歸納推理和類比推理課件

歸納推理歸納推理1哥德巴赫猜想世界近代三大數學難題之一1742年，哥德巴赫在教學中發(fā)現，每個不小于6的偶數都是兩個素數（只能被1和它本身整除的數）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。猜想(a)任何一個≥6之偶數，都可以表示成兩個奇質數之和。

(b)任何一個≥9之奇數，都可以表示成三個奇質數之和。有人對33×108以內且大過6之偶數一一進行驗算，哥德巴赫猜想(a)都成立。哥德巴赫猜想世界近代三大數學難題之一172目前最佳的結果是中國數學家陳景潤于1966年證明的，稱為陳氏定理(Chen‘sTheorem).“任何充份大的偶數都是一個質數與一個自然數之和，而后者僅僅是兩個質數的乘積”,通常都簡稱這個結果為大偶數可表示為“1+2”的形式。1920年，挪威的布朗證明了“9+9”。

1924年，德國的拉特馬赫證明了“7+7”。

1932年，英國的埃斯特曼證明了“6+6”?！?00年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。到了20世紀20年代，才有人開始向它靠近。目前最佳的結果是中國數學家陳景潤于1966年證31637年，法國數學家費馬提出：“將一個立方數分為兩個立方數的和，一個四次冪分為兩個四次冪的和，或者一般地將一個高于二次的冪分為兩個同次的冪的和，這是不可能的.”費馬猜想數論中最著名的世界難題之一

300多年來，這個問題吸引了很多優(yōu)秀數學家，法國科學院曾于1816年和1850年兩次懸賞征解，德國也于1908年懸賞十萬馬克征解。經過三百多年來歷代數學家的不斷努力，劍橋大學懷爾斯終于1995年正式徹底解決這一大難題.1637年，法國數學家費馬提出：“將一個立方數41852年，弗南西斯·格思里搞地圖著色工作時，發(fā)現了一種有趣的現象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色?！笔澜缃髷祵W難題之一四色猜想1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。不少數學家并不滿足于計算機取得的成就，他們還在尋找一種簡捷明快的書面證明方法。1852年，弗南西斯·格思里搞地圖著色工作時，發(fā)現5這種由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）.歸納推理部分整體個別一般不完全歸納推理得到的結論是否正確還有待嚴格的證明,但它可以為我們的研究提供一種方向.歸納法又分為不完全歸納法和完全歸納法.這種由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事6例1.已知數列{an}的第1項a1=1，且（n=1,2,…),試歸納出這個數列的通項公式.分別把n=1,2,3,4代入得:歸納:可用數學歸納法證明這個猜想是正確的.取倒數得：解法2、構造法例1.已知數列{an}的第1項a1=1，且分別把n=1,7例2.如圖,在圓內畫一條線段,將圓分成兩部分;畫兩條線段,彼此最多分割成4條線段,同時將圓分割成4部分;畫三條線段,彼此最多分割成9條線段,同時將圓分割成7部分.那么(1)在圓內畫四條線段,彼此最多分割成

條線段?同時將圓分割成

部分?例2.如圖,在圓內畫一條線段,將圓分成兩部分;畫兩條線段,彼8(2)猜想:圓內兩兩相交的n(n≥2)條線段,彼此最多分割成

條線段?同時將圓分割成

部分?………累加得:(2)猜想:圓內兩兩相交的n(n≥2)條線段,彼此最多分割成9例3.有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.1.每次只能移動一個金屬片;2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.試推測:把n個金屬片從1號針移到3號針,最少需要移動多少次?例3.有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則,把金屬10n=1時,n=1時,11n=2時,n=1時,n=2時,n=1時,12n=3時,n=2時,n=1時,n=3時,n=2時,n=1時,13n=2時,n=1時,n=3時,n=2時,n=1時,n=3時,14n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,15n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,歸納:n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,歸納:16例、數列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1

，求通項公式an.an+1+1=2（an+1）數列{an+1}是首項為2公比為2的等比數列構造法例、數列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，17(2004春季上海)根據圖中5個圖形及相應點的個數的變化規(guī)律,試猜測第n個圖形中有

