歐幾里得之窗從平行線到超空間的幾何學(xué)故事課件

歐幾里得之窗

--從平行線到超空間的幾何學(xué)故事

Ｅｕｃｌｉｄ‘ｓＷｉｎｄｏｗ：

ＴｈｅＳｔｏｒｙｏｆＧｅｏｍｅｔｒｙ

ｆｒｏｍＰａｒａｌｌｅｌＬｉｎｅｓ

ｔｏＨｙｐｅｒｓｐａｃｅ

歐幾里得之窗

--從平行線到超空間的幾何學(xué)故事

Ｅｕｃｌｉｄ1兩千四百年前，亞里斯多德站在海濱，觀察到:好像所有的船隻都是船身先消失，然後才是桅桿和船帆。但是：在平坦的地表上，船隻應(yīng)該會(huì)先愈變愈小，最後才縮小成一點(diǎn)消失在視線之外，難道不是這樣嗎？

兩千四百年前，亞里斯多德站在海濱，觀察到:好像所有的船隻都是2推論：地球表面應(yīng)該是彎曲的。

透過(guò)幾何之窗，人們可以觀察到整顆地球的龐大結(jié)構(gòu)。推論：地球表面應(yīng)該是彎曲的。

3數(shù)個(gè)世紀(jì)以來(lái)，在許多天才人物與幾何學(xué)的協(xié)助下，人類得以向邊際以外的地方凝視。

Ｑ：如何證明空間中的任何事物？

Ｑ：我們?cè)觞N曉得自己身在何處？

Ｑ：空間是彎曲的嗎？

數(shù)個(gè)世紀(jì)以來(lái)，在許多天才人物與幾何學(xué)的協(xié)助下，人類得以向邊際4

Ｑ：這個(gè)世界有多少個(gè)維度（dimensions）？

Ｑ：幾何學(xué)該如何解釋宇宙的秩序和一統(tǒng)性？

上述疑問(wèn)孕育出世界歷史中五次革命性的幾何變革。

Ｑ：這個(gè)世界有多少個(gè)維度（dimensions）？

Ｑ：5第一部分空間是什麼？幾何學(xué)如何開(kāi)始成為描述宇宙的工具？引領(lǐng)人們進(jìn)入現(xiàn)代文明。第一部分6空間觀念演進(jìn)的第一次革命-----

抽象化觀念的誕生與證明的構(gòu)想。

歐幾里得之窗從平行線到超空間的幾何學(xué)故事課件7空間的概念始於位置的概念，源自埃及人與巴比倫人所稱的「大地測(cè)量」，希臘文是geometry。希臘人首先從對(duì)石塊與砂礫的簡(jiǎn)單敍述開(kāi)始發(fā)展幾何學(xué)，抽離出點(diǎn)、線、面的觀念?？臻g的概念始於位置的概念，源自埃及人與巴比倫人所稱的「大地測(cè)8早在歷史記載以前，人類便已發(fā)展出數(shù)數(shù)、計(jì)算、課稅。1960年中非薩伊Ishango出土的一根距今八千年的小骨頭，一端嵌有一小片石英，骨頭另一端切割出三道刻痕，這可能是最早出現(xiàn)的一種數(shù)量記錄工具。早在歷史記載以前，人類便已發(fā)展出數(shù)數(shù)、計(jì)算、課稅。9運(yùn)算概念的發(fā)展較慢，得植基於一定程度的數(shù)字抽象觀念。

兩個(gè)蘋菓－＞2

兩個(gè)柳?。?

