塑性力學(xué)(第一章)課件

塑性力學(xué)

塑性力學(xué)1第一章簡單應(yīng)力狀態(tài)下的

彈塑性力學(xué)問題

§1.1引言§1.2材料在簡單拉壓時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果§1.3應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系簡化模型§1.4軸向拉伸時(shí)的塑性失穩(wěn)§1.5簡單桁架的彈塑性分析§1.6強(qiáng)化效應(yīng)的影響§1.7幾何非線性的影響§1.8彈性極限曲線§1.9加載路徑的影響§1.10極限載荷曲線（面）§1.11安定問題第一章簡單應(yīng)力狀態(tài)下的

彈塑性力學(xué)問題2§1.1引言

一、變形彈性變形：物質(zhì)微元的應(yīng)力和應(yīng)變之間具有單一的對應(yīng)關(guān)系

非彈性變形：應(yīng)力和應(yīng)變之間不具有單一的對應(yīng)關(guān)系非彈性變形塑性變形粘性變形（是指物體在除去外力后所殘留下的永久變形）（隨時(shí)間而改變，如蠕變、應(yīng)力松弛等）§1.1引言

一、變形彈性變形：物質(zhì)微元的應(yīng)力和應(yīng)變之間3二、塑性與脆性如果變形很小就破壞，便稱是脆性如果經(jīng)受了很大的變形才破壞，材料具有較好的韌性或延性，這時(shí)材料的塑性變形能力較強(qiáng)，便稱是塑性。在這種情況下，物體從開始出現(xiàn)永久變形到最終破壞之間仍具有承載能力?！捎脧椥岳碚摲治觥捎盟苄粤W(xué)分析二、塑性與脆性如果變形很小就破壞，便稱是脆性如果經(jīng)受了很大的4研究在哪些條件下可以允許結(jié)構(gòu)中某些部位的應(yīng)力超過彈性極限的范圍，以充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度潛力研究物體在不可避免地產(chǎn)生某些塑性變形后，對承載能力和（或）抵抗變形能力的影響研究好何利用材料的塑性性質(zhì)以達(dá)到加工成形的目的三、塑性力學(xué)目的研究在哪些條件下可以允許結(jié)構(gòu)中某些部位的應(yīng)力超過彈性極限的范5

塑性力學(xué)是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一個(gè)分支，故研究時(shí)仍采用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的假設(shè)和基本方法。

四、塑性力學(xué)的方法基本方程:①幾何關(guān)系②守恒定律③本構(gòu)方程塑性力學(xué)是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一個(gè)分支，故研究時(shí)仍采用連續(xù)介質(zhì)6§1.2材料在簡單拉壓時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

材料：金屬多晶材料受力：單向拉伸或壓縮實(shí)驗(yàn)(名義)應(yīng)力：σ=P/A0(名義)應(yīng)變：ε=（ι-ι0）/ι0

一、實(shí)驗(yàn)描述§1.2材料在簡單拉壓時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

一、實(shí)驗(yàn)描述7二、實(shí)驗(yàn)曲線二、實(shí)驗(yàn)曲線8線彈性階段非線性彈性階段屈服階段強(qiáng)化階段頸縮階段實(shí)驗(yàn)曲線加載過程實(shí)驗(yàn)曲線卸載過程彈性階段：卸載沿原路返回塑性階段：卸載沿直線返回，斜率與彈性階段相同線彈性階段實(shí)驗(yàn)曲線加載過程實(shí)驗(yàn)曲線卸載過程彈性階段9應(yīng)變強(qiáng)化：三、兩種現(xiàn)象包氏效應(yīng)：實(shí)驗(yàn)曲線反向加載：單晶體，其壓縮時(shí)的屈服應(yīng)力也有相似的提高(圖2（a）中的M′′點(diǎn))多晶體，其壓縮屈服應(yīng)力（M′點(diǎn)）一般要低于一開始就反向加載時(shí)的屈服應(yīng)力（A′點(diǎn)）。這種由于拉伸時(shí)強(qiáng)化影響到壓縮時(shí)弱化的現(xiàn)象稱為包氏效應(yīng)（Bauschingereffect）。材料經(jīng)過塑性變形得到強(qiáng)化圖2（a）應(yīng)變強(qiáng)化：三、兩種現(xiàn)象包氏效應(yīng)：實(shí)驗(yàn)曲線反向加載：單晶體，其101、在材料的彈塑性變形過程中，應(yīng)力與應(yīng)變之間已不再具有單一的對應(yīng)關(guān)系。四、實(shí)驗(yàn)總結(jié)加載路徑——σ與ε之間的關(guān)系依賴于加載路徑內(nèi)變量——宏觀參量，用來刻畫加載歷史例如，作為最簡單的近似，可以取內(nèi)變量ξ為塑性應(yīng)變εp，而將簡單受拉（壓）時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系寫為ε=σ/E+εp（1）——其中E為楊氏模量上式表明，當(dāng)εP（內(nèi)變量）一定時(shí)，σ與ε之間有單一的對應(yīng)關(guān)系。1、在材料的彈塑性變形過程中，應(yīng)力與應(yīng)變之間已不再具112.σ與ε之間的線性關(guān)系ε=σ/E+εp（1）式是有適用范圍的。對于固定的內(nèi)變量εP，σ或ε并不能隨意取值。例如，對處于圖2（a）中的M點(diǎn)，當(dāng)加載時(shí)即應(yīng)力（或應(yīng)變）繼續(xù)增長時(shí)，應(yīng)力應(yīng)變曲線將沿AMM1方向延伸，公當(dāng)卸載時(shí)即應(yīng)力（或應(yīng)變）減小時(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線才以（1）式的規(guī)律沿MN向下降。為了區(qū)分以上這種加載和卸載所具有的不同規(guī)律，就必須給出相應(yīng)的加卸載準(zhǔn)則。圖2（a）2.σ與ε之間的線性關(guān)系ε=σ/E+εp（12五、影響材料性質(zhì)的其它幾個(gè)因素1、溫度

當(dāng)溫度上升時(shí)，材料的屈服應(yīng)力將會(huì)降低而塑性變形的能力則有所提高。3．靜水壓力

當(dāng)靜水壓力不太大時(shí)，材料體積的變化服從彈性規(guī)律而不產(chǎn)生永久的塑性體積改變。2、應(yīng)變速率

如果實(shí)驗(yàn)時(shí)將加載速度提高幾個(gè)數(shù)量級，則屈服應(yīng)力也會(huì)相應(yīng)地提高，但材料的塑性應(yīng)變形能力會(huì)有所下降。當(dāng)材料有較大的塑性變形時(shí)（彈性變形相對地很小），可近似地認(rèn)為體積是不可壓的。靜水壓力對屈服應(yīng)力的影響也是不大的。

