高二數(shù)學(xué)曲線與方程習(xí)題

第16頁/共10頁1．曲線的方程與方程的曲線在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn) ，那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線(圖形)．2．平面解析幾何研究的兩個(gè)主要問題(1)根據(jù)已知條件，求出表示曲線的方程；(2)通過曲線的方程研究曲線的性質(zhì)．3．求曲線方程的一般方法(五步法)求曲線(圖形)的方程，一般有下面幾個(gè)步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合P＝{M|p(M)}；(3)用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0為最簡(jiǎn)形式；(5)說明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上．4．兩曲線的交點(diǎn)(1)由曲線方程的定義可知，兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是兩個(gè)曲線方程的 ，即兩個(gè)曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解；反過來，方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)，方程組 ，兩條曲線就沒有交點(diǎn)．(2)兩條曲線有交點(diǎn)的 條件是它們的方程所組成的方程組有實(shí)數(shù)解．可見，求曲線的交點(diǎn)問題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實(shí)數(shù)解問題．5．求曲線軌跡方程的常用方法(1)直接法如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡(jiǎn)單明確，直接表述成含x，y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱為直接法．(2)定義法如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可用曲線定義寫出方程，這種方法稱為定義法．(3)代入法又稱相關(guān)點(diǎn)法，其特點(diǎn)是，動(dòng)點(diǎn)M(x，y)的坐標(biāo)取決于已知曲線C上的點(diǎn)(x′，y′)的坐標(biāo)，可先用x，y來表示x′，y′，再代入曲線C的方程，即得點(diǎn)M的軌跡方程．6．圓錐曲線的共同特征圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)與到定直線的距離之比為定值e，當(dāng) 時(shí)，圓錐曲線為雙曲線；當(dāng) 時(shí)，為橢圓；當(dāng) 時(shí)，為拋物線．7．直線與圓錐曲線交點(diǎn)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)由直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得到．8、基礎(chǔ)自測(cè)1．(2011·山東濰坊)已知圓x2＋y2＝4，過點(diǎn)A(4,0)作圓的割線ABC，則弦BC中點(diǎn)的軌跡方程為()A．(x－1)2＋y2＝4(－1≤x<eq\f(1,2))B．(x－1)2＋y2＝4(0≤x<1)C．(x－2)2＋y2＝4(－1≤x<eq\f(1,2))D．(x－2)2＋y2＝4(0≤x<1)[答案]D[解析]由圓的幾何性質(zhì)知，BC的中點(diǎn)到A與圓心連線的中點(diǎn)的距離為2，即方程為(x－2)2＋y2＝4，又中點(diǎn)在圓內(nèi)，∴0≤x<1.2．(2011·寶雞)如圖所示，△PAB所在的平面α與四邊形ABCD所在的平面β垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD＝6，BC＝12，AB＝9，∠APD＝∠CPB，則點(diǎn)P在平面α內(nèi)的軌跡是()A．圓的一部分B．橢圓的一部分C．雙曲線的一部分D．拋物線的一部分[答案]A[解析]由條件可知，Rt△DAP∽R(shí)t△CBP，∴eq\f(PA,PB)＝eq\f(AD,BC)＝eq\f(1,2)，故P點(diǎn)的軌跡是圓的一部分．3．F1、F2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)，過一焦點(diǎn)引∠F1PF2的外角平分線的垂線，則垂足Q的軌跡為()A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線4．過雙曲線x2－eq\f(y2,2)＝1的右焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若|AB|＝4，這樣的直線條數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4[答案]C[解析]若與雙曲線右支交于兩點(diǎn)A，B，則|AB|≥4(通徑)，此時(shí)弦長為4的弦有一條；若與左右兩支各有一交點(diǎn)A、B，則|AB|≥2(實(shí)軸長)，此時(shí)弦長為4的弦有兩條．∴共3條．5．如圖所示，過點(diǎn)P(0,2)的直線和拋物線y2＝8x交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)M在直線x＝2上，則弦AB的長為________．[答案]2eq\r(5)[解析]設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB的中點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(y1＋y2,2)))，由y12＝8x1，和y22＝8x2相減得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)，∵kPM＝kAB，∴kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(8,y1＋y2)＝eq\f(\f(y1＋y2,2)－2,2－0)令y1＋y2＝2b，則有b2－2b－8＝0，∴b＝4或b＝－2，于是M(2,4)或M(2，－2)．