2=2?2+2=4?運(yùn)算概念的發(fā)展較慢，得植基於一定程度的數(shù)字抽象觀念。

10抽象化觀念的演進(jìn)，大約成形於西元前6000年，每年六月，尼羅河水開(kāi)始暴漲，漫過(guò)河床，為四周鄉(xiāng)野鋪上一層肥沃的泥土。十月河水退卻乾涸，到次年雨季前，連續(xù)八個(gè)月的乾季則可分成耕耘季和收成季。農(nóng)業(yè)生活成為埃及曆法與埃及人生活的基礎(chǔ)。抽象化觀念的演進(jìn)，大約成形於西元前6000年，每年六月，尼羅11到了西元前3500年，埃及的工藝與鑄鐵等小型工業(yè)已經(jīng)十分精通，文字與書寫亦已發(fā)展出來(lái)。到了西元前3500年，埃及的工藝與鑄鐵等小型工業(yè)已經(jīng)十分精通12因?yàn)獒缍惖木壒?，發(fā)展出幾何學(xué)。理論上，法老王擁有全部的土地和財(cái)產(chǎn)，政府根據(jù)每年河水氾濫的高度和人民持有土地面積來(lái)計(jì)算地稅。因?yàn)獒缍惖木壒?，發(fā)展出幾何學(xué)。13因此，埃及人發(fā)明了一種雖然麻煩，但頗為精準(zhǔn)的面積計(jì)算方式，適用於正方形、長(zhǎng)方形和梯形。

若要計(jì)算圓面積，埃及人利用邊長(zhǎng)等於直徑8/9的正方形來(lái)估算。

換句話說(shuō)，他們以256/81（或3.16）代替π值。（誤差約為百分之0.6）因此，埃及人發(fā)明了一種雖然麻煩，但頗為精準(zhǔn)的面積計(jì)算方式，適14金字塔的建造想像在西元前2580年，你要建造一座，底部方形，各面呈三角，高度約146公尺的金字塔。由每塊重量超過(guò)兩公噸的巨石堆疊而成，而可用的測(cè)量工具只有木頭和繩子。金字塔的建造15「拉繩夫」直角三角形的斜邊hypotenuse，希臘文為「用力拉緊」之意。「拉繩夫」16西元前2000年到1700年間，波斯灣以北的非閃族民族，併吞鄰族，建立巴比倫帝國(guó)。其數(shù)學(xué)系統(tǒng)，比埃及人複雜得多。西元前2000年到1700年間，波斯灣以北的非閃族民族，併吞17埃及數(shù)學(xué)

蘭德(Rhind)紙莎草手卷與莫斯科紙莎草手卷(MoscowPapyrus)年代約中國(guó)夏商之交。長(zhǎng)各六公尺，上頭記載了數(shù)十至上百道例題，包括四則、分?jǐn)?shù)、比例、簡(jiǎn)單幾何體的面積和體積計(jì)算等。埃及數(shù)學(xué)

蘭德(Rhind)紙莎草手卷與莫斯科紙莎草手卷(M18巴比倫數(shù)學(xué)

亞述地區(qū)出土的幾百座泥版，內(nèi)容有參考用的數(shù)表、教科書，及其他關(guān)於巴比倫數(shù)學(xué)思考的材料。巴比倫數(shù)學(xué)

亞述地區(qū)出土的幾百座泥版，內(nèi)容有參考用的數(shù)表、教19巴比倫的工程師在挖掘運(yùn)河前，計(jì)算運(yùn)河的梯形橫截面面積，計(jì)算需移走的土壤量，需多少人力工時(shí)才能完成整個(gè)工程。

巴比倫的金融借貸採(cǎi)用甚至是複利制。巴比倫的工程師在挖掘運(yùn)河前，計(jì)算運(yùn)河的梯形橫截面面積，計(jì)算需20巴比倫人未發(fā)明方程式，所有計(jì)算都表述成文字?jǐn)⑹觥?/p>

