點E、F分別同時從A、D出發(fā)以相同的速度運動，∴AE=DF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=DA，∠BAE=∠D=90°，在△BAE和△ADF中，∵AE=DE，∠BAE=∠ADF=90°，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴∠BAE=∠DAF，∵∠DAF+∠BAP=90°，∴∠BAE+∠BAP=90°，即∠APB=90°，∴AF⊥BE．故①正確；∵∠AGB=90°，∴點G的運動路徑是以AB為直徑的圓所在的圓弧的一部分，由運動知，點E運動到點D∴GM=，∴△BCG的高GN=4﹣GM=，∴S△BCG=×4×=，故④錯誤，∴正確的有①②③，故答案為：①②③．學@科%網(wǎng)考點：1．四邊形綜合題；2．動點型；3．最值問題；4．壓軸題．19．（2017山東省聊城市）如圖，在平面直角坐標系中，直線l的函數(shù)表達式為y=x，點O1的坐標為（1，0），以O(shè)1為圓心，O1O為半徑畫圓，交直線l于點P1，交x軸正半軸于點O2，以O(shè)2為圓心，O2O為半徑畫圓，交直線l于點P2，交x軸正半軸于點O3，以O(shè)3為圓心，O3O為半徑畫圓，交直線l于點P3，交x軸正半軸于點O4；…按此做法進行下去，其中的長為【答案】22015π．【解析】試題分析：連接P1O1，P2O2，P3O3…∵P1是⊙O2上的點，∴P1O1=OO1，∵直線l解析式為y=x，∴∠P1OO1=45°，∴△P1OO1為等腰直角三角形，即P1O1⊥x軸，同理，PnOn垂直于x軸，∴為圓的周長，∵以O(shè)1為圓心，O1O為半徑畫圓，交x軸正半軸于點O2，以O(shè)2為圓心，O2O為半徑畫圓，交x軸正半軸于點O3，以此類推，∴OOn=2n﹣1，∴=?2π?OOn=π?2n﹣1=2n﹣2π，當n=2017時，=22015π．故答案為：22015π．考點：1．弧長的計算；2．一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；3．綜合題．20．（2017遼寧省朝陽市）如圖，已知菱形OABC的邊OA在x軸上，點B的坐標為（8，4），點P是對角線OB上的一個動點，點D（0，2）在y軸上，當CP+DP最短時，點P的坐標為．【答案】（，）．【解析】試題分析：如圖連接AC，AD，分別交OB于G、P，作BK⊥OA于K．在Rt△OBK中，OB===，∵四邊形OABC是菱形，∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=，設(shè)OA=OB=x，在Rt△ABK中，∵AB2=AK2+BK2，∴x2=（8﹣x）2+42，∴x=5，∴A（5，0），∵A、C關(guān)于直線OB對稱，∴PC+PD=PA+PD=DA，∴此時PC+PD最短，在RT△AOG中，AG===，∴AC=，∵OA?BK=?AC?OB，∴BK=4，AK==3，∴直線OB解析式為y=x，直線AD解析式為，由解得：，∴點P坐標（，）．故答案為：（，）．考點：1．軸對稱﹣最短路線問題；2．坐標與圖形性質(zhì)；3．菱形的性質(zhì)；4．動點型；5．最值問題；6．綜合題．三、解答題21．（2017四川省涼山州）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA=2，OB=8，OC=6．（1）求拋物線的解析式；（2）點M從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動，同時，點N從B出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，當△MBN存在時，求運動多少秒使△MBN的面積最大，最大面積是多少？（3）在（2）的條件下，△MBN面積最大時，在BC上方的拋物線上是否存在點P，使△BPC的面積是△MBN面積的9倍？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）運動秒使△MBN的面積最大，最大面積是；（3）P（3，）或（5，）．【解析】試題分析：（1）由線段的長度得出點A、B、C的坐標，然后把A、B、C三點的坐標分別代入，解方程組，即可得拋物線的解析式；（2）設(shè)運動時間為t秒，則MB=6﹣3t，然后根據(jù)△BHN∽△BOC，求得NH=t，再利用三角形的面積公式列出S△MBN與t的函數(shù)關(guān)系式S△MBN=﹣（t﹣）2+，利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進行解答；（3）利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為．由二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可設(shè)點P的坐標為（m，）．過點P作PE∥y軸，交BC于點E．結(jié)合已知條件和（2）中的結(jié)果求得S△PBC=．則根據(jù)圖形得到S△PBC=S△CEP+S△BEP=EP?m+?EP?（8﹣m），把相關(guān)線段的長度代入推知：=．試題解析：（1）∵OA=2，OB=8，OC=6，∴根據(jù)函數(shù)圖象得A（﹣2，0），B（8，0），C（0，6），根據(jù)題意得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）設(shè)運動時間為t秒，則AM=3t，BN=t，∴MB=10﹣3t．由題意得，點C的坐標為（0，6）．在Rt△BOC中，BC==10．如圖，過點N作NH⊥AB于點H，∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，∴，即，∴HN=t，∴S△MBN=MB?HN=（10﹣3t）?t==﹣（t﹣）2+，當△MBN存在時，0＜t＜2，∴當t=時，S△MBN最大=．答：運動秒使△MBN的面積最大，最大面積是；（3）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c（k≠0）．把B（8，0），C（0，6）代入，得：，解得：，∴直線BC的解析式為．∵點P在拋物線上，∴設(shè)點P的坐標為（m，），如圖，過點P作PE∥y軸，交BC于點E，則E點的坐標為（m，）．∴EP=﹣（）=，當△MBN的面積最大時，S△PBC=9S△MBN=，∴S△PBC=S△CEP+S△BEP=EP?m+?EP?（8﹣m）=×8EP=4×（）=，即=．解得m1=3，m2=5，∴P（3，）或（5，）．考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．二次函數(shù)的最值；3．最值問題；4．動點型；5．存在型；6．壓軸題．22．（2017四川省巴中市）如圖，已知兩直線l1，l2分別經(jīng)過點A（1，0），點B（﹣3，0），且兩條直線相交于y軸的正半軸上的點C，當點C的坐標為（0，）時，恰好有l(wèi)1⊥l2，經(jīng)過點A、B、C的拋物線的對稱軸與l1、l2、x軸分別交于點G、E、F，D為拋物線的頂點．