給水管網(wǎng)水力分析和計(jì)算課件

第5章給水管網(wǎng)水力分析

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5.1給水管網(wǎng)水力特性分析

§5.2樹狀管網(wǎng)水力分析

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5.3管網(wǎng)環(huán)方程組水力分析和計(jì)算

§

5.4管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)方程組水力分析和計(jì)算第5章給水管網(wǎng)水力分析節(jié)點(diǎn)流量方程（根據(jù)質(zhì)量守恒定律）含義：流入某一節(jié)點(diǎn)的流量等于流出該節(jié)點(diǎn)的流量。注意：1管段流量方向（指向節(jié)點(diǎn)為負(fù)，離開為正）

2節(jié)點(diǎn)流量方向（流入為負(fù)，流出為正）回顧節(jié)點(diǎn)流量方程（根據(jù)質(zhì)量守恒定律）含義：流入某一節(jié)點(diǎn)的流量等于（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][9][8][7][6][5][4][3][2]Q7Q3Q2Q1Q4Q5Q6Q8q1,h1q6,h6q5,h5q2,h2q3,h3q7,h7q8,h8q9,h9q4,h4環(huán)狀網(wǎng)節(jié)點(diǎn)流量方程組回顧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][9]

線性變換求出包括節(jié)點(diǎn)（5）和（6）的大節(jié)點(diǎn)連續(xù)性方程。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][9][8][7][6][5][4][3][2]Q7Q3Q2Q1Q4Q5Q6Q8q1,h1q6,h6q5,h5q2,h2q3,h3q7,h7q8,h8q9,h9q4,h4所有節(jié)點(diǎn)流量方程相加：見P127回顧線性變換（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8樹狀網(wǎng)節(jié)點(diǎn)流量方程組（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][7][6][5][4][3][2]Q7Q3Q2Q1Q4Q5Q6Q8q1,h1q6,h6q5,h5q2,h2q3,h3q7,h7q4,h4回顧樹狀網(wǎng)節(jié)點(diǎn)流量方程組（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7節(jié)點(diǎn)流量方程組經(jīng)過線性變化，可得到：

可以看出：樹狀網(wǎng)中，各管段流量qi可以用節(jié)點(diǎn)流量Qj表示出來?；仡櫣?jié)點(diǎn)流量方程組經(jīng)過線性變化，可得到：可以看出：樹狀網(wǎng)中，各管段壓降方程（根據(jù)能量守恒定律）管段兩端節(jié)點(diǎn)水頭之差等于該管段的壓降：

HFi–HTi=hi

i-1,2,…,MHFi——管段i的上端點(diǎn)水頭；

HTi——管段i的下端點(diǎn)水頭；

hi——管段i的壓降；

M——管段模型中的管段總數(shù)。注意：判斷上下端點(diǎn)時(shí)按管段設(shè)定的方向，而非實(shí)際流向。M個(gè)管段，可以列出M個(gè)方程?；仡櫣芏螇航捣匠蹋ǜ鶕?jù)能量守恒定律）管段兩端節(jié)點(diǎn)水頭之差等于該管（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][9][8][7][6][5][4][3][2]Q7Q3Q2Q1Q4Q5Q6Q8q1,h1q6,h6q5,h5q2,h2q3,h3q7,h7q8,h8q9,h9q4,h4環(huán)狀網(wǎng)管段壓降方程組回顧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][9]hi可以通過管段的水力特性表示hi=siqinhi=siqi|qi|n-1hi=siqi|qi|n-1-heii=1,2,…Mhi——管段壓降，m；qi——管段流量，m/s;si——管段阻力系數(shù)，應(yīng)為管段上管道、管件、閥門、泵站所以設(shè)施阻力之和；hei——管段揚(yáng)程，如管段上未設(shè)泵站，則hei=0；n——管段阻力指數(shù)。管段流向和設(shè)定方向一致，為正，即siqi|qi|n-1=siqin回顧hi可以通過管段的水力特性表示hi=siqin回顧管段壓降方程組的變換

如果一些管段首尾相連，形成一條路徑，將這些管段的能量守恒方程相加或相減，得到路徑能量方程。例：將管段[1]、[2]、[3]的能量方程相加，再減去管段[4]的能量方程，可導(dǎo)出從節(jié)點(diǎn)（7）到節(jié)點(diǎn)（8）之間一條路徑的能量方程，即：H7-H8=h1+h2+h3-h4（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][9][8][7][6][5][4][3][2]Q7Q3Q2Q1Q4Q5Q6Q8q1,h1q6,h6q5,h5q2,h2q3,h3q7,h7q8,h8q9,h9q4,h4回顧管段壓降方程組的變換如果一些管段首尾相連，形成一條路徑思考題：由節(jié)點(diǎn)能量方程導(dǎo)出：1）由節(jié)點(diǎn)（1）、（2）、（3）、（6）、（5）、（4）組成的回路能量方程。2）由節(jié)點(diǎn)（1）、（2）、（5）、（4）組成的環(huán)能量方程?？梢宰C明，對(duì)于任意環(huán)狀管網(wǎng)，環(huán)能量方程的一般形式為：回顧思考題：由節(jié)點(diǎn)能量方程導(dǎo)出：回顧恒定流基本方程組水力分析的數(shù)學(xué)含義就是解恒定流方程組。水力分析的工程意義就是已知給水管網(wǎng)部分水力學(xué)參數(shù)，求其余水力參數(shù)。回顧恒定流基本方程組水力分析的數(shù)學(xué)含義就是解恒定流方程組?；仡?.1給水管網(wǎng)水力特性分析（1）給水管網(wǎng)水力分析的數(shù)學(xué)含義：求解管網(wǎng)恒定流方程組。（2）管網(wǎng)水力分析命題：在滿足供水需求（用水量分布、供水壓力和水質(zhì)）條件下，確定給水管網(wǎng)的科學(xué)設(shè)計(jì)方案（管網(wǎng)布置、管徑計(jì)算、造價(jià)經(jīng)濟(jì)、運(yùn)行安全）。（3）給水管網(wǎng)的水力特性參數(shù)：

1）節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)流量、節(jié)點(diǎn)壓力、節(jié)點(diǎn)標(biāo)高、自由水頭；

2）管段：管段流量、管徑、長度、摩阻系數(shù)、管段壓降；

3）環(huán)：管網(wǎng)供水保證率、安全可靠性。5.1給水管網(wǎng)水力特性分析（1）給水管網(wǎng)水力分析的數(shù)學(xué)含義管網(wǎng)水力分析條件和目的:1、已知條件：（1）管網(wǎng)布置：枝狀管網(wǎng)、環(huán)狀管網(wǎng)；（2）節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)流量、地面標(biāo)高、服務(wù)壓力；（3）管段：長度、管徑、經(jīng)濟(jì)流速、摩阻系數(shù)；2、管網(wǎng)水力分析求解內(nèi)容：（1）計(jì)算管段流量；（2）計(jì)算節(jié)點(diǎn)壓力；（3）確定水泵流量、揚(yáng)程；3、管網(wǎng)水力分析目的——滿足安全供水目標(biāo)：（1）設(shè)計(jì)方案水力狀態(tài)－流量、壓力分布和變化；（2）管網(wǎng)事故、消防、轉(zhuǎn)輸流量工況校核。

管網(wǎng)水力分析條件和目的:1、已知條件：5.1.1管段水力特性1、節(jié)點(diǎn)方程：求解節(jié)點(diǎn)壓力Hi。方程數(shù)＝N-1。2、環(huán)方程：方程數(shù)＝環(huán)數(shù)。3、管段方程：方程數(shù)＝管段數(shù)。5.1.1管段水力特性1、節(jié)點(diǎn)方程：求解節(jié)點(diǎn)壓力Hi。方程5.1.2管網(wǎng)恒定流方程組求解條件（1）節(jié)點(diǎn)流量與節(jié)點(diǎn)水頭必須有一個(gè)已知已知節(jié)點(diǎn)水頭而未知節(jié)點(diǎn)流量的節(jié)點(diǎn)稱為定壓節(jié)點(diǎn)。已知節(jié)點(diǎn)流量而未知節(jié)點(diǎn)水頭的節(jié)點(diǎn)成為定流節(jié)點(diǎn)。

（2）管網(wǎng)中中至少有一個(gè)定壓節(jié)點(diǎn)5.1.2管網(wǎng)恒定流方程組求解條件（1）節(jié)點(diǎn)流量與節(jié)點(diǎn)水頭5.1.3管網(wǎng)恒定流方程組求解方法（1）樹狀管網(wǎng)水力計(jì)算各管段的流量是唯一確定的，與管段流量對(duì)應(yīng)的管段水頭損失、管段流速、節(jié)點(diǎn)壓力可以一次計(jì)算完成

