高等數(shù)學(xué)上-ch5-3微積分基本定理

§5.3微積分基本定理兩個(gè)問題的提出微積分第一基本定理原函數(shù)與不定積分微積分第二基本定理變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為另一方面這段路程可表示為一、兩個(gè)問題的提出問題一問題二考察定積分記積分上限函數(shù)二、微積分第一基本定理微積分第一基本定理證由積分中值定理得7定理說明:當(dāng)f(x)在[a,b]上連續(xù)時(shí),問題一有解,就是問題一的解函數(shù)補(bǔ)充：從而可知:微分運(yùn)算“d”與變上限積分運(yùn)算“”是互逆的運(yùn)算補(bǔ)充證例1求解分析：這是型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.證令變上限積分函數(shù)的進(jìn)一步討論:變限積分函數(shù)既然是一函數(shù),就可討論其一系列的函數(shù)性質(zhì)(例如,單調(diào)性,最值,凹凸性等)（3）求極限（1）若,計(jì)算（2）若,計(jì)算(4)設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),且單調(diào)增,證明:解原問題構(gòu)造輔助函數(shù)則有F(a)=0,我們希望證明F(x)在[a,b]上單調(diào)增對(duì)任意的x[a,b]所以F(x)在[a,b]上單調(diào)增.于是有F(b)F(a)=0由此證得例定義：三、原函數(shù)和不定積分定理4（原函數(shù)存在定理）定理的重要意義：（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系.問題：(1)原函數(shù)是否唯一？例（為任意常數(shù)）(2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？關(guān)于原函數(shù)的說明：（1）若，則對(duì)于任意常數(shù)，則（為任意常數(shù)）證（為任意常數(shù)）由此得知:在知道f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)之后,則F(x)+c(c

為任意常數(shù))表示了f(x)的所有原函數(shù)任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)不定積分的定義：被積表達(dá)式積分變量說明:(1)不定積分表示一族函數(shù),它涵蓋了f(x)在[a,b]上原函數(shù)的全體現(xiàn)若f(x)在[a,b]上連續(xù),則變上限積分函數(shù)是f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù),于是有即從而將的計(jì)算轉(zhuǎn)化為不定積分的計(jì)算問題例1

求解解例2

求顯然，求不定積分得到一積分曲線族.定理6微分運(yùn)算與積分運(yùn)算是是一對(duì)互逆的運(yùn)算,即有根據(jù)求導(dǎo)公式可得以下不定積分公式:設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),若能計(jì)算出不定積分從而獲得f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)F(x),則有令x=a

得,F(a)+c=0c=－F(a)可得所以有三、微積分第二基本定理定理(微積分第二基本定理)說明:(1)牛頓—萊布尼茲公式把的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化不定積分的計(jì)算問題,從而回避從定義計(jì)算定積分設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),F(x)是f(x)在[a,b]上的任意一個(gè)原函數(shù),則(牛頓—萊布尼茲公式)例5求

解由圖形可知