＜目前已知最早使用加號(hào)的文件為1481年的日耳曼手稿＞巴比倫人未發(fā)明方程式，所有計(jì)算都表述成文字?jǐn)⑹觥?/p>

＜目前已知21巴比倫人與埃及人應(yīng)該都已經(jīng)知道畢達(dá)哥拉斯定理(Pythagoreantheorem)。

巴比倫人記載的三數(shù)組有「3、4、5」、「5、12、13」、…「3456、3367、4825」、…

可推斷:巴比倫人至少具備初等數(shù)論的能力。巴比倫人與埃及人應(yīng)該都已經(jīng)知道畢達(dá)哥拉斯定理(Pythag22雖然，埃及人和巴比倫人都曉得畢氏定理，郤都沒(méi)見(jiàn)到一般式a2+b2=c2。因此，對(duì)他們來(lái)說(shuō)，斜邊邊長(zhǎng)到底是一個(gè)精確數(shù)目還是一個(gè)約略的估計(jì)呢？雖然，埃及人和巴比倫人都曉得畢氏定理，郤都沒(méi)見(jiàn)到一般式a2+23古希臘人對(duì)下列問(wèn)題頭痛不已：假設(shè)一正方形邊長(zhǎng)為一單位，對(duì)角線有多長(zhǎng)？埃及人和巴比倫人並不以為意。古希臘人對(duì)下列問(wèn)題頭痛不已：假設(shè)一正方形邊長(zhǎng)為一單位，對(duì)角線24採(cǎi)用六十進(jìn)位制的巴比倫人計(jì)算至第三位數(shù)，換算至十進(jìn)位為1.4142129。採(cǎi)用六十進(jìn)位制的巴比倫人計(jì)算至第三位數(shù)，換算至十進(jìn)位為1.425畢達(dá)哥拉斯時(shí)代的希臘人明白此數(shù)無(wú)法寫成整數(shù)或小數(shù)。畢達(dá)哥拉斯時(shí)代的希臘人明白此數(shù)無(wú)法寫成整數(shù)或小數(shù)。26出生約於西元前640年的泰利斯，幾乎是全世界公認(rèn)最早的科學(xué)家或數(shù)學(xué)家。他經(jīng)商致富，對(duì)知識(shí)有著無(wú)限的渴望，遊歷巴比倫，學(xué)習(xí)天文科學(xué)與數(shù)學(xué)，將這些知識(shí)傳回希臘。他成功地預(yù)測(cè)西元前585年的日蝕。出生約於西元前640年的泰利斯，幾乎是全世界公認(rèn)最早的科學(xué)家27埃及人擁有建造金字塔的專門技術(shù)，卻不知道如何測(cè)量金字塔的高度。泰利斯利用經(jīng)驗(yàn)事實(shí)推導(dǎo)出初等幾何原理，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)向埃及人示範(fàn)金字塔高度的測(cè)量與計(jì)算，也利用類似的方法測(cè)量船隻在海上的距離。埃及人擁有建造金字塔的專門技術(shù)，卻不知道如何測(cè)量金字塔的高度28希臘人尊稱泰利斯為「七位聖哲」之一，認(rèn)為他們是全世界最有智慧的七個(gè)人。希臘人尊稱泰利斯為「七位聖哲」之一，認(rèn)為他們是全世界最有智29泰利斯為幾何學(xué)的系統(tǒng)化工作踏出了第一步。他首先證明了幾世紀(jì)之後歐幾里得在＜幾何原本＞中所收集的那一類幾何定理。泰利斯了解，想要確知事情之間的真實(shí)因果關(guān)係，必須建立規(guī)則，所以他也創(chuàng)造了最早的邏輯推論體系。泰利斯為幾何學(xué)的系統(tǒng)化工作踏出了第一步。他首先證明了幾世紀(jì)之30他是最早去思考空間圖形全等觀念的人：平面上有兩個(gè)圖形，如果能夠移動(dòng)和旋轉(zhuǎn)其中一個(gè)，使其與另一個(gè)重疊，則兩個(gè)圖形可視為全等。他是最早去思考空間圖形全等觀念的人：平面上有兩個(gè)圖形，如果能31把相等的觀念從數(shù)目延伸到空間圖形，是空間數(shù)學(xué)化的一大躍進(jìn)。這牽涉到同質(zhì)性(homogeneity)的假設(shè)，即圖形在移動(dòng)時(shí)既不會(huì)扭曲也不會(huì)改變大小。但在任何空間，包括我們生存的物理空間中，這種假設(shè)都不是正確的。把相等的觀念從數(shù)目延伸到空間圖形，是空間數(shù)學(xué)化的一大躍進(jìn)。這32泰利斯強(qiáng)調(diào)，透過(guò)觀察與推理，人們理當(dāng)能夠解釋自然界中所有的現(xiàn)象。他推導(dǎo)出革命性的結(jié)論，認(rèn)為自然是遵循固定的法則運(yùn)行。在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中，有關(guān)這個(gè)世界的結(jié)論應(yīng)該透過(guò)規(guī)則來(lái)確認(rèn)，而非猜測(cè)與觀察。泰利斯強(qiáng)調(diào)，透過(guò)觀察與推理，人們理當(dāng)能夠解釋自然界中所有的現(xiàn)33泰利斯也提出物理空間的觀念：儘管世界上的物質(zhì)具有如此巨大的多樣性，但本質(zhì)上卻應(yīng)該是同樣的東西。