（2）環(huán)狀管網(wǎng)水力計(jì)算將節(jié)點(diǎn)流量方程組和環(huán)能方程組轉(zhuǎn)換成節(jié)點(diǎn)壓力方程組或環(huán)校正流量方程組，通過求解方程組得到環(huán)狀管網(wǎng)的水力參數(shù)。解環(huán)方程組解節(jié)點(diǎn)方程組解管段方程組5.1.3管網(wǎng)恒定流方程組求解方法（1）樹狀管網(wǎng)水力計(jì)算解環(huán)方程水力分析方法

解環(huán)方程的基本思想：先進(jìn)行管段流量初分配，使節(jié)點(diǎn)流量連續(xù)性條件得到滿足，然后，在保持節(jié)點(diǎn)流量連續(xù)性不被破壞的前提下，通過施加環(huán)校正流量，設(shè)法使各環(huán)的能量方程得到滿足。解環(huán)方程水力分析方法解環(huán)方程的基本思想：先進(jìn)行管段流

在管網(wǎng)水力計(jì)算時(shí)，根據(jù)求解的未知數(shù)是管段流量還是節(jié)點(diǎn)水壓，可以分為解環(huán)方程、解節(jié)點(diǎn)方程二類。在管網(wǎng)水力計(jì)算時(shí)，根據(jù)求解的未知數(shù)是管段流量還是節(jié)點(diǎn)水

解環(huán)方程：針對(duì)求解單定壓節(jié)點(diǎn)環(huán)狀管網(wǎng)管段流量初分配：就是擬定各管段流量初值，使它們滿足流量節(jié)點(diǎn)連續(xù)性方程。環(huán)校正流量：就是沿順時(shí)針方向或逆時(shí)針方向給管網(wǎng)中一個(gè)環(huán)內(nèi)的每條管段施加一個(gè)相同的流量，不會(huì)改變節(jié)點(diǎn)的流量平衡。1).解環(huán)方程解環(huán)方程：針對(duì)求解單定壓節(jié)點(diǎn)環(huán)狀管網(wǎng)1).解環(huán)方程管網(wǎng)經(jīng)流量分配后，各節(jié)點(diǎn)已滿足連續(xù)性方程，可是由該流量求出的管段水頭損失，并不同時(shí)滿足L個(gè)環(huán)的能量方程，為此必須多次將各管段的流量反復(fù)調(diào)整，直到滿足能量方程，從而得出各管段的流量和水頭損失。原理：在初步分配流量的基礎(chǔ)上，逐步調(diào)整管段流量以滿足能量方程。管網(wǎng)經(jīng)流量分配后，各節(jié)點(diǎn)已滿足連續(xù)性方程，可是由該流量求出的解環(huán)方程具體步驟：

①根據(jù)連續(xù)性條件初步分配管段流量；②計(jì)算各管段的水頭損失hij(0)

=Sij(qij(0)

)n；③以順時(shí)針方向?yàn)檎鏁r(shí)針方向?yàn)樨?fù)，計(jì)算各環(huán)的水頭損失閉合差△hi；④計(jì)算各管段的Sijqij和每一環(huán)的ΣSijqij；⑤計(jì)算各環(huán)的校正流量；⑥將管段流量加上校正流量重新計(jì)算水頭損失，直到最大閉合差小于允許誤差為止。

qij(1)=qij

(0)+△qs

(0)+△qn

(0)

解環(huán)方程具體步驟：2).解節(jié)點(diǎn)方程在假定每一節(jié)點(diǎn)水壓的條件下，應(yīng)用連續(xù)性方程以及管段壓降方程，通過計(jì)算求出每一節(jié)點(diǎn)的水壓。節(jié)點(diǎn)水壓已知后，即可以從任一管段兩端節(jié)點(diǎn)的水壓差得出該管段的水頭損失，進(jìn)一步從流量和水頭損失之間的關(guān)系算出管段流量。原理：在初步擬訂壓力的基礎(chǔ)上，逐步調(diào)整節(jié)點(diǎn)水壓以滿足連續(xù)性方程。

2).解節(jié)點(diǎn)方程在假定每一節(jié)點(diǎn)水壓的條件下，應(yīng)用連續(xù)性方程以節(jié)點(diǎn)方程組具體步驟：①根據(jù)已知控制點(diǎn)的水壓標(biāo)高，假定各節(jié)點(diǎn)的初始水壓。②由hij=Hi-Hj=sqn的關(guān)系式求出管段流量。③驗(yàn)證每一節(jié)點(diǎn)的管段流量是否滿足連續(xù)性方程，即進(jìn)入該節(jié)點(diǎn)的流量代數(shù)和是否等于零，如不等于零，則按下式求出校正水壓值。④除了水壓已定的節(jié)點(diǎn)外，按校正每一節(jié)點(diǎn)的水壓，根據(jù)新的水壓，重復(fù)上列步驟計(jì)算，直到所有節(jié)點(diǎn)的進(jìn)出流量代數(shù)和達(dá)到預(yù)定的精確度為止。節(jié)點(diǎn)方程組具體步驟：①根據(jù)已知控制點(diǎn)的水壓標(biāo)高，假定各節(jié)點(diǎn)的5.2樹狀管網(wǎng)水力分析

特點(diǎn)：（1）不存在環(huán)方程；（2）管段流量qi不變化，管段水頭損失hi不變化，節(jié)點(diǎn)方程組系數(shù)矩陣元素值為常數(shù)，未知節(jié)點(diǎn)壓力存在直接解。即直接求解線性化節(jié)點(diǎn)壓力方程組。

5.2樹狀管網(wǎng)水力分析特點(diǎn)：枝狀管網(wǎng)直接算法

1、管段流量：采用逆推法。從樹枝末端節(jié)點(diǎn)流量開始，用節(jié)點(diǎn)流量連續(xù)性方程，向前逐一累加，每一管段下游所有節(jié)點(diǎn)流量的和即為該管段的管段流量；

2、節(jié)點(diǎn)壓力（水頭）：采用順推法。從已知壓力節(jié)點(diǎn)出發(fā)，用管段能量方程求節(jié)點(diǎn)水頭，可立即解出。枝狀管網(wǎng)直接算法1、管段流量：采用逆推法。例5.1某城市樹狀給水管網(wǎng)系統(tǒng)如圖所示，節(jié)點(diǎn)（1）處為水廠清水池，向整個(gè)管網(wǎng)供水，管段[1]上設(shè)有泵站，其水力特性為：sp1=311.1(流量單位m3/s，水頭單位m),he1=42.6m，n=1.852。根據(jù)清水池高程設(shè)計(jì)，節(jié)點(diǎn)（1）水頭為H1=7.8m，各節(jié)點(diǎn)流量、各管段長度與直徑如圖所示，各節(jié)點(diǎn)地面標(biāo)高見表5.1，試進(jìn)行水力分析，計(jì)算各管段流量與流速、各節(jié)點(diǎn)水頭與自由水頭。節(jié)點(diǎn)編號(hào)(1)(2)(3)(4)(5）（6）（7）（8）（9）（10）地面標(biāo)高(m)9.811.511.815.217.413.312.813.712.515.00例5.1某城市樹狀給水管網(wǎng)系統(tǒng)如圖所示，節(jié)點(diǎn)（1）處為水廠單定壓節(jié)點(diǎn)樹狀管網(wǎng)水力分析

【例5.1】單定壓節(jié)點(diǎn)樹狀管網(wǎng)水力分析【例5.1】計(jì)

算

結(jié)

果泵站揚(yáng)程按水力特性公式計(jì)算：計(jì)

算

結(jié)

果泵站揚(yáng)程按水力特性公式計(jì)算：給水管網(wǎng)水力分析和計(jì)算課件給水管網(wǎng)水力分析和計(jì)算課件解環(huán)方程水力分析方法

解環(huán)方程的基本思想：先進(jìn)行管段流量初分配，使節(jié)點(diǎn)流量連續(xù)性條件得到滿足，然后，在保持節(jié)點(diǎn)流量連續(xù)性不被破壞的前提下，通過施加環(huán)校正流量，設(shè)法使各環(huán)的能量方程得到滿足。由于初分流量時(shí)是嚴(yán)格按照節(jié)點(diǎn)流量平衡來進(jìn)行的，所以連續(xù)性方程能夠滿足，但是能量方程就有可能不滿足，即環(huán)內(nèi)正反兩個(gè)方向的水頭損失不相等。環(huán)內(nèi)正反兩個(gè)方向的水頭損失之差稱作閉合差。調(diào)整管段流量，減少閉合差到一定精度范圍的過程就叫管網(wǎng)平差。解環(huán)方程水力分析方法解環(huán)方程的基本思想：先進(jìn)行管段流5.3管網(wǎng)環(huán)方程水力分析和計(jì)算管網(wǎng)自然環(huán)：?jiǎn)我婚]合回路。自然環(huán)數(shù)：L＝M－N＋1。（M＝L＋N－1）管網(wǎng)水力環(huán)方程：（1）管段方程線性化：對(duì)于管網(wǎng)中管段，給定初始工況點(diǎn)，對(duì)式（5.1）微分得該點(diǎn)的切線方程：