∵M(jìn)(2,4)在拋物線上(舍去)．∴M的坐標(biāo)為(2，－2)，從而kAB＝－2.∴AB：y＝－2x＋2，將其代入拋物線方程得x2－4x＋1＝0.∴|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r([1＋－22]42－4×1)＝2eq\r(15).6．兩動(dòng)直線l1、l2分別經(jīng)過O(0,0)和A(0,2)，且方向向量分別為(1，λ)和(λ，－1)，則它們交點(diǎn)的軌跡方程是________．[答案]x2＋y2－2x＝0[解析]當(dāng)λ＝0時(shí)，l1與l2的交點(diǎn)為(0,0)；當(dāng)λ≠0時(shí)，kl1＝λ，kl2＝－eq\f(1,λ)，l1：y＝λx，l2：y－2＝－eq\f(1,λ)x，l1與l2的方程相乘可得：x2＋y2－2y＝0.(當(dāng)λ＝0時(shí)也適合此式)綜上可得交點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－2y＝0.(當(dāng)λ＝0時(shí)，也適合此式)7．已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為A(－2,0)，B(0，－2)，第三個(gè)點(diǎn)C在曲線y＝3x2－1上移動(dòng)，求△ABC重心的軌跡方程．[解析]設(shè)C(x1，y1)，重心G(x，y)，由重心坐標(biāo)公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－2＋0＋x1,3)＝x,\f(0－2＋y1,3)＝y(tǒng)))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝3x＋2,y1＝3y＋2))，∵C(x1，y1)在曲線y＝3x2－1上，∴3y＋2＝3(3x＋2)2－1，化簡(jiǎn)得y＝(3x＋2)2－1＝9x2＋12x＋3，故△ABC的重心的軌跡方程為y＝9x2＋12x＋3.題型分析題型分析[例1](2009·安徽)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),3)，以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓與直線y＝x＋2相切．(1)求a與b；(2)設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1和F2，直線l1過F2且與x軸垂直，動(dòng)直線l2與y軸垂直，l2交l1于點(diǎn)P.求線段PF1的垂直平分線與l2的交點(diǎn)M的軌跡方程，并指明曲線類型．[解析](1)由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(3),3)，得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(6),3).又由原點(diǎn)到直線y＝x＋2的距離等于圓的半徑，得b＝eq\r(2)，a＝eq\r(3).(2)解法1：由c＝eq\r(a2－b2)＝1得F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)M(x，y)，則P(1，y)．由|MF1|＝|MP|，得(x＋1)2＋y2＝(x－1)2，化簡(jiǎn)得y2＝－4x.此軌跡是拋物線．解法2：因?yàn)辄c(diǎn)M在線段PF1的垂直平分線上，所以|MF1|＝|MP|，即M到F1的距離等于M到l1的距離．此軌跡是以F1(－1,0)為焦點(diǎn)l1：x＝1為準(zhǔn)線的拋物線，軌跡方程為y2＝－4x.跟蹤練習(xí)：已知圓的方程為x2＋y2＝4，動(dòng)拋物線過點(diǎn)A(－1,0)，B(1,0)，且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線的焦點(diǎn)的軌跡方程是________．[答案]eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1[解析]設(shè)P(x0，y0)為圓上任一點(diǎn)，過該點(diǎn)的切線l：x0x＋y0y＝4(|x0|≤2)，以l為準(zhǔn)線過A、B兩點(diǎn)的拋物線焦點(diǎn)F(x，y)，A、B到l距離分別為d1、d2，根據(jù)拋物線的定義，|FA|＋|FB|＝d1＋d2eq\f(|－x0－4|,\r(x02＋y02))＋eq\f(|x0－4|,\r(x02＋y02))＝eq\f(x0＋4,2)＋eq\f(4－x0,2)＝4>|AB|，∴F點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，∴c＝1，∴b2＝3，∴方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.[例2](2011·青島一中期中)如圖，兩條過原點(diǎn)O的直線l1，l2分別與x軸、y軸成30°的角，點(diǎn)P(x1，y1)在直線l1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q(x2，y2)在直線l2上運(yùn)動(dòng)，且線段PQ的長度為2.(1)求動(dòng)點(diǎn)M(x1，x2)的軌跡C的方程；(2)設(shè)過定點(diǎn)T(0,2)的直線l與(1)中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍．[解析](1)由已知得直線l1⊥l2，l1：y＝eq\f(\r(3),3)x，l2：y＝－eq\r(3)x，∵點(diǎn)P(x1，y1)在直線l1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q(x2，y2)在直線l2上運(yùn)動(dòng)，∴y1＝eq\f(\r(3),3)x1，y2＝－eq\r(3)x2，由|PQ|＝2，得(x12＋y12)＋(x22＋y22)＝4，即eq\f(4,3)x12＋4x22＝4?eq\f(x12,3)＋x22＝1，∴動(dòng)點(diǎn)M(x1，x2)的軌跡C的方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)直線l的方程為y＝kx＋2，將其代入eq\f(x2,3)＋y2＝1，化簡(jiǎn)得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，設(shè)A(x3，y3)、B(x4，y4)，∴Δ＝(12k)2－36×(1＋3k2)>0?k2>1，且x3＋x4＝－eq\f(12k,1＋3k2)，x3x4＝eq\f(9,1＋3k2)，∵∠AOB為銳角，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))>0，即x3x4＋y3y4>0?x3x4＋(kx3＋2)(kx4＋2)>0，∴(1＋k2)x3x4＋2k(x3＋x4)＋4>0.將x3＋x4＝－eq\f(12k,1＋3k2)，x3x4＝eq\f(9,1＋3k2)代入上式，化簡(jiǎn)得eq\f(13－3k2,1＋3k2)>0?k2<eq\f(13,3).由k2>1且k2<eq\f(13,3)，得k∈(－eq\f(\r(39),3)，－1)∪(1，eq\f(\r(39),3))．跟蹤練習(xí)：已知兩點(diǎn)M(－1,0)，N(1,0)，且點(diǎn)P使eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))，eq\o(NM,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))成公差小于零的等差數(shù)列．(1)點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，記θ為eq\o(PM,\s\up6(→))與eq\o(PN,\s\up6(→))的夾角，求tanθ.[解析](1)設(shè)P(x，y)，則eq\o(PM,\s\up6(→))＝－eq\o(MP,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq\o(PN,\s\up6(→))＝－eq\o(NP,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\o(NM,\s\up6(→))＝(2,0)，∴eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝2(1＋x)，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝x2＋y2－1，eq\o(NM,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))＝2(1－x)，由題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－1＝\f(1,2)[21＋x＋21－x],21－x－21＋x<0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝3,x>0))，所以點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，eq\r(3)為半徑的右半圓(不含端點(diǎn))．(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，而eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝x02＋y02－1＝2.又|eq\o(PM,\s\up6(→))|·|eq\o(PN,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋x02＋y02)×eq\r(1－x02＋y02)＝2eq\r(4－x02).所以cosθ＝eq\f(\o(PM,\s\up6(→))·\o(PN,\s\up6(→)),|\o(PM,\s\up6(→))|·|\o(PN,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(4－x02))，∵0<x0≤eq\r(3)，∴eq\f(1,2)<cosθ≤1，∴0≤θ<eq\f(π,3)，∴sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\r(1－\f(1,4－x02))，故tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝eq\f(\r(1－\f(1,4－x02)),\r(\f(1,4－x02)))＝eq\r(3－x02)＝|y0|.[例3]如右圖所示，從雙曲線x2－y2＝1上一點(diǎn)Q引直線x＋y＝2的垂線，垂足為N，求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程．[解析]設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x1，y1)，則N點(diǎn)的坐標(biāo)為(2x－x1,2y－y1)．∵點(diǎn)N在直線x＋y＝2上，∴2x－x1＋2y－y1＝2，①又∵PQ垂直于直線x＋y＝2，∴eq\f(y－y1,x－x1)＝1.即x－y＋y1－x1＝0.②由①、②聯(lián)立，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(3,2)x＋\f(1,2)y－1，,y1＝\f(1,2)x＋\f(3,2)y－1.))