泰利斯也提出物理空間的觀念：儘管世界上的物質(zhì)具有如此巨大的多34「什麼是基本的東西？」泰利斯居位在海洋城市，直覺(jué)告訴他可能是水。泰利斯的學(xué)生，阿納克西曼德(Anaximander)認(rèn)為人類應(yīng)是從魚這種低等動(dòng)物演化而來(lái)。「什麼是基本的東西？」泰利斯居位在海洋城市，直覺(jué)告訴他可能是35泰利斯老時(shí)，遇到歐幾里得幾何學(xué)最重要的先驅(qū)人物：畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)。泰利斯老時(shí)，遇到歐幾里得幾何學(xué)最重要的先驅(qū)人物：畢達(dá)哥拉斯(36畢達(dá)哥拉斯十八歲時(shí)，到里斯伯島(Lesbos)拜訪費(fèi)雷西底(Pherecydes)。費(fèi)雷西底學(xué)習(xí)過(guò)腓尼基的神祕(mì)經(jīng)書，將靈魂不朽與輪迴轉(zhuǎn)世的觀念傳入希臘，畢達(dá)哥拉斯的宗教哲學(xué)觀即是以此為基石。畢達(dá)哥拉斯十八歲時(shí)，到里斯伯島(Lesbos)拜訪費(fèi)雷西底(37二十歲時(shí)，前往米利都，遇到泰利斯?？梢源_知的是，他對(duì)這個(gè)年輕的天才產(chǎn)生了重大的影響。泰利斯辭世多年後，畢達(dá)哥拉斯仍常獨(dú)坐家中，為這位離開(kāi)人世的遠(yuǎn)見(jiàn)人物吟唱讚詩(shī)。二十歲時(shí)，前往米利都，遇到泰利斯。可以確知的是，他對(duì)這個(gè)年輕38所有古代關(guān)於這次會(huì)面的記載都表示：泰利斯送給畢達(dá)哥拉斯一句勉勵(lì)忠告，要他前往埃及。所有古代關(guān)於這次會(huì)面的記載都表示：泰利斯送給畢達(dá)哥拉斯一句勉39在埃及的幾何物體都是物理實(shí)體：直線是拉繩夫拉緊的繩子或者田地的邊緣；矩形是一小塊土地的範(fàn)圍或石塊的一個(gè)平面；而空間則是泥土、土壤和空氣。在埃及的幾何物體都是物理實(shí)體：直線是拉繩夫拉緊的繩子或者田地40把浪漫和比喻的想法帶入數(shù)學(xué)領(lǐng)域的不是埃及人，而是希臘人：空間對(duì)希臘人而言可以是一種數(shù)學(xué)的抽象觀念，同樣重要的是，這種抽象觀念可以應(yīng)用到各種不同的情況?！爸R(shí)是可以相互應(yīng)用的?！卑牙寺捅扔鞯南敕◣霐?shù)學(xué)領(lǐng)域的不是埃及人，而是希臘人：空間41傳說(shuō)，一天畢達(dá)哥拉斯路過(guò)鐵匠鋪時(shí)，聽(tīng)到不同錘子敲打鐵鉆發(fā)出的聲響，開(kāi)始思考。用弦線進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)調(diào)和數(shù)列以及振動(dòng)弦線與發(fā)出音高之間的關(guān)係。後人常視此為歷史上以實(shí)證方式發(fā)現(xiàn)自然法則的首例。傳說(shuō)，一天畢達(dá)哥拉斯路過(guò)鐵匠鋪時(shí)，聽(tīng)到不同錘子敲打鐵鉆發(fā)出的42畢達(dá)哥拉斯的和聲律代表了人類第一次用數(shù)學(xué)名詞來(lái)描述物理世界的里程碑。畢達(dá)哥拉斯的和聲律代表了人類第一次用數(shù)學(xué)名詞來(lái)描述物理世界的43畢氏數(shù)學(xué)的許多複雜內(nèi)容都是來(lái)自畢達(dá)哥拉斯和其追隨者所發(fā)現(xiàn)的許多數(shù)值類型。例如：「正方形數(shù)」（squarenumber)與三角形數(shù)。畢氏數(shù)學(xué)的許多複雜內(nèi)容都是來(lái)自畢達(dá)哥拉斯和其追隨者所發(fā)現(xiàn)的許44畢達(dá)哥拉斯覺(jué)得正方形數(shù)和三角形數(shù)的性質(zhì)十分神奇。比方說(shuō)(a)第二個(gè)正方形數(shù)4等於前兩個(gè)奇數(shù)的和：1+3。第三個(gè)正方形數(shù)9等於前三個(gè)奇數(shù)的和：1+3+5，以此類推。畢達(dá)哥拉斯覺(jué)得正方形數(shù)和三角形數(shù)的性質(zhì)十分神奇。比方說(shuō)(a)45(b)正方形數(shù)都等於連續(xù)奇數(shù)的和。(C)三角形數(shù)同樣也是所有包括奇偶數(shù)在內(nèi)的連續(xù)數(shù)目和。(d)正方形數(shù)和三角形數(shù)彼此關(guān)聯(lián)；只要把三角形數(shù)和前一個(gè)或後一個(gè)三角形數(shù)相加，即可得到正方形數(shù)。(b)正方形數(shù)都等於連續(xù)奇數(shù)的和。46畢氏定理也一樣，看起來(lái)十分神奇。要用幾何方法證明畢氏定理，所需的唯一計(jì)算就是正方形面積等於邊長(zhǎng)的平方。畢氏定理也一樣，看起來(lái)十分神奇。要用幾何方法證明畢氏定理，所47歐幾里得之窗