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）試說明DG與DE的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（3）若直線l2繞點C旋轉(zhuǎn)時，與拋物線的另一個交點為M，當△MCG為等腰三角形時，請直接寫出點M的坐標．【答案】（1）；（2）DG=DE；（3）（﹣2，），（﹣1，）．【解析】∵點A（1，0），點B（﹣3，0），點C（0，）在拋物線上，∴，解得：，∴拋物線的函數(shù)解析式為；（2）DG=DE．理由如下：設(shè)直線l1的解析式為y=k1x+b1，將A（1，0），C（0，）代入，解得；設(shè)直線l2的解析式為y=k2x+b2，將B（﹣3，0），C（0，）代入，解得；∵拋物線與x軸的交點為A（1，0），B（﹣3，0），∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，又∵點G、D、E均在對稱軸上，∴G（﹣1，），D（﹣1，），E（﹣1，），∴DG=﹣=，DE=﹣=，∴DG=DE；M5與M1重合；學@科……網(wǎng)綜上所述，滿足條件的點M只有兩個，其坐標分別為（﹣2，），（﹣1，）．考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；3．動點型；4．探究型；5．分類討論；6．壓軸題．23．（2017四川省廣元市）如圖，已知拋物線過點A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其頂點為D．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點M（1，m），當MB+MD的值最小時，求m的值；（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值；（4）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點N，E為直線AC上任意一點，過點E作EF∥ND交拋物線于點F，以N，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）E（﹣2，1）或（，）或（，）．【解析】試題解析：（1）將A，B，C點的坐標代入解析式，得：，解得：，拋物線的解析式為：．（2）配方，得，頂點D的坐標為（﹣1，4）．作B點關(guān)于直線x=1的對稱點B′，如圖1，則B′（4，3），由（1）得D（﹣1，4），可求出直線DB′的函數(shù)關(guān)系式為，當M（1，m）在直線DN′上時，MN+MD的值最小，則m==．（3）作PE⊥x軸交AC于E點，如圖2，AC的解析式為y=x+3，設(shè)P（m，），E（m，m+3），PE==，S△APC=PE?|xA|=（）×3=，當m=﹣時，△APC的面積的最大值是；（，）．綜上所述：滿足條件的點E坐標為E（﹣2，1）或（，）或（，）．考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．二次函數(shù)的最值；3．最值問題；4．動點型；5．和差倍分；6．分類討論；7．壓軸題．24．（2017四川省攀枝花市）如圖1，在平面直角坐標系中，，直線MN分別與x軸、y軸交于點M（6，0），N（0，），等邊△ABC的頂點B與原點O重合，BC邊落在x軸正半軸上，點A恰好落在線段MN上，將等邊△ABC從圖l的位置沿x軸正方向以每秒l個單位長度的速度平移，邊AB，AC分別與線段MN交于點E，F(xiàn)（如圖2所示），設(shè)△ABC平移的時間為t（s）．（1）等邊△ABC的邊長為_______；（2）在運動過程中，當t=_______時，MN垂直平分AB；（3）若在△ABC開始平移的同時．點P從△ABC的頂點B出發(fā)．以每秒2個單位長度的速度沿折線BA—AC運動．當點P運動到C時即停止運動．△ABC也隨之停止平移．①當點P在線段BA上運動時，若△PEF與△MNO相似．求t的值；②當點P在線段AC上運動時，設(shè)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值及此時點P的坐標．【答案】（1）3；（2）3；（3）①t=1或或；②S=，當t=時，△PEF的面積最大，最大值為，此時P（3，）．【解析】題；試題解析：（1）∵直線MN分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點M、N，OM=6cm，ON=，∴tan∠OMN==，∴∠OMN=30°，∴∠ONM=60°，∵△ABC為等邊三角形，∴∠AOC=60°，∠NOA=30°，∴OA⊥MN，即△OAM為直角三角形，∴OA=OM=×6=3．故答案為：3．（2）易知當點C與M重合時直線MN平分線段AB，此時OB=3，所以t=3．故答案為：3．（3）①如圖1中，由題意BP=2t，BM=6﹣t，∵∠BEM=90°，∠BME=30°，∴BE=3﹣，AE=AB﹣BE=，∵∠BAC=60°，∴EF=AE=t，當點P在EF下方時，PE=BE﹣BP=3﹣t，由，解得0≤t＜，∵△PEF與△MNO相似，∴=或=，∴=或=，解得t=1或t=．當點P在EF上方時，PE=BE﹣BP=t-3，∵△PEF與△MNO相似，∴=或=，∴=或=，解得t=或3．∵0≤t≤，且t-3＞0，即＜t≤，∴t=.綜上所述，t=1或或．，此時P（3，），當t=3時，點P與F重合，故P點在EF下方不成立．故S=，當t=時，△PEF的面積最大，最大值為，此時P（3，）．考點：1．相似形綜合題；2．二次函數(shù)的最值；3．最值問題；4．動點型；5．分類討論；6．壓軸題．25．（2017四川省攀枝花市）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，B點坐標為（3，0）．與y軸交于點C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）點P在x軸下方的拋物線上，過點P的直線y=x+m與直線BC交于點E，與y軸交于點F，求PE+EF的最大值；（3）點D為拋物線對稱軸上一點．①當△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時，求點D的坐標；②若△BCD是銳角三角形，求點D的縱坐標的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）①D點坐標為（2，5）或（2，﹣1）；②點D的縱坐標的取值范圍為＜y＜5或﹣1＜y＜．【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；到對應的D點坐標；②由于△BCD是以BC為斜邊的直角三角形有4+（y﹣3）2+1+y2=18，解出y的值，得到此時D點的坐標，然后結(jié)合圖形可確定△BCD是銳角三角形時點D的縱坐標的取值范圍．