管段i的阻尼系數(shù)5.3管網(wǎng)環(huán)方程水力分析和計(jì)算管網(wǎng)自然環(huán)：?jiǎn)我婚]合回路。管（2）環(huán)方程線性化環(huán)方程轉(zhuǎn)換：未知管段流量未知環(huán)校正流量。式中，qi(0)－－管段初始分配流量；

△qk

－－環(huán)校正流量。（2）環(huán)方程線性化環(huán)方程轉(zhuǎn)換：未知管段流量環(huán)校正流

量方程：環(huán)校正流

量方程：環(huán)方程線性化－泰勒展開式在環(huán)校正流量初值點(diǎn)處，將環(huán)水頭函數(shù)用泰勒公式展開，忽略高次項(xiàng)，取線性項(xiàng)，得線性方程組：

環(huán)方程線性化－泰勒展開式在環(huán)校正流量初值點(diǎn)處在初步分配流量的基礎(chǔ)上，逐步調(diào)整管段流量以滿足能量方程。L個(gè)非線形的能量方程：環(huán)方程線性化－泰勒展開式在初步分配流量的基礎(chǔ)上，逐步調(diào)整管段流量以滿足能量方程。L個(gè)初步分配的流量一般不滿足能量方程：初步分配的流量一般不滿足能量方程：

初步分配流量與實(shí)際流量的的差額為Δq，實(shí)際流量應(yīng)滿足能量方程：初步分配流量與實(shí)際流量的的差額為Δq，實(shí)際流量將函數(shù)在分配流量上展開，并忽略高階微量：將函數(shù)在分配流量上展開，并忽略高階微量：方程組的第一部分稱為閉合差：方程組的第一部分稱為閉合差：

將閉合差項(xiàng)移到方程組的右邊，得到關(guān)于流量誤差（校正流量）的線性方程組：將閉合差項(xiàng)移到方程組的右邊，得到關(guān)于流量誤差（環(huán)方程矩陣形式將線性方程組式（5.19）表示成矩陣形式：系數(shù)矩陣：

（對(duì)角線元素）環(huán)方程矩陣形式將線性方程組式（5.19）表示成矩陣形式：（對(duì)（1）牛頓-拉夫森算法：1）擬定管段流量初值，給定閉合差最大允許值，手工計(jì)算時(shí)一般取=0.1~0.5m，計(jì)算機(jī)計(jì)算時(shí)一般取=0.01~0.1m；2）由式（5.20）計(jì)算各環(huán)水頭閉合差；3）閉合差均小于最大允許閉合差，則解環(huán)方程組結(jié)束，轉(zhuǎn)7）進(jìn)行后續(xù)計(jì)算；否則繼續(xù)下步；4）計(jì)算系數(shù)矩陣，式（5.26）；5）解線性方程組式（5.21），得環(huán)校正流量；6）將環(huán)校正流量施加到環(huán)內(nèi)所有管段，得到新的管段流量，作為新的初值（迭代值），轉(zhuǎn)第2）步重新計(jì)算，管段流量迭代計(jì)算公式為：(5.29)7）計(jì)算管段壓降、流速，用順推法求各節(jié)點(diǎn)水頭，最后計(jì)算節(jié)點(diǎn)自由水壓，計(jì)算結(jié)束。（1）牛頓-拉夫森算法：1）擬定管段流量初值，給定閉合差最大（2）哈代-克羅斯算法－水頭平差法哈代-克羅斯（HardyCrose）1936年提出，適合于手工計(jì)算。

系數(shù)矩陣為對(duì)稱正定、主對(duì)角優(yōu)勢(shì)稀疏矩陣，只保留主對(duì)角元素，忽略非對(duì)角元素，直接迭代求解：

哈代-克羅斯平差公式

（2）哈代-克羅斯算法－水頭平差法哈代-克羅斯（Hardy哈代-克羅斯法

Q1Q2Q3Q4Q5Q6456321哈代-克羅斯法Q1Q2Q3Q4Q5Q6456321Q1Q2Q3Q4Q5Q6456321Q1Q2Q3Q4Q5Q6456321忽略相鄰環(huán)校正流量和二階微量的影響：校正流量的符號(hào)與水頭損失閉合差的符號(hào)相反忽略相鄰環(huán)校正流量和二階微量的影響：校正流量的符號(hào)與水頭損失環(huán)方程組解法（管網(wǎng)平差）

哈代-克羅斯法解環(huán)方程組步驟：①繪制管網(wǎng)平差計(jì)算圖，標(biāo)出各計(jì)算管段的長度和各節(jié)點(diǎn)的地面標(biāo)高。②計(jì)算比流量、管段流量和節(jié)點(diǎn)總流量。③根據(jù)城鎮(zhèn)供水情況，擬定環(huán)狀網(wǎng)各管段的水流方向，按每一節(jié)點(diǎn)滿足Qi+qij=0的條件，并考慮供水可靠性要求分配流量，得出分配的管段流量qij(0)。④根據(jù)經(jīng)濟(jì)流速或查界限流量表選用各管段的管徑。⑤計(jì)算各管段水頭損失hij。環(huán)方程組解法（管網(wǎng)平差）

哈代-克羅斯法解環(huán)方程組步驟：①繪⑥假定各環(huán)內(nèi)水流順時(shí)針方向管段中的水頭損失為正，逆時(shí)針方向管段水頭損失為負(fù)，計(jì)算該環(huán)內(nèi)各管段的水頭損失代數(shù)和∑hij，如∑hij≠0，其差值為第一次閉合差Δh(0)。

【如果Δh(0)>0，說明順時(shí)針方向各管段中初步分配的流量多了些，反之，如Δh(0)<0，說明逆時(shí)針方向管段中的流量多些?！竣哂?jì)算各環(huán)內(nèi)各管段的Sijqij其總和∑Sijqij

，按下式求出校正流量。如閉合差為正，校正流量為負(fù)，反之則校正流量為正。⑥假定各環(huán)內(nèi)水流順時(shí)針方向管段中的水頭損失為正，逆時(shí)針方向管⑧設(shè)圖上的校正流量符號(hào)以順時(shí)針為正，逆時(shí)針方向?yàn)樨?fù)，凡流向和校正流量方向相同的管段，加上校正流量，否則減去校正流量。據(jù)此得第一次校正的管段流量式中，Δqs為本環(huán)的校正流量；Δqn為臨環(huán)的校正流量。⑨按此流量再行計(jì)算，如閉合差尚未達(dá)到允許的精度，在從第二步起按每次調(diào)整后的流量反復(fù)計(jì)算，直到每環(huán)的閉合差達(dá)到要求為止。手工計(jì)算，每環(huán)閉合差要求小于0.5m，大環(huán)閉合差小于1.0m。⑧設(shè)圖上的校正流量符號(hào)以順時(shí)針為正，逆時(shí)針方向?yàn)樨?fù)，凡流向和單水源管網(wǎng)平差

單水源管網(wǎng)平差泵站水塔0QtQp多水源管網(wǎng)平差

123481291110657∑Q-Ht-Hp對(duì)置水塔系統(tǒng)最高用水時(shí)

供水分界線泵站水塔0QtQp多水源管網(wǎng)平差123481泵站水塔0最大傳輸時(shí)

123481291110657∑Q′Qp′Qt′-Hp′Ht′對(duì)置水塔系統(tǒng)泵站水塔0最大傳輸時(shí)1234812911106虛環(huán)P95應(yīng)用虛環(huán)的觀念，將多水源管網(wǎng)轉(zhuǎn)化成為單水源管網(wǎng)。虛環(huán)——將各水源節(jié)點(diǎn)與虛節(jié)點(diǎn)用虛管段連接成的環(huán)。虛管段——水源節(jié)點(diǎn)與虛節(jié)點(diǎn)相連接的管段。虛管段中的流量等于水源(定壓)節(jié)點(diǎn)的供水量，管段流量方向是從虛節(jié)點(diǎn)流向水源節(jié)點(diǎn)。虛管段的水頭損失等于各水源節(jié)點(diǎn)水壓，方向是水源節(jié)點(diǎn)指向虛節(jié)點(diǎn)。虛管段無阻力，虛擬設(shè)一泵站，也無阻力。虛節(jié)點(diǎn)水頭H0=0定壓節(jié)點(diǎn)流量=0。虛環(huán)哈代-克羅斯平差算法的改進(jìn)

1）改各環(huán)同時(shí)平差為每次只平差一個(gè)環(huán)每次只平差一個(gè)環(huán)，平差后立即更新管段流量，后面的平差用新的值計(jì)算閉合差，則平差的收斂速度可以得到提高。2）優(yōu)先平差閉合差較大的環(huán)每次只平差一個(gè)環(huán)時(shí)，可以選擇閉合差絕對(duì)值最大或較大的環(huán)進(jìn)行平差，因?yàn)檫@樣傳遞出去的閉合差最大，計(jì)算效率最高。3）改自然環(huán)平差為回路（大環(huán)）平差由多個(gè)相鄰環(huán)合并可以組成回路（大環(huán)），同樣可以列出回路平差公式，計(jì)算效率得以提高。選擇合并環(huán)的原則，一是閉合差方向相同，二是閉合差絕對(duì)值比較大。哈代-克羅斯平差算法的改進(jìn)1）改各環(huán)同時(shí)平差為每次只平差【例5.2】某給水管網(wǎng)如圖5.6所示，節(jié)點(diǎn)地面標(biāo)高見表5.6，節(jié)點(diǎn)（8）為定壓節(jié)點(diǎn)，已知其節(jié)點(diǎn)水頭為H8=41.50m，采用海曾-威廉公式計(jì)算水頭損失，Cw=110，最大允許閉合差=0.1m，求各管段流量、流速、壓降，各節(jié)點(diǎn)水頭和自由水壓。【解】該管網(wǎng)為兩個(gè)環(huán)，管段初分配流量已經(jīng)完成，有關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算如表5.7。