又Q在雙曲線x2－y2＝1上，∴x12－y12＝1，即(eq\f(3,2)x＋eq\f(1,2)y－1)2－(eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)y－1)2＝1整理得2x2－2y2－2x＋2y－1＝0，這就是所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．跟蹤練習(xí)：M是拋物線y2＝x上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)M為一邊作正方形MNPO，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．[分析]設(shè)M(x0，y0)，即x0＝y(tǒng)02，設(shè)P(x，y)，用x，y表示x0，y0或者直接消掉y0.[解析]依題意，設(shè)P(x，y)，M(y02，y0)∵四邊形MNPO為正方形，∴|OM|＝|OP|且OP⊥OM.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y04＋y02＝x2＋y2,\f(y,x)·\f(y0,y02)＝－1))，eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,,②))，由①②消去y0，化簡(jiǎn)得y2＝x4，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2＝±y(y≠0)．[例4](2010·天津文)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率e＝eq\f(\r(3),2)，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－a,0)．①若|AB|＝eq\f(4\r(2),5)，求直線l的傾斜角；②若點(diǎn)Q(0，y0)在線段AB的垂直平分線上，且eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝4.求y0的值．[解析]本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線的方程、兩點(diǎn)間的距離公式、直線的傾斜角、平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想．由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，得3a2＝4c2，再由c2＝a2－b2，解得a＝2b.由題意可得eq\f(1,2)×2a×2b＝4，即ab＝2.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2b,ab＝2))，得a＝2，b＝1.∴橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)①由(1)知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2,0)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x1，y1)，直線l的斜率為k，則直線l的方程為y＝k(x＋2)．∴A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2,\f(x2,4)＋y2＝1))，消去y整理得，(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0.由韋達(dá)定理得，－2x1＝eq\f(16k2－4,1＋4k2)，∴x1＝eq\f(2－8k2,1＋4k2)，從而y1＝eq\f(4k,1＋4k2)，∴|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2－\f(2－8k2,1＋4k2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k,1＋4k2)))2)＝eq\f(4\r(1＋k2),1＋4k2)，由|AB|＝eq\f(4\r(2),5)，得eq\f(4\r(1＋k2),1＋4k2)＝eq\f(4\r(2),5)，整理得32k4－9k2－23＝0，即(k2－1)(32k2＋23)＝0，解得k＝±1.∴直線l的傾斜角為eq\f(π,4)或eq\f(3π,4).②設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，由①得M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8k2,1＋4k2)，\f(2k,1＋4k2))).1°當(dāng)k＝0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)，線段AB的垂直平分線為y軸，∴eq\o(QA,\s\up6(→))＝(－2，－y0)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝(2，－y0)，由eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝4得，－4＋y02＝4?y0＝±2eq\r(2).2°由k≠0時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為y－eq\f(2k,1＋4k2)＝－eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8k2,1＋4k2)))，令x＝0，解得y0＝－eq\f(6k,1＋4k2).由eq\o(QA,\s\up6(→))＝(－2，－y0)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝(x1，y1－y0)，∴eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝－2x1－y0(y1－y0)＝eq\f(－22－8k2,1＋4k2)＋eq\f(6k,1＋4k2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k,1＋4k2)＋\f(6k,1＋4k2)))＝eq\f(416k4＋15k2－1,1＋4k22)＝4.