試題解析：（1）把B（3，0），C（0，3）代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）易得BC的解析式為y=﹣x+3，∵直線y=x﹣m與直線y=x平行，∴直線y=﹣x+3與直線y=x﹣m垂直，∴∠CEF=90°，∴△ECF為等腰直角三角形，作PH⊥y軸于H，PG∥y軸交BC于G，如圖1，△EPG為等腰直角三角形，PE=PG，設(shè)P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），則G（t，﹣t+3），∴PF=PH=t，PG=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t，∴PE=PG=，∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF===，當t=2時，PE+EF的最大值為；（3）①如圖2，拋物線的對稱軸為直線x==2，設(shè)D（2，y），則BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，當△BCD是以BC為直角邊，BD為斜邊的直角三角形時，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y﹣3）2=1+y2，解得y=5，此時D點坐標為（2，5）；當△BCD是以BC為直角邊，CD為斜邊的直角三角形時，BC2+DB2=DC2，即4+（y﹣3）2=1+y2+18，解得y=﹣1，此時D點坐標為（2，﹣1）；綜上所述：D點坐標為（2，5）或（2，﹣1）．②當△BCD是以BC為斜邊的直角三角形時，DC2+DB2=BC2，即4+（y﹣3）2+1+y2=18，解得y1=，y2=，此時D點坐標為（2，）或（2，），所以△BCD是銳角三角形，點D的縱坐標的取值范圍為＜y＜5或﹣1＜y＜．考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．二次函數(shù)的最值；3．最值問題；4．和差倍分；5．分類討論；6．壓軸題．26．（2017四川省阿壩州）如圖，拋物線（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知B點坐標為（4，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標；（3）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求△MBC的面積的最大值，并求出此時M點的坐標．【答案】（1）；（2）（，0）；（3）4，M（2，﹣3）．【解析】試題分析：方法一：（1）該函數(shù)解析式只有一個待定系數(shù)，只需將B點坐標代入解析式中即可．（2）首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點坐標，然后通過證明△ABC是直角三角形來推導出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標．（3）△MBC的面積可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點M到直線BC的距離最大，若設(shè)一條平行于BC的直線，那么當該直線與拋物線有且只有一個交點時，該交點就是點M．方法二：（1）略．（2）通過求出A，B，C三點坐標，利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出AC⊥BC，從而求出圓心坐標．（3）利用三角形面積公式，過M點作x軸垂線，水平底與鉛垂高乘積的一半，得出△MBC的面積函數(shù)，從而求出M點．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直線BC的解析式為：y=x﹣2；學￥科%網(wǎng)設(shè)直線l∥BC，則該直線的解析式可表示為：y=x+b，當直線l與拋物線只有一個交點時，可列方程：x+b=，即：，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直線l：y=x﹣4．所以點M即直線l和拋物線的唯一交點，有：，解得：即M（2，﹣3）．過M點作MN⊥x軸于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．方法二：（1）略．（2）∵y=（x﹣4）（x+1），∴A（﹣1，0），B（4，0）．C（0，﹣2），∴KAC==﹣2，KBC==，∴KAC×KBC=﹣1，∴AC⊥BC，∴△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，△ABC的外接圓的圓心是AB的中點，△ABC的外接圓的圓心坐標為（，0）．（3）過點M作x軸的垂線交BC′于H，∵B（4，0），C（0，﹣2），∴l(xiāng)BC：y=x﹣2，設(shè)H（t，t﹣2），M（t，），∴S△MBC=×（HY﹣MY）（BX﹣CX）=×（t﹣2﹣）（4﹣0）=﹣t2+4t，∴當t=2時，S有最大值4，∴M（2，﹣3）．考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．最值問題；3．二次函數(shù)的最值；4．壓軸題；5．轉(zhuǎn)化思想．27．（2017山東省萊蕪市）已知AB是⊙O的直徑，C是圓上一點，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過D作DE⊥AC交AC的延長線于點E，如圖①．（1）求證：D是⊙O的切線；（2）若AB=10，AC=6，求BD的長；（3）如圖②，若F是OA中點，F(xiàn)G⊥OA交直線DE于點G，若FG=，tan∠BAD=，求⊙O的半徑．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）4．【解析】試題分析：（1）欲證明DE是⊙O的切線，只要證明OD⊥DE；（2）首先證明OD⊥BC，在Rt△BDN中，利用勾股定理計算即可；（3）如圖②中，設(shè)FG與AD交于點H，根據(jù)題意，設(shè)AB=5x，AD=4x，則AF=x，想辦法用x表示線段FH、GH，根據(jù)FH+GH=，列出方程即可解決問題；試題解析：（1）證明：如圖①中，連接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE，∴OD∥AE，∴∠ODE+∠AED=180°，∵∠AED=90°，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線．（2）如圖①中，連接BC，交OD于點N，∵AB是直徑，∴∠BCA=90°，∵OD∥AE，O是AB的中點，∴ON∥AC，且ON=AC，∴∠ONB=90°，且ON=3，則BN=4，ND=2，∴BD==．（3）如圖②中，設(shè)FG與AD交于點H，根據(jù)題意，設(shè)AB=5x，AD=4x，則AF=x，F(xiàn)H=AF?tan∠BAD=x?=x，AH===，HD=AD﹣AH=4x﹣=，由（1）可知，∠HDG+∠ODA=90°，在Rt△HFA中，∠FAH+∠FHA=90°，∵∠OAD=∠ODA，∠FHA=∠DHG，∴∠DHG=∠HDG，∴GH=GD，過點G作GM⊥HD，交HD于點M，∴MH=MD，∴HM=HD=×=，∵∠FAH+∠AHF=90°，∠MHG+∠HGM=90°，∴∠FAH=∠HGM，在Rt△HGM中，HG===，∵FH+GH=，∴+=，解得x=，∴此圓的半徑為×=4．考點：圓的綜合題．28．（2017山東省萊蕪市）拋物線過A（2，3），B（4，3），C（6，﹣5）三點．