五、影響材料性質(zhì)的其它幾個(gè)因素1、溫度當(dāng)溫度上升時(shí)，材料13§1.3應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系關(guān)系的簡化模型

類似地，上式也可用應(yīng)變表示為：1．理想彈塑性模型適用：強(qiáng)化率較低的材料，在應(yīng)變不太大時(shí)可忽略強(qiáng)化效應(yīng)§1.3應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系關(guān)系的簡化模型

142．線性強(qiáng)化彈塑性模型類似地，上式也可用應(yīng)變表示為：適用：材料的強(qiáng)化率較高且在一定范圍內(nèi)變化不大（假定拉伸和壓縮時(shí)屈服應(yīng)力的絕對值和強(qiáng)化模量都相同）2．線性強(qiáng)化彈塑性模型類似地，上式也可用應(yīng)變表示為：適用：材15——表示圖5（a）中的線段比

3．一般加載規(guī)律對于一般的單向拉伸曲線，在不卸載時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：——表示圖5（a）中的線段比3．一般加載規(guī)16注：這種模型在=0處的斜率為無窮大，近似性較差，但在數(shù)學(xué)上比較容易處理。

（8）4．冪次強(qiáng)化模型（其中B>0，0<m<1）注：這種模型在=0處的斜率為無窮大，近似性較差，但在數(shù)17其加載規(guī)律可寫為：

（9）如取就有說明：這對應(yīng)于割線余率為0.7E的應(yīng)力和應(yīng)變，上式中有三個(gè)參數(shù)可用來刻畫實(shí)際材料的拉伸特性，而在數(shù)學(xué)表達(dá)式上也較為簡單。5．Ramberg-Osgood模型其加載規(guī)律可寫為：如取就有說明：18等向強(qiáng)化模型6.等向強(qiáng)化模型及隨動(dòng)強(qiáng)化模型例如：可取適用：拉伸時(shí)的屈服應(yīng)力和壓縮時(shí)的屈服應(yīng)力始終是相等的。——是刻畫塑性變形歷史的參數(shù)圖2（a）或該模型不論拉伸還是壓縮都使屈服應(yīng)力提高，對應(yīng)圖2（a）中的和。等向強(qiáng)化模型6.等向強(qiáng)化模型及隨動(dòng)強(qiáng)化模型例如：可取適用：19隨動(dòng)強(qiáng)化模型上式在線性強(qiáng)化情形下也可寫為（是塑性應(yīng)變的單調(diào)遞增函數(shù)）適用：考慮包氏效應(yīng)，認(rèn)為拉伸屈服應(yīng)力和壓縮屈服應(yīng)力的代數(shù)值之差，即彈性響應(yīng)的范圍始終是不變的。是一個(gè)常數(shù)（）圖2（a）該模型對應(yīng)圖2（a）中的和。隨動(dòng)強(qiáng)化模型（是塑性應(yīng)變的單調(diào)遞20§1.4軸向拉伸時(shí)的塑性失穩(wěn)

一、拉伸失穩(wěn)的概念1、拉伸失穩(wěn)：注意：拉伸試件在出現(xiàn)頸縮后，試件局部區(qū)域的截面積會(huì)有明顯減少，再用名義應(yīng)力和應(yīng)變來描述此時(shí)的材料特性是不適當(dāng)?shù)模ㄒ妶D2）在最高點(diǎn)以后，增加應(yīng)變時(shí)應(yīng)力反而下降，在通常意義下稱試件是不穩(wěn)定的。圖2（a）§1.4軸向拉伸時(shí)的塑性失穩(wěn)

一、拉伸失穩(wěn)的概念1、拉伸212、真應(yīng)力3、對數(shù)應(yīng)變4、截面積收縮比q=（A0-A）/A02、真應(yīng)力3、對數(shù)應(yīng)變4、截面積收縮比q=（A0-A）/A022假定材料是不可壓縮的：A0l0=Al，并認(rèn)為名義應(yīng)力達(dá)到最高點(diǎn)C時(shí)出現(xiàn)頸縮：

二、真應(yīng)力則在頸縮時(shí)真應(yīng)力應(yīng)滿足條件拉伸失穩(wěn)分界點(diǎn)的斜率正好和該點(diǎn)的縱坐標(biāo)值相等。

由結(jié)論：[1]假定材料是不可壓縮的：A0l0=Al，并認(rèn)為名義應(yīng)力二、23注意到頸縮時(shí)的條件也可寫為：即拉伸失穩(wěn)點(diǎn)的斜率為其縱坐標(biāo)值除以結(jié)論：[2]注意到頸縮時(shí)的條件也可寫為：即拉伸失穩(wěn)點(diǎn)的斜率為其24[3]以截面積收縮比q為自變量則由頸縮時(shí)的條件拉伸失穩(wěn)時(shí)真應(yīng)力所滿足的條件:[3]以截面積收縮比q為自變量則由頸縮時(shí)的條件拉伸失穩(wěn)時(shí)真應(yīng)25隨著材料的變形，微裂紋和（或）孔洞的生成及匯合也將會(huì)造成材料的弱化而導(dǎo)致失穩(wěn)。稱之為應(yīng)變?nèi)趸?。三、材料本身的失穩(wěn)現(xiàn)象例如，在低碳鋼拉伸實(shí)驗(yàn)中由上屈服應(yīng)力突然下降到下屈服應(yīng)力的現(xiàn)象，它與材料變形的內(nèi)部微觀機(jī)制的變化有關(guān)。在許多問題（如拉伸失穩(wěn)等）中，以上兩種現(xiàn)象往往是耦合的

隨著材料的變形，微裂紋和（或）孔洞的生成及匯合也將會(huì)造成材料26§1.5簡單桁架的彈塑性分析

一、問題的提出以圖示的一次靜不定三桿桁架為例進(jìn)行彈塑性分析?！?.5簡單桁架的彈塑性分析一、問題的提出以圖示的一次靜27圖中三根桿的截面積均為A，中間第二桿的桿長為，它與相鄰的第一桿和第三桿的夾角均為θ=450，在其交匯點(diǎn)O處作用水平力Q和垂直向下的力P，O點(diǎn)將產(chǎn)生水平位移和垂直位移。二、問題的解答已知：解：如定義第根桿的名義應(yīng)力為,名義應(yīng)變?yōu)?則有如下平衡方程圖中三根桿的截面積均為A，中間第二桿的桿長為，二、問題的28和幾何關(guān)系和協(xié)調(diào)條件為了得到問題的解，還必須補(bǔ)充本構(gòu)方程。我們假定材料是理想彈塑性。和幾何關(guān)系和協(xié)調(diào)條件為了得到問題的解，還必須補(bǔ)充本構(gòu)方程。29(1)Q=0時(shí)的彈性解和彈塑性解由彈性解:由1、應(yīng)力(1)Q=0時(shí)的彈性解和彈塑性解由彈性解:由1、應(yīng)力30