圖5.6【例5.2】某給水管網(wǎng)如圖5.6所示，節(jié)點(diǎn)地面標(biāo)高見表5.6各環(huán)水頭閉合差計(jì)算：求系數(shù)矩陣：

各環(huán)水頭閉合差計(jì)算：求系數(shù)矩陣：重新計(jì)算各環(huán)水頭閉合差：

解線性方程組：得環(huán)校正流量解為：，施加環(huán)校正流量，得到新的管段流量，重新計(jì)算有關(guān)管段數(shù)據(jù)，見表5.8。重新計(jì)算各環(huán)水頭閉合差：解線性方程組：得環(huán)校正流量解為：閉合差減小，但仍不滿足要求，需再次構(gòu)成系數(shù)矩陣，并解線性方程組：

解此方程得：施加該環(huán)流量，得到新的管段流量，重新計(jì)算有關(guān)管段數(shù)據(jù)，見表5.9。重新計(jì)算各環(huán)水頭閉合差：

閉合差減小，但仍不滿足要求，需再次構(gòu)成系數(shù)矩陣，并解線性方程各環(huán)水頭閉合差滿足要求，平差計(jì)算結(jié)束。計(jì)算管段流速，見表5.9。由節(jié)點(diǎn)（8）出發(fā)，用順推法計(jì)算各節(jié)點(diǎn)水頭和節(jié)點(diǎn)自由水壓，見表5.10。（2）哈代-克羅斯算法（1936）系數(shù)矩陣F(0)

是一個(gè)對(duì)稱正定的主對(duì)角優(yōu)勢(shì)稀疏矩陣，主對(duì)角元素值是較大的正值，非主對(duì)角的大多數(shù)元素為零，不為零的元素都是較小的負(fù)值，只保留主對(duì)角元素，忽略非主對(duì)角元素，則線性方程組可直接求解：(5.30)此式稱為哈代-克羅斯平差公式，哈代-克羅斯算法又稱為水頭平差法。哈代-克羅斯算法水力分析的步驟與牛頓-拉夫森算法基本相同，只是計(jì)算環(huán)校正流量采用水頭平差公式（5.30），代替解線性方程組。各環(huán)水頭閉合差滿足要求，平差計(jì)算結(jié)束。（2）哈代-克羅斯算法【例5.3】多定壓節(jié)點(diǎn)管網(wǎng)如圖5.7所示，節(jié)點(diǎn)(1)為清水池，節(jié)點(diǎn)水頭12.00m，節(jié)點(diǎn)(5)為水塔，節(jié)點(diǎn)水頭為48.00m，各節(jié)點(diǎn)地面標(biāo)高如表5.11，管段［1］上設(shè)有泵站，其水力特性如圖中所示，計(jì)算各管段流量與流速、各節(jié)點(diǎn)水頭與自由水壓（水頭損失采用海曾-威廉公式計(jì)算，C=110）?！窘狻吭O(shè)虛節(jié)點(diǎn)（0）及從節(jié)點(diǎn)（0）到定壓節(jié)點(diǎn)（1）和（5）的兩條虛管段［10］和［11］，虛管段設(shè)有泵站，泵站靜揚(yáng)程為定壓節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)水頭，分別為12.00和48.00m，如圖5.7所示。由虛管段［10］和［11］與管段［1］、［2］、［3］和［4］構(gòu)成一個(gè)環(huán)，稱為虛環(huán)，編碼為③?！纠?.3】多定壓節(jié)點(diǎn)管網(wǎng)如圖5.7所示，節(jié)點(diǎn)(1)為清水池用哈代-克羅斯法進(jìn)行平差計(jì)算，見表5.12。經(jīng)過兩次平差，各環(huán)水頭閉合差均小于0.5m，最后計(jì)算管段流速和節(jié)點(diǎn)水頭等，見表5.13，計(jì)算結(jié)果如圖5.8所示。用哈代-克羅斯法進(jìn)行平差計(jì)算，見表5.12。經(jīng)過兩次平差，各圖5.8多定壓節(jié)點(diǎn)管網(wǎng)水力分析結(jié)果

圖5.8多定壓節(jié)點(diǎn)管網(wǎng)5.4解節(jié)點(diǎn)方程水力分析方法

未知量：節(jié)點(diǎn)水頭（定壓節(jié)點(diǎn)除外）；方程：非線性節(jié)點(diǎn)流量連續(xù)性方程組；由得

節(jié)點(diǎn)方程：可以列出以Hi為未知數(shù)的獨(dú)立方程。管段流量系數(shù)5.4解節(jié)點(diǎn)方程水力分析方法未知量：節(jié)點(diǎn)水頭（定壓節(jié)節(jié)點(diǎn)方程組舉例：節(jié)點(diǎn)方程組舉例：節(jié)點(diǎn)方程通式：節(jié)點(diǎn)方程求解方法：已知條件：節(jié)點(diǎn)流量、管段直徑、摩阻系數(shù)、定壓點(diǎn)壓力；計(jì)算程序：1）設(shè)定未知壓力節(jié)點(diǎn)（定流點(diǎn)）初始?jí)毫i(0)；2）計(jì)算系數(shù)矩陣A（0）；3）解線性化節(jié)點(diǎn)方程組，得新的節(jié)點(diǎn)壓力Hi(1)；4）檢驗(yàn)|Hi(1)－Hi(0)|<

ε？若否，計(jì)算系數(shù)矩陣A（1），返回3；若是，計(jì)算完成，得Hi；5）計(jì)算管段流量、水頭損失等。節(jié)點(diǎn)方程通式：節(jié)點(diǎn)方程求解方法：節(jié)點(diǎn)方程的牛頓-拉夫森解法由管段i水頭損失微分變換管段流量系數(shù)節(jié)點(diǎn)方程的牛頓-拉夫森解法由管段i水頭損失節(jié)點(diǎn)方程的牛頓-拉夫森解法（續(xù)1）節(jié)點(diǎn)流量函數(shù)：式中，△Hj――為節(jié)點(diǎn)的水頭增量；

Gj――節(jié)點(diǎn)流量函數(shù)，各定流節(jié)點(diǎn)水頭增量的非線性函數(shù)，只與本節(jié)點(diǎn)及相鄰環(huán)節(jié)點(diǎn)水頭增量有關(guān)?？梢詫懗觯菏街校珿j(0,0,…,0)為給定節(jié)點(diǎn)水頭初值下的節(jié)點(diǎn)流量閉合差：

節(jié)點(diǎn)方程的牛頓-拉夫森解法（續(xù)1）節(jié)點(diǎn)流量函數(shù)：節(jié)點(diǎn)方程的牛頓-拉夫森解法（續(xù)2）由上二式，可得近似于G(0)為一系數(shù)矩陣，節(jié)點(diǎn)方程的牛頓-拉夫森解法（續(xù)2）由上二式，可得節(jié)點(diǎn)方程的牛頓-拉夫森解法（續(xù)3）定流節(jié)點(diǎn)流量方程組：

節(jié)點(diǎn)方程的牛頓-拉夫森解法（續(xù)3）定流節(jié)點(diǎn)牛頓-拉夫森算法計(jì)算步驟：1）擬定定流節(jié)點(diǎn)水頭初值，給定閉合差的最大允許值，手工計(jì)算時(shí)一般取=0.1L/s，計(jì)算機(jī)計(jì)算時(shí)一般取=0.01~0.1L/s；2）計(jì)算各定流節(jié)點(diǎn)流量閉合差△Q；3）判斷△Q是否均小于最大允許閉合差，如滿足，計(jì)算結(jié)束，轉(zhuǎn)（7）進(jìn)行后續(xù)計(jì)算，否則繼續(xù)下步；4）計(jì)算系數(shù)矩陣算；5）解線性方程組式，得定流節(jié)點(diǎn)水頭增量；6）將定流節(jié)點(diǎn)水頭增量施加到相應(yīng)節(jié)點(diǎn)上，得到新的節(jié)點(diǎn)水頭，作為新的初值（迭代值），轉(zhuǎn)第2）步重新計(jì)算，節(jié)點(diǎn)水頭迭代計(jì)算公式為：7）計(jì)算管段流速、節(jié)點(diǎn)自由水壓，計(jì)算結(jié)束。牛頓-拉夫森算法計(jì)算步驟：1）擬定定流節(jié)點(diǎn)水頭初值，給定閉合節(jié)點(diǎn)方程的牛頓-拉夫森解法（續(xù)4）