（1）求拋物線的表達式；（2）如圖①，拋物線上一點D在線段AC的上方，DE⊥AB交AC于點E，若滿足，求點D的坐標；（3）如圖②，F(xiàn)為拋物線頂點，過A作直線l⊥AB，若點P在直線l上運動，點Q在x軸上運動，是否存在這樣的點P、Q，使得以B、P、Q為頂點的三角形與△ABF相似，若存在，求P、Q的坐標，并求此時△BPQ的面積；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）D（，）；（3）P（2，﹣2），Q（﹣3，0），S△BPQ=或P（2，2），Q（3，0），S△BPQ=或P（2，﹣5），Q（﹣1，0），S△BPQ=17或P（2，﹣1），Q（5，0），S△BPQ=5．【解析】試題分析：（1）由對稱性和A（2，3），B（4，3），可知拋物線的對稱軸是：x=3，利用頂點式列方程組解出可得拋物線的表達式；（2）如圖1，先利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式，設(shè)點D（m，﹣m+6m﹣5），則點E（m，﹣2m+7），根據(jù)解析式表示DE和AE的長，由已知的比例式列式得結(jié)論；（3）根據(jù)題意得：△BPQ為等腰直角三角形，分三種情況：①若∠BPQ=90°，BP=PQ，如圖2，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△BAP≌△QMP，可得結(jié)論；如圖3，同理可得結(jié)論；②若∠BQP=90°，BQ=PQ，如圖4，證得：△BNQ≌△QMP，則NQ=PM=3，NG=1，BN=5，從而得出結(jié)論；如圖5，同理易得△QNB≌△PMQ，可得結(jié)論；③若∠PBQ=90°，BQ=BP，如圖6，由于AB=2≠NQ=3，此時不存在符合條件的P、Q．試題解析：（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線表達式為y=a（x﹣3）2+h．把B（4，3），C（6，﹣5）代入得：，解得：，故拋物線的表達式為：y=﹣（x﹣3）2+4=﹣x2+6x﹣5，即：；（2）設(shè)直線AC的表達式為y=kx+n，則：，解得：k=﹣2，n=7，∴直線AC的表達式為y=﹣2x+7，設(shè)點D（m，﹣m+6m﹣5），2＜m＜6，則點E（m，﹣2m+7），∴DE=（﹣m2+6m﹣5）﹣（﹣2m+7）=﹣m2+8m﹣12，設(shè)直線DE與直線AB交于點G，∵AG⊥EG，∴AG=m﹣2，EG=3﹣（﹣2m+7）=2（m﹣2），m﹣2＞0，在Rt△AEG中，∴AE=（m﹣2），由，得=，化簡得，2m2﹣11m+14=0，解得：m1=，m2=2（舍去），則D（，）．（3）根據(jù)題意得：△ABF為等腰直角三角形，假設(shè)存在滿足條件的點P、Q，則△BPQ為等腰直角三角形，分三種情況：①若∠BPQ=90°，BP=PQ，如圖2，過P作MN∥x軸，過Q作QM⊥MN于M，過B作BN⊥MN于N，易證得：△BAP≌△QMP，∴AB=QM=2，PM=AP=3+2=5，∴P（2，﹣2），Q（﹣3，0），在Rt△QMP中，PM=5，QM=2，由勾股定理得：PQ==，∴S△BPQ=PQ?PB=；如圖3，易證得：△BAP≌△PMQ，∴AB=PM=2，AP=MQ=3﹣2=1，∴P（2，2），Q（3，0），在Rt△QMP中，PM=2，QM=1，由勾股定理得：PQ=，∴S△BPQ=PQ?PB=；②若∠BQP=90°，BQ=PQ，如圖4，易得：△BNQ≌△QMP，∴NQ=PM=3，NG=PM﹣AG=3﹣2=1，∴BN=MQ=4+1=5，∴P（2，﹣5），Q（﹣1，0），∴PQ==，∴S△BPQ=PQ?PB==17；如圖5，易得△QNB≌△PMQ，∴NQ=PM=3，∴P（2，﹣1），Q（5，0），∴PQ=，∴S△BPQ=PQ?PB==5；③若∠PBQ=90°，BQ=BP，如圖6，過Q作QN⊥AB，交AB的延長線于N，易得：△PAB≌△BNQ，∵AB=2，NQ=3，AB≠NQ，∴此時不存在符合條件的P、Q．綜上所述：P（2，﹣2），Q（﹣3，0），S△BPQ=或P（2，2），Q（3，0），S△BPQ=或P（2，﹣5），Q（﹣1，0），S△BPQ=17或P（2，﹣1），Q（5，0），S△BPQ=5．考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．動點型；3．存在型；4．分類討論；5．壓軸題．29．（2017江蘇省鎮(zhèn)江市）如圖1，一次函數(shù)y=﹣x+b與反比例函數(shù)（k≠0）的圖象交于點A（1，3），B（m，1），與x軸交于點D，直線OA與反比例函數(shù)（k≠0）的圖象的另一支交于點C，過點B作直線l垂直于x軸，點E是點D關(guān)于直線l的對稱點．（1）k=；（2）判斷點B、E、C是否在同一條直線上，并說明理由；（3）如圖2，已知點F在x軸正半軸上，OF=，點P是反比例函數(shù)（k≠0）的圖象位于第一象限部分上的點（點P在點A的上方），∠ABP=∠EBF，則點P的坐標為（，）．【答案】（1）3；（2）在同一直線上；（3），．【解析】試題分析：（1）把A點坐標代入中可求出k的值；（2）先利用反比例函數(shù)的中心對稱性得到C（﹣1，﹣3），再把B（m，1）代入求出m得到B（3，1），通過確定直線AB的解析式得到D（4，0），接著利用對稱性確定E（2，0），于是利用待定系數(shù)法看球出直線BC的解析式為y=x﹣2，然后判斷點E是否直線BC上；（3）直線AB交y軸于M，直線BP交y軸于N，如圖2，先確定M（0，4），計算出BM=，BE=，EF=，再證明△BMN∽△BEF，通過相似比計算出MN=，從而得到N（0，），則利用待定系數(shù)法得到直線BN的解析式為，然后通過解方程組得P點坐標．試題解析：（1）∵A（1，3）在反比例函數(shù)的圖象上，∴k=1×3=3；2=0，∴點E在直線BC上，即點B、E、C在同一條直線上；（3）直線AB交y軸于M，直線BP交y軸于N，如圖2，當x=0時，y=﹣x+4=4，則M（0，4），而B（3，1），E（2，0），F(xiàn)（，0），∴BM==，BE==，EF=2﹣=，∵OM=OD=4，∴△OMD為等腰直角三角形，∴∠OMD=∠ODM=45°，∵點E與點D關(guān)于直線x=3對稱，∴∠BED=∠BDE=45°，∴∠BMN=∠BEF=135°，∵∠ABP=∠EBF，∴△BMN∽△BEF，∴，即，解得MN=，∴N（0，），設(shè)直線BN的解析式為y=ax+n，把B（3，1），N（0，）代入得：，解得：，∴直線BN的解析式為，解方程組，得：或，∴P點坐標為（，）．故答案為：3，，．考點：1．反比例函數(shù)綜合題；2．綜合題．30．（2017江蘇省鎮(zhèn)江市）如圖1，Rt△ACB中，∠C=90°，點D在AC上，∠CBD=∠A，過A、D兩點的圓的圓心O在AB上．（1）利用直尺和圓規(guī)在圖1中畫出⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線條描清楚）；（2）判斷BD所在直線與（1）中所作的⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)⊙O交AB于點E，連接DE，過點E作EF⊥BC，F(xiàn)為垂足，若點D是線段AC的黃金分割點（即），如圖2，試說明四邊形DEFC是正方形．