為屈服應(yīng)力————為垂直方向上的彈性極限載荷為屈服應(yīng)力————為垂直方向上的彈性極限載荷312、位移（14）（17）由（14）、（17）和（18），得——垂直向下位移2、位移（14）（17）由（14）、（17）和（18），得—32載荷-位移曲線則當(dāng)P由零增至Pe時(shí)，在圖9的坐標(biāo)中為區(qū)間[0，1]上斜率等于1的直線段OA。若令載荷-位移曲線則當(dāng)P由零增至Pe時(shí)，在圖9的坐標(biāo)中為區(qū)間[033彈塑性解:當(dāng)P由零逐漸增大到Pe時(shí)，第2桿的應(yīng)力也逐漸增大而達(dá)到屈服狀態(tài)：如果P的值再繼續(xù)增加，則（17）式已不再適用，相應(yīng)的本構(gòu)方程應(yīng)改寫為由應(yīng)力彈塑性解:當(dāng)P由零逐漸增大到Pe時(shí)，第2桿的應(yīng)力也逐漸增大而34應(yīng)變說明：（1）這時(shí)的第2桿雖然已經(jīng)屈服而失去了進(jìn)一步的承載能力，但由于它還受到第1桿和第3桿彈性變形的制約，其塑性變形不能任意增和，這種狀態(tài)稱為約束塑性變形。（2）直到P值逐漸增大到使時(shí)，三根桿將全部進(jìn)入屈服階段，變形已不再受任何約束，結(jié)構(gòu)才完全喪失進(jìn)一步的承載能力。這時(shí)的載荷P為——稱為塑性極限載荷應(yīng)變說明：（2）直到P值逐漸增大到使35由和位移當(dāng)P=PS時(shí)，或注：（24）式對應(yīng)于圖9中在區(qū)間[1，2]上斜率為的直線段AB當(dāng)考慮塑性變形時(shí)，結(jié)構(gòu)的變形要比純彈性變形為大，但仍屬同一數(shù)量級，而相應(yīng)的承載能力將會(huì)有相當(dāng)?shù)奶岣?。結(jié)論由和位移當(dāng)P=PS時(shí)，或注：（24）式對應(yīng)于圖9中在區(qū)間[136

(2)卸載現(xiàn)將P的值加載到處于Pe<P<Ps范圍內(nèi)的某一值P*，然后再卸載使P的改變量△P<0。由于卸載服從彈性規(guī)律，利用（18）式的增量形式，可知應(yīng)力和應(yīng)變的改變量分別為卸載時(shí)的載荷-位移曲線（見圖9）與初始彈性加載時(shí)的曲線有相同的斜率。

卸載規(guī)律:(2)卸載現(xiàn)將P的值加載到處于Pe<P<Ps范圍37

應(yīng)力和應(yīng)變:最終的應(yīng)力和應(yīng)變值可由（21）、（25）和（22）、（26）下式的疊加求得：應(yīng)力和應(yīng)變:最終的應(yīng)力和應(yīng)變值可由（21）、（238特別地，當(dāng)載荷P值全部卸除后，由△P=-P*，便得到桿中的殘余應(yīng)力和殘余應(yīng)變（見圖10）為：殘余應(yīng)力和殘余應(yīng)變:其中節(jié)點(diǎn)O的殘余位移為：特別地，當(dāng)載荷P值全部卸除后，由△P=-P*，便得到桿中的殘39實(shí)際上，第1桿和第3桿其變形規(guī)律始終是彈性的，如果卸去載荷并解除三桿之間約束的話，第1桿和第3桿中的彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變都等于零，而第2桿則有塑性應(yīng)變。故在原有的約束下，就必然地引起內(nèi)應(yīng)力而使這三根桿件的殘余應(yīng)變不等于零。說明：1、殘余應(yīng)力應(yīng)該滿足與零外載相對應(yīng)的平衡方程。2、殘余應(yīng)變由（1）式可分為彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變兩部分之和：3、在超靜定結(jié)構(gòu)中殘余應(yīng)變一般并不等于塑性應(yīng)變。說明：1、殘余應(yīng)力應(yīng)該滿足與零外載相對應(yīng)的平衡方程。2、殘余40§1.6強(qiáng)化效應(yīng)的影響本節(jié)仍討論Q=0的情形，現(xiàn)假定材料是線性強(qiáng)化的。不卸載時(shí)其拉伸曲線可寫為（1）當(dāng)P時(shí)，桿中的應(yīng)力值仍由（18）式表示§1.6強(qiáng)化效應(yīng)的影響本節(jié)仍討論Q=0的情形，現(xiàn)假定材料是41（2）當(dāng)P>Pe時(shí)，有將上式與（15）式和（16）式聯(lián)立，可解得（2）當(dāng)P>Pe時(shí)，有將上式與（15）式和（16）式聯(lián)立，可42（3）當(dāng)P增至使時(shí)，第1桿和第3桿也開始屈服。此時(shí)的載荷值為1、如取E‘/E=1/10，則P1=1.04Ps。與理想彈塑性材料相比，相應(yīng)的載荷值并沒有很大的增加。這說明采用理想彈塑性模型可得到較好的近似，而計(jì)算卻有相當(dāng)?shù)暮喕?/p>