（節(jié)點(diǎn)流量手工平差算法）節(jié)點(diǎn)壓力平差算法。將系數(shù)矩陣的全部非主對(duì)角元素忽略后，可導(dǎo)出下式：

計(jì)算步驟同上述牛頓-拉夫森解法步驟。詳見P108節(jié)點(diǎn)方程的牛頓-拉夫森解法（續(xù)4）

（節(jié)點(diǎn)流量手工平差算法）解節(jié)點(diǎn)方程在假定每一節(jié)點(diǎn)水壓的條件下，應(yīng)用連續(xù)性方程以及管段壓降方程，通過計(jì)算求出每一節(jié)點(diǎn)的水壓。節(jié)點(diǎn)水壓已知后，即可以從任一管段兩端節(jié)點(diǎn)的水壓差得出該管段的水頭損失，進(jìn)一步從流量和水頭損失之間的關(guān)系算出管段流量。原理：在初步擬訂壓力的基礎(chǔ)上，逐步調(diào)整節(jié)點(diǎn)水壓以滿足連續(xù)性方程。

解節(jié)點(diǎn)方程在假定每一節(jié)點(diǎn)水壓的條件下，應(yīng)用連續(xù)性方程以及管段節(jié)點(diǎn)方程組具體步驟：①根據(jù)已知控制點(diǎn)的水壓標(biāo)高，假定各節(jié)點(diǎn)的初始水壓。②由hij=Hi-Hj=sqn的關(guān)系式求出管段流量。③驗(yàn)證每一節(jié)點(diǎn)的管段流量是否滿足連續(xù)性方程，即進(jìn)入該節(jié)點(diǎn)的流量代數(shù)和是否等于零，如不等于零，則按下式求出校正水壓值。④除了水壓已定的節(jié)點(diǎn)外，按校正每一節(jié)點(diǎn)的水壓，根據(jù)新的水壓，重復(fù)上列步驟計(jì)算，直到所有節(jié)點(diǎn)的進(jìn)出流量代數(shù)和達(dá)到預(yù)定的精確度為止。節(jié)點(diǎn)方程組具體步驟：①根據(jù)已知控制點(diǎn)的水壓標(biāo)高，假定各節(jié)點(diǎn)的【例5.4】圖5.10所示管網(wǎng)中共有8個(gè)節(jié)點(diǎn)和11根管段，各管段長度、直徑和各節(jié)點(diǎn)流量如圖標(biāo)示，各節(jié)點(diǎn)地面標(biāo)高見表5.14，節(jié)點(diǎn)(1)和(5)為水源節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)(8)為末端最不利壓力節(jié)點(diǎn)，要求自由壓力為20m。采用節(jié)點(diǎn)壓力平差法計(jì)算各管段流量與流速、各節(jié)點(diǎn)水頭與自由水壓，并確定水源節(jié)點(diǎn)(1)和(5)的泵站揚(yáng)程和水塔高度，（海曾-威廉系數(shù)CW=110）。

【例5.4】圖5.10所示管網(wǎng)中共有8個(gè)節(jié)點(diǎn)和11根管段，各【例5.4】

【解】節(jié)點(diǎn)(8)為已知壓力節(jié)點(diǎn)，要求自由壓力為20m，地面標(biāo)高為17.50m，所以，節(jié)點(diǎn)(8)計(jì)算節(jié)點(diǎn)壓力為H8=37.50m。以H8=37.50m為基礎(chǔ)，設(shè)定其余節(jié)點(diǎn)的初始?jí)毫Γ篐7=39m，H4=39m，H3=40m，H6=42m，H2=43m，H1=46m，H5=40m。初始節(jié)點(diǎn)壓力設(shè)定的自由度很大，一般只要保證管段具有比較合理的水力坡度，即可保證計(jì)算過程收斂?！纠?.4】【解】節(jié)點(diǎn)(8)為已知壓力節(jié)點(diǎn)，要求自由壓力為【例5.4】

【解】（續(xù)）由初始節(jié)點(diǎn)壓力為起始條件，應(yīng)用節(jié)點(diǎn)壓力平差公式(5.49)，進(jìn)行節(jié)點(diǎn)壓力平差計(jì)算。為了計(jì)算過程的穩(wěn)定性，節(jié)點(diǎn)壓力的校正公式采用計(jì)算過程和結(jié)果數(shù)據(jù)見表5.17。【例5.4】【解】（續(xù)）計(jì)算過程和結(jié)果數(shù)據(jù)見表5.17。迭代計(jì)算11次，滿足計(jì)算收斂條件，管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)壓力平差計(jì)算完成。管段流量、流速和水頭損失計(jì)算結(jié)果，見表5.18。

迭代計(jì)算11次，滿足計(jì)算收斂條件，管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)壓力平差計(jì)算完成。第5章給水管網(wǎng)水力分析

§

5.1給水管網(wǎng)水力特性分析

§5.2樹狀管網(wǎng)水力分析

§

5.3管網(wǎng)環(huán)方程組水力分析和計(jì)算

§

5.4管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)方程組水力分析和計(jì)算第5章給水管網(wǎng)水力分析節(jié)點(diǎn)流量方程（根據(jù)質(zhì)量守恒定律）含義：流入某一節(jié)點(diǎn)的流量等于流出該節(jié)點(diǎn)的流量。注意：1管段流量方向（指向節(jié)點(diǎn)為負(fù)，離開為正）

2節(jié)點(diǎn)流量方向（流入為負(fù)，流出為正）回顧節(jié)點(diǎn)流量方程（根據(jù)質(zhì)量守恒定律）含義：流入某一節(jié)點(diǎn)的流量等于（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][9][8][7][6][5][4][3][2]Q7Q3Q2Q1Q4Q5Q6Q8q1,h1q6,h6q5,h5q2,h2q3,h3q7,h7q8,h8q9,h9q4,h4環(huán)狀網(wǎng)節(jié)點(diǎn)流量方程組回顧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][9]

線性變換求出包括節(jié)點(diǎn)（5）和（6）的大節(jié)點(diǎn)連續(xù)性方程。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][9][8][7][6][5][4][3][2]Q7Q3Q2Q1Q4Q5Q6Q8q1,h1q6,h6q5,h5q2,h2q3,h3q7,h7q8,h8q9,h9q4,h4所有節(jié)點(diǎn)流量方程相加：見P127回顧線性變換（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8樹狀網(wǎng)節(jié)點(diǎn)流量方程組（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][7][6][5][4][3][2]Q7Q3Q2Q1Q4Q5Q6Q8q1,h1q6,h6q5,h5q2,h2q3,h3q7,h7q4,h4回顧樹狀網(wǎng)節(jié)點(diǎn)流量方程組（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7節(jié)點(diǎn)流量方程組經(jīng)過線性變化，可得到：

可以看出：樹狀網(wǎng)中，各管段流量qi可以用節(jié)點(diǎn)流量Qj表示出來?；仡櫣?jié)點(diǎn)流量方程組經(jīng)過線性變化，可得到：可以看出：樹狀網(wǎng)中，各管段壓降方程（根據(jù)能量守恒定律）管段兩端節(jié)點(diǎn)水頭之差等于該管段的壓降：

HFi–HTi=hi

i-1,2,…,MHFi——管段i的上端點(diǎn)水頭；

HTi——管段i的下端點(diǎn)水頭；

hi——管段i的壓降；

M——管段模型中的管段總數(shù)。注意：判斷上下端點(diǎn)時(shí)按管段設(shè)定的方向，而非實(shí)際流向。M個(gè)管段，可以列出M個(gè)方程?；仡櫣芏螇航捣匠蹋ǜ鶕?jù)能量守恒定律）管段兩端節(jié)點(diǎn)水頭之差等于該管（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][9][8][7][6][5][4][3][2]Q7Q3Q2Q1Q4Q5Q6Q8q1,h1q6,h6q5,h5q2,h2q3,h3q7,h7q8,h8q9,h9q4,h4環(huán)狀網(wǎng)管段壓降方程組回顧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][9]hi可以通過管段的水力特性表示hi=siqinhi=siqi|qi|n-1hi=siqi|qi|n-1-heii=1,2,…Mhi——管段壓降，m；qi——管段流量，m/s;si——管段阻力系數(shù)，應(yīng)為管段上管道、管件、閥門、泵站所以設(shè)施阻力之和；hei——管段揚(yáng)程，如管段上未設(shè)泵站，則hei=0；n——管段阻力指數(shù)。管段流向和設(shè)定方向一致，為正，即siqi|qi|n-1=siqin回顧hi可以通過管段的水力特性表示hi=siqin回顧管段壓降方程組的變換