整理得7k2＝2，∴k＝±eq\f(\r(14),7)，∴y0＝±eq\f(2\r(14),5)，綜上所述，y0＝±2eq\r(2)或±eq\f(2\r(14),5).跟蹤練習(xí)：(北京)已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓x2＋3y2＝4上，對(duì)角線BD所在直線的斜率為1.(1)當(dāng)直線BD過點(diǎn)(0,1)時(shí)，求直線AC的方程；(2)當(dāng)∠ABC＝60°時(shí)，求菱形ABCD面積的最大值．[解析](1)由題意得直線BD的方程為y＝x＋1.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD.于是可設(shè)直線AC的方程為y＝－x＋n.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋3y2＝4,y＝－x＋n))，得4x2－6nx＋3n2－4＝0.因?yàn)锳、C在橢圓上，所以Δ＝－12n2＋64>0，解得－eq\f(4\r(3),3)<n<eq\f(4\r(3),3).設(shè)A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(3n,2)，x1x2＝eq\f(3n2－4,4)，y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n，所以y1＋y2＝eq\f(n,2).所以AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(3n,4)，eq\f(n,4))．由四邊形ABCD為菱形可知，點(diǎn)(eq\f(3n,4)，eq\f(n,4))在直線y＝x＋1上，所以eq\f(n,4)＝eq\f(3n,4)＋1，解得n＝－2.所以直線AC的方程為y＝－x－2，即x＋y＋2＝0.(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且∠ABC＝60°，所以|AB|＝|BC|＝|CA|.所以菱形ABCD的面積S＝eq\f(\r(3),2)|AC|2.由(1)可得|AC|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝eq\f(－3n2＋16,2)，所以S＝eq\f(\r(3),4)(－3n2＋16)(－eq\f(4\r(3),3)<n<eq\f(4\r(3),3))．所以當(dāng)n＝0時(shí)，菱形ABCD的面積取得最大值4eq\r(3).[例5]已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q及定點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(6),2)))，F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，且|PF|，|MF|，|QF|成等差數(shù)列．(1)求證：線段PQ的垂直平分線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)A；(2)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)是B，求|PB|的最小值及相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．[分析](1)由|PF|，|MF|，|QF|成等差數(shù)列可得PQ的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，引入?yún)?shù)PQ中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，先求kPQ，利用直線PQ的方程求解．(2)建立|PB|關(guān)于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求最值．[解析](1)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由條件可知a＝2，b＝eq\r(2)，c＝eq\r(2)，e＝eq\f(\r(2),2).由橢圓的焦半徑公式得|PF|＝2＋eq\f(\r(2),2)x1，|QF|＝2＋eq\f(\r(2),2)x2，|MF|＝2＋eq\f(\r(2),2).∴(2x－1)n－y＝0，該直線恒過一個(gè)定點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).當(dāng)x1＝x2時(shí)，線段PQ的中垂線也過定點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).綜上，線段PQ的垂直平分線恒過定點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).(2)由于點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，故點(diǎn)Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)).∵－2≤x1≤2，－2≤x2≤2，∴x1＝2－x2∈[0,2]，|PB|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,2)))2＋y12＝eq\f(1,2)(x1＋1)2＋eq\f(7,4)≥eq\f(9,4)，∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，±eq\r(2))時(shí)，|PB|min＝eq\f(3,2).跟蹤練習(xí)：在例題條件不變的情況下，若＋＝0，求|PB|的最大值及相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．[解析]∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)).