個點.(1)(2)(3)(4)(5)練習(2004春季上海)根據圖中5個圖形及相應點的個數的變化規(guī)律18(2005年廣東)設平面內有n條直線(n≥3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點.若用f(n)表示這n條直線交點的個數,則f(4)=

,當n>4時,f(n)=

.(用n表示)累加得:(2005年廣東)設平面內有n條直線(n≥3),其中有且僅有19(2001年上海)已知兩個圓①x2+y2=1:與②x2+(y-3)2=1,則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到一個更一般的命題,而已知命題應成為所推廣命題的一個特例,推廣的命題為：設圓的方程為①(x-a)2+(y-b)2=r2與②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或b≠d),則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.(2001年上海)已知兩個圓①x2+y2=1:與②x2+(y20小結2.歸納推理的一般步驟:(1)通過觀察個別情況發(fā)現某些相同性質;(2)從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題(猜想).1.什么是歸納推理（簡稱歸納）?部分整體個別一般小結2.歸納推理的一般步驟:(1)通過觀察個別情況發(fā)現某些相21練習1.已知數列{an}的前n項和Sn,且計算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表達式.猜想:計算得:練習1.已知數列{an}的前n項和Sn,22復習2.歸納推理的一般步驟:(1)通過觀察個別情況發(fā)現某些相同性質;(2)從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題(猜想).1.什么是歸納推理?部分整體特殊一般復習2.歸納推理的一般步驟:(1)通過觀察個別情況發(fā)現某些相231.工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒,發(fā)明了鋸2.仿照魚類的外型和它們在水中沉浮的原理,發(fā)明了潛水艇.3.科學家對火星進行研究,發(fā)現火星與地球有許多類似的特征:1)火星也繞太陽運行、饒軸自轉的行星;2)有大氣層,在一年中也有季節(jié)變更;3)火星上大部分時間的溫度適合地球上某些已知生物的生存,等等.科學家猜想;火星上也可能有生命存在.4.利用平面向量的基本定理類比得到空間向量的基本定理.1.工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒,發(fā)明了鋸2.仿照魚類24由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理.(簡稱:類比)類比推理的幾個特點1.類比是從人們已經掌握了的事物的屬性,推測正在研究的事物的屬性,是以舊有的認識為基礎,類比出新的結果.2.類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性.3.類比的結果是猜測性的不一定可靠,但它卻有發(fā)現的功能.類比推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出25圓的概念和性質球的概念和性質與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相等,距圓心較近的弦較長以點(x0,y0)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2圓心與弦(非直徑)中點的連線垂直于弦球心與不過球心的截面(圓面)的圓心的連線垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積不相等,距球心較近的面積較大以點(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2利用圓的性質類比得出球的性質球的體積球的表面積圓的周長圓的面積圓的概念和性質球的概念和性質與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距26平面向量空間向量①②③④⑤⑥若，則

①②③④⑤⑥若，則

⑦⑦利用平面向量的性質類比得空間向量的性質平面向量空間向量①②③④⑤⑥若，27等差數列等比數列定義通項公式前n項和利用等差數列性質類比等比數列性質等差數列等比數列定義通項公式前n項和利用等差數列性質類比等比28等差數列等比數列中項性質n+m=p+q時,am+an=ap+aqn+m=p+q時,aman=apaq任意實數a、b都有等差中項，為當且僅當a、b同號時才有等比中項，為成等差數列成等比數列下標等差,項等差下標等差,項等比等差數列等比數列中項性質n+m=p+q時,n+m=p+q時,29例1.(2003年新課程)在平面幾何里,有勾股定理:“設△ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2.”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面面積與底面面積的關系，可以得出的正確結論是“設三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則