說明：2、當(dāng)P小于P1時(shí)，結(jié)構(gòu)的變形仍屬于彈性變形的量級，而當(dāng)P超過P1后繼續(xù)增加時(shí)，由于強(qiáng)化效應(yīng)，結(jié)構(gòu)并不會(huì)進(jìn)入塑性流動(dòng)狀態(tài)，但這時(shí)的變形將會(huì)有較快的增長。（3）當(dāng)P增至使時(shí)，第1桿和第3桿也開始43§1.7幾何非線性的影響一、問題的提出求解基本方程：——是在小變形的假設(shè)下建立的§1.7幾何非線性的影響一、問題的提出求解基本方程：——是44當(dāng)桿件的塑性變形很大時(shí)，結(jié)構(gòu)幾何尺寸的改變將會(huì)產(chǎn)生顯著的影響。這時(shí)應(yīng)采用真應(yīng)力和對數(shù)應(yīng)變來進(jìn)行討論。二、問題的解答仍考慮Q=0的情形，假定材料是剛塑性線性強(qiáng)化的：而且滿足不可壓條件：令則由幾何分析于是當(dāng)桿件的塑性變形很大時(shí)，結(jié)構(gòu)幾何尺寸的改變將會(huì)產(chǎn)生顯著的影響45在變形后的結(jié)構(gòu)上建立的平衡方程為：其中——為變形后第2桿與第1桿（和第3桿）之間的夾角可見（33）式中有三個(gè)未知量在不卸載的情況下，由本構(gòu)方程：得到與之間的非線性關(guān)系在變形后的結(jié)構(gòu)上建立的平衡方程為：其中——為變形后第2桿與第46結(jié)論：隨著的增長，的值將會(huì)由于強(qiáng)化效應(yīng)和角的減小而提高，但也會(huì)隨著桿件截面積的收縮而下降。故當(dāng)很大時(shí)，結(jié)構(gòu)將可能變成不穩(wěn)定的。結(jié)論：隨著的增長，的值將會(huì)由于強(qiáng)化效應(yīng)和47§1.8彈性極限曲線本節(jié)我們將考慮前述桁架同時(shí)受垂直載荷P和水平載荷Q作用的情形。如果桁架中的三根桿件都處于彈性階段，則由（13）(14）15）和（17）各式，平衡方程幾何方程協(xié)調(diào)條件本構(gòu)方程§1.8彈性極限曲線本節(jié)我們將考慮前述桁架同時(shí)受垂直載荷P48其中，表示只作用水平力時(shí)的彈性極限載荷。可求得桿中應(yīng)力為其中，表示只作用水平力時(shí)的49（35）式成立的條件為這相當(dāng)于對P和Q的限制條件：上式對應(yīng)于圖12中實(shí)線六邊形區(qū)域，其中等號則對應(yīng)于該六邊形的邊界，稱為彈性極限曲線，表示至少有一根桿件已達(dá)到屈服狀態(tài)。（35）式成立的條件為這相當(dāng)于對P和Q的限制條件：上式對應(yīng)于50如果作用于結(jié)構(gòu)上的載荷先是超出了彈性極限曲線，然后又完全卸回到零，那么結(jié)構(gòu)中將存在殘余應(yīng)力。由于殘余應(yīng)力與零外載相平衡，故可寫成（27）式的形式：其中是一個(gè)可以變化的參數(shù)，其值可由（28）式來表示。在存在殘余應(yīng)力的情況下，如果再重新對結(jié)構(gòu)施加載荷而未能再次屈服，那么結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力值就應(yīng)該是以上的殘余應(yīng)力與（35）式的疊加。如果作用于結(jié)構(gòu)上的載荷先是超出了彈性極限曲線，然后由于殘余應(yīng)51不產(chǎn)生新的塑性變形的限制條件：其中值滿足（37）式對應(yīng)于圖12中虛線所構(gòu)成的六邊形區(qū)域。說明：可見在加載方向一側(cè)屈服載荷有所提高而與加載方向相反的一側(cè)屈服載荷有所降低。可用來對應(yīng)變硬化和包氏效應(yīng)等現(xiàn)象做一個(gè)比較形象的解釋。不產(chǎn)生新的塑性變形的限制條件：其中值滿足（37）式對應(yīng)52§1.9加載路徑的影響塑性力學(xué)的特點(diǎn)之一就是解對加載路徑的依賴性。[例]計(jì)算上述的理想彈塑性三桿桁架在不同加載路徑下O點(diǎn)的最終水平位移和垂直位移。第一種路徑（圖13（a)中的路徑1）當(dāng)時(shí)第一種路徑：（Q，P）先由（0，0）線性地變化為（0，PS），再在垂直位移保持不變的條件下增加Q使達(dá)到Qe§1.9加載路徑的影響塑性力學(xué)的特點(diǎn)之一就是解對加載路徑53如保持δy=2δe不變而施加水平方向的載荷Q，使點(diǎn)O有一個(gè)水平方向的位移增量，則由幾何關(guān)系（14）式：可知第1桿和第2桿并未卸載而第3桿以彈性規(guī)律卸載于是，由（13）式可求得載荷增量為：即Q與P之間的變化規(guī)律是線性的如保持δy=2δe不變而施加水平方向的載荷Q，使點(diǎn)可知第1桿54當(dāng)?shù)?桿卸載到σ3=-σs時(shí)由△σ3=-2σs得此時(shí)三桿同時(shí)屈服，即結(jié)構(gòu)再次進(jìn)入塑性流動(dòng)狀態(tài)。三桿的應(yīng)力為：水平位移δx可由（38）式求得，垂直位移δy始終不變。因此：當(dāng)?shù)?桿卸載到σ3=-σs時(shí)由△σ3=-2σs得此時(shí)三桿同時(shí)55第二種路徑：（Q，P）由（0，0）作單調(diào)的比例如載而達(dá)到（）第二種路徑（圖13（a）中的路徑②）由于加載時(shí)始終有關(guān)系式，故將其代入（35）式可得初始彈性階段的解為：第二種路徑：（Q，P）由（0，0）作第二種路徑（圖13（a）56，——表明隨著P的增長，第1桿最先達(dá)到屈服。當(dāng)各桿的應(yīng)力此時(shí)O點(diǎn)的位移值為，——表明隨著P的增長，第1桿最先達(dá)到屈服。當(dāng)各桿的應(yīng)力此時(shí)57

如繼續(xù)加載，則第1桿進(jìn)入屈服階段，即由和（13）式的增量形式——表明第2桿繼續(xù)受拉，第3桿繼續(xù)受壓。各桿的應(yīng)力由（41）式和（43）式計(jì)算當(dāng)三桿同時(shí)進(jìn)入塑性狀態(tài)，即如繼續(xù)加載，則第1桿進(jìn)入屈服階段，即由和（13）式的增量58

