函數(shù)的微分課件

第五節(jié)函數(shù)的微分機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一.微分的概念二.微分的幾何意義及函數(shù)的線性化三.微分的運(yùn)算法則四.微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1/4/20231第五節(jié)函數(shù)的微分機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁教學(xué)目標(biāo)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1.深刻理解微分的概念和幾何意義.掌握一元函數(shù)在一點(diǎn)可微與可導(dǎo)的關(guān)系.熟練應(yīng)用微分的基本公式與運(yùn)算法則求解初等函數(shù)的微分.靈活應(yīng)用一元函數(shù)一階微分形式不變性求解復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及微分.

5.會(huì)用微分的定義求解微分,了解函數(shù)的線性化,會(huì)用微分作近似計(jì)算.1/4/20232教學(xué)目標(biāo)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)一.微分的概念機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)函數(shù)y=?(x)的自變量x在其定義區(qū)間I內(nèi)一點(diǎn)x0處取得改變量Δx,且x0+Δx∈I時(shí),函數(shù)有相應(yīng)的改變量Δy=f(x0+Δx)－f(x0).一般而言,Δy是關(guān)于Δx的一個(gè)較復(fù)雜的表達(dá)式,處理起來往往較困難.因此,有必要找到一個(gè)近似表示Δy的方法,并且滿足兩個(gè)要求:一是計(jì)算簡(jiǎn)便,二是容易估計(jì)近似誤差.──這便是函數(shù)的微分要解決的問題.

很小時(shí)Δy在經(jīng)濟(jì)應(yīng)用與分析中,我們經(jīng)常需要計(jì)算當(dāng)?shù)闹担?/4/20233一.微分的概念機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束為了了解函數(shù)的改變量對(duì)自變量的改變量的依賴關(guān)系,我們首先考察下面的引例.引例:如圖所示,若正方形的邊長(zhǎng)為x0,則它的面積S=x02是x0的函數(shù),若其邊長(zhǎng)由

x0

變到x0+Δx時(shí),其面積改變多少?面積的改變量為x01/4/20234機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束ΔS可分成兩部分:(1)2x0Δx:是Δx的線性函數(shù),且為ΔS的主要部分;(2)(Δx)2:是當(dāng)Δx→

0時(shí)比Δx高階的無窮小,即(Δx)2

=

o(Δx).當(dāng)Δx很小時(shí),可以忽略不計(jì).x0關(guān)于△x

的線性主部高階無窮小時(shí)為故的微分稱為函數(shù)x2在Δy可分成兩部分:(1)3x02Δx是Δx的線性函數(shù),為Δy的主

再如:函數(shù)y=x3在點(diǎn)x0處的改變量為

1/4/20235機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束ΔS機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束要部分;(2)3x0(Δx)2+(Δx)3

當(dāng)Δx→

0時(shí)比Δx高階的無窮小,可以忽略不計(jì).問題:引例中的線性函數(shù)(即改變量的主要部分)是否是所有函數(shù)的改變量都含有呢?它是什么?如何求?將上述問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,便可引出函數(shù)微分的定義.

定義5

設(shè)函數(shù)y=?(x)在某區(qū)間I內(nèi)有定義,且x0,x0+Δx∈I,如果函數(shù)的改變量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)可表為

其中A是僅與x0有關(guān)而與Δx無關(guān)的一個(gè)常數(shù),o(Δx)是當(dāng)Δx→0時(shí)比Δx高階的無窮小.則稱?(x)在點(diǎn)x0

處可微(diff-1/4/20236機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束要部erentiable);稱Δy的線性(當(dāng)A≠0時(shí)稱為線性主要)部分

A·Δx為函數(shù)y=?(x)在點(diǎn)x0

處的微分(differential).記為或即即可微函數(shù)的改變量可分為兩部分:一部分是微分dy=A·Δx.它是Δx的線性函數(shù),是函數(shù)改變量Δy的主要部分,故把第一項(xiàng)稱為Δy的線性主部(linearpart);另一部分是當(dāng)Δx→0時(shí)比由定義可得

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1/4/20237erentiable);稱Δy的線性(當(dāng)A≠0Δx高階的無窮小,它的具體表達(dá)式往往是復(fù)雜的,但當(dāng)|Δx|很小時(shí),在近似計(jì)算Δy時(shí)可以忽略不計(jì)．