|PB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,2)))2＋y12)＝eq\r(x12＋x1＋\f(1,4)＋2－\f(x12,2))＝eq\r(\f(1,2)x12＋x1＋\f(9,4))＝eq\r(\f(1,2)x12＋2x1＋1＋\f(7,4))＝eq\r(\f(1,2)x1＋12＋\f(7,4))，∵－2≤x1≤2，∴當(dāng)x1＝2時(shí)，|PB|max＝eq\f(5,2)，此時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)．1．常見的軌跡(1)在平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是連結(jié)兩定點(diǎn)的線段的垂直平分線．(2)平面內(nèi)到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線．(3)平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心，以定長為半徑的圓．(4)平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離與到定直線距離之比等于常數(shù)(定點(diǎn)不在定直線上)的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線．當(dāng)常數(shù)大于1時(shí)，表示雙曲線；當(dāng)常數(shù)等于1時(shí)，表示拋物線；當(dāng)常數(shù)大于0而小于1時(shí)，表示橢圓．定點(diǎn)和定直線分別是圓錐曲線的焦點(diǎn)和相應(yīng)的準(zhǔn)線．(5)平面內(nèi)到定直線的距離等于某一定值的點(diǎn)的軌跡是與這條直線平行的兩條直線．2．求軌跡的常用方法(1)直譯法：如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡(jiǎn)單明確，易于表達(dá)成含x、y的等式得到軌跡方程，這種方法稱之為直譯法.用直譯法求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程一般有建系、設(shè)點(diǎn)、列式、代入、化簡(jiǎn)、證明六個(gè)步驟，但最后的證明可以省略.(2)定義法：運(yùn)用解析幾何中一些常用定義(例如圓錐曲線的定義)，可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程.(3)代入法：形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)隨另一動(dòng)點(diǎn)Q(x′，y′)的運(yùn)動(dòng)而有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x′、y′用x、y表示，再代入Q的軌跡方程，然后整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點(diǎn)法.(4)參數(shù)法：求軌跡方程有時(shí)很難直接找出動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量(參數(shù))，使x、y之間建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．(5)交軌法：求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)軌跡時(shí)，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動(dòng)直線的交點(diǎn)時(shí)常用此法，也可以引入?yún)?shù)來建立這些動(dòng)曲線的聯(lián)系，然后消去參數(shù)得到軌跡方程．3．軌跡問題還應(yīng)區(qū)別是“求軌跡”，還是“求軌跡方程”．一般說來，若是“求軌跡方程”，求到方程就可以了；若是“求軌跡”，求到方程還不夠，還應(yīng)指出方程所表示的曲線的類型．有時(shí)候，問題僅要求指出軌跡的形狀．如果能繞過求軌跡方程這一環(huán)節(jié)直接根據(jù)定義及已知知識(shí)指出軌跡是什么曲線，則可不求軌跡方程．4．直線與圓錐曲線相交弦長問題 (1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長|P1P2|＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|或|P1P2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|，其中求|x2－x1|與|y2－y1|時(shí)，通常作如下變形|x2－x1|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)，|y2－y1|＝eq\r(y1＋y22－4y1y2)，使用韋達(dá)定理即解決．(2)當(dāng)斜率k不存在時(shí)，直線為x＝m的形式，可直接代入求出交點(diǎn)縱坐標(biāo)y1、y2得弦長|y1－y2|.(3)經(jīng)過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦(也稱焦點(diǎn)弦)的長度．應(yīng)用圓錐曲線的定義轉(zhuǎn)化為兩個(gè)焦半徑之和，往往比用弦長公式簡(jiǎn)捷．5．二次曲線求最值的方法(1)代數(shù)法：歸結(jié)為求函數(shù)的最值問題，利用“配方法、判別式法、不等式法”等代數(shù)方法求解．(2)幾何法：利用二次曲線的幾何性質(zhì)結(jié)合圖形性質(zhì)求解．當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂練習(xí)一、選擇題1．