利用（43）式和（14）式的增量形式便可求出對應(yīng)于時(shí)的位移增量：最終位移則是上式和（42）式的疊加：結(jié)論：可知在兩種加載路徑下雖然可得到相同的應(yīng)力值，但各桿的應(yīng)變和O點(diǎn)最終位移值卻是不同的。利用（43）式和（14）式的增量形式便可求出對59§1.10極限載荷曲線（面）一、概念兩個(gè)不等式同時(shí)取等號時(shí)，（P，Q）的值將處于虛線六邊形的頂點(diǎn)。1、塑性極限載荷此時(shí)結(jié)構(gòu)變?yōu)橐粋€(gè)能產(chǎn)生塑性流動(dòng)的機(jī)構(gòu)而喪失了進(jìn)一步承載的能力。相應(yīng)的載荷就是塑性極限載荷?！?.10極限載荷曲線（面）一、概念兩個(gè)不等式同時(shí)取等號時(shí)，602、極限載荷曲線隨著γ*的改變，這個(gè)極限載荷在（Q，P）平面上的軌跡將形成一條曲線，稱為極限載荷曲線（在多維載荷空間中則稱為極限載荷曲面）。特點(diǎn)：與彈性極限曲線不同，極限載荷曲線是結(jié)構(gòu)的固有屬性，它不依賴于加載歷史。作法：1、求得（Q，P）平面在第一象限內(nèi)的極限載荷曲線；2、根據(jù)Q和P的四種組合和拉、壓屈服應(yīng)力相等的假設(shè)，由對稱性條件來獲得整個(gè)平面上的餓極限載荷曲線。2、極限載荷曲線隨著γ*的改變，這個(gè)極限載荷在（Q，P）平面61（Q，P）平面在第一象限內(nèi)的極限載荷曲線可由以下方法求得：設(shè)加載是按比例增至極限載荷的很大時(shí)，第1桿和第2桿先達(dá)到拉伸屈服故由（13）式得其中這對應(yīng)于圖a中的線段FG。1、（Q，P）平面在第一象限內(nèi)的極限載荷曲線可由以下方法求得：設(shè)622、當(dāng)很小時(shí)，第1桿達(dá)到拉伸屈服而第3桿達(dá)到壓縮屈服：故由（13）式得其中這對應(yīng)于圖a中的線段GH——此時(shí)三桿同時(shí)進(jìn)入屈服狀態(tài)2、當(dāng)很小時(shí)，第1桿達(dá)到拉伸屈服而第3桿達(dá)到壓縮屈服：故63二、極限載荷曲線的性質(zhì)（1）極限載荷曲線（面）是唯一的，它與加載路徑無關(guān)。（2）極限載荷曲線（面）是外凸的。（3）在極限載荷曲線（面）上，與外載荷相對應(yīng)的位移增量的方向指向該曲線（面）的外法向。二、極限載荷曲線的性質(zhì)（1）極限載荷曲線（面）是唯一的，它與64§1.11*安定問題安定狀態(tài):

結(jié)構(gòu)始終呈彈性響應(yīng)結(jié)構(gòu)在經(jīng)過有限次塑性變形而達(dá)到一定的殘余應(yīng)力狀態(tài)后，外載荷的繼續(xù)作用將使該結(jié)構(gòu)在此殘余應(yīng)力之上仍然作彈性響應(yīng)不安定：結(jié)構(gòu)中的某些部位總是交替地產(chǎn)生異號的塑性變化，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的塑性循環(huán)（或稱低周疲勞）破壞；結(jié)構(gòu)中的某些部位總要產(chǎn)生同號的塑性變形，經(jīng)過多次重復(fù)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的塑性累積破壞?！?.11*安定問題安定狀態(tài):不安定：65塑性力學(xué)

塑性力學(xué)66第一章簡單應(yīng)力狀態(tài)下的

彈塑性力學(xué)問題

§1.1引言§1.2材料在簡單拉壓時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果§1.3應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系簡化模型§1.4軸向拉伸時(shí)的塑性失穩(wěn)§1.5簡單桁架的彈塑性分析§1.6強(qiáng)化效應(yīng)的影響§1.7幾何非線性的影響§1.8彈性極限曲線§1.9加載路徑的影響§1.10極限載荷曲線（面）§1.11安定問題第一章簡單應(yīng)力狀態(tài)下的

彈塑性力學(xué)問題67§1.1引言

一、變形彈性變形：物質(zhì)微元的應(yīng)力和應(yīng)變之間具有單一的對應(yīng)關(guān)系

非彈性變形：應(yīng)力和應(yīng)變之間不具有單一的對應(yīng)關(guān)系非彈性變形塑性變形粘性變形（是指物體在除去外力后所殘留下的永久變形）（隨時(shí)間而改變，如蠕變、應(yīng)力松弛等）§1.1引言

一、變形彈性變形：物質(zhì)微元的應(yīng)力和應(yīng)變之間68二、塑性與脆性如果變形很小就破壞，便稱是脆性如果經(jīng)受了很大的變形才破壞，材料具有較好的韌性或延性，這時(shí)材料的塑性變形能力較強(qiáng)，便稱是塑性。在這種情況下，物體從開始出現(xiàn)永久變形到最終破壞之間仍具有承載能力?！捎脧椥岳碚摲治觥捎盟苄粤W(xué)分析二、塑性與脆性如果變形很小就破壞，便稱是脆性如果經(jīng)受了很大的69研究在哪些條件下可以允許結(jié)構(gòu)中某些部位的應(yīng)力超過彈性極限的范圍，以充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度潛力研究物體在不可避免地產(chǎn)生某些塑性變形后，對承載能力和（或）抵抗變形能力的影響研究好何利用材料的塑性性質(zhì)以達(dá)到加工成形的目的三、塑性力學(xué)目的研究在哪些條件下可以允許結(jié)構(gòu)中某些部位的應(yīng)力超過彈性極限的范70

塑性力學(xué)是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一個(gè)分支，故研究時(shí)仍采用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的假設(shè)和基本方法。

四、塑性力學(xué)的方法基本方程:①幾何關(guān)系②守恒定律③本構(gòu)方程塑性力學(xué)是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一個(gè)分支，故研究時(shí)仍采用連續(xù)介質(zhì)71§1.2材料在簡單拉壓時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

材料：金屬多晶材料受力：單向拉伸或壓縮實(shí)驗(yàn)(名義)應(yīng)力：σ=P/A0(名義)應(yīng)變：ε=（ι-ι0）/ι0

一、實(shí)驗(yàn)描述§1.2材料在簡單拉壓時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