現(xiàn)在的問題是:函數(shù)在點(diǎn)x0處可微的條件是什么?如果可微,常數(shù)A為何值?下面的定理不但解決了這兩個(gè)問題,而且還給出了函數(shù)在一點(diǎn)可微與可導(dǎo)的關(guān)系．

定理5(可微的條件)

函數(shù)

y=?(x)在點(diǎn)x0處可微的充要條件是函數(shù)y=?(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),且

A=f′(x0),從而有

dy=f′(x)Δx.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1/4/20238Δx高階的無窮小,它的具體表達(dá)式往往是復(fù)雜的,但當(dāng)|Δx機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束所以函數(shù)

y=?(x)在點(diǎn)x0處可微.證充分性.如果函數(shù)?(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),即

有極限存在與無窮小的關(guān)系,有則為△y的線性主部時(shí)此項(xiàng)即1/4/20239機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束所以其中A與Δx無關(guān).上式兩端同除以Δx,并令Δx→0,得必要性.設(shè)函數(shù)?(x)在點(diǎn)x0處可微,即

上式說明函數(shù)?(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),且

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注1

導(dǎo)數(shù)與微分都討論了Δx與Δy的關(guān)系,所以導(dǎo)數(shù)與微分之間應(yīng)有內(nèi)在的聯(lián)系,定理5揭示了這種聯(lián)系.由定理5可知：一元函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)與可微是等價(jià)的.從而求函數(shù)在一點(diǎn)的微分,可先計(jì)算函數(shù)在這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),然后再1/4/202310其中A與Δx無關(guān).上式兩端同除以Δx,并令Δx→0,但是,導(dǎo)數(shù)與微分是兩個(gè)不同的概念.導(dǎo)數(shù)f′(x0)是函數(shù)?(x)在點(diǎn)x0處的瞬變化率,而微分機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束乘以自變量的改變量,即處改變量Δy

的線性主部;導(dǎo)數(shù)的值只與x0有關(guān),而微分的值既與x0有關(guān),還與

Δx有關(guān).是函數(shù)?(x)在點(diǎn)x0例1設(shè)函數(shù)?(x)

=x2－2x,求當(dāng)自變量x從1變到1.01時(shí),函數(shù)的改變量Δy與函數(shù)的微分dy.解由題意知,

x0=1,Δx=0.01.則1/4/202311但是,導(dǎo)數(shù)與微分是兩個(gè)不同的概念.導(dǎo)數(shù)f′(機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則

即而注21/4/202312機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束如果函數(shù)y=?(x)在區(qū)間I內(nèi)的每一點(diǎn)都可微,則稱函數(shù)?(x)為區(qū)間I內(nèi)的的可微函數(shù),即對(duì)任意的

x∈

I,有特別地,當(dāng)y=x時(shí),Δy=Δx,且從而由此說明,若x為自變量,則即自變量x的改變量Δx就是自變量的微分dx.所以函數(shù)?(x)的微分可以寫成1/4/202313機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束從而注3記號(hào)

作為一個(gè)整體用來表示導(dǎo)數(shù),此記號(hào)可以理解為函數(shù)的微分與自變量的微分之商,因此導(dǎo)數(shù)也可稱為微商(derivative).由此可知,由函數(shù)的微分可直接求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束因?qū)?shù)即為微商,則由參數(shù)方程

……(3.4.1)所確定的函數(shù)y=f(x)如果在都可微,且時(shí),則其導(dǎo)數(shù)為1/4/202314從而注3記號(hào)作為一個(gè)整體用來表示導(dǎo)數(shù),此記號(hào)可以機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解因?yàn)槔?設(shè)求所以故注4求導(dǎo)數(shù)與求微分的方法都叫做微分法.這正是由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)公式(3.4.2).1/4/202315機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解二.微分的幾何意義及函數(shù)的線性化1.微分的幾何意義為了對(duì)微分有比較直觀的了解,下面我們來探討微分的幾何意義.