【答案】（1）作圖見解析；（2）BD與⊙O相切；（3）證明見解析．【解析】試題解析：（1）如圖1，⊙O為所作；（2）BD與⊙O相切．理由如下：連接OD，如圖1，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∵∠CBD=∠A，∴∠CBD=∠ODA，∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°，∴∠ODA+∠CDB=90°，∴∠ODB=90°，∴OD⊥BD，∴BD為⊙O的切線；（3）∵∠CBD=∠A，∠DCB=∠BCA，∴△CDB∽△CBA，∴CD：CB=CB：CA，∴CB2=CD?CA，∵點D是線段AC的黃金分割點，∴AD2=CD?AC，∵AD=CB，∵AE為直徑，∴∠ADE=90°，在△ADE和△BCD中，∵∠A=∠CBD，AD=BC，∠ADE=∠C，∴△ADE≌△BCD，∴DE=DC，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∴四邊形CDEF為矩形，∴四邊形DEFC是正方形．考點：1．圓的綜合題；2．探究型；3．綜合題．31．（2017江蘇省鎮(zhèn)江市）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點B坐標為（4，t）（t＞0），二次函數(shù)（b＜0）的圖象經(jīng)過點B，頂點為點D．（1）當t=12時，頂點D到x軸的距離等于；（2）點E是二次函數(shù)（b＜0）的圖象與x軸的一個公共點（點E與點O不重合），求OE?EA的最大值及取得最大值時的二次函數(shù)表達式；（3）矩形OABC的對角線OB、AC交于點F，直線l平行于x軸，交二次函數(shù)（b＜0）的圖象于點M、N，連接DM、DN，當△DMN≌△FOC時，求t的值．【答案】（1）；（2）OE?AE的最大值為4，拋物線的表達式為；（3）．【解析】試題分析：（1）當t=12時，B（4，12），將點B的坐標代入拋物線的解析式可求得b的值，于是可得到拋物線的解析式，最后利用配方法可求得點D的坐標，從而可求得點D到x軸的距離；（2）令y=0得到x2+bx=0，從而可求得方程的解為x=0或x=﹣b，然后列出OE?AE關(guān)于b的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法可求得b的OE?AE的最大值，以及此時b的值，于是可得到拋物線的解析式；（3）過D作DG⊥MN，垂足為G，過點F作FH⊥CO，垂足為H．依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到MN=CO=t，DG=FH=2，然后由點D的坐標可得到點N的坐標，最后將點N的坐標代入拋物線的解析式可求得t的值．試題解析：（1）當t=12時，B（4，12）．將點B的坐標代入拋物線的解析式得：16+4b=12，解得：b=﹣1，∴拋物線的解析式，∴，∴D（，），∴頂點D與x軸的距離為．故答案為：．（2）將y=0代入拋物線的解析式得：x2+bx=0，解得x=0或x=﹣b，∵OA=4，∴AE=4﹣（﹣b）=4+b，∴OE?AE=﹣b（4+b）=﹣b2﹣4b=﹣（b+2）2+4，∴OE?AE的最大值為4，此時b的值為﹣2，∴拋物線的表達式為．（3）過D作DG⊥MN，垂足為G，過點F作FH⊥CO，垂足為H．∵△DMN≌△FOC，∴MN=CO=t，DG=FH=2．∵D（﹣，﹣），∴N（﹣，﹣+2），即（，）．把點N和坐標代入拋物線的解析式得：=（）2+b?（），解得：t=±．∵t＞0，∴t=．學%科%網(wǎng)考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．二次函數(shù)的最值；3．最值問題．32．（2017江蘇省鎮(zhèn)江市）【回顧】如圖1，△ABC中，∠B=30°，AB=3，BC=4，則△ABC的面積等于．【探究】圖2是同學們熟悉的一副三角尺，一個含有30°的角，較短的直角邊長為a；另一個含有45°的角，直角邊長為b，小明用兩副這樣的三角尺拼成一個平行四邊形ABCD（如圖3），用了兩種不同的方法計算它的面積，從而推出sin75°=，小麗用兩副這樣的三角尺拼成了一個矩形EFGH（如圖4），也推出sin75°=，請你寫出小明或小麗推出sin75°=的具體說理過程．【應用】在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D=75°，BC=6，CD=5，AD=10（如圖5）．（1）點E在AD上，設(shè)t=BE+CE，求t2的最小值；（2）點F在AB上，將△BCF沿CF翻折，點B落在AD上的點G處，點G是AD的中點嗎？說明理由．【答案】【回顧】3；【探究】答案見解析；【應用】（1）86+25；（2）點G不是AD的中點．【解析】試題分析：回顧：如圖1中，作AH⊥BC．求出AH即可解決問題；探究：如圖2中，根據(jù)S四邊形ABCD=BC?AB?sin75°=2S△ABE+2S△BFC+S矩形EFGH列出方程即可解決問題；應用：（1）作C關(guān)于AD的對稱點H，CH交AD于J，連接BH，EH．因為EC=EH，推出EB+EC=EB+EH，在△EBH中，BE+EH≥BH，推出BE+EC的最小值為BH，求出BH即可解決問題；（2）結(jié)論：點G不是AD的中點．理由反證法證明即可．試題解析：由題意可知四邊形EFGH是矩形，AB=CD=2a，AH=DH=BF=CF=b，EF=GH=a﹣b，EH=FG=b﹣a，BC=b．【回顧】如圖1中，作AH⊥BC．在Rt△ABH中，∵∠B=30°，AB=3，∴AH=AB?sin30°=，∴S△ABC=?BC?AH=×4×=3，故答案為：3．探究：如圖3中，由題意可知四邊形EFGH是矩形，AB=CD=2a，AH=DH=BF=CF=b，EF=GH=a﹣b，EH=FG=b﹣a，BC=b，∵S四邊形ABCD=BC?AB?sin75°=2S△ABE+2S△BFC+S矩形EFGH∴b?2a?sin75°=2××a×a+2××b2+（a﹣b）（b﹣a），∴2absin75°=ab+ab，∴sin75°=．如圖4中，易知四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD=75°，∴S四邊形EFGH=2S△ABE+2S△ADF+S平行四邊形ABCD，∴（a+b）（a+b）═2××a×a+2××b2+b?2a?sin75°，∴sin75°=．應用：（1）作C關(guān)于AD的對稱點H，CH交AD于J，連接BH，EH．在Rt△DCJ中，JC=CD?sin75°=，∴CH=2CJ=，在Rt△BHC中，BH2=BC2+CH2=36+=86+25，∵EC=EH，∴EB+EC=EB+EH，在△EBH中，BE+EH≥BH，∴BE+EC的最小值為BH，∴t=BE+CE，t2的最小值為BH2，即為86+25．（2）結(jié)論：點G不是AD的中點．理由：作CJ⊥AD于J，DH⊥CG于H．不妨設(shè)AG=GD=5，∵CD=5，∴DC=DG，∵DH⊥CG，∴GH=CH=3，在Rt△CDH中，DH===4，∵S△DGC=?CG?DH=?DG?CJ，∴CJ=，∴sin∠CDJ=，∵∠CDJ=75°，∴與sin75°=矛盾，∴假設(shè)不成立，∴點G不是AD的中點．