--從平行線到超空間的幾何學(xué)故事

Ｅｕｃｌｉｄ‘ｓＷｉｎｄｏｗ：

ＴｈｅＳｔｏｒｙｏｆＧｅｏｍｅｔｒｙ

ｆｒｏｍＰａｒａｌｌｅｌＬｉｎｅｓ

ｔｏＨｙｐｅｒｓｐａｃｅ

歐幾里得之窗

--從平行線到超空間的幾何學(xué)故事

Ｅｕｃｌｉｄ48兩千四百年前，亞里斯多德站在海濱，觀察到:好像所有的船隻都是船身先消失，然後才是桅桿和船帆。但是：在平坦的地表上，船隻應(yīng)該會(huì)先愈變愈小，最後才縮小成一點(diǎn)消失在視線之外，難道不是這樣嗎？

兩千四百年前，亞里斯多德站在海濱，觀察到:好像所有的船隻都是49推論：地球表面應(yīng)該是彎曲的。

透過(guò)幾何之窗，人們可以觀察到整顆地球的龐大結(jié)構(gòu)。推論：地球表面應(yīng)該是彎曲的。

50數(shù)個(gè)世紀(jì)以來(lái)，在許多天才人物與幾何學(xué)的協(xié)助下，人類得以向邊際以外的地方凝視。

Ｑ：如何證明空間中的任何事物？

Ｑ：我們?cè)觞N曉得自己身在何處？

Ｑ：空間是彎曲的嗎？

數(shù)個(gè)世紀(jì)以來(lái)，在許多天才人物與幾何學(xué)的協(xié)助下，人類得以向邊際51

Ｑ：這個(gè)世界有多少個(gè)維度（dimensions）？

Ｑ：幾何學(xué)該如何解釋宇宙的秩序和一統(tǒng)性？

上述疑問(wèn)孕育出世界歷史中五次革命性的幾何變革。

Ｑ：這個(gè)世界有多少個(gè)維度（dimensions）？

Ｑ：52第一部分空間是什麼？幾何學(xué)如何開(kāi)始成為描述宇宙的工具？引領(lǐng)人們進(jìn)入現(xiàn)代文明。第一部分53空間觀念演進(jìn)的第一次革命-----