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束L:y=?(x)oxyx0Ny0M0

(x0,y0)·T如圖所示,M0T是函數(shù)曲線L:y=?(x)在點(diǎn)M0處的切線,1/4/202316二.微分的幾何意義及函數(shù)的線性化1.微分的幾何意義機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束L:y=?(x)oxyx0}ΔyNy0M(x0+Δx,y0+Δy)x0+Δx}dyM0

(x0,y0)·dx如圖所示,M0T是函數(shù)曲線L:y=?(x)在點(diǎn)M0處的切線,當(dāng)點(diǎn)M0

的橫坐標(biāo)x0

有一個(gè)改變量Δx時(shí),曲線相應(yīng)的縱坐標(biāo)的改變量為

NK=MN·tanα而M0N=dx,則切線相應(yīng)的縱坐標(biāo)的改變量為K?α?αT切線上相應(yīng)的縱坐標(biāo)的改變量曲線上相應(yīng)的縱坐標(biāo)的改變量1/4/202317機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束L:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束由近似公式(3.5.1)知,函數(shù)y=?(x)在點(diǎn)M0處的微分dy的幾何意義是:當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處取得改變量Δx時(shí),微分dy就是曲線

y=?(x)在點(diǎn)

M0處的切線的縱坐標(biāo)的改變量．微分的幾何意義：

L:y=?(x)oxyx0}ΔyNy0M(x0+Δx,y0+Δy)x0+Δx}dyM0

(x0,y0)·dxK?α?αT1/4/202318機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束*2.函數(shù)的線性化定義6

若函數(shù)y=?(x)在點(diǎn)x=x0處可導(dǎo),則稱其在點(diǎn)x=x0處的切線

P1(x)=f(x0)+f′(x0)(x－x0)是函數(shù)y=?(x)在x=x0點(diǎn)的線性化(linearization);若用P1(x)去逼近?(x),即

f(x)≈P1(x).則稱P1(x)為?(x)的線性逼近(linearapproximation),稱點(diǎn)x=x0為逼近的中心．1/4/202319機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束*2機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解因?yàn)槔?求函數(shù)?(x)

=ex－1在x=0處的線性化．所以?(x)

=ex－1如圖所示,?(x)

=ex－1在x=0處的線性逼近為x≈ex－1.在x=0處的線性化為

1/4/202320機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注5教材p96的表給出了?(x)

=ex－1在x=0附近的幾個(gè)函數(shù)值、逼近值及誤差.從此表中可清楚地看到:用P1(x)=x去逼近?(x)

=ex－1時(shí),在x=0附近的x值,精度是非常高的．

由微分的幾何意義知：微分dy

就是曲線

y=?(x)在點(diǎn)M0處的切線的縱坐標(biāo)的改變量,也就是其線性逼近函數(shù)的改變量.換句話說,在曲線

y=?(x)某點(diǎn)的鄰域內(nèi)與曲線非常接近的那條直線就是曲線y=?(x)在該點(diǎn)的切線,即函數(shù)y=?(x)在x=x0處的線性化函數(shù)曲線

1/4/202321機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

注6對(duì)于可微函數(shù)y=?(x)而言,當(dāng)Δy是曲線y=?(x)上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的改變量時(shí),dy就是該曲線的切線上相應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的相應(yīng)改變量.當(dāng)|Δx|很小時(shí),其誤差

|Δy–dy|=MK比|Δx|小得多(見例1).

L:y=?(x)oxyx0}ΔyNy0M(x0+Δx,y0+Δy)x0+Δx}dyM0

(x0,y0)·dxK?α?αT故當(dāng)|Δx|→0時(shí),可“以直代曲”——總可以用切線段M0K去代替曲線弧M0M,用函數(shù)微分NK=dy去近似代替函數(shù)改變量NM=Δy.1/4/202322機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

因此在相應(yīng)點(diǎn)M0的附近,我們可以用切線段近似地代替曲線段,即用dy代替Δy,這正是以直代曲──在局部范圍內(nèi)用線性函數(shù)近似代替非線性函數(shù),在幾何上就是局部用切線段代替曲線段.這在數(shù)學(xué)上稱為非線性函數(shù)的局部線性化,這是微分學(xué)的基本思想方法之一．這種方法是在自然科學(xué)、工程問題、經(jīng)濟(jì)管理問題的研究中經(jīng)常采用的一種技術(shù)手段．