一、實(shí)驗(yàn)描述72二、實(shí)驗(yàn)曲線二、實(shí)驗(yàn)曲線73線彈性階段非線性彈性階段屈服階段強(qiáng)化階段頸縮階段實(shí)驗(yàn)曲線加載過程實(shí)驗(yàn)曲線卸載過程彈性階段：卸載沿原路返回塑性階段：卸載沿直線返回，斜率與彈性階段相同線彈性階段實(shí)驗(yàn)曲線加載過程實(shí)驗(yàn)曲線卸載過程彈性階段74應(yīng)變強(qiáng)化：三、兩種現(xiàn)象包氏效應(yīng)：實(shí)驗(yàn)曲線反向加載：單晶體，其壓縮時(shí)的屈服應(yīng)力也有相似的提高(圖2（a）中的M′′點(diǎn))多晶體，其壓縮屈服應(yīng)力（M′點(diǎn)）一般要低于一開始就反向加載時(shí)的屈服應(yīng)力（A′點(diǎn)）。這種由于拉伸時(shí)強(qiáng)化影響到壓縮時(shí)弱化的現(xiàn)象稱為包氏效應(yīng)（Bauschingereffect）。材料經(jīng)過塑性變形得到強(qiáng)化圖2（a）應(yīng)變強(qiáng)化：三、兩種現(xiàn)象包氏效應(yīng)：實(shí)驗(yàn)曲線反向加載：單晶體，其751、在材料的彈塑性變形過程中，應(yīng)力與應(yīng)變之間已不再具有單一的對應(yīng)關(guān)系。四、實(shí)驗(yàn)總結(jié)加載路徑——σ與ε之間的關(guān)系依賴于加載路徑內(nèi)變量——宏觀參量，用來刻畫加載歷史例如，作為最簡單的近似，可以取內(nèi)變量ξ為塑性應(yīng)變εp，而將簡單受拉（壓）時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系寫為ε=σ/E+εp（1）——其中E為楊氏模量上式表明，當(dāng)εP（內(nèi)變量）一定時(shí)，σ與ε之間有單一的對應(yīng)關(guān)系。1、在材料的彈塑性變形過程中，應(yīng)力與應(yīng)變之間已不再具762.σ與ε之間的線性關(guān)系ε=σ/E+εp（1）式是有適用范圍的。對于固定的內(nèi)變量εP，σ或ε并不能隨意取值。例如，對處于圖2（a）中的M點(diǎn)，當(dāng)加載時(shí)即應(yīng)力（或應(yīng)變）繼續(xù)增長時(shí)，應(yīng)力應(yīng)變曲線將沿AMM1方向延伸，公當(dāng)卸載時(shí)即應(yīng)力（或應(yīng)變）減小時(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線才以（1）式的規(guī)律沿MN向下降。為了區(qū)分以上這種加載和卸載所具有的不同規(guī)律，就必須給出相應(yīng)的加卸載準(zhǔn)則。圖2（a）2.σ與ε之間的線性關(guān)系ε=σ/E+εp（77五、影響材料性質(zhì)的其它幾個(gè)因素1、溫度

當(dāng)溫度上升時(shí)，材料的屈服應(yīng)力將會(huì)降低而塑性變形的能力則有所提高。3．靜水壓力

當(dāng)靜水壓力不太大時(shí)，材料體積的變化服從彈性規(guī)律而不產(chǎn)生永久的塑性體積改變。2、應(yīng)變速率

如果實(shí)驗(yàn)時(shí)將加載速度提高幾個(gè)數(shù)量級，則屈服應(yīng)力也會(huì)相應(yīng)地提高，但材料的塑性應(yīng)變形能力會(huì)有所下降。當(dāng)材料有較大的塑性變形時(shí)（彈性變形相對地很小），可近似地認(rèn)為體積是不可壓的。靜水壓力對屈服應(yīng)力的影響也是不大的。

五、影響材料性質(zhì)的其它幾個(gè)因素1、溫度當(dāng)溫度上升時(shí)，材料78§1.3應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系關(guān)系的簡化模型

類似地，上式也可用應(yīng)變表示為：1．理想彈塑性模型適用：強(qiáng)化率較低的材料，在應(yīng)變不太大時(shí)可忽略強(qiáng)化效應(yīng)§1.3應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系關(guān)系的簡化模型

792．線性強(qiáng)化彈塑性模型類似地，上式也可用應(yīng)變表示為：適用：材料的強(qiáng)化率較高且在一定范圍內(nèi)變化不大（假定拉伸和壓縮時(shí)屈服應(yīng)力的絕對值和強(qiáng)化模量都相同）2．線性強(qiáng)化彈塑性模型類似地，上式也可用應(yīng)變表示為：適用：材80——表示圖5（a）中的線段比

3．一般加載規(guī)律對于一般的單向拉伸曲線，在不卸載時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：——表示圖5（a）中的線段比3．一般加載規(guī)81注：這種模型在=0處的斜率為無窮大，近似性較差，但在數(shù)學(xué)上比較容易處理。

（8）4．冪次強(qiáng)化模型（其中B>0，0<m<1）注：這種模型在=0處的斜率為無窮大，近似性較差，但在數(shù)82其加載規(guī)律可寫為：

（9）如取就有說明：這對應(yīng)于割線余率為0.7E的應(yīng)力和應(yīng)變，上式中有三個(gè)參數(shù)可用來刻畫實(shí)際材料的拉伸特性，而在數(shù)學(xué)表達(dá)式上也較為簡單。5．Ramberg-Osgood模型其加載規(guī)律可寫為：如取就有說明：83等向強(qiáng)化模型6.等向強(qiáng)化模型及隨動(dòng)強(qiáng)化模型例如：可取適用：拉伸時(shí)的屈服應(yīng)力和壓縮時(shí)的屈服應(yīng)力始終是相等的?！强坍嬎苄宰冃螝v史的參數(shù)圖2（a）或該模型不論拉伸還是壓縮都使屈服應(yīng)力提高，對應(yīng)圖2（a）中的和。等向強(qiáng)化模型6.等向強(qiáng)化模型及隨動(dòng)強(qiáng)化模型例如：可取適用：84隨動(dòng)強(qiáng)化模型上式在線性強(qiáng)化情形下也可寫為（是塑性應(yīng)變的單調(diào)遞增函數(shù)）適用：考慮包氏效應(yīng)，認(rèn)為拉伸屈服應(yīng)力和壓縮屈服應(yīng)力的代數(shù)值之差，即彈性響應(yīng)的范圍始終是不變的。是一個(gè)常數(shù)（）圖2（a）該模型對應(yīng)圖2（a）中的和。隨動(dòng)強(qiáng)化模型（是塑性應(yīng)變的單調(diào)遞85§1.4軸向拉伸時(shí)的塑性失穩(wěn)

一、拉伸失穩(wěn)的概念1、拉伸失穩(wěn)：注意：拉伸試件在出現(xiàn)頸縮后，試件局部區(qū)域的截面積會(huì)有明顯減少，再用名義應(yīng)力和應(yīng)變來描述此時(shí)的材料特性是不適當(dāng)?shù)模ㄒ妶D2）在最高點(diǎn)以后，增加應(yīng)變時(shí)應(yīng)力反而下降，在通常意義下稱試件是不穩(wěn)定的。圖2（a）§1.4軸向拉伸時(shí)的塑性失穩(wěn)