(2010·山東文)已知拋物線y2＝2px(p>0)，過焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－2[答案]B[解析]本題考查了拋物線的方程及中點(diǎn)弦問題，可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則中點(diǎn)(eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(y1＋y2,2))，∴eq\f(y1＋y2,2)＝2，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y12＝2px1①,y22＝2px2②))①－②得y12－y22＝2p(x1－x2)?eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2p,y1＋y2)＝eq\f(p,\f(y1＋y2,2))，∴kAB＝1＝eq\f(p,2)?p＝2，∴y2＝4x，∴準(zhǔn)線方程式為：x＝－1，故選B.2．過點(diǎn)(0，－eq\f(1,2))的直線l與拋物線y＝－x2交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的值為()A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(1,4)C．－4 D．無法確定[答案]B[解析]設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程y＝kx－eq\f(1,2)，代入拋物線方程得2x2＋2kx－1＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－k，,x1x2＝－\f(1,2).))∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－eq\f(1,2))(kx2－eq\f(1,2))＝(k2＋1)x1x2－eq\f(1,2)k(x1＋x2)＋eq\f(1,4)＝－eq\f(1,2)(k2＋1)－eq\f(1,2)k(－k)＋eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4).3．已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)(1,0)，且與直線x＝－1相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為()A．x2＋y2＝1 B．x2－y2＝1C．y2＝4x D．x＝0[答案]C[解析]動(dòng)點(diǎn)到(1,0)和直線x＝－1的距離相等，所以其軌跡方程為y2＝4x.4．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)滿足10eq\r(x－12＋y－22)＝|3x＋4y|，則P點(diǎn)的軌跡是()A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．兩相交直線[答案]A[解析]條件化為2eq\r(x－12＋y－22)＝eq\f(|3x＋4y|,5)，即為點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)F(1,2)的距離與到定直線l3x＋4y＝0的距離之比為eq\f(1,2)，又點(diǎn)F不在直線l上，故根據(jù)橢圓的第二定義可知，點(diǎn)P的軌跡是橢圓．5．直線y＝kx－k＋1與橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的位置關(guān)系為()A．相交 B．相切C．相離 D．不確定[答案]A[解析]直線y＝k(x－1)＋1過橢圓內(nèi)定點(diǎn)(1,1)，故直線與橢圓相交．6．已知以F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線x＋eq\r(3)y＋4＝0有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長軸長為()A．3eq\r(2) B．2eq\r(6)C．2eq\r(7) D．4eq\r(2)[答案]C[解析]根據(jù)題意設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,b2＋4)＋eq\f(y2,b2)＝1(b>0)，則將x＝－eq\r(3)y－4代入橢圓方程得，4(b2＋1)y2＋8eq\r(3)b2y－b4＋12b2＝0，∵橢圓與直線x＋eq\r(3)y＋4＝0有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，∴Δ＝(8eq\r(3)b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)(b2－3)＝0，∴b2＝3，長軸長為2eq\r(b2＋4)＝2eq\r(7)，故選C.7．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是()A．(1,2] B．(1,2)C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)[答案]C[解析]∵漸近線l1：y＝eq\f(b,a)x與過焦點(diǎn)F的直線l平行，或漸近線l1從該位置繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線l與雙曲線的右支交于一個(gè)點(diǎn)．∴eq\f(b,a)≥eq\r(3)，即c2＝a2＋b2≥4a2，∴e≥2，故選C.8．(2010·重慶理)到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是()A．直線 B．橢圓C．拋物線 D．雙曲線[答案]D[解析]如圖所示，設(shè)兩異面直線為m，n過n上任一點(diǎn)O，作m的平行線m′，設(shè)m′與n確定的平面為α，以O(shè)為原點(diǎn)，m′，n分別為x軸，y軸建立坐標(biāo)系，設(shè)與兩異面直線距離相等的點(diǎn)為M(x，y)，令m到平面α的距離為d，由題意|x|2＋d2＝|y|2即y2－x2＝d2故軌跡為雙曲線．