1/4/202323機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三.微分的運(yùn)算法則1.基本初等函數(shù)的微分公式依據(jù)導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系,利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,便可得到相應(yīng)的微分公式和微分運(yùn)算法則．1/4/202324機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1/4/202325機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束12機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1/4/202326機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束12機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.微分的四則運(yùn)算法則設(shè)函數(shù)u(x)和v(x)都是x的可微函數(shù),則(C為常數(shù))(v≠0)(1)

(2)(3)證只證(3),其余請(qǐng)讀者自行證明.1/4/202327機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束由微分與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,有1/4/202328機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束由微機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.復(fù)合函數(shù)的微分法則設(shè)函數(shù)y=?(u)和

都可微,則復(fù)合函數(shù)的微分為微分形式不變

注7無論u是中間變量還是自變量的可微函數(shù),微分dy=f′(u)du都保持不變,這一性質(zhì)稱為一元函數(shù)的一階微分形式不變性(invariancedifferentialforms).1/4/202329機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一階微分形式的不變性,使得我們?cè)谟?jì)算函數(shù)的微分時(shí)不必考慮是對(duì)自變量的微分,還是對(duì)中間變量的微分,這給微分運(yùn)算帶來極大的方便．解法一(復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則)由于例4求函數(shù)

的微分.所以1/4/202330機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解法二(一階微分形式不變性

)由于解由乘積的微分法則,得

例5求函數(shù)

的微分.1/4/202331機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例6求由方程y=x＋arctan(y－2x)所確定的隱函數(shù)y=f(x)的微分.解方程兩端微分,得即解出dy,得1/4/202332機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例7將適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)填入下列括號(hào)內(nèi),使等式成立.

注8

例7是微分的反問題,是第五章不定積分要研究的內(nèi)容.數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性,例如:由于則22=(),41/4/202333機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例7機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束四.微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用則當(dāng)f′(x0)≠0時(shí),有則當(dāng)Δx→0時(shí),dy與Δy是等價(jià)無窮小,即dy≈Δy.故當(dāng)|Δx|很小時(shí)有近似公式由于……(3.5.1)近似公式(3.5.1)滿足兩個(gè)要求:一是計(jì)算簡(jiǎn)便,二是近似程度好.由此,我們可以得到如下兩個(gè)近似計(jì)算公式:1/4/202334機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束四.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束利用公式(1)可近似計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)x0附近的近似值:在點(diǎn)x0處,當(dāng)|Δx|很小時(shí),用f(x0)+f′(x0)Δx近似計(jì)算函數(shù)值

f(x0+Δx);

利用公式(2)可近似計(jì)算函數(shù)的改變量:在點(diǎn)x0處,當(dāng)|Δx|很小時(shí),用f′(x0)Δx近似計(jì)算函數(shù)的改變量

Δy=f(x0+Δx)－f(x0).若令x=

x0+Δx,則Δx=x－x0,近似公式(1)變?yōu)?/p>

……(3.5.2)1/4/202335機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束公式(3.5.2)使用原則:

1)f(x0),

f′(x0)都好算;2)x與x0充分接近．特別地,取x0

=0,且|Δx|很小時(shí),公式(3.5.2)又變?yōu)椤?3.5.3)當(dāng)|Δx|很小時(shí),用公式(3.5.3)可以推得以下幾個(gè)常用的近似公式(同學(xué)們也可以從等價(jià)無窮小可相互替代的角度去解釋這些近似公式)：(x用弧度作單位來表示);

(即|x0－x

|很小)1/4/202336機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束公式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束證只證(v),其余請(qǐng)讀者自行證明.令則f(0)=1,

應(yīng)用公式(3.5.3),即得例8求下列各數(shù)的近似值:解這是求函數(shù)值的近似問題.(1)sin29o可以看成是函數(shù)sinx在點(diǎn)

處的函數(shù)值.令(|Δx|較小);1/4/202337機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束證則

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束處的函數(shù)值.令(|Δx|較小);可以看成是函數(shù)ex在點(diǎn)

則

1/4/202338則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例9現(xiàn)有一筆錢P存入銀行,年復(fù)利為i%,問大約存入多少年后可使這筆錢為P的e倍?解令r=i%,按年復(fù)利計(jì)算,則t年后在銀行的存款為P(1＋r