抽象化觀念的誕生與證明的構(gòu)想。

歐幾里得之窗從平行線到超空間的幾何學(xué)故事課件54空間的概念始於位置的概念，源自埃及人與巴比倫人所稱的「大地測(cè)量」，希臘文是geometry。希臘人首先從對(duì)石塊與砂礫的簡(jiǎn)單敍述開(kāi)始發(fā)展幾何學(xué)，抽離出點(diǎn)、線、面的觀念。空間的概念始於位置的概念，源自埃及人與巴比倫人所稱的「大地測(cè)55早在歷史記載以前，人類便已發(fā)展出數(shù)數(shù)、計(jì)算、課稅。1960年中非薩伊Ishango出土的一根距今八千年的小骨頭，一端嵌有一小片石英，骨頭另一端切割出三道刻痕，這可能是最早出現(xiàn)的一種數(shù)量記錄工具。早在歷史記載以前，人類便已發(fā)展出數(shù)數(shù)、計(jì)算、課稅。56運(yùn)算概念的發(fā)展較慢，得植基於一定程度的數(shù)字抽象觀念。

兩個(gè)蘋菓－＞2

兩個(gè)柳?。?

2=2?2+2=4?運(yùn)算概念的發(fā)展較慢，得植基於一定程度的數(shù)字抽象觀念。

57抽象化觀念的演進(jìn)，大約成形於西元前6000年，每年六月，尼羅河水開(kāi)始暴漲，漫過(guò)河床，為四周鄉(xiāng)野鋪上一層肥沃的泥土。十月河水退卻乾涸，到次年雨季前，連續(xù)八個(gè)月的乾季則可分成耕耘季和收成季。農(nóng)業(yè)生活成為埃及曆法與埃及人生活的基礎(chǔ)。抽象化觀念的演進(jìn)，大約成形於西元前6000年，每年六月，尼羅58到了西元前3500年，埃及的工藝與鑄鐵等小型工業(yè)已經(jīng)十分精通，文字與書寫亦已發(fā)展出來(lái)。到了西元前3500年，埃及的工藝與鑄鐵等小型工業(yè)已經(jīng)十分精通59因?yàn)獒缍惖木壒?，發(fā)展出幾何學(xué)。理論上，法老王擁有全部的土地和財(cái)產(chǎn)，政府根據(jù)每年河水氾濫的高度和人民持有土地面積來(lái)計(jì)算地稅。因?yàn)獒缍惖木壒?，發(fā)展出幾何學(xué)。60因此，埃及人發(fā)明了一種雖然麻煩，但頗為精準(zhǔn)的面積計(jì)算方式，適用於正方形、長(zhǎng)方形和梯形。

若要計(jì)算圓面積，埃及人利用邊長(zhǎng)等於直徑8/9的正方形來(lái)估算。

換句話說(shuō)，他們以256/81（或3.16）代替π值。（誤差約為百分之0.6）因此，埃及人發(fā)明了一種雖然麻煩，但頗為精準(zhǔn)的面積計(jì)算方式，適61金字塔的建造想像在西元前2580年，你要建造一座，底部方形，各面呈三角，高度約146公尺的金字塔。由每塊重量超過(guò)兩公噸的巨石堆疊而成，而可用的測(cè)量工具只有木頭和繩子。金字塔的建造62「拉繩夫」直角三角形的斜邊hypotenuse，希臘文為「用力拉緊」之意。「拉繩夫」63西元前2000年到1700年間，波斯灣以北的非閃族民族，併吞鄰族，建立巴比倫帝國(guó)。其數(shù)學(xué)系統(tǒng)，比埃及人複雜得多。西元前2000年到1700年間，波斯灣以北的非閃族民族，併吞64埃及數(shù)學(xué)