如果一些管段首尾相連，形成一條路徑，將這些管段的能量守恒方程相加或相減，得到路徑能量方程。例：將管段[1]、[2]、[3]的能量方程相加，再減去管段[4]的能量方程，可導(dǎo)出從節(jié)點(diǎn)（7）到節(jié)點(diǎn)（8）之間一條路徑的能量方程，即：H7-H8=h1+h2+h3-h4（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][9][8][7][6][5][4][3][2]Q7Q3Q2Q1Q4Q5Q6Q8q1,h1q6,h6q5,h5q2,h2q3,h3q7,h7q8,h8q9,h9q4,h4回顧管段壓降方程組的變換如果一些管段首尾相連，形成一條路徑思考題：由節(jié)點(diǎn)能量方程導(dǎo)出：1）由節(jié)點(diǎn)（1）、（2）、（3）、（6）、（5）、（4）組成的回路能量方程。2）由節(jié)點(diǎn)（1）、（2）、（5）、（4）組成的環(huán)能量方程?？梢宰C明，對(duì)于任意環(huán)狀管網(wǎng)，環(huán)能量方程的一般形式為：回顧思考題：由節(jié)點(diǎn)能量方程導(dǎo)出：回顧恒定流基本方程組水力分析的數(shù)學(xué)含義就是解恒定流方程組。水力分析的工程意義就是已知給水管網(wǎng)部分水力學(xué)參數(shù)，求其余水力參數(shù)?；仡櫤愣骰痉匠探M水力分析的數(shù)學(xué)含義就是解恒定流方程組?；仡?.1給水管網(wǎng)水力特性分析（1）給水管網(wǎng)水力分析的數(shù)學(xué)含義：求解管網(wǎng)恒定流方程組。（2）管網(wǎng)水力分析命題：在滿足供水需求（用水量分布、供水壓力和水質(zhì)）條件下，確定給水管網(wǎng)的科學(xué)設(shè)計(jì)方案（管網(wǎng)布置、管徑計(jì)算、造價(jià)經(jīng)濟(jì)、運(yùn)行安全）。（3）給水管網(wǎng)的水力特性參數(shù)：

1）節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)流量、節(jié)點(diǎn)壓力、節(jié)點(diǎn)標(biāo)高、自由水頭；

2）管段：管段流量、管徑、長度、摩阻系數(shù)、管段壓降；

3）環(huán)：管網(wǎng)供水保證率、安全可靠性。5.1給水管網(wǎng)水力特性分析（1）給水管網(wǎng)水力分析的數(shù)學(xué)含義管網(wǎng)水力分析條件和目的:1、已知條件：（1）管網(wǎng)布置：枝狀管網(wǎng)、環(huán)狀管網(wǎng)；（2）節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)流量、地面標(biāo)高、服務(wù)壓力；（3）管段：長度、管徑、經(jīng)濟(jì)流速、摩阻系數(shù)；2、管網(wǎng)水力分析求解內(nèi)容：（1）計(jì)算管段流量；（2）計(jì)算節(jié)點(diǎn)壓力；（3）確定水泵流量、揚(yáng)程；3、管網(wǎng)水力分析目的——滿足安全供水目標(biāo)：（1）設(shè)計(jì)方案水力狀態(tài)－流量、壓力分布和變化；（2）管網(wǎng)事故、消防、轉(zhuǎn)輸流量工況校核。

管網(wǎng)水力分析條件和目的:1、已知條件：5.1.1管段水力特性1、節(jié)點(diǎn)方程：求解節(jié)點(diǎn)壓力Hi。方程數(shù)＝N-1。2、環(huán)方程：方程數(shù)＝環(huán)數(shù)。3、管段方程：方程數(shù)＝管段數(shù)。5.1.1管段水力特性1、節(jié)點(diǎn)方程：求解節(jié)點(diǎn)壓力Hi。方程5.1.2管網(wǎng)恒定流方程組求解條件（1）節(jié)點(diǎn)流量與節(jié)點(diǎn)水頭必須有一個(gè)已知已知節(jié)點(diǎn)水頭而未知節(jié)點(diǎn)流量的節(jié)點(diǎn)稱為定壓節(jié)點(diǎn)。已知節(jié)點(diǎn)流量而未知節(jié)點(diǎn)水頭的節(jié)點(diǎn)成為定流節(jié)點(diǎn)。

（2）管網(wǎng)中中至少有一個(gè)定壓節(jié)點(diǎn)5.1.2管網(wǎng)恒定流方程組求解條件（1）節(jié)點(diǎn)流量與節(jié)點(diǎn)水頭5.1.3管網(wǎng)恒定流方程組求解方法（1）樹狀管網(wǎng)水力計(jì)算各管段的流量是唯一確定的，與管段流量對(duì)應(yīng)的管段水頭損失、管段流速、節(jié)點(diǎn)壓力可以一次計(jì)算完成

（2）環(huán)狀管網(wǎng)水力計(jì)算將節(jié)點(diǎn)流量方程組和環(huán)能方程組轉(zhuǎn)換成節(jié)點(diǎn)壓力方程組或環(huán)校正流量方程組，通過求解方程組得到環(huán)狀管網(wǎng)的水力參數(shù)。解環(huán)方程組解節(jié)點(diǎn)方程組解管段方程組5.1.3管網(wǎng)恒定流方程組求解方法（1）樹狀管網(wǎng)水力計(jì)算解環(huán)方程水力分析方法

解環(huán)方程的基本思想：先進(jìn)行管段流量初分配，使節(jié)點(diǎn)流量連續(xù)性條件得到滿足，然后，在保持節(jié)點(diǎn)流量連續(xù)性不被破壞的前提下，通過施加環(huán)校正流量，設(shè)法使各環(huán)的能量方程得到滿足。解環(huán)方程水力分析方法解環(huán)方程的基本思想：先進(jìn)行管段流

在管網(wǎng)水力計(jì)算時(shí)，根據(jù)求解的未知數(shù)是管段流量還是節(jié)點(diǎn)水壓，可以分為解環(huán)方程、解節(jié)點(diǎn)方程二類。在管網(wǎng)水力計(jì)算時(shí)，根據(jù)求解的未知數(shù)是管段流量還是節(jié)點(diǎn)水

解環(huán)方程：針對(duì)求解單定壓節(jié)點(diǎn)環(huán)狀管網(wǎng)管段流量初分配：就是擬定各管段流量初值，使它們滿足流量節(jié)點(diǎn)連續(xù)性方程。環(huán)校正流量：就是沿順時(shí)針方向或逆時(shí)針方向給管網(wǎng)中一個(gè)環(huán)內(nèi)的每條管段施加一個(gè)相同的流量，不會(huì)改變節(jié)點(diǎn)的流量平衡。1).解環(huán)方程解環(huán)方程：針對(duì)求解單定壓節(jié)點(diǎn)環(huán)狀管網(wǎng)1).解環(huán)方程管網(wǎng)經(jīng)流量分配后，各節(jié)點(diǎn)已滿足連續(xù)性方程，可是由該流量求出的管段水頭損失，并不同時(shí)滿足L個(gè)環(huán)的能量方程，為此必須多次將各管段的流量反復(fù)調(diào)整，直到滿足能量方程，從而得出各管段的流量和水頭損失。原理：在初步分配流量的基礎(chǔ)上，逐步調(diào)整管段流量以滿足能量方程。管網(wǎng)經(jīng)流量分配后，各節(jié)點(diǎn)已滿足連續(xù)性方程，可是由該流量求出的解環(huán)方程具體步驟：

①根據(jù)連續(xù)性條件初步分配管段流量；②計(jì)算各管段的水頭損失hij(0)

=Sij(qij(0)

)n；③以順時(shí)針方向?yàn)檎?，逆時(shí)針方向?yàn)樨?fù)，計(jì)算各環(huán)的水頭損失閉合差△hi；④計(jì)算各管段的Sijqij和每一環(huán)的ΣSijqij；⑤計(jì)算各環(huán)的校正流量；⑥將管段流量加上校正流量重新計(jì)算水頭損失，直到最大閉合差小于允許誤差為止。

qij(1)=qij

(0)+△qs

(0)+△qn

(0)

解環(huán)方程具體步驟：2).解節(jié)點(diǎn)方程在假定每一節(jié)點(diǎn)水壓的條件下，應(yīng)用連續(xù)性方程以及管段壓降方程，通過計(jì)算求出每一節(jié)點(diǎn)的水壓。節(jié)點(diǎn)水壓已知后，即可以從任一管段兩端節(jié)點(diǎn)的水壓差得出該管段的水頭損失，進(jìn)一步從流量和水頭損失之間的關(guān)系算出管段流量。原理：在初步擬訂壓力的基礎(chǔ)上，逐步調(diào)整節(jié)點(diǎn)水壓以滿足連續(xù)性方程。