)t

.則有即上式兩邊取對(duì)數(shù),得由于當(dāng)|r|很小時(shí),ln(1+r)≈r,

則1/4/202339機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束上式表明了:當(dāng)i(不妨設(shè)i<10)很小時(shí),約需年,存款可以變?yōu)镻的e倍．1/4/202340機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束上式內(nèi)容小結(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1.微分的概念微分的定義可微可導(dǎo)2.微分的幾何意義及函數(shù)的線性化微分的幾何意義函數(shù)的線性化3.微分的運(yùn)算法則微分公式微分的四則運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的微分法則1/4/202341內(nèi)容小結(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一元函數(shù)的一階微分形式不變性:(u是自變量或中間變量)4.微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)|Δx|很小時(shí),兩個(gè)近似計(jì)算公式:(x用弧度作單位來表示);

特別地,當(dāng)|Δx|很小時(shí),有1/4/202342機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一元機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考練習(xí)1.已知求解(一階微分形式不變性

)1/4/202343機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.求解1/4/202344機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.作業(yè)：P1001,2(單或雙),4,5,6,7機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1/4/202345作業(yè)：P100機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1.正確使用導(dǎo)數(shù)及微分公式和法則2.熟練掌握求導(dǎo)方法和技巧(1)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù):注意討論分界點(diǎn)處左右導(dǎo)數(shù)是否存在和相等(2)隱函數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)微分法(3)參數(shù)方程求導(dǎo)法極坐標(biāo)方程求導(dǎo)(4)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法(可利用微分形式不變性)轉(zhuǎn)化(5)高階導(dǎo)數(shù)的求法逐次求導(dǎo)歸納;間接求導(dǎo)法;利用萊布尼茨公式.微分法:(可利用微分形式不變性)可導(dǎo)出1/4/202346機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1.第五節(jié)函數(shù)的微分機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一.微分的概念二.微分的幾何意義及函數(shù)的線性化三.微分的運(yùn)算法則四.微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1/4/202347第五節(jié)函數(shù)的微分機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁教學(xué)目標(biāo)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1.深刻理解微分的概念和幾何意義.掌握一元函數(shù)在一點(diǎn)可微與可導(dǎo)的關(guān)系.熟練應(yīng)用微分的基本公式與運(yùn)算法則求解初等函數(shù)的微分.靈活應(yīng)用一元函數(shù)一階微分形式不變性求解復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及微分.

5.會(huì)用微分的定義求解微分,了解函數(shù)的線性化,會(huì)用微分作近似計(jì)算.1/4/202348教學(xué)目標(biāo)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)一.微分的概念機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)函數(shù)y=?(x)的自變量x在其定義區(qū)間I內(nèi)一點(diǎn)x0處取得改變量Δx,且x0+Δx∈I時(shí),函數(shù)有相應(yīng)的改變量Δy=f(x0+Δx)－f(x0).一般而言,Δy是關(guān)于Δx的一個(gè)較復(fù)雜的表達(dá)式,處理起來往往較困難.因此,有必要找到一個(gè)近似表示Δy的方法,并且滿足兩個(gè)要求:一是計(jì)算簡(jiǎn)便,二是容易估計(jì)近似誤差.──這便是函數(shù)的微分要解決的問題.

很小時(shí)Δy在經(jīng)濟(jì)應(yīng)用與分析中,我們經(jīng)常需要計(jì)算當(dāng)?shù)闹担?/4/202349一.微分的概念機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束為了了解函數(shù)的改變量對(duì)自變量的改變量的依賴關(guān)系,我們首先考察下面的引例.引例:如圖所示,若正方形的邊長(zhǎng)為x0,則它的面積S=x02是x0的函數(shù),若其邊長(zhǎng)由

x0

變到x0+Δx時(shí),其面積改變多少?面積的改變量為x01/4/202350機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束ΔS可分成兩部分:(1)2x0Δx:是Δx的線性函數(shù),且為ΔS的主要部分;(2)(Δx)2:是當(dāng)Δx→

0時(shí)比Δx高階的無窮小,即(Δx)2

=

o(Δx).當(dāng)Δx很小時(shí),可以忽略不計(jì).x0關(guān)于△x

的線性主部高階無窮小時(shí)為故的微分稱為函數(shù)x2在Δy可分成兩部分:(1)3x02Δx是Δx的線性函數(shù),為Δy的主

再如:函數(shù)y=x3在點(diǎn)x0處的改變量為

1/4/202351機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束ΔS機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束要部分;(2)3x0(Δx)2+(Δx)3

當(dāng)Δx→

0時(shí)比Δx高階的無窮小,可以忽略不計(jì).問題:引例中的線性函數(shù)(即改變量的主要部分)是否是所有函數(shù)的改變量都含有呢?它是什么?如何求?將上述問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,便可引出函數(shù)微分的定義.