蘭德(Rhind)紙莎草手卷與莫斯科紙莎草手卷(MoscowPapyrus)年代約中國(guó)夏商之交。長(zhǎng)各六公尺，上頭記載了數(shù)十至上百道例題，包括四則、分?jǐn)?shù)、比例、簡(jiǎn)單幾何體的面積和體積計(jì)算等。埃及數(shù)學(xué)

蘭德(Rhind)紙莎草手卷與莫斯科紙莎草手卷(M65巴比倫數(shù)學(xué)

亞述地區(qū)出土的幾百座泥版，內(nèi)容有參考用的數(shù)表、教科書，及其他關(guān)於巴比倫數(shù)學(xué)思考的材料。巴比倫數(shù)學(xué)

亞述地區(qū)出土的幾百座泥版，內(nèi)容有參考用的數(shù)表、教66巴比倫的工程師在挖掘運(yùn)河前，計(jì)算運(yùn)河的梯形橫截面面積，計(jì)算需移走的土壤量，需多少人力工時(shí)才能完成整個(gè)工程。

巴比倫的金融借貸採(cǎi)用甚至是複利制。巴比倫的工程師在挖掘運(yùn)河前，計(jì)算運(yùn)河的梯形橫截面面積，計(jì)算需67巴比倫人未發(fā)明方程式，所有計(jì)算都表述成文字?jǐn)⑹觥?/p>