2).解節(jié)點(diǎn)方程在假定每一節(jié)點(diǎn)水壓的條件下，應(yīng)用連續(xù)性方程以節(jié)點(diǎn)方程組具體步驟：①根據(jù)已知控制點(diǎn)的水壓標(biāo)高，假定各節(jié)點(diǎn)的初始水壓。②由hij=Hi-Hj=sqn的關(guān)系式求出管段流量。③驗(yàn)證每一節(jié)點(diǎn)的管段流量是否滿足連續(xù)性方程，即進(jìn)入該節(jié)點(diǎn)的流量代數(shù)和是否等于零，如不等于零，則按下式求出校正水壓值。④除了水壓已定的節(jié)點(diǎn)外，按校正每一節(jié)點(diǎn)的水壓，根據(jù)新的水壓，重復(fù)上列步驟計(jì)算，直到所有節(jié)點(diǎn)的進(jìn)出流量代數(shù)和達(dá)到預(yù)定的精確度為止。節(jié)點(diǎn)方程組具體步驟：①根據(jù)已知控制點(diǎn)的水壓標(biāo)高，假定各節(jié)點(diǎn)的5.2樹狀管網(wǎng)水力分析

特點(diǎn)：（1）不存在環(huán)方程；（2）管段流量qi不變化，管段水頭損失hi不變化，節(jié)點(diǎn)方程組系數(shù)矩陣元素值為常數(shù)，未知節(jié)點(diǎn)壓力存在直接解。即直接求解線性化節(jié)點(diǎn)壓力方程組。

5.2樹狀管網(wǎng)水力分析特點(diǎn)：枝狀管網(wǎng)直接算法

1、管段流量：采用逆推法。從樹枝末端節(jié)點(diǎn)流量開始，用節(jié)點(diǎn)流量連續(xù)性方程，向前逐一累加，每一管段下游所有節(jié)點(diǎn)流量的和即為該管段的管段流量；

2、節(jié)點(diǎn)壓力（水頭）：采用順推法。從已知壓力節(jié)點(diǎn)出發(fā)，用管段能量方程求節(jié)點(diǎn)水頭，可立即解出。枝狀管網(wǎng)直接算法1、管段流量：采用逆推法。例5.1某城市樹狀給水管網(wǎng)系統(tǒng)如圖所示，節(jié)點(diǎn)（1）處為水廠清水池，向整個(gè)管網(wǎng)供水，管段[1]上設(shè)有泵站，其水力特性為：sp1=311.1(流量單位m3/s，水頭單位m),he1=42.6m，n=1.852。根據(jù)清水池高程設(shè)計(jì)，節(jié)點(diǎn)（1）水頭為H1=7.8m，各節(jié)點(diǎn)流量、各管段長度與直徑如圖所示，各節(jié)點(diǎn)地面標(biāo)高見表5.1，試進(jìn)行水力分析，計(jì)算各管段流量與流速、各節(jié)點(diǎn)水頭與自由水頭。節(jié)點(diǎn)編號(hào)(1)(2)(3)(4)(5）（6）（7）（8）（9）（10）地面標(biāo)高(m)9.811.511.815.217.413.312.813.712.515.00例5.1某城市樹狀給水管網(wǎng)系統(tǒng)如圖所示，節(jié)點(diǎn)（1）處為水廠單定壓節(jié)點(diǎn)樹狀管網(wǎng)水力分析

【例5.1】單定壓節(jié)點(diǎn)樹狀管網(wǎng)水力分析【例5.1】計(jì)

算

結(jié)

果泵站揚(yáng)程按水力特性公式計(jì)算：計(jì)

算

結(jié)

果泵站揚(yáng)程按水力特性公式計(jì)算：給水管網(wǎng)水力分析和計(jì)算課件給水管網(wǎng)水力分析和計(jì)算課件解環(huán)方程水力分析方法

解環(huán)方程的基本思想：先進(jìn)行管段流量初分配，使節(jié)點(diǎn)流量連續(xù)性條件得到滿足，然后，在保持節(jié)點(diǎn)流量連續(xù)性不被破壞的前提下，通過施加環(huán)校正流量，設(shè)法使各環(huán)的能量方程得到滿足。由于初分流量時(shí)是嚴(yán)格按照節(jié)點(diǎn)流量平衡來進(jìn)行的，所以連續(xù)性方程能夠滿足，但是能量方程就有可能不滿足，即環(huán)內(nèi)正反兩個(gè)方向的水頭損失不相等。環(huán)內(nèi)正反兩個(gè)方向的水頭損失之差稱作閉合差。調(diào)整管段流量，減少閉合差到一定精度范圍的過程就叫管網(wǎng)平差。解環(huán)方程水力分析方法解環(huán)方程的基本思想：先進(jìn)行管段流5.3管網(wǎng)環(huán)方程水力分析和計(jì)算管網(wǎng)自然環(huán)：?jiǎn)我婚]合回路。自然環(huán)數(shù)：L＝M－N＋1。（M＝L＋N－1）管網(wǎng)水力環(huán)方程：（1）管段方程線性化：對(duì)于管網(wǎng)中管段，給定初始工況點(diǎn)，對(duì)式（5.1）微分得該點(diǎn)的切線方程：

管段i的阻尼系數(shù)5.3管網(wǎng)環(huán)方程水力分析和計(jì)算管網(wǎng)自然環(huán)：?jiǎn)我婚]合回路。管（2）環(huán)方程線性化環(huán)方程轉(zhuǎn)換：未知管段流量未知環(huán)校正流量。式中，qi(0)－－管段初始分配流量；

△qk

－－環(huán)校正流量。（2）環(huán)方程線性化環(huán)方程轉(zhuǎn)換：未知管段流量環(huán)校正流

量方程：環(huán)校正流

量方程：環(huán)方程線性化－泰勒展開式在環(huán)校正流量初值點(diǎn)處，將環(huán)水頭函數(shù)用泰勒公式展開，忽略高次項(xiàng)，取線性項(xiàng)，得線性方程組：

環(huán)方程線性化－泰勒展開式在環(huán)校正流量初值點(diǎn)處在初步分配流量的基礎(chǔ)上，逐步調(diào)整管段流量以滿足能量方程。L個(gè)非線形的能量方程：環(huán)方程線性化－泰勒展開式在初步分配流量的基礎(chǔ)上，逐步調(diào)整管段流量以滿足能量方程。L個(gè)初步分配的流量一般不滿足能量方程：初步分配的流量一般不滿足能量方程：

初步分配流量與實(shí)際流量的的差額為Δq，實(shí)際流量應(yīng)滿足能量方程：初步分配流量與實(shí)際流量的的差額為Δq，實(shí)際流量將函數(shù)在分配流量上展開，并忽略高階微量：將函數(shù)在分配流量上展開，并忽略高階微量：方程組的第一部分稱為閉合差：方程組的第一部分稱為閉合差：

將閉合差項(xiàng)移到方程組的右邊，得到關(guān)于流量誤差（校正流量）的線性方程組：將閉合差項(xiàng)移到方程組的右邊，得到關(guān)于流量誤差（環(huán)方程矩陣形式將線性方程組式（5.19）表示成矩陣形式：系數(shù)矩陣：

（對(duì)角線元素）環(huán)方程矩陣形式將線性方程組式（5.19）表示成矩陣形式：（對(duì)（1）牛頓-拉夫森算法：1）擬定管段流量初值，給定閉合差最大允許值，手工計(jì)算時(shí)一般取=0.1~0.5m，計(jì)算機(jī)計(jì)算時(shí)一般取=0.01~0.1m；2）由式（5.20）計(jì)算各環(huán)水頭閉合差；3）閉合差均小于最大允許閉合差，則解環(huán)方程組結(jié)束，轉(zhuǎn)7）進(jìn)行后續(xù)計(jì)算；否則繼續(xù)下步；4）計(jì)算系數(shù)矩陣，式（5.26）；5）解線性方程組式（5.21），得環(huán)校正流量；6）將環(huán)校正流量施加到環(huán)內(nèi)所有管段，得到新的管段流量，作為新的初值（迭代值），轉(zhuǎn)第2）步重新計(jì)算，管段流量迭代計(jì)算公式為：(5.29)7）計(jì)算管段壓降、流速，用順推法求各節(jié)點(diǎn)水頭，最后計(jì)算節(jié)點(diǎn)自由水壓，計(jì)算結(jié)束。（1）牛頓-拉夫森算法：1）擬定管段流量初值，給定閉合差最大（2）哈代-克羅斯算法－水頭平差法哈代-克羅斯（HardyCrose）1936年提出，適合于手工計(jì)算。

系數(shù)矩陣為對(duì)稱正定、主對(duì)角優(yōu)勢(shì)稀疏矩陣，只保留主對(duì)角元素，忽略非對(duì)角元素，直接迭代求解：

哈代-克羅斯平差公式

（2）哈代-克羅斯算法－水頭平差法哈代-克羅斯（Hardy哈代-克羅斯法

Q1Q2Q3Q4Q5Q6456321哈代-克羅斯法Q1Q2Q3Q4Q5Q6456321Q1Q2Q3Q4Q5Q6456321Q1Q2Q3Q4Q5Q6456321忽略相鄰環(huán)校正流量和二階微量的影響：校正流量的符號(hào)與水頭損失閉合差的符號(hào)相反忽略相鄰環(huán)校正流量和二階微量的影響：校正流量的符號(hào)與水頭損失環(huán)方程組解法（管網(wǎng)平差）