定義5

設(shè)函數(shù)y=?(x)在某區(qū)間I內(nèi)有定義,且x0,x0+Δx∈I,如果函數(shù)的改變量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)可表為

其中A是僅與x0有關(guān)而與Δx無關(guān)的一個(gè)常數(shù),o(Δx)是當(dāng)Δx→0時(shí)比Δx高階的無窮小.則稱?(x)在點(diǎn)x0

處可微(diff-1/4/202352機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束要部erentiable);稱Δy的線性(當(dāng)A≠0時(shí)稱為線性主要)部分

A·Δx為函數(shù)y=?(x)在點(diǎn)x0

處的微分(differential).記為或即即可微函數(shù)的改變量可分為兩部分:一部分是微分dy=A·Δx.它是Δx的線性函數(shù),是函數(shù)改變量Δy的主要部分,故把第一項(xiàng)稱為Δy的線性主部(linearpart);另一部分是當(dāng)Δx→0時(shí)比由定義可得

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1/4/202353erentiable);稱Δy的線性(當(dāng)A≠0Δx高階的無窮小,它的具體表達(dá)式往往是復(fù)雜的,但當(dāng)|Δx|很小時(shí),在近似計(jì)算Δy時(shí)可以忽略不計(jì)．

現(xiàn)在的問題是:函數(shù)在點(diǎn)x0處可微的條件是什么?如果可微,常數(shù)A為何值?下面的定理不但解決了這兩個(gè)問題,而且還給出了函數(shù)在一點(diǎn)可微與可導(dǎo)的關(guān)系．

定理5(可微的條件)

函數(shù)

y=?(x)在點(diǎn)x0處可微的充要條件是函數(shù)y=?(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),且

A=f′(x0),從而有

dy=f′(x)Δx.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1/4/202354Δx高階的無窮小,它的具體表達(dá)式往往是復(fù)雜的,但當(dāng)|Δx機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束所以函數(shù)

y=?(x)在點(diǎn)x0處可微.證充分性.如果函數(shù)?(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),即

有極限存在與無窮小的關(guān)系,有則為△y的線性主部時(shí)此項(xiàng)即1/4/202355機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束所以其中A與Δx無關(guān).上式兩端同除以Δx,并令Δx→0,得必要性.設(shè)函數(shù)?(x)在點(diǎn)x0處可微,即

上式說明函數(shù)?(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),且

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注1

導(dǎo)數(shù)與微分都討論了Δx與Δy的關(guān)系,所以導(dǎo)數(shù)與微分之間應(yīng)有內(nèi)在的聯(lián)系,定理5揭示了這種聯(lián)系.由定理5可知：一元函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)與可微是等價(jià)的.從而求函數(shù)在一點(diǎn)的微分,可先計(jì)算函數(shù)在這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),然后再1/4/202356其中A與Δx無關(guān).上式兩端同除以Δx,并令Δx→0,但是,導(dǎo)數(shù)與微分是兩個(gè)不同的概念.導(dǎo)數(shù)f′(x0)是函數(shù)?(x)在點(diǎn)x0處的瞬變化率,而微分機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束乘以自變量的改變量,即處改變量Δy

的線性主部;導(dǎo)數(shù)的值只與x0有關(guān),而微分的值既與x0有關(guān),還與

Δx有關(guān).是函數(shù)?(x)在點(diǎn)x0例1設(shè)函數(shù)?(x)

=x2－2x,求當(dāng)自變量x從1變到1.01時(shí),函數(shù)的改變量Δy與函數(shù)的微分dy.解由題意知,

x0=1,Δx=0.01.則1/4/202357但是,導(dǎo)數(shù)與微分是兩個(gè)不同的概念.導(dǎo)數(shù)f′(機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則