.DABC例1.(2003年新課程)在平面幾何里,有勾股定理:DABC30（2004廣東，15）由圖(1)有面積關系:則由圖(2)有體積關系:圖(1)圖(2)（2004廣東，15）圖(1)圖(2)31平面與空間中的余弦定理平面：三角形ABC中，空間：四面體A-BCD中，設二面角B-AC-D，C-AD-B，D-AB-C的大小依次為平面與空間中的余弦定理平面：三角形ABC中，空間：四面體A-32例2：(2005年全國)計算機中常用的十六進位制是逢16進1的計算制，采用數字0-9和字母A-F共16個計數符號，這些符號與十進制的數的對應關系如下表；十六進位０１２３４５６７十進位０１２３４５６７例如用16進位制表示Ｅ+Ｄ＝1Ｂ，則Ａ×Ｂ＝（）十六進位８9ＡＢＣＤＥＦ十進位８9101112131415ＡＡ．６EＢ．７２Ｃ．５ＦＤ．０Ｂ例2：(2005年全國)計算機中常用的十六進位制是逢16進133歸納推理和類比推理的共同點

歸納推理和類比推理都是根據已有的事實,經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理.從具體問題出發(fā)觀察、分析、比較、聯想歸納、類比提出猜想合情推理歸納推理和類比推理的共同點歸納推理和類比推理都是根據34作業(yè)P93-94A組5.B組１．作業(yè)35歸納推理歸納推理36哥德巴赫猜想世界近代三大數學難題之一1742年，哥德巴赫在教學中發(fā)現，每個不小于6的偶數都是兩個素數（只能被1和它本身整除的數）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。猜想(a)任何一個≥6之偶數，都可以表示成兩個奇質數之和。

(b)任何一個≥9之奇數，都可以表示成三個奇質數之和。有人對33×108以內且大過6之偶數一一進行驗算，哥德巴赫猜想(a)都成立。哥德巴赫猜想世界近代三大數學難題之一1737目前最佳的結果是中國數學家陳景潤于1966年證明的，稱為陳氏定理(Chen‘sTheorem).“任何充份大的偶數都是一個質數與一個自然數之和，而后者僅僅是兩個質數的乘積”,通常都簡稱這個結果為大偶數可表示為“1+2”的形式。1920年，挪威的布朗證明了“9+9”。

1924年，德國的拉特馬赫證明了“7+7”。

1932年，英國的埃斯特曼證明了“6+6”?！?00年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。到了20世紀20年代，才有人開始向它靠近。目前最佳的結果是中國數學家陳景潤于1966年證381637年，法國數學家費馬提出：“將一個立方數分為兩個立方數的和，一個四次冪分為兩個四次冪的和，或者一般地將一個高于二次的冪分為兩個同次的冪的和，這是不可能的.”費馬猜想數論中最著名的世界難題之一

300多年來，這個問題吸引了很多優(yōu)秀數學家，法國科學院曾于1816年和1850年兩次懸賞征解，德國也于1908年懸賞十萬馬克征解。經過三百多年來歷代數學家的不斷努力，劍橋大學懷爾斯終于1995年正式徹底解決這一大難題.1637年，法國數學家費馬提出：“將一個立方數391852年，弗南西斯·格思里搞地圖著色工作時，發(fā)現了一種有趣的現象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色?！笔澜缃髷祵W難題之一四色猜想1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。不少數學家并不滿足于計算機取得的成就，他們還在尋找一種簡捷明快的書面證明方法。1852年，弗南西斯·格思里搞地圖著色工作時，發(fā)現40這種由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）.歸納推理部分整體個別一般不完全歸納推理得到的結論是否正確還有待嚴格的證明,但它可以為我們的研究提供一種方向.歸納法又分為不完全歸納法和完全歸納法.這種由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事41例1.已知數列{an}的第1項a1=1，且（n=1,2,…),試歸納出這個數列的通項公式.分別把n=1,2,3,4代入得:歸納:可用數學歸納法證明這個猜想是正確的.取倒數得：解法2、構造法例1.已知數列{an}的第1項a1=1，且分別把n=1,42例2.如圖,在圓內畫一條線段,將圓分成兩部分;畫兩條線段,彼此最多分割成4條線段,同時將圓分割成4部分;畫三條線段,彼此最多分割成9條線段,同時將圓分割成7部分.那么(1)在圓內畫四條線段,彼此最多分割成