哈代-克羅斯法解環(huán)方程組步驟：①繪制管網(wǎng)平差計(jì)算圖，標(biāo)出各計(jì)算管段的長度和各節(jié)點(diǎn)的地面標(biāo)高。②計(jì)算比流量、管段流量和節(jié)點(diǎn)總流量。③根據(jù)城鎮(zhèn)供水情況，擬定環(huán)狀網(wǎng)各管段的水流方向，按每一節(jié)點(diǎn)滿足Qi+qij=0的條件，并考慮供水可靠性要求分配流量，得出分配的管段流量qij(0)。④根據(jù)經(jīng)濟(jì)流速或查界限流量表選用各管段的管徑。⑤計(jì)算各管段水頭損失hij。環(huán)方程組解法（管網(wǎng)平差）

哈代-克羅斯法解環(huán)方程組步驟：①繪⑥假定各環(huán)內(nèi)水流順時(shí)針方向管段中的水頭損失為正，逆時(shí)針方向管段水頭損失為負(fù)，計(jì)算該環(huán)內(nèi)各管段的水頭損失代數(shù)和∑hij，如∑hij≠0，其差值為第一次閉合差Δh(0)。

【如果Δh(0)>0，說明順時(shí)針方向各管段中初步分配的流量多了些，反之，如Δh(0)<0，說明逆時(shí)針方向管段中的流量多些?！竣哂?jì)算各環(huán)內(nèi)各管段的Sijqij其總和∑Sijqij

，按下式求出校正流量。如閉合差為正，校正流量為負(fù)，反之則校正流量為正。⑥假定各環(huán)內(nèi)水流順時(shí)針方向管段中的水頭損失為正，逆時(shí)針方向管⑧設(shè)圖上的校正流量符號(hào)以順時(shí)針為正，逆時(shí)針方向?yàn)樨?fù)，凡流向和校正流量方向相同的管段，加上校正流量，否則減去校正流量。據(jù)此得第一次校正的管段流量式中，Δqs為本環(huán)的校正流量；Δqn為臨環(huán)的校正流量。⑨按此流量再行計(jì)算，如閉合差尚未達(dá)到允許的精度，在從第二步起按每次調(diào)整后的流量反復(fù)計(jì)算，直到每環(huán)的閉合差達(dá)到要求為止。手工計(jì)算，每環(huán)閉合差要求小于0.5m，大環(huán)閉合差小于1.0m。⑧設(shè)圖上的校正流量符號(hào)以順時(shí)針為正，逆時(shí)針方向?yàn)樨?fù)，凡流向和單水源管網(wǎng)平差

單水源管網(wǎng)平差泵站水塔0QtQp多水源管網(wǎng)平差

123481291110657∑Q-Ht-Hp對(duì)置水塔系統(tǒng)最高用水時(shí)

供水分界線泵站水塔0QtQp多水源管網(wǎng)平差123481泵站水塔0最大傳輸時(shí)

123481291110657∑Q′Qp′Qt′-Hp′Ht′對(duì)置水塔系統(tǒng)泵站水塔0最大傳輸時(shí)1234812911106虛環(huán)P95應(yīng)用虛環(huán)的觀念，將多水源管網(wǎng)轉(zhuǎn)化成為單水源管網(wǎng)。虛環(huán)——將各水源節(jié)點(diǎn)與虛節(jié)點(diǎn)用虛管段連接成的環(huán)。虛管段——水源節(jié)點(diǎn)與虛節(jié)點(diǎn)相連接的管段。虛管段中的流量等于水源(定壓)節(jié)點(diǎn)的供水量，管段流量方向是從虛節(jié)點(diǎn)流向水源節(jié)點(diǎn)。虛管段的水頭損失等于各水源節(jié)點(diǎn)水壓，方向是水源節(jié)點(diǎn)指向虛節(jié)點(diǎn)。虛管段無阻力，虛擬設(shè)一泵站，也無阻力。虛節(jié)點(diǎn)水頭H0=0定壓節(jié)點(diǎn)流量=0。虛環(huán)哈代-克羅斯平差算法的改進(jìn)

1）改各環(huán)同時(shí)平差為每次只平差一個(gè)環(huán)每次只平差一個(gè)環(huán)，平差后立即更新管段流量，后面的平差用新的值計(jì)算閉合差，則平差的收斂速度可以得到提高。2）優(yōu)先平差閉合差較大的環(huán)每次只平差一個(gè)環(huán)時(shí)，可以選擇閉合差絕對(duì)值最大或較大的環(huán)進(jìn)行平差，因?yàn)檫@樣傳遞出去的閉合差最大，計(jì)算效率最高。3）改自然環(huán)平差為回路（大環(huán)）平差由多個(gè)相鄰環(huán)合并可以組成回路（大環(huán)），同樣可以列出回路平差公式，計(jì)算效率得以提高。選擇合并環(huán)的原則，一是閉合差方向相同，二是閉合差絕對(duì)值比較大。哈代-克羅斯平差算法的改進(jìn)1）改各環(huán)同時(shí)平差為每次只平差【例5.2】某給水管網(wǎng)如圖5.6所示，節(jié)點(diǎn)地面標(biāo)高見表5.6，節(jié)點(diǎn)（8）為定壓節(jié)點(diǎn)，已知其節(jié)點(diǎn)水頭為H8=41.50m，采用海曾-威廉公式計(jì)算水頭損失，Cw=110，最大允許閉合差=0.1m，求各管段流量、流速、壓降，各節(jié)點(diǎn)水頭和自由水壓?！窘狻吭摴芫W(wǎng)為兩個(gè)環(huán)，管段初分配流量已經(jīng)完成，有關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算如表5.7。

圖5.6【例5.2】某給水管網(wǎng)如圖5.6所示，節(jié)點(diǎn)地面標(biāo)高見表5.6各環(huán)水頭閉合差計(jì)算：求系數(shù)矩陣：

各環(huán)水頭閉合差計(jì)算：求系數(shù)矩陣：重新計(jì)算各環(huán)水頭閉合差：

解線性方程組：得環(huán)校正流量解為：，施加環(huán)校正流量，得到新的管段流量，重新計(jì)算有關(guān)管段數(shù)據(jù)，見表5.8。重新計(jì)算各環(huán)水頭閉合差：解線性方程組：得環(huán)校正流量解為：閉合差減小，但仍不滿足要求，需再次構(gòu)成系數(shù)矩陣，并解線性方程組：

解此方程得：施加該環(huán)流量，得到新的管段流量，重新計(jì)算有關(guān)管段數(shù)據(jù)，見表5.9。重新計(jì)算各環(huán)水頭閉合差：

閉合差減小，但仍不滿足要求，需再次構(gòu)成系數(shù)矩陣，并解線性方程各環(huán)水頭閉合差滿足要求，平差計(jì)算結(jié)束。計(jì)算管段流速，見表5.9。由節(jié)點(diǎn)（8）出發(fā)，用順推法計(jì)算各節(jié)點(diǎn)水頭和節(jié)點(diǎn)自由水壓，見表5.10。（2）哈代-克羅斯算法（1936）系數(shù)矩陣F(0)

是一個(gè)對(duì)稱正定的主對(duì)角優(yōu)勢(shì)稀疏矩陣，主對(duì)角元素值是較大的正值，非主對(duì)角的大多數(shù)元素為零，不為零的元素都是較小的負(fù)值，只保留主對(duì)角元素，忽略非主對(duì)角元素，則線性方程組可直接求解：(5.30)此式稱為哈代-克羅斯平差公式，哈代-克羅斯算法又稱為水頭平差法。哈代-克羅斯算法水力分析的步驟與牛頓-拉夫森算法基本相同，只是計(jì)算環(huán)校正流量采用水頭平差公式（5.30），代替解線性方程組。各環(huán)水頭閉合差滿足要求，平差計(jì)算結(jié)束。（2）哈代-克羅斯算法【例5.3】多定壓節(jié)點(diǎn)管網(wǎng)如圖5.7所示，節(jié)點(diǎn)(1)為清水池，節(jié)點(diǎn)水頭12.00m，節(jié)點(diǎn)(5)為水塔，節(jié)點(diǎn)水頭為48.00m，各節(jié)點(diǎn)地面標(biāo)高如表5.11，管段［1］上設(shè)有泵站，其水力特性如圖中所示，計(jì)算各管段流量與流速、各節(jié)點(diǎn)水頭與自由水壓（水頭損失采用海曾-威廉公式計(jì)算，C=110）?！窘狻吭O(shè)虛節(jié)點(diǎn)（0）及從節(jié)點(diǎn)（0）到定壓節(jié)點(diǎn)（1）和（5）的兩條虛管段［10］和［11］，虛管段設(shè)有泵站，泵站靜揚(yáng)程為定壓節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)水頭，分別為12.00和48.00m，如圖5.7所示。由虛管段［10］和［11］與管段［1］、［2］、［3］和［4］構(gòu)成一個(gè)環(huán)，稱為虛環(huán)，