考點：1．四邊形綜合題；2．閱讀型；3．最值問題；4．操作型；5．探究型；6．壓軸題．33．（2017湖南省婁底市）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，E是AC的中點，OE交CD于點F．（1）若∠BCD=36°，BC=10，求的長；（2）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（3）求證：.【答案】（1）2π；（2）DE與⊙O相切；（3）證明見解析．【解析】OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線．（3）∵OE⊥CD，∴DF=CF，∵AE=EC，∴AD=2EF，∵∠CAD=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ACD∽△ABC，∴AC2=AD?AB，∵AC=2CE，∴4CE2=2EF?AB，∴2CE2=EF?AB．考點：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．直線與圓的位置關(guān)系；3．探究型；4．圓的綜合題．34．（2017湖南省婁底市）如圖，拋物線與x軸交于兩點A（﹣4，0）和B（1，0），與y軸交于點C（0，2），動點D沿△ABC的邊AB以每秒2個單位長度的速度由起點A向終點B運動，過點D作x軸的垂線，交△ABC的另一邊于點E，將△ADE沿DE折疊，使點A落在點F處，設(shè)點D的運動時間為t秒．（1）求拋物線的解析式和對稱軸；（2）是否存在某一時刻t，使得△EFC為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；（3）設(shè)四邊形DECO的面積為s，求s關(guān)于t的函數(shù)表達式．【答案】（1），對稱軸為：直線x=﹣；（2）t=或；（3）．【解析】試題解析：（1）把A（﹣4，0），B（1，0），點C（0，2）代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為：，對稱軸為：直線x=﹣；（2）存在，∵AD=2t，∴DF=AD=2t，∴OF=4﹣4t，∴D（2t﹣4，0），∵直線AC的解析式為：，∴E（2t﹣4，t），∵△EFC為直角三角形，分三種情況討論：①當∠EFC=90°，則△DEF∽△OFC，∴，即，解得：t=；②當∠FEC=90°，∴∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴DE=AF，即t=2t，∴t=0，（舍去），③當∠ACF=90°，則AC2+CF2=AF2，即（42+22）+[22+（4t﹣4）2]=（4t）2，解得：t=，∴存在某一時刻t，使得△EFC為直角三角形，此時，t=或；（3）∵B（1，0），C（0，2），∴直線BC的解析式為：y=﹣2x+2，當D在y軸的左側(cè)時，S=（DE+OC）?OD=（t+2）?（4﹣2t）=﹣t2+4（0＜t＜2）；當D在y軸的右側(cè)時，如圖2，∵OD=4t﹣4，DE=﹣8t+10，S=（DE+OC）?OD=（﹣8t+10+2）?（4t﹣4），即（2＜t＜）．綜上所述：考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．分段函數(shù)；3．動點型；4．翻折變換（折疊問題）；5．存在型；6．分類討論；7．壓軸題．35．（2017貴州省銅仁市）如圖，拋物線經(jīng)過點A（﹣1，0），B（0，﹣2），并與x軸交于點C，點M是拋物線對稱軸l上任意一點（點M，B，C三點不在同一直線上）．（1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式；（2）在拋物線上找出兩點P1，P2，使得△MP1P2與△MCB全等，并求出點P1，P2的坐標；（3）在對稱軸上是否存在點Q，使得∠BQC為直角，若存在，作出點Q（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡），并求出點Q的坐標．【答案】（1）；（2）P1（﹣1，0），P2（1，﹣2）或P1（2，0），P2（，）；（3）點Q的坐標是：（，）或（，）．【解析】試題解析：（1）把A（﹣1，0），B（0，﹣2）代入拋物線中得：，解得：，∴拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式為：；（2）分兩種情況討論：①如圖1，P1與A重合，P2與B關(guān)于l對稱，∴MB=P2M，P1M=CM，P1P2=BC，∴△P1MP2≌△CMB，∵=，此時P1（﹣1，0），∵B（0，﹣2），對稱軸：直線x=，∴P2（1，﹣2）；②如圖2，MP2∥BC，且MP2=BC，此時，P1與C重合，∵MP2=BC，MC=MC，∠P2MC=∠BP1M，∴△BMC≌△P2P1M，∴P1（2，0），由點B向右平移個單位到M，可知：點C向右平移個單位到P2，當x=時，=，∴P2（，）．綜上所述：P1（﹣1，0），P2（1，﹣2）或P1（2，0），P2（，）．（3）如圖3，存在，作法：以BC為直徑作圓交對稱軸l于兩點Q1、Q2，則∠BQ1C=∠BQ2C=90°；過Q1作DE⊥y軸于D，過C作CE⊥DE于E，設(shè)Q1（，y）（y＞0），易得△BDQ1∽△Q1EC，∴，∴，，解得：y1=（舍），y2=，∴Q1（，），同理可得：Q2（，）．綜上所述，點Q的坐標是：（，）或（，）．考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．分類討論；3．存在型；4．壓軸題．36．（2017貴州省黔南州）如圖，已知直角坐標系中，A、B、D三點的坐標分別為A（8，0），B（0，4），D（﹣1，0），點C與點B關(guān)于x軸對稱，連接AB、AC．（1）求過A、B、D三點的拋物線的解析式；（2）有一動點E從原點O出發(fā)，以每秒2個單位的速度向右運動，過點E作x軸的垂線，交拋物線于點P，交線段CA于點M，連接PA、PB，設(shè)點E運動的時間為t（0＜t＜4）秒，求四邊形PBCA的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出四邊形PBCA的最大面積；（3）拋物線的對稱軸上是否存在一點H，使得△ABH是直角三角形？若存在，請直接寫出點H的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）S=﹣8t2+32t+32，當t=2時，S有最大值，且最大值為64；（3）H（，11），（，）．【解析】軸于G，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到HN=（負值舍去），于是得到H（，）．試題解析：（1）∵A（8，0），D（﹣1，0），設(shè)過A、B、D三點的拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣8），將B（0，4）代入得﹣8a=4，∴a=﹣，∴拋物線的解析式為，即；（2）△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，則OB=OC=4，∴C（0，﹣4）．