二、填空題9．已知BC是圓x2＋y2＝25的動(dòng)弦，且|BC|＝6，則BC的中點(diǎn)的軌跡方程是________．[答案]x2＋y2＝16[解析]設(shè)BC中點(diǎn)為P(x，y)，則OP⊥BC，∵|OC|＝5，|PC|＝3，∴|OP|＝4，∴x2＋y2＝16.10．點(diǎn)P在以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1上運(yùn)動(dòng)，則△PF1F2的重心G的軌跡方程是[答案]eq\f(x2,\f(1,3))＋eq\f(y2,\f(4,9))＝1(x≠0)[解析]F1(0，－1)、F2(0,1)，設(shè)P(x0，y0)，G(x，y)，∵G為△PF1F2的重心，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0,3),y＝\f(y0,3)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3x,y0＝3y))，代入eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1中得eq\f(x2,\f(1,3))＋eq\f(y2,\f(4,9))＝1構(gòu)成三角形時(shí)，三點(diǎn)P、F1、F2不共線，∴x≠0.11．過點(diǎn)P(8,1)的直線與雙曲線x2－4y2＝4相交于A、B兩點(diǎn)，且P是線段AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程為________．[答案]2x－y－15＝0[解析]解法1：經(jīng)分析知k一定存在，設(shè)直線方程為y－1＝k(x－8),∴y＝k(x－8)＋1，代入x2－4y2＝4中，整理得(1－4k2)x2＋(64k2－8k)x－256k2＋64k－8＝0.x1＋x2＝eq\f(64k2－8k,4k2－1)＝16，即eq\f(8k2－k,4k2－1)＝2，∴k＝2，∴所求方程為2x－y－15＝0.解法2：設(shè)A、B坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)則x12－4y12＝4，(1)x22－4y22＝4，(2)(1)－(2)得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∵P是線段AB的中點(diǎn)，∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,4y1＋y2)＝2.∴直線AB的斜率為2，∴直線AB的方程為2x－y－15＝0.[點(diǎn)評(píng)]用“點(diǎn)差法”解決圓錐曲線中點(diǎn)弦等有關(guān)問題較為方便，注意進(jìn)行總結(jié)．三、解答題12．(2010·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F.設(shè)過點(diǎn)T(t，m)的直線TA，TB與此橢圓分別交于點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2－PB2＝4，求點(diǎn)P的軌跡；(2)設(shè)x1＝2，x2＝eq\f(1,3)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)．[解析]本主要考查求簡(jiǎn)單曲線的方程，考查直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和探究問題的能力．由題設(shè)得A(－3,0)，B(3,0)，F(xiàn)(2,0)．(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則PF2＝(x－2)2＋y2，PB2＝(x－3)2＋y2.由PF2－PB2＝4，得(x－2)2＋y2－(x－3)2－y2＝4，化簡(jiǎn)得x＝eq\f(9,2).故所點(diǎn)P的軌跡為直線x＝eq\f(9,2).(2)由x1＝2，eq\f(x12,9)＋eq\f(y12,5)＝1及y1>0，得y1＝eq\f(5,3)，則點(diǎn)M(2，eq\f(5,3))，從而直線AM的方程為y＝eq\f(1,3)x＋1；由x2＝eq\f(1,3)，eq\f(x22,9)＋eq\f(y22,5)＝1，及y2<0，得y2＝－eq\f(20,9)，則點(diǎn)N(eq\f(1,3)，－eq\f(20,9))，從而直線BN的方程為y＝eq\f(5,6)x－eq\f(5,2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,3)x＋1，,y＝\f(5,6)x－\f(5,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝\f(10,3).))所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為(7，eq\f(10,3))．13．(2009·廣東文)已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為eq\f(\r(3),2)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2，橢圓G上一點(diǎn)到F1和F2的距離之和為12.圓Ck：x2＋y2＋2kx－4y－21＝0(k∈R)的圓心為點(diǎn)Ak.(1)求橢圓G的方程；(2)求△AkF1F2的面積；(3)問是否存在圓Ck包圍橢圓G[解析]考查橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的一般方程、橢圓與圓的位置關(guān)系及運(yùn)算能力、分析解決問題的能力．(1)設(shè)橢圓G的方程為：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，半焦距為c；則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝12,\f(c,a)＝