即而注21/4/202358機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束如果函數(shù)y=?(x)在區(qū)間I內(nèi)的每一點(diǎn)都可微,則稱函數(shù)?(x)為區(qū)間I內(nèi)的的可微函數(shù),即對(duì)任意的

x∈

I,有特別地,當(dāng)y=x時(shí),Δy=Δx,且從而由此說明,若x為自變量,則即自變量x的改變量Δx就是自變量的微分dx.所以函數(shù)?(x)的微分可以寫成1/4/202359機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束從而注3記號(hào)

作為一個(gè)整體用來表示導(dǎo)數(shù),此記號(hào)可以理解為函數(shù)的微分與自變量的微分之商,因此導(dǎo)數(shù)也可稱為微商(derivative).由此可知,由函數(shù)的微分可直接求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束因?qū)?shù)即為微商,則由參數(shù)方程

……(3.4.1)所確定的函數(shù)y=f(x)如果在都可微,且時(shí),則其導(dǎo)數(shù)為1/4/202360從而注3記號(hào)作為一個(gè)整體用來表示導(dǎo)數(shù),此記號(hào)可以機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解因?yàn)槔?設(shè)求所以故注4求導(dǎo)數(shù)與求微分的方法都叫做微分法.這正是由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)公式(3.4.2).1/4/202361機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解二.微分的幾何意義及函數(shù)的線性化1.微分的幾何意義為了對(duì)微分有比較直觀的了解,下面我們來探討微分的幾何意義.

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束L:y=?(x)oxyx0Ny0M0

(x0,y0)·T如圖所示,M0T是函數(shù)曲線L:y=?(x)在點(diǎn)M0處的切線,1/4/202362二.微分的幾何意義及函數(shù)的線性化1.微分的幾何意義機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束L:y=?(x)oxyx0}ΔyNy0M(x0+Δx,y0+Δy)x0+Δx}dyM0

(x0,y0)·dx如圖所示,M0T是函數(shù)曲線L:y=?(x)在點(diǎn)M0處的切線,當(dāng)點(diǎn)M0

的橫坐標(biāo)x0

有一個(gè)改變量Δx時(shí),曲線相應(yīng)的縱坐標(biāo)的改變量為

NK=MN·tanα而M0N=dx,則切線相應(yīng)的縱坐標(biāo)的改變量為K?α?αT切線上相應(yīng)的縱坐標(biāo)的改變量曲線上相應(yīng)的縱坐標(biāo)的改變量1/4/202363機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束L:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束由近似公式(3.5.1)知,函數(shù)y=?(x)在點(diǎn)M0處的微分dy的幾何意義是:當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處取得改變量Δx時(shí),微分dy就是曲線

y=?(x)在點(diǎn)

M0處的切線的縱坐標(biāo)的改變量．微分的幾何意義：

L:y=?(x)oxyx0}ΔyNy0M(x0+Δx,y0+Δy)x0+Δx}dyM0

(x0,y0)·dxK?α?αT1/4/202364機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束*2.函數(shù)的線性化定義6

若函數(shù)y=?(x)在點(diǎn)x=x0處可導(dǎo),則稱其在點(diǎn)x=x0處的切線

P1(x)=f(x0)+f′(x0)(x－x0)是函數(shù)y=?(x)在x=x0點(diǎn)的線性化(linearization);若用P1(x)去逼近?(x),即

f(x)≈P1(x).則稱P1(x)為?(x)的線性逼近(linearapproximation),稱點(diǎn)x=x0為逼近的中心．1/4/202365機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束*2機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解因?yàn)槔?求函數(shù)?(x)

=ex－1在x=0處的線性化．所以?(x)

=ex－1如圖所示,?(x)

=ex－1在x=0處的線性逼近為x≈ex－1.在x=0處的線性化為

1/4/202366機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注5教材p96的表給出了?(x)

=ex－1在x=0附近的幾個(gè)函數(shù)值、逼近值及誤差.從此表中可清楚地看到:用P1(x)=x去逼近?(x)