由A（8，0）、B（0，4），得：直線AB：y=﹣x+4；依題意，知：OE=2t，即E（2t，0）；∴P（2t，﹣2t2+7t+4）、Q（2t，﹣t+4），PQ=（﹣2t2+7t+4）﹣（﹣t+4）=﹣2t2+8t；S=S△ABC+S△PAB=×8×8+×（﹣2t2+8t）×8=﹣8t2+32t+32=﹣8（t﹣2）2+64；∴當t=2時，S有最大值，且最大值為64；（3）存在，∵拋物線的對稱軸為：x==，∵直線x=垂直x軸，∴∠HAB＜90°，①當∠ABH=90°時，由A（8，0）、B（0，4），得：直線AB：y=﹣x+4，所以，直線BH可設(shè)為：y=2x+h，代入B（0，4），得：h=4，∴直線BH：y=2x+4，當x=時，y=11，∴H（，11），②當∠AHB=90°時，過B作BN⊥對稱軸于N，則BN=，AG=，設(shè)對稱軸交x軸于G，∵∠AHG=∠HBN=90°﹣∠BHN，∠BNH=∠AGH=90°，∴△AHG∽△BHN，∴，∴，∴HN（HN+4）=，∴4（HN）2+16HN﹣63=0，解得：HN=（負值舍去），∴H（，），綜上所述，H（，11），（，）．考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．動點型；3．二次函數(shù)的最值；4．最值問題；5．存在型；6．分類討論；7．壓軸題．37．（2017貴州省黔西南州）如圖1，拋物線，經(jīng)過A（1，0）、B（7，0）兩點，交y軸于D點，以AB為邊在x軸上方作等邊△ABC．（1）求拋物線的解析式；（2）在x軸上方的拋物線上是否存在點M，是S△ABM=S△ABC？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，E是線段AC上的動點，F(xiàn)是線段BC上的動點，AF與BE相交于點P．①若CE=BF，試猜想AF與BE的數(shù)量關(guān)系及∠APB的度數(shù)，并說明理由；②若AF=BE，當點E由A運動到C時，請直接寫出點P經(jīng)過的路徑長（不需要寫過程）．【答案】（1）；（2）點M的坐標為（9，4）或（﹣1，4）；（3）①AF=BE，∠APB=120°；②或．【解析】②當AE≠BF時，由①可知點P在以AB為直徑的圓上，過點M作ME⊥AB，垂足為E．先求得⊙M的半徑，然后依據(jù)弧長公式可求得點P運動的路徑；當AE=BF時，點P在AB的垂直平分線上時，過點C作CK⊥AB，則點P運動的路徑=CK的長．學@科*網(wǎng)試題解析：（1）將點A（1，0），B（7，0）代入拋物線的解析式得：，解得：a=，b=﹣2，∴拋物線的解析式為．（2）存在點M，使得S△ABM=S△ABC．理由：如圖所示：過點C作CK⊥x軸，垂足為K．∵△ABC為等邊三角形，∴AB=BC=AC=6，∠ACB=60°．∵CK⊥AB，∴KA=BK=3，∠ACK=30°，∴CK=，∴S△ABC=AB?CK=×6×3=，∴S△ABM=×=12．設(shè)M（a，），∴AB?|y|=12，即×6×（）=12，解得：a1=9，a2=﹣1，∴點M的坐標為（9，4）或（﹣1，4）．（3）①結(jié)論：AF=BE，∠APB=120°．∵△ABC為等邊三角形，∴BC=AB，∠C=∠ABF．在△BEC和△AFB中，∵BC=AB，∠C=∠ABF，CE=BF，∴△BEC≌△AFB，∴AF=BE，∠CBE=∠BAF，∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°，∴∠APB=180°﹣60°=120°．②當AE≠BF時，由①可知點P在以AB為直徑的圓上，過點M作ME⊥AB，垂足為E．∵∠APB=120°，∴∠N=60°，∴∠AMB=120°．又∵ME⊥AB，垂足為E，∴AE=BE=3，∠AME=60°，∴AM=，∴點P運動的路徑==．當AE=BF時，點P在AB的垂直平分線上時，如圖所示：過點C作CK⊥AB，則點P運動的路徑=CK的長．∵AC=6，∠CAK=60°，∴KC=，∴點P運動的路徑為．綜上所述，點P運動的路徑為或．考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．探究型；3．動點型；4．存在型；5．分類討論；6．壓軸題．38．（2017遼寧省撫順市）如圖，OF是∠MON的平分線，點A在射線OM上，P，Q是直線ON上的兩動點，點Q在點P的右側(cè)，且PQ=OA，作線段OQ的垂直平分線，分別交直線OF、ON交于點B、點C，連接AB、PB．（1）如圖1，當P、Q兩點都在射線ON上時，請直接寫出線段AB與PB的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當P、Q兩點都在射線ON的反向延長線上時，線段AB，PB是否還存在（1）中的數(shù)量關(guān)系？若存在，請寫出證明過程；若不存在，請說明理由；（3）如圖3，∠MON=60°，連接AP，設(shè)=k，當P和Q兩點都在射線ON上移動時，k是否存在最小值？若存在，請直接寫出k的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）AB=PB；（2）存在；（3）k=0.5．【解析】試題分析：（1）結(jié)論：AB=PB．連接BQ，只要證明△AOB≌△PQB即可解決問題；（2）存在．證明方法類似（1）；（3）連接BQ．只要證明△ABP∽△OBQ，即可推出=，由∠AOB=30°，推出當BA⊥OM時，的值最小，最小值為0.5，由此即可解決問題；試題解析：（1）連接：AB=PB．理由：如圖1中，連接BQ．∵BC垂直平分OQ，∴BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO，∵OF平分∠MON，∴∠AOB=∠BQO，∵OA=PQ，∴△AOB≌△PQB，∴AB=PB．（2）存在，理由：如圖2中，連接BQ．∵BC垂直平分OQ，∴BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO，∵OF平分∠MON，∠BOQ=∠FON，∴∠AOF=∠FON=∠BQC，∴∠BQP=∠AOB，∵OA=PQ，∴△AOB≌△PQB，∴AB=PB．（3）連接BQ．易證△ABO≌△PBQ，∴∠OAB=∠BPQ，AB=PB，∵∠OPB+∠BPQ=180°，∴∠OAB+∠OPB=180°，∠AOP+∠ABP=180°，∵∠MON=60°，∴∠ABP=120°，∵BA=BP，∴∠BAP=∠BPA=30°，∵BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO=30°，∴△ABP∽△OBQ，∴=，∵∠AOB=30°，∴當BA⊥OM時，的值最小，最小值為0.5，∴k=0.5．考點：1．相似形綜合題；2．最值問題；3．動點型；4．探究型；5．存在型；6．壓軸題．39．（2017遼寧省撫順市）如圖，拋物線交y軸于點A，并經(jīng)過B（4，4）和C（6，0）兩點，點D的坐標為（4，0），連接AD，BC，點E從點A出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿線段AD向點D運動，到達點D后，以每秒1個單位長度的速度沿射線DC運動，設(shè)點E的運動時間為t秒，過點E作AB的垂線EF交直線AB于點F，以線段EF為斜邊向右作等腰直角△EFG．