＜目前已知最早使用加號(hào)的文件為1481年的日耳曼手稿＞巴比倫人未發(fā)明方程式，所有計(jì)算都表述成文字?jǐn)⑹觥?/p>

＜目前已知68巴比倫人與埃及人應(yīng)該都已經(jīng)知道畢達(dá)哥拉斯定理(Pythagoreantheorem)。

巴比倫人記載的三數(shù)組有「3、4、5」、「5、12、13」、…「3456、3367、4825」、…

可推斷:巴比倫人至少具備初等數(shù)論的能力。巴比倫人與埃及人應(yīng)該都已經(jīng)知道畢達(dá)哥拉斯定理(Pythag69雖然，埃及人和巴比倫人都曉得畢氏定理，郤都沒(méi)見(jiàn)到一般式a2+b2=c2。因此，對(duì)他們來(lái)說(shuō)，斜邊邊長(zhǎng)到底是一個(gè)精確數(shù)目還是一個(gè)約略的估計(jì)呢？雖然，埃及人和巴比倫人都曉得畢氏定理，郤都沒(méi)見(jiàn)到一般式a2+70古希臘人對(duì)下列問(wèn)題頭痛不已：假設(shè)一正方形邊長(zhǎng)為一單位，對(duì)角線有多長(zhǎng)？埃及人和巴比倫人並不以為意。古希臘人對(duì)下列問(wèn)題頭痛不已：假設(shè)一正方形邊長(zhǎng)為一單位，對(duì)角線71採(cǎi)用六十進(jìn)位制的巴比倫人計(jì)算至第三位數(shù)，換算至十進(jìn)位為1.4142129。採(cǎi)用六十進(jìn)位制的巴比倫人計(jì)算至第三位數(shù)，換算至十進(jìn)位為1.472畢達(dá)哥拉斯時(shí)代的希臘人明白此數(shù)無(wú)法寫成整數(shù)或小數(shù)。畢達(dá)哥拉斯時(shí)代的希臘人明白此數(shù)無(wú)法寫成整數(shù)或小數(shù)。73出生約於西元前640年的泰利斯，幾乎是全世界公認(rèn)最早的科學(xué)家或數(shù)學(xué)家。他經(jīng)商致富，對(duì)知識(shí)有著無(wú)限的渴望，遊歷巴比倫，學(xué)習(xí)天文科學(xué)與數(shù)學(xué)，將這些知識(shí)傳回希臘。他成功地預(yù)測(cè)西元前585年的日蝕。出生約於西元前640年的泰利斯，幾乎是全世界公認(rèn)最早的科學(xué)家74埃及人擁有建造金字塔的專門技術(shù)，卻不知道如何測(cè)量金字塔的高度。泰利斯利用經(jīng)驗(yàn)事實(shí)推導(dǎo)出初等幾何原理，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)向埃及人示範(fàn)金字塔高度的測(cè)量與計(jì)算，也利用類似的方法測(cè)量船隻在海上的距離。埃及人擁有建造金字塔的專門技術(shù)，卻不知道如何測(cè)量金字塔的高度75希臘人尊稱泰利斯為「七位聖哲」之一，認(rèn)為他們是全世界最有智慧的七個(gè)人。希臘人尊稱泰利斯為「七位聖哲」之一，認(rèn)為他們是全世界最有智76泰利斯為幾何學(xué)的系統(tǒng)化工作踏出了第一步。他首先證明了幾世紀(jì)之後歐幾里得在＜幾何原本＞中所收集的那一類幾何定理。泰利斯了解，想要確知事情之間的真實(shí)因果關(guān)係，必須建立規(guī)則，所以他也創(chuàng)造了最早的邏輯推論體系。泰利斯為幾何學(xué)的系統(tǒng)化工作踏出了第一步。他首先證明了幾世紀(jì)之77他是最早去思考空間圖形全等觀念的人：平面上有兩個(gè)圖形，如果能夠移動(dòng)和旋轉(zhuǎn)其中一個(gè)，使其與另一個(gè)重疊，則兩個(gè)圖形可視為全等。他是最早去思考空間圖形全等觀念的人：平面上有兩個(gè)圖形，如果能78把相等的觀念從數(shù)目延伸到空間圖形，是空間數(shù)學(xué)化的一大躍進(jìn)。這牽涉到同質(zhì)性(homogeneity)的假設(shè)，即圖形在移動(dòng)時(shí)既不會(huì)扭曲也不會(huì)改變大小。但在任何空間，包括我們生存的物理空間中，這種假設(shè)都不是正確的。把相等的觀念從數(shù)目延伸到空間圖形，是空間數(shù)學(xué)化的一大躍進(jìn)。這79泰利斯強(qiáng)調(diào)，透過(guò)觀察與推理，人們理當(dāng)能夠解釋自然界中所有的現(xiàn)象。他推導(dǎo)出革命性的結(jié)論，認(rèn)為自然是遵循固定的法則運(yùn)行。在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中，有關(guān)這個(gè)世界的結(jié)論應(yīng)該透過(guò)規(guī)則來(lái)確認(rèn)，而非猜測(cè)與觀察。泰利斯強(qiáng)調(diào)，透過(guò)觀察與推理，人們理當(dāng)能夠解釋自然界中所有的現(xiàn)80泰利斯也提出物理空間的觀念：儘管世界上的物質(zhì)具有如此巨大的多樣性，但本質(zhì)上卻應(yīng)該是同樣的東西。泰利斯也提出物理空間的觀念：儘管世界上的物質(zhì)具有如此巨大的多81「什麼是基本的東西？」泰利斯居位在海洋城市，直覺(jué)告訴他可能是水。泰利斯的學(xué)生，阿納克西曼德(Anaximander)認(rèn)為人類應(yīng)是從魚這種低等動(dòng)物演化而來(lái)?！甘颤N是基本的東西？」泰利斯居位在海洋城市，直覺(jué)告訴他可能是82泰利斯老時(shí)，遇到歐幾里得幾何學(xué)最重要的先驅(qū)人物：畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)。泰利斯老時(shí)，遇到歐幾里得幾何學(xué)最重要的先驅(qū)人物：畢達(dá)哥拉斯(83畢達(dá)哥拉斯十八歲時(shí)，到里斯伯島(Lesbos)拜訪費(fèi)雷西底(Pherecydes)。費(fèi)雷西底學(xué)習(xí)過(guò)腓尼基的神祕(mì)經(jīng)書，將靈魂不朽與輪迴轉(zhuǎn)世的觀念傳入希臘，畢達(dá)哥拉斯的宗教哲學(xué)觀即是以此為基石。畢達(dá)哥拉斯十八歲時(shí)，到里斯伯島(Lesbos)拜訪費(fèi)雷西底(84二十歲時(shí)，前往米利都，遇到泰利斯?？梢源_知的是，他對(duì)這個(gè)年輕的天才產(chǎn)生了重大的影響。泰利斯辭世多年後，畢