=ex－1時(shí),在x=0附近的x值,精度是非常高的．

由微分的幾何意義知：微分dy

就是曲線

y=?(x)在點(diǎn)M0處的切線的縱坐標(biāo)的改變量,也就是其線性逼近函數(shù)的改變量.換句話說,在曲線

y=?(x)某點(diǎn)的鄰域內(nèi)與曲線非常接近的那條直線就是曲線y=?(x)在該點(diǎn)的切線,即函數(shù)y=?(x)在x=x0處的線性化函數(shù)曲線

1/4/202367機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

注6對(duì)于可微函數(shù)y=?(x)而言,當(dāng)Δy是曲線y=?(x)上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的改變量時(shí),dy就是該曲線的切線上相應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的相應(yīng)改變量.當(dāng)|Δx|很小時(shí),其誤差

|Δy–dy|=MK比|Δx|小得多(見例1).

L:y=?(x)oxyx0}ΔyNy0M(x0+Δx,y0+Δy)x0+Δx}dyM0

(x0,y0)·dxK?α?αT故當(dāng)|Δx|→0時(shí),可“以直代曲”——總可以用切線段M0K去代替曲線弧M0M,用函數(shù)微分NK=dy去近似代替函數(shù)改變量NM=Δy.1/4/202368機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

因此在相應(yīng)點(diǎn)M0的附近,我們可以用切線段近似地代替曲線段,即用dy代替Δy,這正是以直代曲──在局部范圍內(nèi)用線性函數(shù)近似代替非線性函數(shù),在幾何上就是局部用切線段代替曲線段.這在數(shù)學(xué)上稱為非線性函數(shù)的局部線性化,這是微分學(xué)的基本思想方法之一．這種方法是在自然科學(xué)、工程問題、經(jīng)濟(jì)管理問題的研究中經(jīng)常采用的一種技術(shù)手段．

1/4/202369機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三.微分的運(yùn)算法則1.基本初等函數(shù)的微分公式依據(jù)導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系,利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,便可得到相應(yīng)的微分公式和微分運(yùn)算法則．1/4/202370機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1/4/202371機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束12機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1/4/202372機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束12機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.微分的四則運(yùn)算法則設(shè)函數(shù)u(x)和v(x)都是x的可微函數(shù),則(C為常數(shù))(v≠0)(1)

(2)(3)證只證(3),其余請(qǐng)讀者自行證明.1/4/202373機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束由微分與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,有1/4/202374機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束由微機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.復(fù)合函數(shù)的微分法則設(shè)函數(shù)y=?(u)和

都可微,則復(fù)合函數(shù)的微分為微分形式不變

注7無論u是中間變量還是自變量的可微函數(shù),微分dy=f′(u)du都保持不變,這一性質(zhì)稱為一元函數(shù)的一階微分形式不變性(invariancedifferentialforms).1/4/202375機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一階微分形式的不變性,使得我們?cè)谟?jì)算函數(shù)的微分時(shí)不必考慮是對(duì)自變量的微分,還是對(duì)中間變量的微分,這給微分運(yùn)算帶來極大的方便．解法一(復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則)由于例4求函數(shù)

的微分.所以1/4/202376機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解法二(一階微分形式不變性

)由于解由乘積的微分法則,得

例5求函數(shù)

的微分.1/4/202377機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例6求由方程y=x＋arctan(y－2x)所確定的隱函數(shù)y=f(x)的微分.解方程兩端微分,得即解出dy,得1/4/202378機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例7將適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)填入下列括號(hào)內(nèi),使等式成立.

注8

例7是微分的反問題,是第五章不定積分要研究的內(nèi)容.數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性,例如:由于則22=(),41/4/202379機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例7機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束四.微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用則當(dāng)f′(x0)≠0時(shí),有則當(dāng)Δx→0時(shí),dy與Δy是等價(jià)無窮小,即dy≈Δy.故當(dāng)|Δx|很小時(shí)有近似公式由于……(3.5.1)近似公式(3.5.1)滿足兩個(gè)要求:一是計(jì)算簡(jiǎn)便,二是近似程度好.由此,我們可以得到如下兩個(gè)近似計(jì)算公式:1/4/202380機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束四.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束利用公式(1)可近似計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)x0附近的近似值:在點(diǎn)x0處,當(dāng)|Δx|很小時(shí),用f(x0)+f′(x0)Δx近似計(jì)算函數(shù)值

f(x0+Δx);