（1）求拋物線的解析式；（2）當點G落在第一象限內(nèi)的拋物線上時，求出t的值；（3）設(shè)點E從點A出發(fā)時，點E，F(xiàn)，G都與點A重合，點E在運動過程中，當△BCG的面積為4時，直接寫出相應的t值，并直接寫出點G從出發(fā)到此時所經(jīng)過的路徑長．【答案】（1）；（2）t=；（3）當t1=秒，此時路徑長度為，當t2=5秒，此時路徑長度為．【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；（2）先表示G的坐標，再把點G的坐標代入拋物線的解析式中列方程可得t的值；（3）如圖2，先計算當G在BD上時，t的值；分三種情況進行討論：①當0≤t≤時，如圖3，作輔助線，根據(jù)S△BCG=S梯形GHDB+S△BDC﹣S△GHC，列式可得t的值，利用勾股定理求AG的長即可；②當G在BC上時，如圖4，根據(jù)同角的三角函數(shù)得tan∠C==2，則GH=2HC，列關(guān)于t的方程得：t=；當＜t≤時，如圖5，同理可得結(jié)論；③當E與D重合時，F(xiàn)與B重合，如圖6，此時t=4，計算此時△BCG的面積為2，因此點G繼續(xù)向前運動；當t＞4時，如圖7，同理列方程可得結(jié)論．試題解析：（1）將B（4，4）和C（6，0）代入拋物線得：，解得：，∴拋物線的解析式為：；（3）如圖2，連接BD，當G在BD上時，t=4，t=，分三種情況討論：①當0≤t≤時，如圖3，過G作GH⊥x軸于H，延長HG交AB于M，則GM⊥AB，∵B（4，4），D（4，0），∴BD⊥x軸，∴S△BCG=S梯形GHDB+S△BDC﹣S△GHC，4=（4﹣t+4）（4﹣t）+×4×（6﹣4）﹣（6﹣t）（4﹣t），4=t，解得：t=，∴AM=t=×=，GM=t=×=，在Rt△AGM中，由勾股定理得：AG===，∴當t=時，此時點G運動的路徑長為；②當G在BC上時，如圖4，tan∠C==2，∴GH=2HC，∴4﹣t=2（6﹣t），t=，當＜t≤時，如圖5，S△BCG=S△BDC﹣S梯形BDHG﹣S△GHC，4=×4×2﹣（4﹣t+4）（t﹣4）﹣×（4-t）（6-t），t=（不在此范圍內(nèi)，不符合題意）；③當E與D重合時，F(xiàn)與B重合，如圖6，t==4，∴G（6，2），∴AG==，∴S△BCG=S梯形BDCG﹣S△BDC=×2×（4+2）﹣×2×4=2，∴當t＞4時，如圖7，由題意得：DE=t﹣4，∴OE=t﹣4+4=t，∴OH=OE+EH=t+2，EH=2，GM=GH=2，BM=t+2﹣4=t﹣2，CH=t+2﹣6=t﹣4，過G作MH⊥x軸，交x軸于H，交直線AB于M，∴S△BGC=S梯形BCHM﹣S△BGM﹣S△GCH，4=（t﹣4+t﹣2）×4﹣×2×（t﹣2）﹣×2×（t﹣4），t=5，當t=5時，點G的運動路徑分為兩部分組成：i）點G從A運動到D時，運動路徑為：如圖6中的AG長，即為；ii）點G從D點繼續(xù)在射線DC上運動1秒時，路徑為1；所以當t=5時，此時點G運動的路徑長度為．綜上所述：當t1=秒，此時路徑長度為，當t2=5秒，此時路徑長度為．考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．動點型；3．分類討論；4．壓軸題．40．（2017遼寧省盤錦市）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，點O為AB中點，點P為直線BC上的動點（不與點B、點C重合），連接OC、OP，將線段OP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段PQ，連接BQ．（1）如圖1，當點P在線段BC上時，請直接寫出線段BQ與CP的數(shù)量關(guān)系．（2）如圖2，當點P在CB延長線上時，（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，當點P在BC延長線上時，若∠BPO=15°，BP=4，請求出BQ的長．【答案】（1）BQ=CP；（2）成立：PC=BQ；（3）．【解析】試題分析：（1）結(jié)論：BQ=CP．如圖1中，作PH∥AB交CO于H，可得△PCH是等邊三角形，只要證明△POH≌△QPB即可；（2）成立：PC=BQ．作PH∥AB交CO的延長線于H．證明方法類似（1）；（3）如圖3中，作CE⊥OP于E，在PE上取一點F，使得FP=FC，連接CF．設(shè)CE=CO=a，則EC=FP=2a，EF=a，在Rt△PCE中，表示出PC，根據(jù)PC+CB=4，可得方程，求出a即可解決問題；試題解析：（1）結(jié)論：BQ=CP．理由：如圖1中，作PH∥AB交CO于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，點O為AB中點，∴CO=AO=BO，∠CBO=60°，∴△CBO是等邊三角形，∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°，∴∠CHP=∠CPH=60°，∴△CPH是等邊三角形，∴PC=PH=CH，∴OH=PB，∵∠OPB=∠OPQ+∠QPB=∠OCB+∠COP，∵∠OPQ=∠OCP=60°，∴∠POH=∠QPB，∵PO=PQ，∴△POH≌△QPB，∴PH=QB，∴PC=BQ．（2）成立：PC=BQ．理由：作PH∥AB交CO的延長線于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，點O為AB中點，∴CO=AO=BO，∠CBO=60°，∴△CBO是等邊三角形，∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°，∴∠CHP=∠CPH=60°，∴△CPH是等邊三角形，∴PC=PH=CH，∴OH=PB，∵∠POH=60°+∠CPO，∠QPO=60°+∠CPQ，∴∠POH=∠QPB，∵PO=PQ，∴△POH≌△QPB，∴PH=QB，∴PC=BQ．學@科￥網(wǎng)（3）如圖3中，作CE⊥OP于E，在PE上取一點F，使得FP=FC，連接CF．∵∠OPC=15°，∠OCB=∠OCP+∠POC，∴∠POC=45°，∴CE=EO，設(shè)CE=CO=a，則EC=FP=2a，EF=a，在Rt△PCE中，PC===，∵PC+CB=4，∴，解得a=，∴PC=，由（2）可知BQ=PC，∴BQ=．考點：1．幾何變換綜合題；2．探究型；3．變式探究；4．壓軸題．41．（2017遼寧省盤錦市）如圖，直線y=﹣2x+4交y軸于點A，交拋物線于點B（3，﹣2），拋物線經(jīng)過點C（﹣1，0），交y軸于點D，點P是拋物線上的動點，作PE⊥DB交DB所在直線于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）當△PDE為等腰直角三角形時，求出PE的長及P點坐標；（3）在（2）的條件下，連接PB，將△PBE沿直線AB翻折，直接寫出翻折點后E的對稱點坐標．【答案】（1）；（2）PE=5或2，P（2，﹣3）或（5，3）；（3）E的對稱點坐標為（，﹣）或（3.6，﹣1.2）．【解析】試題分析：（1）把B（3，﹣2），C（﹣1，0）代入即可得到結(jié)論；（2）由求得D（0，﹣