條線段?同時將圓分割成

部分?例2.如圖,在圓內畫一條線段,將圓分成兩部分;畫兩條線段,彼43(2)猜想:圓內兩兩相交的n(n≥2)條線段,彼此最多分割成

條線段?同時將圓分割成

部分?………累加得:(2)猜想:圓內兩兩相交的n(n≥2)條線段,彼此最多分割成44例3.有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.1.每次只能移動一個金屬片;2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.試推測:把n個金屬片從1號針移到3號針,最少需要移動多少次?例3.有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則,把金屬45n=1時,n=1時,46n=2時,n=1時,n=2時,n=1時,47n=3時,n=2時,n=1時,n=3時,n=2時,n=1時,48n=2時,n=1時,n=3時,n=2時,n=1時,n=3時,49n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,50n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,歸納:n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,歸納:51例、數列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1

，求通項公式an.an+1+1=2（an+1）數列{an+1}是首項為2公比為2的等比數列構造法例、數列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，52(2004春季上海)根據圖中5個圖形及相應點的個數的變化規(guī)律,試猜測第n個圖形中有

個點.(1)(2)(3)(4)(5)練習(2004春季上海)根據圖中5個圖形及相應點的個數的變化規(guī)律53(2005年廣東)設平面內有n條直線(n≥3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點.若用f(n)表示這n條直線交點的個數,則f(4)=

,當n>4時,f(n)=

.(用n表示)累加得:(2005年廣東)設平面內有n條直線(n≥3),其中有且僅有54(2001年上海)已知兩個圓①x2+y2=1:與②x2+(y-3)2=1,則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到一個更一般的命題,而已知命題應成為所推廣命題的一個特例,推廣的命題為：設圓的方程為①(x-a)2+(y-b)2=r2與②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或b≠d),則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.(2001年上海)已知兩個圓①x2+y2=1:與②x2+(y55小結2.歸納推理的一般步驟:(1)通過觀察個別情況發(fā)現某些相同性質;(2)從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題(猜想).1.什么是歸納推理（簡稱歸納）?部分整體個別一般小結2.歸納推理的一般步驟:(1)通過觀察個別情況發(fā)現某些相56練習1.已知數列{an}的前n項和Sn,且計算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表達式.猜想:計算得:練習1.已知數列{an}的前n項和Sn,57復習2.歸納推理的一般步驟:(1)通過觀察個別情況發(fā)現某些相同性質;(2)從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題(猜想).1.什么是歸納推理?部分整體特殊一般復習2.歸納推理的一般步驟:(1)通過觀察個別情況發(fā)現某些相581.工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒,發(fā)明了鋸2.仿照魚類的外型和它們在水中沉浮的原理,發(fā)明了潛水艇.3.科學家對火星進行研究,發(fā)現火星與地球有許多類似的特征:1)火星也繞太陽運行、饒軸自轉的行星;2)有大氣層,在一年中也有季節(jié)變更;3)火星上大部分時間的溫度適合地球上某些已知生物的生存,等等.科學家猜想;火星上也可能有生命存在.4.利用平面向量的基本定理類比得到空間向量的基本定理.1.工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒,發(fā)明了鋸2.仿照魚類59由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理.(簡稱:類比)類比推理的幾個特點1.類比是從人們已經掌握了的事物的屬性,推測正在研究的事物的屬性,是以舊有的認識為基礎,類比出新的結果.2.類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性.3.類比的結果是猜測性的不一定可靠,但它卻有發(fā)現的功能.類比推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出60圓的概念和性質球的概念和性質與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相等,距圓心較近的弦較長以點(x0,y0)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2圓心與弦(非直徑)中點的連線垂直于弦球心與不過球心的截面(圓面)的圓心的連線垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積不相等,距球心較近的面積較大以點(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2利用圓的性質類比得出球的性質球的體積球的表面積圓的周長圓的面積圓的概念和性質球的概念和性質與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距61平面向量空間向量①②③④⑤⑥若，則

①②③④⑤⑥若，則

⑦⑦利用平面向量的性質類比得空間向量的性質平面向量空間向量①②③④⑤⑥若，62等差數列等比數列定義通項公式前n項和利用等差數列性