一、拉伸失穩(wěn)的概念1、拉伸862、真應(yīng)力3、對數(shù)應(yīng)變4、截面積收縮比q=（A0-A）/A02、真應(yīng)力3、對數(shù)應(yīng)變4、截面積收縮比q=（A0-A）/A087假定材料是不可壓縮的：A0l0=Al，并認(rèn)為名義應(yīng)力達(dá)到最高點(diǎn)C時(shí)出現(xiàn)頸縮：

二、真應(yīng)力則在頸縮時(shí)真應(yīng)力應(yīng)滿足條件拉伸失穩(wěn)分界點(diǎn)的斜率正好和該點(diǎn)的縱坐標(biāo)值相等。

由結(jié)論：[1]假定材料是不可壓縮的：A0l0=Al，并認(rèn)為名義應(yīng)力二、88注意到頸縮時(shí)的條件也可寫為：即拉伸失穩(wěn)點(diǎn)的斜率為其縱坐標(biāo)值除以結(jié)論：[2]注意到頸縮時(shí)的條件也可寫為：即拉伸失穩(wěn)點(diǎn)的斜率為其89[3]以截面積收縮比q為自變量則由頸縮時(shí)的條件拉伸失穩(wěn)時(shí)真應(yīng)力所滿足的條件:[3]以截面積收縮比q為自變量則由頸縮時(shí)的條件拉伸失穩(wěn)時(shí)真應(yīng)90隨著材料的變形，微裂紋和（或）孔洞的生成及匯合也將會(huì)造成材料的弱化而導(dǎo)致失穩(wěn)。稱之為應(yīng)變?nèi)趸?。三、材料本身的失穩(wěn)現(xiàn)象例如，在低碳鋼拉伸實(shí)驗(yàn)中由上屈服應(yīng)力突然下降到下屈服應(yīng)力的現(xiàn)象，它與材料變形的內(nèi)部微觀機(jī)制的變化有關(guān)。在許多問題（如拉伸失穩(wěn)等）中，以上兩種現(xiàn)象往往是耦合的

隨著材料的變形，微裂紋和（或）孔洞的生成及匯合也將會(huì)造成材料91§1.5簡單桁架的彈塑性分析

一、問題的提出以圖示的一次靜不定三桿桁架為例進(jìn)行彈塑性分析?！?.5簡單桁架的彈塑性分析一、問題的提出以圖示的一次靜92圖中三根桿的截面積均為A，中間第二桿的桿長為，它與相鄰的第一桿和第三桿的夾角均為θ=450，在其交匯點(diǎn)O處作用水平力Q和垂直向下的力P，O點(diǎn)將產(chǎn)生水平位移和垂直位移。二、問題的解答已知：解：如定義第根桿的名義應(yīng)力為,名義應(yīng)變?yōu)?則有如下平衡方程圖中三根桿的截面積均為A，中間第二桿的桿長為，二、問題的93和幾何關(guān)系和協(xié)調(diào)條件為了得到問題的解，還必須補(bǔ)充本構(gòu)方程。我們假定材料是理想彈塑性。和幾何關(guān)系和協(xié)調(diào)條件為了得到問題的解，還必須補(bǔ)充本構(gòu)方程。94(1)Q=0時(shí)的彈性解和彈塑性解由彈性解:由1、應(yīng)力(1)Q=0時(shí)的彈性解和彈塑性解由彈性解:由1、應(yīng)力95

為屈服應(yīng)力————為垂直方向上的彈性極限載荷為屈服應(yīng)力————為垂直方向上的彈性極限載荷962、位移（14）（17）由（14）、（17）和（18），得——垂直向下位移2、位移（14）（17）由（14）、（17）和（18），得—97載荷-位移曲線則當(dāng)P由零增至Pe時(shí)，在圖9的坐標(biāo)中為區(qū)間[0，1]上斜率等于1的直線段OA。若令載荷-位移曲線則當(dāng)P由零增至Pe時(shí)，在圖9的坐標(biāo)中為區(qū)間[098彈塑性解:當(dāng)P由零逐漸增大到Pe時(shí)，第2桿的應(yīng)力也逐漸增大而達(dá)到屈服狀態(tài)：如果P的值再繼續(xù)增加，則（17）式已不再適用，相應(yīng)的本構(gòu)方程應(yīng)改寫為由應(yīng)力彈塑性解:當(dāng)P由零逐漸增大到Pe時(shí)，第2桿的應(yīng)力也逐漸增大而99應(yīng)變說明：（1）這時(shí)的第2桿雖然已經(jīng)屈服而失去了進(jìn)一步的承載能力，但由于它還受到第1桿和第3桿彈性變形的制約，其塑性變形不能任意增和，這種狀態(tài)稱為約束塑性變形。（2）直到P值逐漸增大到使時(shí)，三根桿將全部進(jìn)入屈服階段，變形已不再受任何約束，結(jié)構(gòu)才完全喪失進(jìn)一步的承載能力。這時(shí)的載荷P為——稱為塑性極限載荷應(yīng)變說明：（2）直到P值逐漸增大到使100由和位移當(dāng)P=PS時(shí)，或注：（24）式對應(yīng)于圖9中在區(qū)間[1，2]上斜率為的直線段AB當(dāng)考慮塑性變形時(shí)，結(jié)構(gòu)的變形要比純彈性變形為大，但仍屬同一數(shù)量級，而相應(yīng)的承載能力將會(huì)有相當(dāng)?shù)奶岣?。結(jié)論由和位移當(dāng)P=PS時(shí)，或注：（24）式對應(yīng)于圖9中在區(qū)間[1101

(2)卸載現(xiàn)將P的值加載到處于Pe<P<Ps范圍內(nèi)的某一值P*，然后再卸載使P的改變量△P<0。由于卸載服從彈性規(guī)律，利用（18）式的增量形式，可知應(yīng)力和應(yīng)變的改變量分別為卸載時(shí)的載荷-位移曲線（見圖9）與初始彈性加載時(shí)的曲線有相同的斜率。

