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文檔簡介

高等數(shù)學（上）BTS總體方案設(shè)計報告第五章定積分一、問題的提出1）曲邊梯形的面積xyoab第一節(jié)定積分的概念與存在條件

在區(qū)間[a，b]

中任意插入ｎ－１個分點:把區(qū)間[a，b]

分成

n

個小區(qū)間設(shè)任取1)劃分(化整為零)：2)不變代變：不變的高代替變化的高，曲邊梯形轉(zhuǎn)化為矩形。則總曲邊梯形的面積令所以3)求和(集零為整)

：4)取極限：精確化：2）變速直線運動的路程設(shè)變速直線運動速度，,求.

分析思想：把整段時間分割成若干小段，每小段上看作勻速，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值.其中1)劃分：2)不變代變：3)求和：4)取極限：3）變力所作的功一個物體在變力F=F(x)的作用下,從a運動到b,力的方向與物體的運動方向一致,求變力所作的功?其中4）非均勻分布的細棒的質(zhì)量設(shè)細棒上各點的線密度為ρ=ρ(x),求細棒的質(zhì)量.不變代變：常力代替變力。不變代變：均勻代替非均勻。二、定積分定義設(shè)在上有定義

在區(qū)間中任意插入n－1

個分點:將分成個小區(qū)間第ｉ個小區(qū)間的長度為．1)劃分：

在每個區(qū)間內(nèi)任取一點，作乘積3)求和：積分上限積分下限都存在，則稱此極限為在取上的定積分，記作如果無論［ａ，ｂ］怎樣劃分及點怎樣選取，積分區(qū)間被積函數(shù)積分變量積分和2)不變代變：4)取極限：由此可知注(1)定義中區(qū)間的劃分與的選取是任意的.(2)定積分的值只與被積函數(shù)f(x)、積分區(qū)間[a,b]有關(guān),而與積分變量x無關(guān)，即x改為其它字母其積分值不變.表示為：三、定積分的幾何意義當時曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值當時如規(guī)定在x軸的上方面積為正,下方為負,

則為介于a與b之間曲邊梯形如面積的代數(shù)和四、定積分存在的條件

定理1(可積的必要條件)函數(shù)f

在[a,b]上可積的必要條件是f

在[a,b]上有界.例如[0,1]上不可積.注定理1的逆不成立.如Dirichlet函數(shù).定理2若f∈C[a,b],則f在[a,b]上可積.(證略)定理4定理3例1

設(shè)例2

利用定義計算定積分.解由于f(x)=x2

在[0,1]上連續(xù),因此可積.

所以取如下劃分:則因為所以，故有所以由上例得出積分號上限下限例3將下列和式極限表示成定積分：(1)(2)用和式極限表示定積分：算術(shù)平均值定義設(shè)f∈C

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