卸載規(guī)律:(2)卸載現(xiàn)將P的值加載到處于Pe<P<Ps范圍102

應(yīng)力和應(yīng)變:最終的應(yīng)力和應(yīng)變值可由（21）、（25）和（22）、（26）下式的疊加求得：應(yīng)力和應(yīng)變:最終的應(yīng)力和應(yīng)變值可由（21）、（2103特別地，當(dāng)載荷P值全部卸除后，由△P=-P*，便得到桿中的殘余應(yīng)力和殘余應(yīng)變（見圖10）為：殘余應(yīng)力和殘余應(yīng)變:其中節(jié)點(diǎn)O的殘余位移為：特別地，當(dāng)載荷P值全部卸除后，由△P=-P*，便得到桿中的殘104實(shí)際上，第1桿和第3桿其變形規(guī)律始終是彈性的，如果卸去載荷并解除三桿之間約束的話，第1桿和第3桿中的彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變都等于零，而第2桿則有塑性應(yīng)變。故在原有的約束下，就必然地引起內(nèi)應(yīng)力而使這三根桿件的殘余應(yīng)變不等于零。說明：1、殘余應(yīng)力應(yīng)該滿足與零外載相對應(yīng)的平衡方程。2、殘余應(yīng)變由（1）式可分為彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變兩部分之和：3、在超靜定結(jié)構(gòu)中殘余應(yīng)變一般并不等于塑性應(yīng)變。說明：1、殘余應(yīng)力應(yīng)該滿足與零外載相對應(yīng)的平衡方程。2、殘余105§1.6強(qiáng)化效應(yīng)的影響本節(jié)仍討論Q=0的情形，現(xiàn)假定材料是線性強(qiáng)化的。不卸載時(shí)其拉伸曲線可寫為（1）當(dāng)P時(shí)，桿中的應(yīng)力值仍由（18）式表示§1.6強(qiáng)化效應(yīng)的影響本節(jié)仍討論Q=0的情形，現(xiàn)假定材料是106（2）當(dāng)P>Pe時(shí)，有將上式與（15）式和（16）式聯(lián)立，可解得（2）當(dāng)P>Pe時(shí)，有將上式與（15）式和（16）式聯(lián)立，可107（3）當(dāng)P增至使時(shí)，第1桿和第3桿也開始屈服。此時(shí)的載荷值為1、如取E‘/E=1/10，則P1=1.04Ps。與理想彈塑性材料相比，相應(yīng)的載荷值并沒有很大的增加。這說明采用理想彈塑性模型可得到較好的近似，而計(jì)算卻有相當(dāng)?shù)暮喕?/p>

說明：2、當(dāng)P小于P1時(shí)，結(jié)構(gòu)的變形仍屬于彈性變形的量級，而當(dāng)P超過P1后繼續(xù)增加時(shí)，由于強(qiáng)化效應(yīng)，結(jié)構(gòu)并不會(huì)進(jìn)入塑性流動(dòng)狀態(tài)，但這時(shí)的變形將會(huì)有較快的增長。（3）當(dāng)P增至使時(shí)，第1桿和第3桿也開始108§1.7幾何非線性的影響一、問題的提出求解基本方程：——是在小變形的假設(shè)下建立的§1.7幾何非線性的影響一、問題的提出求解基本方程：——是109當(dāng)桿件的塑性變形很大時(shí)，結(jié)構(gòu)幾何尺寸的改變將會(huì)產(chǎn)生顯著的影響。這時(shí)應(yīng)采用真應(yīng)力和對數(shù)應(yīng)變來進(jìn)行討論。二、問題的解答仍考慮Q=0的情形，假定材料是剛塑性線性強(qiáng)化的：而且滿足不可壓條件：令則由幾何分析于是當(dāng)桿件的塑性變形很大時(shí)，結(jié)構(gòu)幾何尺寸的改變將會(huì)產(chǎn)生顯著的影響110在變形后的結(jié)構(gòu)上建立的平衡方程為：其中——為變形后第2桿與第1桿（和第3桿）之間的夾角可見（33）式中有三個(gè)未知量在不卸載的情況下，由本構(gòu)方程：得到與之間的非線性關(guān)系在變形后的結(jié)構(gòu)上建立的平衡方程為：其中——為變形后第2桿與第111結(jié)論：隨著的增長，的值將會(huì)由于強(qiáng)化效應(yīng)和角的減小而提高，但也會(huì)隨著桿件截面積的收縮而下降。故當(dāng)很大時(shí)，結(jié)構(gòu)將可能變成不穩(wěn)定的。結(jié)論：隨著的增長，的值將會(huì)由于強(qiáng)化效應(yīng)和112§1.8彈性極限曲線本節(jié)我們將考慮前述桁架同時(shí)受垂直載荷P和水平載荷Q作用的情形。如果桁架中的三根桿件都處于彈性階段，則由（13）(14）15）和（17）各式，平衡方程幾何方程協(xié)調(diào)條件本構(gòu)方程§1.8彈性極限曲線本節(jié)我們將考慮前述桁架同時(shí)受垂直載荷P113其中，表示只作用水平力時(shí)的彈性極限載荷。可求得桿中應(yīng)力為其中，表示只作用水平力時(shí)的114（35）式成立的條件為這相當(dāng)于對P和Q的限制條件：上式對應(yīng)于圖12中實(shí)線六邊形區(qū)域，其中等號則對應(yīng)于該六邊形的邊界，稱為彈性極限曲線，表示至少有一根桿件已達(dá)到屈服狀態(tài)。（35）式成立的條件為這相當(dāng)于對P和Q的限制條件：上式對應(yīng)于115如果作用于結(jié)構(gòu)上的載荷先是超出了彈性極限曲線，然后又完全卸回到零，那么結(jié)構(gòu)中將存在殘余應(yīng)力。由于殘余應(yīng)力與零外載相平衡，故可寫成（27）式的形式：其中是一個(gè)可以變化的參數(shù)，其值可由（28）式來表示。在存在殘余應(yīng)力的情況下，如果再重新對結(jié)構(gòu)施加載荷而未能再次屈服，那么結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力值就應(yīng)該是以上的殘余應(yīng)力與（35）式的疊加。如果作用于結(jié)構(gòu)上的載荷先是超出了彈性極限曲線，然后由于殘余應(yīng)116不產(chǎn)生新的塑性變形的限制條件：其中值滿足（37）式對應(yīng)于圖12中虛線所構(gòu)成的六邊形區(qū)域。說明：可見在加載方向一側(cè)屈服載荷有所提高而與加載方向相反的一側(cè)屈服載荷有所降低。可用來對應(yīng)變硬化和包氏效應(yīng)等現(xiàn)象做一個(gè)比較形象的解釋。不產(chǎn)生新的塑性變形的限制條件：其中值滿足（37）式對應(yīng)117§1.9加載路徑的影響塑性力學(xué)的特點(diǎn)之一就是解對加載路徑的依賴性。[例]計(jì)算上述的理想彈塑性三桿桁架在不同加載路徑下O點(diǎn)的最終水平位移和垂直位移。第一種路徑（圖13（a)中的路徑1）當(dāng)時(shí)第一種路徑：（Q，P）先由（0，0）線性地變化為（0，PS），再在垂直位移保持不變的條件下增加Q使達(dá)到Qe§1.9加載路徑的影響塑性力學(xué)的特點(diǎn)之